Содержание к диссертации
Введение
1. Топологические группы с ограничениями на фактор группы 21
1.1. Топологические точно неабелевы группы 21
1.2. Топологические точно не Т-группы 31
1.3. Топологические точно бесконечные группы 39
2. Топологические гипернормальные группы 51
2.1. Основные свойства топологических гипернормальных групп 51
2.2. Гипернормальные группы с условиями обрыва цепей подгрупп 61
Список литературы 74
- Топологические точно не Т-группы
- Топологические точно бесконечные группы
- Основные свойства топологических гипернормальных групп
- Гипернормальные группы с условиями обрыва цепей подгрупп
Введение к работе
С начала развития абстрактной теории групп и по сей день многочисленные исследования вдохновлялись идеей выделения достойного (и доступного) для изучения класса групп путем наложения ограничений на те или иные семейства подгрупп. Достаточно упомянуть основополагающие работы Дедекинда о гамильтоновых группах, Миллера и Морено - о минимальных неабелевых, О. Ю. Шмидта - о минимальных ненильпотентных. После решения в 50-е годы прошлого века 5 проблемы Гильберта открылась возможность разработки подобной проблематики на материале уже не дискретных, а локально-компактных топологических групп, где тоже было получено много интересных результатов.
В 1956 г. известный алгебраист Б. Нейман [68] предложил в какой-то мере двойственный подход - наложение ограничений на собственные фактор-группы. Пусть 0 - некоторое групповое свойство. Топологическую группу G назовем точно не Q-группой (короче: j0-rpynnoft), если для любой ее собственной замкнутой нормальной подгруппы N фактор-группа G/N обладает свойством 0, а сама G им не обладает (в дальнейшем будут полезны следующие правила сокращений: топологическую группу G будем называть Qd -группой, если G будет 0-группой, где Gd - дискретная группа алгебраически изоморфная G; топологическую группу G будем называть индуктивно--группой если замыкание каждой конечнопорожденной подгруппы из G будет 0-группой; топологическую группу G будем называть проектвно-Q-группой если для любой окрестности U нейтрального элемента в G найдется такая замкнутая нормальная подгруппа N С U, что G/N будет 0-группой). Если в качестве в принять абелевость, то возникает класс jA-групп, в дискретном разрешимом случае классифицированных М. Ньюманом [70], [71] (см. также [73]). Им, в частности, установлено, что разрешимая j А9-группа G обладает монолитом М -нетривиальное пересечение всех нетривиальных замкнутых нормальных подгрупп группы, который совпадает с коммутантом G'\ причем, если G не нильпотентна, то G расщепляется над М, М изоморфна аддитивной подгруппе некоторого поля Р, a G/M изоморфна подгруппе мультипликативной группы поля Р, которая аддитивно порождает Р. Если G нильпотентна, то она является р-группой с циклическим или квазициклическим центром Z = Z(G), фактор-группа G/Z по которому - элементарная абелева.
Продолжив исследования в данном направлении, Д. Робинсон [72] классифицировал класс разрешимых jT9-rpynn, где Т - свойство транзитивного отношения нормальности (топологическая группа G обладает свойством транзитивного отношения нормальности, если L — L < N = N < G влечет L < G), который содержит класс jA9-rpynn. В [72], в частности, доказывается, что разрешимая jT5-rpynna G может содержать не более двух минимальных нормальных подгрупп; приводятся примеры jT^-rpynn с одной нетривиальной минимальной нормальной подгруппой М (в этом случае М - монолит, над которым группа G расщепляетсяи), с двумя минимальными нормальными подгруппами (в этом случае они будут циклическими одного и того же простого порядка) и вообше без минимальных нормальных подгрупп.
Чуть раньше, Д. Маккарти [66] устанавливает абелевость радикала Фиттинга F(G) ф Е неполу простой jF^-группы G, где F - конечность (см. также [77]); причем, F(G) содержит централизатор каждого своего нетривиального элемента и изоморфна Zn, где Z - аддитивная группа целых чисел. Таким образом, задача описания неполупростых jF3-rpynn Д. Маккарти сводит к описанию конечных Z-неразложимых представлений. Если G/A - абелева порядка п, то с G ассоциируется некоторый дробный идеал расширения R поля рациональных чисел Q с помощью примитивного корня из единицы вп степени п; причем, двуступенно разрешимые jF5-rpynnbi будут изоморфны тогда и только тогда, когда ассоциированные с ними дробные идеалы будут содержаться в одной орбите группы Галуа данного расширения R [67].
Из современных работ, написанных в рамках данного подхода, ука-жем [11], [13], [46], [65], [75], [76].
Другим направлением исследований в области теории групп является идея изучения различных классов обобщенно нильпотентных групп. Для конечной группы существование убывающего центрального ряда равносильно существованию возрастающего центрального ряда, а также нормализаторному условию и единственности силовской подгруппы по каждому простому делителю порядка группы [12, теорема Бернсайда-Виланда]. Эти условия равносильны тому, что каждый элемент группы является левоэнгелевым или нильэлементом [14, с. 543] или тому, что каждый элемент группы правоэнгелев [14, с. 541]. В классе бесконечных групп происходит расщепление всех этих понятий, изучению которых посвящено множество работ (см. обзоры А.Г. Куроша и С.Н. Черникова [15], А.Г. Куроша [14], Б.И. Плоткина [36] по дискретным и B.C. Чарина [61], Ю.Н. Мухина [22], [24] по топологическим обобщенно нильпотентным группам). Сформулируем лишь тео- ремы о строении локально-компактных групп двух важных классов -индуктивно пронильпотентных групп и групп, удовлетворяющих нор-мализаторному условию для замкнутых подгрупп, короче: iV-rpynn (топлогическая группа называется N-группой, если любая ее собственная замкнутая подгруппа будет отлична от своего нормализатора).
Следующая теорема была получена В.М. Глушковым [6] в классе индуктивно нильпотентных локально-компактных групп, а позже обобщена В.И. Ушаковым [48] и В.П. Платоновым [35] на класс индуктивно пронильпотентных групп.
