Содержание к диссертации
Введение
1 Свойства Я-малых групп 18
1. Предварительные сведения 19
2. Определение и свойства Я-малых групп 27
2 Малые и 5)-малые группы. Группы, малые относительно классов редуцированных и нередуцированных групп 33
3. Малые делимые группы 34
4. Малые, SD-малые и 9Т-малые группы 39
5. 9$-малые группы 42
3 Группы, малые относительно различных классов групп без кручения 48
6. Группы, малые относительно класса групп без кручения 49
7. Малые вполне разложимые группы 53
8. Прямые произведения групп, малые относительно классов узких групп 57
Литература 59
- Определение и свойства Я-малых групп
- Малые, SD-малые и 9Т-малые группы
- Группы, малые относительно класса групп без кручения
- Прямые произведения групп, малые относительно классов узких групп
Введение к работе
Актуальность темы. Абелевы группы составляют один из важнейших классов групп. Теория абелевых групп тесно переплетается с теориями модулей, колец, множеств, чисел. С одной стороны, теория абелевых групп, являясь частью теории модулей, использует ее идеи и методы, с другой стороны, она - один из основных источников новых исследований в теории модулей. Структурные результаты для важных классов периодических абелевых групп были получены Г. Прюфером, Г. Ульмом, Л.Я. Куликовым. В теории абелевых групп без кручения развиты структурные теории групп без кручения конечого ранга, вполне разложимых и почти вполне разложимых групп, векторных групп, групп Батлера. Для смешанных абелевых групп построена хорошая структурная теория групп с тотально проективными периодическими частями, осуществлено построение групп с заданой последовательностью Ульма, развита теория групп Уорфилда. Серьезное влияние на развитие теории абелевых групп оказали монографии Л. Фукса [18], [19] и И. Капланского [34]. В последнее время теория абелевых групп интенсивно
развивается.
При изучении алгебраических систем большую роль играют отображения этих систем, среди которых особое значение имеют гомоморфизмы.
Тот факт, что множество всех гомоморфизмов абелевой группы Л в абелеву группу В образует абелеву группу Нот(Д В), оказался исключительно важным. Алгебраическое строение группы Нот(Д В) известно только в некоторых частных случаях. Основные результаты здесь были получены Р. Пирсом, который нашел инварианты группы Иот(А, В) как алгебраически компактной группы в случае периодической группы Л ([37]).
В последнее время тематика, связанная с группой Нот(Д В) и вообще с гомоморфизмами абелевых групп, приобретает все большую актуальность. Изучению строения групп гомоморфизмов абелевых групп и исследованию их свойств посвящены работы Л. Фукса [29], [30], Л.И. Власовой [1], С.Я. Гриншпона [2], П.А. Крылова [4], A.M. Себельдина [15], [16], П. Гросса [32], [33], Ф. Шульца [39], А. Мадера [36], Р. Уорфилда [40], Л. Лиувена [35] и других алгебраистов. Важные результаты о группах гомоморфизмов и кольцах эндоморфизмов абелевых групп приведены в [5].
При исследовании групп гомоморфизмов большой интерес представляют гомоморфизмы в прямые суммы и прямые произведения
и гомоморфизмы из прямых сумм и прямых произведений. Изучаются различные классы групп, связанные с такими гомоморфизмами.
Д. Лось открыл замечательный класс групп без кручения - класс узких групп. Пусть Р обозначает прямое произведение счетного числа
бесконечных циклических групп, Р = YI {еп)і где о(еп) = оо. Группа без
71=1
кручения А называется узкой ([19], с. 189), если при любом гомоморфизме г] : Р —* А для почти всех п выполняется равенство rjen = 0. Оказывается, что класс узких групп достаточно широк и обладает рядом интересных свойств (см., например, [19], [28], [38] и [10]-[14]).
Пусть Я - произвольный класс групп. В [7] А.В. Иванов называет группу А группой Уорфилда относительно класса Я, если для любых групп Ві Є Я и для любого гомоморфизма (р : А —* ф Ві существуют натуральное число
п, конечное подмножество J множества / и существенная подгруппа Н С пА, для которых (рН С 0 В і.