Теорема А. В локально-компактной индуктивно пронилъпотент-пой группе G индуктивно компактный радикал I — 1(G) содероюит мноэюество ^(G) всех компактных элементов группы G, причем G/I - чистая индуктивно иильпотептная группа Ли; J = IGq -открытая нормальная подгруппа (Go - связная компонента единицы группы G), причем G/J - дискретная группа без кручения; Gq нильпотентпа и [Go, I] = Е; Iq = ІП Go - компактная центральная подгруппа в J, Gq/Iq - чистая связная группа Ли; J/Iq = I /Iq х Gq/Iq; I/Iq - раскладывается в ограниченное прямое произведение Y[ Sp : Н своих силовских р-подгрупп Sp с произвольно отмеченной в пей открытой компактной подгруппой Н (определение операции ограниченного прямого произведения групп мооїсно найти, например, в [54, п. 6.16] или /19, с. 53]).
Это утверждение имеет огромное значение при исследовании локально-компактных групп вообще ввиду того, что в любой локально-компактной группе G существует наибольшая индуктивно пронильпо-тентная нормальная подгруппа Р замкнутая в G [32].
Следующее утверждение впервые бало доказано В.И. Ушаковым [50] (см. также [35]).
Теорема В. В локально-компактной N-группе G индуктивно компактный радикал I = 1(G) совпадает с ^(G), причем G/I чиста; J — IGq - открытая нормальная подгруппа, причем G/J - дискретная N-группа без кручения; Go нильпотентиа, причем Ф(С?о) = Iq < Z(Gq) (Z(G) - центр группы G); J/Iq = I/Iq х Gq/Iq; і/іо - периодическая индуктивно пронильпотептпая группа (мы называем Н периодической, если Щ = Е и Ф(#) = Н).
Б.И. Плоткиным было установлено, что каждая iV3-rpynna будет индуктивно нильпотентной группой (см. [12, с. 164] или [14, с. 396]). Аналогичный результат для чистых локально-компактных iV-rpynn получил В.И. Ушаков [48]. В [32] доказывается следующее предложение, усиливающее оба этих результата (см. также [22, с. 57]):
Теорема С. Для N-группы Ли G следующие утвероісдения равносильны: G будет Nd -группа; все дискретные подгруппы в G будут Nd-группами; G будет индуктивно нильпотентной группой. Если в N-группе Ли G связная компонента Gq без кручения, то G будет индуктивно нильпотентной.
Совместное наложение на группу условий обобщенной нильпотентности и условий конечности позволяет достаточно полно описать ее строение (помимо упомянутых обзоров см. [63]). Топологическая группа называется Міп-группой,(соответственно Мах-группой) если в ней нет бесконечных убывающих (соответственно возрастающих) цепей замкнутых подгрупп). Так, В.М. Глушковым [5] установлено, что локально-компактные Mm-группы - это в точности расширениям связных компактных групп Ли посредством дискретных Мт-групп. То же верно, если заменить Min на Min — аЬ - условие минимальности для абелевых замкнутых подгрупп [33]. Индуктивно прораз-решимая локально-компактная Мт-группа специальна, то есть почти вида Тп х Сроо х ... X Ср (Т - одномерный тор, Сро - квазициклическая р-группа); в классе индуктивно разрешимых локально-компактных групп Min — ab равносильно Міщ в классе индуктивно пронильпотентных локально-компактных групп условие Min — п минимальности для нормальных замкнутых подгрупп равносильно Min [24, п. 4.4].
В.М. Глушковым [8] показано, что индуктивно разрешимые локально-компактные Мая-группы есть в точности расширения ком-патной гуппы Я, обладающей конечным субнормальным рядом с факторами изоморфными С„, либо Ър для некоторых натуральных п и простых р, посредством дискретной Marc-группы (Сп - циклическая группа порядка п, Ър - аддитивная группа кольца целых р-адических чисел). В этой же работе установлено, что в классе ниль-потентных локально-компактных групп условие Мах — п максимальности для нормальных замкнутых подгрупп равносильно Max. B.C. Чариным [59] установлено, что в классах периодических разрешимых локально-компактных групп и периодических индуктивно нильпотент-ных локально-компактных групп условие Мах — аЬ максимальности для абелевых замкнутых подгрупп равносильно Мах.
Обобщенно нильпотентные локально-компактные группы конечного ранга обстоятельно изучались в работах B.C. Чарина [55]- [57], где, помимо других важных результатов, даны критерии конечности ранга компактно покрываемой индуктивно нильпотентной и периодической индуктивно разрешимой локально-компактных групп. В [26] Ю.Н. Мухиным и Е.Н. Старухиной установлен критерий конечности ранга индуктивно пронильпотентной локально-компактной группы, сводящий задачу к р-группам. В [20] найден подход к изучению компактных групп конечного ранга, устанавливается строение прораз-решимой локально-компактной р-группы конечного ранга (теорема 5). В [23] устанавливается, что проразрешимая (радикальная) локально-компактная группа конечного ранга разрешима над (индуктивно) пронильпотентной.
Выделим класс гипериормальных топологических групп G (короче: NA-групп) - групп, в которых N\(G) = G для некоторого порядкового числа А, где Nq(G) = Е, Na(G)/Na-i(G) - норма фактор-группы G/Na-i(G), если 0 < а не предельное, и iVM(G) = \JQ
С различных сторон топологические ZAd-rpyunhi изучались в работах [60], [37], [38], [49].
Основной целью настоящей работы является изучение локально-компактных групп с ограничениями на фактор-группы, а именно - локально-компактных iVA-групп и некоторых классов локально-компактных j0-rpynn. Эта общая проблема естественным образом распадается на следующие пять задач:
I. Выяснить строение локалыю-компатных jA-rpynn.
II. Выяснить строение локалыю-компатных jT-rpynn.
III. Выяснить строение локально-компатных jF-rpynn.
IV. Установить основные свойства локально-компактных NA-групп. V. Выяснить строение локально-компактных iVA-групп с некото рыми условиями конечности.
Решению каждой задачи посвящен соответсвующий параграф настоящей работы.
В параграфе 1.1 перечислены следующие классы локально-компактных jA-rpynn, причем доказывается (теорема 1.1.1), что каждая разрешимая ненульмерная локально-компактная jA-группа принадлежит одному из них:
1) G = X А М, М - одномерное векторное пространство над полем Р - поле действительных чисел R, либо поле комплексных чисел С, существует такой непрерывный мономорфизм <7 локально-компактной группы X на мультипликативную подгруппу поля Р, что замыкание группы аддитивно порожденной множеством сг(Х) совпадает с Р, при этом действие X на М определяется равенством х(т) = а{х) т для любых х Є X, т Є М (X - символ топологического полупрямого произведения);
2) G = X AM, где М - группа характеров аддитивной группы дискретного поля Р нулевой характеристики, X дискретна и существует такой мономорфизм а группы X в мультипликативную подгруппу поля Р, что группа, аддитивно порожденная множеством сг(Х), совпадает с Р, при этом действие X на М определяется равенством х{х) = х((Т(ж)' 0) Для любых жбХ,хбМ,
В параграфе 1.2 перечисляются такие классы локально-компактных jT-групп, и доказывается (теорема 1.2.1), что каждая разрешимая проективно лиева локально-компактная jT-группа G принадлежит одному из них: G - дискретная разрешимая jT-rpynna; G - разрешимая ненульмерная jA-группа Ли; G = ((д)С) X М, где (а) М - одномерное векторное пространство над полем С, существует непрерывный мономорфизм а группы Ли С на плотную подгруппу связной компактной подгруппы мультипликативной группы поля С, действие каждого элемента с Є С на М определяется равенством с(т) = а (с) - т, существует такой то Є М, что действие элемента д порядка 2 на М определяется равенством g(z-mo) = z-rriQ для любого z Є С (z - элемент сопряженный к z); либо M - двумерное векторное пространство над полем Р - поле К, либо поле С, существует такой непрерывный мономорфизм <т группы Ли С на ненульмерную или непериодическую подгруппу мультипликативной группы поля Р, что замыкание группы аддитивно порожденной множеством сг(С) совпадает с Р, относительно некоторого базиса (ео, е\) пространства М действие элемента д порядка 4 определяется равенствами д(ео) = е\, д{е\) = —ео, действие каждого элемента с Є С на М определяется равенствами с(ео) = а(с) ео, с{е\) — с(с)-1 е\\ либо
М - к-мерпое векторное пространство над полем С, существует такой мономорфизм а дискретной группы С на периодическую подгруппу мультипликативной группы поля С, что замыкание группы аддитивно порожденной множеством сг(С) совпадает с С, дк Є С, относительно некоторого базиса (ео,... ,Єк-і) пространства М действие элемента д определяется равенствами д(еі) = еі+i при 0 < г < fc — 1 и g(ek-i) = сг(дк) ео, действие каждого элемента с из р-компоненты С на М определяется равенствами с(ег-) = а(с)ир ег- при 0 < і < к — 1, где натуральное число U2 = —1 и ир при р ф 2 несравнимо с единицей по mod р, зависит от р и находится из равенства с3 = cUp; либо
М - к-мерпое векторное пространство над полем С, существует такой мономорфизм о дискретной группы С на периодическую подгруппу мультипликативной группы поля С, что замыкание группы аддитивно порожденной множеством сг(С) совпадает с С, дк Є (д, С) \ С, д2к = е, относительно некоторого базиса (ео,..., е^_і) пространства М действие элемента д определяется равенствами g(ej) = Є{+\ при О <г< к — 1 и g(efc_i) = ео, действие каждого элемента с из р- компоненты С на М определяется равенствами с(єі) = а(с)ир Є{ при О < г < к — 1, где натуральное число U2 = —1 и ир при р ф 2 несравнимо с единицей по mod р, зависит от р и находится из равенства с? - cup.
В параграфе 1.3, посвященном изучению неполупростых локально-компактных jF-rpynn, устанавливается абелевость нетривиального радикала Фиттинга F{G) (замыкание подгруппы, порожденной всеми нормальными нильпотентными подгруппами группы G) в каждой такой группе G, причем F(G) ~ Zn, если G - дискретная, F(G) ~ Z, если G - нульмерная недискретная, и F(G) ~ Rn, если Gq ф Е. Таким образом, изучение неполупростых локально-компактных jF-групп сводится к описанию конечных Z-неразложимых, Zp-неразложимых и М-неразложимых представлений.
Доказывается, что примеры jF-групп: Ър и В А А, где А ~ Ър и В ~ Сп - группа, действующая на А точно - единственные, с точностью до изоморфизма, примеры недискретных локально-компактных нильпотентной и ненильпотентной сверхразрешимой jF-групп соот-светственно.
Особо выделим теорему 1.3.1 о точной бесконечности тихоновского сплетения локально-компактных групп (тихоновское сплетение А \ В активной группы В и пассивной группы А будет локально-компактной jF-группой тогда и только тогда, когда В конечна и А неабелева локально-компактная jF-группа), которая позволяет конструировать примеры jF-групп (дискретных, недискретных нульмерных и ненульмерных) с заданной ступенью разрешимости, поскольку ступень разрешимости АIВ равна сумме ступеней разрешимости А к В.
Не решая задачи классификации всех локально-компактных jF-групп, мы изучили строение метабелевых локально-компактных ]F-групп и ненульмерных разрешимых локально-компактных jF-групп, у которых G/F(G) - Т - группа; получены следующие результаты:
Теорема 1.3.3 . Недискретная нульмерная локально-компактная метабелева jF-группа G имеет вид (9)Л1, где I - дробный идеал поля Qp(e)) в - примитивный корень п-пой степени из единицы, действие которого на I определяется равенством 6{х) = в х для всех х /. Каоїсдая группа такого вида будет jF-группой, и любые две таких группы G\ и Gi будут изоморфны тогда и только тогда, когда индексы F(G\), F(G2) равны и 0{G\) = 0{G2), здесь 0{G) - орбита класса, в котором леэюит дробный идеал I, относительно действия группы Галу a G.
Теорема 1.3.4 . Разрешимая ненульмерная локально-компактная jF-группа G, у которой G/F(G) - Т-группа, имеет следующее строение: G = ((g) (с)) А А, где А - k-мерное векторное пространство над полем С, существует мономорфизм а конечной группы (с) на подгруппу мультипликативной группы поля С, относительно некоторого базиса (ео,..., е&_і) пространства А действие каждого элемента х из р-компоненты (с) на А определяется равенствами х(еі) = а(х)ир Єі при 0 < і < к — 1, где натуральное число и-і — — 1 и ир при р ф 2 несравнимо с единицей по mod р, зависит от р и находится из равенства х9 = xUp, и если с -порядка s, то s > 4, ^ 6; при gk Є (с), действие элемента g определяется равенствами д(е{) = ег-+і для 0 < г < к — \ и g{ek-i) = сг(дк) во; при дк Є (д, С) \ С, д2к = е, действие элемента g определяется равенствами g(ei) = е;+і для
О < і < к — 1 и g(ek-i) = ео.