В работе СЮ. Максимова [9] группа А называется CW-группой, если для любых групп Ві и для любого гомоморфизма ср : А —-> фД
существуют счетное подмножество J множества / и разложение группы A = Aj ф ^2, где А2 - счетная прямая сумма ограниченных групп, и для всякого ненулевого элемента а\ Є А\ существует такое целое число п, что ip(nai) G0SjH паї " 0.
В [18] (проблема 44) поставлена задача исследования абелевых
групп А, обладающих свойством: если А содержится в прямой сумме редуцированных групп, то существует такое натуральное число п, что пА содержится в прямой сумме конечного числа этих групп. Обобщая эту проблему в [б], А.В. Иванов вводит понятие Фукс-44 группы относительно произвольного класса групп Я и исследует введенные группы.
В [8] А.В. Иванов доказал, что факторгруппа прямого произведения неизмеримого множества произвольных групп по прямой сумме этих групп является Фукс-44 группой. Для измеримого множества групп это в общем случае уже не так.
В [31] дается обобщение узких групп и рассматривается их связь с Фукс-44 группами.
Д. Арнольд и К. Мерли в [21] рассматривают понятие самомалых
групп. Абелева группа А называется самомалой группой , если для
любых групп Аг = А и для любого гомоморфизма (р : А —> ф^4і
существует конечное подмножество J множества I такое, что срА С ф Ai.
1&J
Для самомалых модулей определение дается аналогично. Исследованию самомалых абелевых групп и самомалых модулей посвящено большое количество работ (см., например, [5], [20], [24]-[27]).
В [18] доказано, что существует естественный изоморфизм
Нот(Д Д В,-) = П Нот(А ві)-
ІЄІ ІЄІ
Если же взять группы гомоморфизмов Нот(А,($Ві) и фНот(Л, Ві),
ІЄІ ІЄІ
то в общем случае естественного изоморфизма нет. Возникает естественный вопрос: для каких абелевых групп А существует изоморфизм
Нот(Д 0 Ві) = 0 Нот(Д В,-)-
ІЄІ ІЄІ
Пусть Я - некоторый класс абелевых групп. Абеелву группу А назовем Я-лшлой (или малой относительно Л), если для любого гомоморфизма <р : А —> 0 где Ві Є Я для всякого г Є I, существует конечное
подмножество J множества / такое, что ірА С ф В{.
Очевидно, что абелева группа А является Л-малой тогда и только тогда, когда существует естественный изоморфизм
Нот(Д 0 Ві) = 0 Нот(Д В{),
ІЄІ ІЄІ
где В і Є Я для всякого і Е I.
Если класс Я совпадает с классом всех абелевых групп, то Л-малую группу А будем называть малой.
Заметим, что введенное определение малой группы согласуется с определением из [17] малого объекта в категории с копроизведениями.
Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение малых групп относительно различных классов групп Л.
Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие.
1. Исследованы свойства малых групп относительно произвольного
класса групп.
Описаны группы, малые относительно класса всех групп, класса всех делимых групп и класса всех нередуцированных групп.
Найдены условия, эквивалентные 91-малости произвольной группы, где 9Я - класс всех редуцированных групп.
Описаны 9^-малые периодические группы и 9^-малые группы без кручения.
Исследованы группы, малые относительно класса групп без кручения.
6. Описаны вполне разложимые группы, малые относительно
произвольного класса групп без кручения.
7. Исследованы прямые произведения групп, малые относительно класса
узких групп.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов для студентов старших курсов и аспирантов.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003), на VII Региональной молодежной конференции "Математика: ее содержание, методы и значение" (Томск, 2005), на XLIII
Международной научной конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2005), па Всероссийских симпозиумах по абелевым группам (Бийск, 2005, 2006), на XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" и на конференции молодых ученых ММФ МГУ (Москва, 2006), на пятой Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2006), на Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского (Самара, 2007), на Международной конференции "Алгебра и ее приложения", посвященной 75-летию В.П. Шункова (Красноярск, 2007), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, 2008), на Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 130-летию Томского государственного университета и 60-летию механико-математического факультета (Томск, 2008). Основные результаты неоднократно докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета (руководрітель - доктор физико-математических наук, профессор П.А. Крылов). По теме диссертации опубликовано 16 работ ([41]-[56]).
Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 66 страницы. Библиография содержит 56 наименований.
Содержание работы. В первой главе диссертации рассматриваются определение и свойства Я-малых групп. В первом параграфе этой главы приводятся основные известные определения и факты, используемые в дальнейшем при изучении малых групп, и доказывается несколько вспомогательных результатов. Во втором дается основное определение и исследуются общие свойства Я-малых групп.
Основным результатом второго параграфа является следующая теорема.
Теорема 2.3. Пусть Я - некоторый класс групп и A = (J) ^г, где
для каэ/сдой группы Сі существует группа В{ из класса Я такая, что Нот(С;, Ві) ф 0. Группа А является Я-малой тогда и только тогда, когда I - конечное множество и каждая группа Сі является Я-малой.
С помощью этой теоремы получается такой результат.
Теорема 2.4. Пусть Я - некоторый класс групп и А = ф Сі, где
каждая группа Сі - ненулевая группа из класса Я. Группа А является Я-малой тогда и только тогда, когда I - конечное мпоэюество и каждая группа Сі является Я-малой.
Вторая глава состоит из трех параграфов. В третьем параграфе исследуется малость делимых групп относительно произвольного класса групп Я и показывается, что при изучении Я-малых групп можно ограничиться редуцированными группами.
Основными результатам^ этого параграфа являются следующие теоремы.
Теорема 3.1. Группа А является Я-малой тогда и только тогда, когда ее делимая и редуцированная части являются Я-малыми группами.
Обозначим через D(&) класс групп, состоящий из делимых частей групп класса Я, а через Р(>(Д)) - множество всех таких простых чисел р, для которых в классе D(&) существует группа с ненулевой р-компонентой.
Теорема 3.6. Делимая группа А является Я-малой тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
если в классе D(&) есть хотя бы одна периодическая группа, то А - периодическая группа, у которой Ар = 0 для всякого р Є P(D(&));
если каждая группа класса D(&) является группой без кручения, то ранг без кручения группы А конечен.
В четвертом параграфе дается полное описание малых групп (то есть групп, малых относительно класса всех абелевых групп) и групп, малых относительно класса ) всех делимых групп и класса ОТ всех нередуцированных групп.
Теорема 4.2. Для группы А следующие условия эквивалентны:
А - S)-малая группа.
А - конечно порожденная группа.
А - малая группа.
4) A - Уі-малая группа.
Следующим шагом в работе является описание малых групп относительно класса Э всех редуцированных групп. В пятом параграфе сначала дается описание 3-малых групп с помощью эпиморфных образов.
Теорема 5.1. Для группы А следующие условия эквивалентны:
1) А - ^Я-малая группа;
если М есть эпиморфный образ группы А и М - прямая сумма циклических групп конечного порядка, то М - ограниченная группа;
если М есть эпиморфный образ группы А и М - периодическая группа, то М - прямая сумма делимой и ограниченной групп;
для любых групп Ві (і Є I) таких, что В} — 0, и любого гомоморфизма ір : А —> (J) 2 существует конечное подмножество J С I
такое, что (рА С фВг-.
Далее находятся критерии Sft-малости для конкретных классов групп. Получены следующие результаты.
Теорема 5.2. Пусть А - периодическая группа. Группа А является ^t-малой тогда и только тогда, когда А является прямой суммой делимой и ограниченной групп.
Теорема 5.3. Всякая ^t-малая группа без кручения является факторно делимой.
Теорема 5.4. Группа без кручения конечного ранга является Ш.-малой
тогда и только тогда, когда она - факторно делимая группа.
В третьей главе изучаются группы, малые относительно произвольного класса групп без кручения .
Назовем подгруппу А группы G факторно ограниченной, если факторгруппа G/A ограничена.
Основным результатом шестого параграфа является следующая теорема.