Обратно, каждая группа такого вида будет ненульмерпой jF-группой.
В параграфе 2.1, посвященной изучению локально-компактных NA-групп, устанавливается следующий факт:
Теорема 2.1.1 . Если в локально-компактной группе G норма N = N{G) отлична от центра Z = Z{G), то (1) N раскладывается в ограниченное прямое произведение Y\NP : U своих силовских р-подгрупп Np с произвольно отмеченной в ней открытой компактной подгруппой U, причем если Np бесконечного периода, то Np = Zp; (2) A = G/Zg(N) - абелева и раскладывается в ограниченное прямое произведение П Ар : V своих силовских р-подгрупп Ар конечного периода с произвольно отмеченной в ней открытой компактной подгруппой V, причем порядок каоїсдого р-элемепта а Є а Є Ар конечен.
Доказав, что каждая локально-компактная iVA-группа является N-группой и используя теорему В, получили:
Теорема 2.1.2 . В локально-компактной NА-группе G индуктивно компактный радикал I совпадает с Ф((7), причем G/I чиста; J = IGq - открытая нормальная подгруппа, причем G/J -дискретная ZA-группа без кручения; Go нильпотентна, причем Ф(С?о) = h < Z(Go); J/Iq = I/Iq x Gq/Iq; I/Iq - периодическая индуктивно пронилъпотептная группа.
Некоторые базовые свойства NAd-rpyun не переносятся на локально-компактные ІУЛ-группьі. Приводятся примеры локально-компактных Л7"Л-групп, некоторые замкнутые подгруппы которых таковыми не являются (примеры 2.1.2 и 2.1.3), в то время как в NAd- группах каждая подгруппа обладает свойством NА. Если в NAd-группе любая нетривиальная нормальная подгруппа нетривиально пересекается с центром [12, с. 141], то в локально-компактных NA-группах этого может и не быть (см. пример 2.1.3). В связи с этим для нетривиальной замкнутой нормальной подгруппы L локально-компактной iVA-группы G устанавливается, что если L открыта или NU{G) = G, то LDZ1{G)^E.
А.И. Мальцевым [17] (см. также [14, с. 395]) было доказано, что каждая ZAd-rpynnQ, будет будет индуктивно нильпотентной. Существуют, однако, простые примеры лиевых iVA-групп не являющихся индуктивно нильпотентными (пример 2.1.3). Нами устанавливаются следующие утверждения об индуктивной (про)нильпотентности некоторых классов локально-компактных групп, аналогичные теореме С.
Следствие 2.1.2. Лиева индуктивно N-группа G индуктивно нильпотеитна.
Следствие 2.1.3. В локально-компактной индуктивно N-группе G индуктивная пронилъпотеитность равносильна индуктивной про-лиевости.
Следствие 2.1.4. В локально-компактной индуктивно N-группе G индуктивно пронильпотентный радикал P{G) содержит Gtf&{G), причем G/P(G) без кручения.
Ввиду того, что каждая локально-компактная iVA-группа будет N-группой, предыдущие следствия 2.1.2 — 2.1.4 останутся справедливыми, если в них свойство N заменить на NA.
В параграфе 2.2 исследуются вопросы о связи условий Mm, Мій — ab, Min — n (Max, Max — ab, Max — n) в классе локально- компактных iVA-групп, а также устанавливается строение локально-компактных iVA-групп конечного ранга (рангом топологической группы G называют максимум числа порождающих конечно порожденных подгрупп). Все разбросанные по параграфу результаты можно выразить в следующих трех формулировках:
Теорема 2.2.7. Для локально-компактной NA-группы G следующие утверждения равносильны: (1) G - Черниковская; (2) G -Min — ab-группа; (3) G - Min — п-группа; (4) некоторая максимальная абелева нормальная подгруппа А группы G будет Мгп-группой и каждый элемент в G/A конечного порядка; (5) некоторая максимальная абелева нормальная подгруппа А группы G с лиевой Gq будет удовлетворять условию минимальности для нормальных замкнутых подгрупп из G и каэюдый элемент в GJA конечного порядка.
Теорема 2.2.8. Локально-компактная NA-групп G будет Мах-группой в каждом из случаев: (1) G - периодическая Мах—аЪ-группа; (2) G - Мах — п-группа; (3) некоторая максимальная абелева нормальная подгруппа А группы G будет Мах-группой и каждый элемент в G/A конечного порядка; (4) некоторая открытая максимальная абелева нормальная подгруппа А группы G будет удовлетворять условию максимальности для нормальных замкнутых подгрупп из G и каждый элемент в G/A конечного порядка.
Теорема 2.2.9. Локально-компактная NА-группа G конечного ранга обладает конечным рядом замкнутых нормальных подгрупп: E
Равносильность условий (1) и (2) в теореме 2.2.7 аналогична теореме 5 в [58], установленному для индуктивно разрешимых локально-компактных групп; равносильность условий (1) и (3) теоремы 2.2.7 обобщает основной результат работы [60]; равносильность условий (1) и (5) теоремы 2.2.7 обобщает теорему 7 из [18], доказательство этой равносильности опирается на равносильность условий (1) и (4), которое, в свою очередь, опирается на справедливость следующего утверждения:
Теорема 2.2.3 . Если максимальная абелева нормальная подгруппа А локально-компактной N А-группы G будет Міп-группой или Мах-группой, то Gq = Aq и следующие утвероісдения равносильны: каоюдый элемент G/A имеет конечный порядок; Zn+i(G/A)/Zn(G/A) будет Міп-группой при любом натуральном п; каэюдый элемент из Z = {J^-i Zn(G/A) имеет конечный порядок; G/A конечна.
Из доказательства теоремы 4 в [59] следует нильпотентность периодической локально-компактной iVА-группы, удовлетворяющей условию Мах — ab, тогда, используя теорему 6 той-же работы [59], полу- чим Max — ab =Ф- Max в теореме 2.2.8; следствие Мах — п =Ф- Мах в теореме 2.2.8 является очевидным следствием равносильности условий Мах — пи Мах в классе индуктивно нильпотентных локально-компактных групп, установленной В.М. Глушковым [8]. Тот факт, что из условия (4) в теореме 2.2.8 следует условие Мах в классе локально-компактных ІУЛ-групп аналогичен следствию теоремы 1 из [2].
Основные результаты диссертации опубликованы в [28] - [30] и [40] -[44], а также неоднократно докладывались на семинаре отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН.
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Ю.Н. Мухину за постановку задач и пристальное внимание к работе. Низкий поклон моему первому Учителю математики - Шиловой Галине Дмитриевне (школа-лицей № 1 г. Шадрин-ска Курганской обл.).
Топологические точно не Т-группы
В параграфе L d lG означает субнормальность подгруппы L в группе G. Заметим, что: Проективно лиева локально-компактная JT-группа G - лиева. В компактной окрестности U\ G $s(G) найдем замкнутую нормальную подгруппу N\ группы G с лиевой G/N\. Для L = L G, L $ G будем иметь LN\/N\ G/N\; то есть для любого д Є G L9 С LN\. Но f) LN\ С f)xLU\ = L = L, где {U\}\ - система компактных окрестностей нейтрального элемента в G. Тогда L G, что противоречит выбору L. Значит, с некоторого момента все N\ = Е, и потому G - лиева. Приведем исчерпывающую серию примеров разрешимых локально-компактных проективно лиевых jT-rpynn. 1). G - дискретная разрешимая jT-rpynna; 2). G - разрешимая ненульмерная jA-группа Ли; 3).0={(д)С)АМ,що (a) М - одномерное векторное пространство над полем С, существует непрерывный мономорфизм и группы Ли С на плотную подгруппу связной компактной подгруппы мультипликативной группы поля С, действие элемента д порядка 2 на М определяется равенством д(т) = т - сопряжение, действие элемента с Є С на М определяется равенством с(т) = ст(с) т; либо (b) М - двумерное векторное пространство над полем Р - поле R, либо поле С, существует такой непрерывный мономорфизм о группы Ли С на ненульмерную или непериодическую подгруппу мультипликативной группы поля Р, что замыкание группы аддитивно порожденной множеством сг(С) совпадает с Р, относительно некоторого базиса (ео,еі) пространства М действие элемента д порядка 4 определяется равенствами д(ео) = е\, д{е\) = — ео, действие каждого элемента с Є С на М определяется равенствами с(ео) = т(с) ео, с{в\) = сг(с)-1 е\\ либо (c) М - -мерное векторное пространство над полем С, существует такой мономорфизм сг дискретной группы С на периодическую подгруппу мультипликативной группы поля С, что замыкание группы аддитивно порожденной множеством J(C) совпадает с С, дк Є С, относительно некоторого базиса (ео,..., ek-i) пространства М действие элемента д определяется равенствами д(е{) = ег+і при 0 і к — 1 и g{ek-i) = (9к) ео действие каждого элемента с из р-компоненты С на М определяется равенствами с(ег-) = a(c)up Є{ при 0 і к — 1, где натуральное число и = — 1 и ир при ф 2 несравнимо с единицей по mod р, зависит отри находится из равенства с9 = CUP; либо (d) М - А;-мерное векторное пространство над полем С, существует такой мономорфизм о дискретной группы
С на периодическую подгруппу мультипликативной группы поля С, что замыкание группы аддитивно порожденной множеством сг(С) совпадает с С, дк Є (д, С)\С, д2к = е, относительно некоторого базиса (ео,..., Єк-\) пространства М действие элемента д определяется равенствами д(еі) = e +i при О і к — 1 и д(еь-і) = ео, действие каждого элемента с из р-компоненты С на М определяется равенствами с(ег) = cr(c)up Є{ при О і к — 1, где натуральное число «2 = — 1 и ир при р ф 2 несравнимо с единицей по mod р, зависит от р и находится из равенства с9 = cV Эти группы будут jT-группами (для групп типов 1 и 2 это очевидно), поскольку (д)С будет Т-группой по теореме 2 из [25] в случаях За и 36, по следствию 6 из [25] в случаях Зс и 3d, и если Е N = N G и N Г) М = Е, то получим противоречие с существованием мономорфизма сг; если же Е N П М М, то необходимо NQ = Е, но тогда т(С) не сможет аддитивно порождать соответствующее поле. Лемма 1.2.1 . Разрешимая ненулъмериая проективно лиева локально-компактная jf -группа G обладает монолитом М Жк и расщепляется над ним, при этом G/M действует па М точно. Во первых покажем, что если пересечение М всех нетривиальных нормальных замкнутых подгрупп N\ группы G тривиально, то каждая замкнутая подгруппа из Go нормальна в G. Действительно, в этом случае GQN\/N\ - связная подгруппа Т-группы G/N\ для любого Л, и потому абелева [25, следствие 4 теоремы 2].