Теорема 6.2. Следующие условия для группы G эквивалентны:
1) G - 2,-малая группа.
2) Любая факторно ограниченная подгруппа группы G является
2,-малой группой.
Некоторая факторно ограниченная подгруппа группы G является 2,-малой группой.
Любая подгруппа конечного индекса группы G является Z-малой группой.
5) Некоторая подгруппа конечного индекса группы G является -малой
группой.
В седьмом параграфе получено полное описание -малых вполне разложимых групп, где - произвольный класс групп без кручения. Пусть А - вполне разложимая группа без кручения, то есть А = фА", где
r(Ai) = 1 (г Є I). Для любого і Є I обозначим j = {G Є | в G
существует ненулевой элемент д такой, что t(g) > (Д)}. Пусть ' = |J j.
Очевидно, что ' является подклассом класса .
Теорема 7.4. Вполне разложимая группа А = фЛг- является
2,-малой тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: для всякого бесконечного подмножества Г множества I не существует отображения а : Г —» f такого, что аг Є г- для любого г Є Г.
В восьмом параграфе рассматриваются прямые произведения групп, малые относительно классов узких групп. При рассмотрении прямых произведений вводится ограничение - неизмеримость множества компонент. Это ограничение зависит, по-видимому, лишь от аксиоматики теории множеств. Пока неизвестно, совместно или нет существование измеримых кардинальных чисел с аксиоматикой ZF теории множеств. В этом параграфе получены такие результаты ((3 - некоторый класс узких групп).
Теорема 8.2. Всякое прямое произведение групп без кручения конечного ранга с неизмеримым мнооюеством компонент является &-малой группой.
Следствие 8.3. Векторная группа, множество компонент ранга 1 которой неизмеримо, является (5-малой группой.
Теорема 8.4. Пусть 3 - класс всех счетных редуцированных групп без кручения, {Аі}ієі - некоторое семейство групп без кручения, где
множество I неизмеримо, и A = Y\ А{. Тогда имеют место следующие
утверждения:
Группа А является ^і-малой тогда и только тогда, когда каждая группа Аі (і Є I) является Ш\-малой.
Если каждая группа А{ (і Є I) имеет конечный ранг, то А -Щ-малая группа.
3) Если А - векторная группа, то А - ^і-малая группа.
Определение и свойства Я-малых групп
Полезной будет также лемма о факторно делимых группах конечного ранга из статьи [22]. Лемма 1.5. Если А - факторно делимая группа конечного ранга и В - произвольная подгруппа группы А такая, что факторгруппа А/В - периодическая группа, то А/В является прямой суммой делимой периодической и ограниченной групп.
А.А. Фомин и У. Виклесс перенесли понятие факторно делимой группы на смешанные группы ([27]). Пусть А - смешанная группа конечного ранга без кручения. Группа А называется факторно делимой, если существует свободная подгруппа F группы А такая, что факторгруппа A/F является делимой периодической группой.
Рассмотрим теперь произвольную группу без кручения конечного ранга. Строение факторгруппы такой группы ранга п по ее свободной подгруппе такого же ранга описывает следующая лемма.