Тогда абелева группа Ли GQ имеет вид Rn х Т1. Если I О, то в Ф( Зо) можно найти простые нормальные подгруппы L, М взаимно простых порядков. Пусть Я = Я G, Я G и Hi = Я П (L х М), тогда Щ HiL/L LM/L М и Hi ЩМ/М LM/M L, откуда следует Hi = Е, а вслед за этим Н G. Значит, / = 0. Если предположить, что в G существует нетривиальная замкнутая нормальная подгруппа N П Go = Е, то каждая замкнутая подгруппа из Go нормальна в G. Если предположить, что в Go содержится нетривиальная замкнутая нульмерная нормальная в G подгруппа N, то N Zs, и потому для любых х Є Go и д Є G будем иметь х9 Є Пїіж N = я либ х Є Пїі "1 N = х-1 [21, лемма 1], то есть каждая замкнутая подгруппа из Go нормальна. Если же предположить, что таких подгрупп нет, то, ввиду М — Е, Go должна содержать две минимальных нормальных связных подгруппы Nif) N2 = Е, чего, явно, не может быть. Итак, в любом случае М = Е влечет нормальность каждой замкнутой подгруппы группы Go. Тогда для Н = Н О G иЯ С получим HnG0 = E (иначе Я/(ЯП G0) G/(HП G0), и потому Я G). Пусть Ni,N2 - такие замкнутые подгруппы группы Go, что Ni П N2 = Е. Тогда подгруппы HNi и HN2 будут замкнуты (ввиду открытости Go и Я П Go = Е) и нормальны в G, поэтому HNi П LN2 = Я G (если hini = /12 2, где /її, /і2 Є Я и пі Є Ni,ri2 Є iV2, то /її = /і2, и потому
Топологические точно бесконечные группы
Перечислим ряд простейших свойств локально-компактных jF-групп. 1. Если Go Ф Е, то Go содержится в каждой нетривиальной N = N ! G, при этом G лиева. 2. Для каждой нетривиальной N = N G выполняется N = Е, либо 3. G содержит наибольшую абелеву нормальную подгруппу, она замкнута и совпадает с F(G). 4. Пусть F(G) ф Е. Если G0 ф Е, то GQ = F(G) Еп; если G0 = Е и G недискретна, то F{G) Z"; если G дискретна, то F{G) Zn. Доказательство свойства 1 не представляет затруднений; справедливость свойства 2 следует из характеристичности Z(N) и N и такого хорошо известного факта: если конечен индекс Z{N) в N, то конечен и коммутант N (см., например, [69]); справедливость свойства 3 следует из 2. Справедливость свойства 4 докажем. Если Go ф Е, то Go F{G) и G лиева по свойству 1. Но F(G) абе-лева по свойству 3, тогда F(G) I" х F х Z! х F, где F конечная абелева группа. Из характеристичности связной компоненты F(G) и определения группы G следует / = 0. В силу характеристичности компактной части в F(G) получаем F(G) Rn, либо F(G) 1 х F. Но последнее невозможно, поскольку тор Т7 характеристичен в Tm х F и содержит собственную характеристическую подгруппу С. Если Go = Е и G не дискретна, то по критерию нульмерности (см. [54, теорема 7.7] или [19, с. 49]) F(G) содержит открытую компактную подгруппу К.
Так как G недискретна, то К ф Е. Семейство {K}geG компактных подгрупп конечно, и потому нормальная подгруппа (К9)дес компактна. Значит, G компактна и нульмерна. В F(G) не могут содержаться одновременно р-элементы и У-элементы, поэтому F(G) будет р-подгруппой группы G, где р - простое число. Очевидно, при этом F{G) не содержит элементов конечного порядка и G конечного ранга (последнее следует из конечности ранга и индекса подгруппы {x9)geG в G, где х Є F(G)). По следствию теоремы 6 из [56] подгруппа Если G дискретна, то F(G) Zn по теореме 1 из [66]. Пример 1.3.1 . В [66] показано, что Z и В А А, где А Z и В Сг - группа, действующая па А точно - единственные, с точностью до изоморфизма, примеры дискретных пильпотент-пой и ненильпотептпой сверхразрешимой jF-групп соотсветствеп-по (топологическая группа G называется сверхразрешимой, если она обладает конечным рядом нормальных замкнутых подгрупп Е = AQ А\ ... Ат — G с мопотетичиыми секциями). Нетрудно проверить, что группы Zp и В А А, где А Zp и В Сп -группа, действующая на А точно - примеры иедискретпых локально-компактных jF-групп. Покажем, что это единственные, с точностью до изоморфизма, недискретные локально-компактные нильпо-тептпая и иеиильпотентиая сверхразрешимая jF-групп соотсвет-ствеппо. Если G пильпотеитная локально-компактная jF -группа, то по свойству 2? группа G абелева, а по свойству 4 G Zp, либо G Ш. Последнее, очевидно, невозможно. Предполооюим теперь, что локально-компактная jF-группа G пенильпотентиа. По свойству 4 А\ — Zp. Обозначив ZQ{A\) = А, получим А\ F{G) А и А\ ZG(A); по свойству 23 группа А абелева и, поскольку А/А\ конечна, A = F{G) Zp. Далее, G/A вкладывается в AutA, но AutZp Cp-\xZp, еслир ф 2, и AutZi C2XZ2. В случае р ф 2 получим G/A Сп, где п делит р — 1. Тогда по обобщенной теореме Шура-Цассепхауза для нульмерных компактных групп (см. [33] или [19, с. 81]) G = В А А, где В точно действует па А.
Если р — 2, mo G/A Сг- Пусть д Є G\ А. При д2 ф е получим д Є ZQ{A) = А, что противорет выбору д. Значит, G = В А А, где В С2 действует па А точно. Из jF-групп, указанных в примере 1.3.1, с помощью операции тихоновского сплетения можно получать новые примеры jF-групп. Это вытекает из следующей теоремы, обобщающе теорему 2 из [66]. Теорема 1.3.1 . Пусть А и В нетривиальные локально-компактные группы. Тихоновское сплетение А \ В будет jF-группой тогда и только тогда, когда В конечна и А неабелева jF-группа. Доказательство утверждения почти дословно повторяет доказательство теоремы 2 в [66], тем не менее, приведем его ради полноты изложения. Определим диагональную подгруппу АА = {х Є AB\Vj3 Є В х{(5) = х(е)} и координатную подгруппу Аь = {х Є Ав\\/(3 Є В \ {Ь} х(Р) = е] группы Ав - декартова степень группы А, эти подгруппы, очевидно, замкнуты в Ав и топологически изоморфны А. Если Н А, то положим НА = НвПААиНь = НвП Аь. Если А I В - jF-группа и А, В ф Е, то, очевидно, В конечна и А бесконечна. Пусть К АВ, тогда, ввиду А ЛА, найдется такая N A, что К = NA и NB А\В. Тогда \АВ /NA\ \A\B/NB\, и потому АА-jF-группа, а вслед за этим и А - jF-группа. Далее, Z(A) Z(AA) — = (Z(A))A = Z(A I В) = e, тогда, ввиду 2, А - неабелева. Обратно, очевидно, А I В - бесконечна. Пусть Е N А\ В и М = N П Ав, тогда М А\В и М ф Е. Пусть Е ф х Є М; найдем такое Ь В, что #(&) = а ф е. Так как А ф Е, то, ввиду 2, найдется такое ао Є А, что [а, ао] е. Тогда для такого о Є Аь, что о = ао
Основные свойства топологических гипернормальных групп
В этом параграфе докажем теорему о строении нормы N(G) локально-компактной группы G в случае N(G) ф Z(G), где Z(G) центр группы, и установим ряд основных свойств локально-компактных NA-vpynn. Лемма 2.1.1 . Если в локалъио-компактпой группе G норма N = N(G) отлична от центра Z = Z{G), то N - периодическая; для любого g Є G\ ZG(N) подгруппа (g) периодическая, причем gm Є ZG(N) для некоторого натурального т, если g - р-элемент. Если g . G\ ZG{N), TO ИЗ теоремы 4 в [21] следует периодичность 7 и дт Є ZG(N). Покажем, что NQ = Е. Действительно, если существует х Є G \ ZG(NQ), то {х) периодическая. Но отображение а н- [а, х] группы No в (ж), в силу своей непрерывности, переводит iVo в (х)о = Е, что противоречит выбору элемента х. Значит, Щ Z. Но по теореме 4 из [21] ZQ = Е, поэтому N нульмерна. Допустим, что а Є N чистый. По теореме 4 из [21] а Є G\Z и найдется д Є G\ZG{O), причем можно считать, что др Є ZG(O) ДЛЯ некоторого простого р. Непрерывный гомоморфизм д -$ [д, о] [21, следствие 1 теоремы 3] переводит группу (д) в собственную подгруппу изоморфную Ср. В нее же непрерывный гомоморфизм а и- [д, о] переводит группу (а). Но тогда [ар, д] = е и центр неабелевой непериодической группы (а,д) непериодический, что противоречит теореме 4 из [21]. Значит, каждый элемент а Є N компактен и N - периодическая. Следующее утверждение, уточняющее теорему Р. Бэра [64] о нетривиальное центра группы, если нетривиальна ее норма, для дискретных групп была доказана В. Сучковым [45]. Следствие 2.1.1 . Если в локально-компактной группе G тривиальна 7г-компонента Zn центра Z = Z{G), то тривиальна и ТТ-компонента Nn нормы N = N(G). Нильпотентная по следствию 3 теоремы 3 из [21] периодическая группа N содержит единственную силовскую 7г-подгруппу Nn для каждого множества 7г простых чисел (теорема А). Используя характеристичность Nn и теорему 3 из [21], получим [G,Nn] С Zn, что нам и нужно. Лемма 2.1.2 . Если в локально-компактной группе G р-компонента Np нормы N = N(G) имеет бесконечный период, то любой р-элемент группы G содероісится в ZG{NP). Очевидно, iV - дедекиндова, тогда из строения гамильтоновой локально-компактной группы (см., например, [21, следствие 7]) вытекает абелевость Np, если Np бесконечного периода.
Пусть р-элемент д Є G \ ZG(NP), ПО лемме 2.1.1 можно считать, что др Є ZQ{NP). Тогда для некоторого а Є Np непрерывный гомоморфизм д н- - [д, а] переводит группу (д) в собственную подгруппу изоморфную Ср; в нее же непрерывный гомоморфизм а і-» [д, а] переводит группу Np, поэтому ядро Np последнего гомоморфизма будет бесконечного периода. По лемме 1 из [21] каждый элемент х Є Np возводит все элементы абелевой р-группы {Np,g} в одну и ту же степень vp(x), где vp{x) -р-адическая единица. Но так как х централизует Np - бесконечного периода, то vp{x) = 1 и [Np, д] — Е, что противоречит выбору элемента д. Теорема 2.1.1 . Если в локально-компактной группе G норма N = N(G) отлична от центра Z — Z{G), то (1) N раскладывается в ограниченное прямое произведение Y\NP : U своих силовских р-подгрупп Np с произвольно отмеченной в ней открытой компактной подгруппой U, причем если Np бесконечного периода, то Np — Zp; (2) A = G/ZQ{N) - абелева и раскладывается в ограниченное прямое произведение \[АР : V своих силовских р-подгрупп Ар конечного периода с произвольно отмеченной в ней открытой компактной подгруппой V, причем порядок каждого р-элемента а Є а Є Ар конечен. По лемме 2.1.1 норма N периодическая, а по следствию 3 теоремы 3 из [21] норма N нильпотентна, тогда разложимость N в ограниченное прямое произведение своих силовских р-подгрупп следует из теоремы о строении индуктивно пронильпотентных локально-компактных групп (теорема А). Пусть Np бесконечного периода. По теореме 4 из [21] каждый чистый элемент группы G содержится в ZG(N) С ZG(NP), а по лемме 2.1.2 все р-элементы группы G содержатся в ZG{NP). Ее ли д - р -элемент, то [Np,g] С Np П (g) = JE7, поэтому # Є ZG{NP). А так как локально-компактная группа порождается своими чистыми и примарными элементами (см. [31] или [19, с. 76]), то G С ZQ{NP) и iVp = Zp. Абелевость А вытекает из следствия 5 теоремы 3 из [21], тогда разложимость А в ограниченное прямое произведение ПА : своих силовских р-подгрупп Ар следует из леммы 2.1.1 и теоремы А. Конечность периода Av и конечность порядка каждого р-элемента о Є а Є Ар вытекают из конечности периода Np и следствия 1 теоремы 3 из [21]. Вопрос 2.1.1 . Будет ли фактор-группа N(G)/Z(G) мопотетич-пой, если N(G) абелева, и изоморфной ,\, если N(G) неабелева? Во введении отмечалось, что из результатов [21] следуют совпадения классов групп: NAd = ZAd и NA = ZA.
Следующий пример показывает, что локально-компактная iVA-группа может не быть NAd-группой. Пример 2.1.1 . В тихоновском произведении G = Т1п=з п г е Дгп = {а, Ъ), Ь2" = о? = е и Ьа = b l, очевидно, Z iG) = G. Однако, в компактной группе G Zu+i(Gd) = ZU}(Gd) ф G (см. [6, теорема 11.2] или [22, с. 37]). Более общо, некоторые базовые (простые, но весьма важные) свойства iVA -rpynn не переносятся на топологические iVA-группы, ввиду этого изучение последних представляет собой самостоятельный интерес. В дальнейшем, мы будем использовать очевидный факт: гипре-нормалыюсть топологической группы равносильна нетривиальное нормы в каждой нетривиальной фактор-группе.
Гипернормальные группы с условиями обрыва цепей подгрупп
В этом параграфе будет исследован вопрос о влиянии условий минимальности и максимальности для некоторых семейсвтв замкнутых подгрупп локально-компактной iVA-группы G на ее строение. Теорема 2.2.1 . Локально-компактная NА-группа G будет Мах— п-группой тогда и только тогда, когда G будет Мах-группой, то есть будет обладать центральным рядом Е = AQ А\ ... Ат = G, где АІ+І/АІ Срп при г к, АІ+\/АІ Ъщ при к г І, АІ+І/АІ Z при I г т, здесь pi - простое число. Локалыю-компатная ІУЛ-группа с условием Мах — п будет нильпо-тентной. В.М. Глушков [8] показал, что тогда G будет удовлетворять условию Мах и иметь требуемое строение. Обратное очевидно. Следующее утверждение является обобщением теоремы о равносильности условий Min — пи Min для локально-компактных ZAd-групп, доказанной B.C. Чариным [60]. Теорема 2.2.2 . Локально-компактная N А-группа G будет Min— п-группой тогда и только тогда, когда G будет Мгп-группой, то есть будет расширением группы вида ТкхСрГ X... х Сроо посредством конечной нильпотентпой группы. Достаточность утверждения очевидна.
Покажем его необходимость. Локально-комактная ІУЛ-группа G будет і/Л-группой. Пусть IGQ ф G, где / - индуктивно компактный радикал группы G, тогда центр фактор-группы G/{IGQ) содержит бесконечную убывающую цепь замкнутых подгрупп, которой в G соответствует бесконечная убывающая цепь замкнутых нормальных подгрупп - противоречие. Если /о ф Go, то, в силу леммы 2.1.3, центр G/IQ содержит бесконечную убывающую цепь замкнутых подгрупп из GQJIQ, которой в G соответствует бесконечная убывающая цепь замкнутых нормальных подгрупп - противоречие. Полученные противоречия влекут G = I. Пересечение А всех замкнутых нормальных подгрупп конечного индекса группы G, очевидно, имеет конечный индекс и не содержит собственных замкнутых нормальных подгрупп конечного индекса. Получим противоречие с последним фактом, предположив С = Z\(A) ф А. Покажем, что С - Mm-группа. Действительно, она содержит открытую пролиеву подгруппу Н (см. [7, теорема 9] или [19, с. 67]). Пусть L = L Н и H/L лиева, тогда и Н/ Поє ? L9 лиева ввиду конечности {L9}gec, & так как G - Min — п-группа, то лиева Н и, вслед за этим, С. Тогда CQ Т - с условием минимальности и С = С/Со -дискретная периодическая, равная прямому произведению конечного числа своих р-компонент (бесконечность числа р-компонент факторгруппы С, ввиду их характеристичности, будет противоречить уело-вию Min—n в G). Пусть Qp - группа характеров подгруппы Ц, периода р группы Ср. Бесконечность Qp влечет бесконечность Qp, тогда Qp содержит бесконечную возрастающую цепь конечных G-инвариантных подгрупп (группы автоморфизмов AutQp и AutQp топологически изоморфны [22, с. И]; существует гомоморфизм G на конечную подгруппу в AutQp), аннуляторы которых образуют бесконечную убывающую цепь G-инвариантных подгрупп вАр- противоречие, показывающеее конечность Qp и, вслед за этим, слойную конечность абелевой группы С. Дискретная периодическая абелева группа
С раскладывается в прямое произведение своих максимальной делимой и редуцированной подгрупп [14, с. 139]. Первая подгруппа, ввиду слойной конечности С, является прямым произведением конечного числа минимальных делимых подгрупп [14, с. 139]; вторая, ввиду слойной конечности С и второй теоремы Прюфера [14, с. 146] - в прямое произведение конечного числа циклических подгрупп, таким образом С, а вслед за этим и С [5, лемма 1], будет удовлетворяет условию Min. Точно так же доказывается, что и Z2(A)/Zi(A) удовлетворяет условию Min. Теперь остается почти дословно повторить окончание доказательства теоремы С.Н. Черникова о разрешимых дискрутных группах с условием Min [14, с. 370]. Пусть z (А) \ Z\{A) элемент конечного порядка (такой элемент можно найти, так как 2(А) - Мгп-группа по лемме 1 из [5]), тогда порядок элемента х = [z, za] делит порядок элемента z при любом а Є А. Но таких элементов х в Z\(A) лишь конечное число, то есть элемент z имеет в группе А лишь конечное число сопряженных. Отсюда следует, что нормализатор N = N элемента z в А, а значит ив(?, имеет конечный индекс. Тогда C\gQ № -собственная в А нормальная замкнутая подгруппа конечного индекса, что противоречит определению А и тем самым доказывает А = С -с условием Мгп, а вслед за этим G - Mm-группа.
Тогда оставшаяся часть утверждения следует из теоремы 3 в [5]. Пример 2.1.3 показывает, что если G - локально-компактная NA-группа с условием Min, то Go не обязана быть центральной в G (что выполняется в локально-компактных ZA -группах с условием Min). Вопрос 2.2.1 . Будет ли Min-группой локаль?ю-компактиая N-группа, удовлетворяющая условию Min — п? С.Н. Черниковым в работе [62] (см. также [18] и [2]) замечено, что наложение условий Min и Max на максимальную абелеву нормальную подгруппу ZAd-rpyunhi G отражается на строении самой группы G. Следующее утверждение обобщает часть следствия теоремы 1 из [2]. Лемма 2.2.1 . Пусть А - максимальная абелева нормальная подгруппа локально-компактной NА-группы G, удовлетворяющая условию максимальности для замкнутых нормальных подгрупп из G. Если А открыта или Z {G) = G, то G нильпотентна. По свойству 3 А Zn{G) для некоторого натурального п. Тогда нильпотентность G будет равносильна нильпотентности G/A. По свойству 4 G/Zc(A) = G/A, тогда нильпотентность G/A, следует из теоремы Калужнина о нильпотентности стабилизатора конечного ряда [12, с. 144].