Лемма 1.6. Пусть {щ}г=Тп максимальная независимая система элементов группы без кручения А ранга п и F = ф(а;). Тогда A/F периодическая группа и A/F @Тр, где Тр = Z(plp-X) 0...0 Z(p -n), Доказательство. Пусть a+F Є A/F. Так как {a;}2-=j - максимальная независимая система элементов группы без кручения А, то существуют целые числа ki,k2,...,kn и натуральное число к такие, что ка = к\а\ 4 ... 4 кпап. Тогда к(а 4 F) = F. Значит, A/F - периодическая группа, и ее можно представить в виде прямой суммы э-компонент Тр: AJF = ф Тр. Покажем, что ранг Тр не превосходит п. Пусть Ъ\ 4 і7", ., bs + F - независимая система элементов в группе Тр. Покажем, что система элементов &i,..., bs независима в группе А. Предположим противное. Пусть существуют такие целые числа A;i, -.., ks, не все равные нулю, что k\bi 4 ... 4 ksbs — 0. Можно считать, что {ki,...,ks) = 1. Имеем ki(bi 4- F) 4-... 4- ks(bs 4 F) = F и, значит, к\(Ь\ 4 F) — F,..., ks(bs 4 F) = F. Так как Tp - р-группа, то получаем, что к{:р для всякого г — 1, s. Это противоречит тому, что (&i,..., ks) = 1. Значит, система элементов b\:..., bs независима в группе А. Следовательно, ранг группы Тр не превосходит п. Пусть Вр - базисная подгруппа группы Тр. Так как г(Вр) г{Тр) п, то Вр - ограниченная группа. Учитывая, что Вр - сервантная подгруппа группы Тр, получаем ([18], с. 140) Тр = ВрВр. Вр = Тр/Вр, и поэтому Вр -делимая группа. Значит, группа Тр является прямой суммой циклических и квазициклических р-грунп. Следовательно, ее можно представить в виде Тр = Основными понятиями для групп без кручения являются понятия характеристики и типа. Характеристикой называется упорядоченная последовательность неотрицательных целых чисел и символов со. Пусть А - группа без кручения. Для элемента а Є А максимальное число к при данном простом числе р, для которого в группе А разрешимо уравнение ркх = а, называется р-высотой hp(a) элемента а; если такого числа не существует, то полагаем hp(a) = со. Последовательность р-высот где Pi,.. ,Рп,... - последовательность всех простых чисел, упорядоченных по возрастанию, называется характеристикой элемента а. Две характеристики (/,..., кп,...) и (l\,..., ln,...) считаются эквивалентными, если кп ф 1п имеет место лишь для конечного числа номеров п и только тогда, когда кп и 1п конечны. Класс эквивалентности в множестве характеристик называется типом. Если х(а) принадлежит типу t, то говорят, что элемент а имеет тип t, и пишут t(a) = t ([19], с. 129-131). Если х = - характеристики, то их произведение определяется как характеристика где, естественно, со плюс нечто есть со. Умножение характеристик согласованно с отношением эквивалентности, и можно говорить о произведении tti типов , t\. Частное xi Х2 двух характеристик хг Х2 определяется как наибольшая характеристика х- Для которой ХХ2 Xi-Легко видеть, что такая характеристика х существует и удовлетворяет следующему условию: неравенство x Xi Х\ эквивалентно неравенству х Х- Частное типов определяется аналогично ([19], с. 133). Группа без кручения А, в которой все ненулевые элементы имеют один и тот же тип t, называется однородной группой (типа t). Если однородная группа имеет тип t, то пишут t(A) = t. Понятно, что всякая группа без кручения ранга 1 является однородной ([19], с. 131).
Малые, SD-малые и 9Т-малые группы
Учитывая все вышедоказанное, получаем полное описание малой делимой группы относительно произвольного класса групп Я.
Пусть Я - произвольный класс групп. Обозначим через -О(Я) класс групп, состоящий из делимых частей групп класса Я. Теорема 3.6. Делимая группа А является Я-малой тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 1) если в классе О(Я) есть хотя бы одна периодическая группа, то А - периодическая группа, у которой Ар = О для всякого р Є Р(В(Я)); 2) если каждая группа класса -О(Л) является группой без кручения, то ранг без кручения группы А конечен. Теоремы 3.1и 3.6 показывают, что при изучении -малых групп можно ограничиться редуцированными группами. 4. Малые, 2)-малые и ОТ-малые группы Пусть 1) - класс всех делимых групп, 91 - класс всех нередуцированных групп. Из теоремы 3.5 следует такой результат. Предложение 4.1. Всякая ненулевая делимая группа не является 1)-малой группой. Следующая теорема дает полное описание -малых, 9Т-малых и малых групп. Теорема 4.2. Для группы А следующие условия эквивалентны: 1) А - ) -малая группа. 2) А - конечно порожденная группа. 3) А - малая группа. 4) А - У1-малая группа. Доказательство. 1) = 2). Пусть А - D-малая группа. Рассмотрим сначала случай, когда А является 2)-малой группой без кручения, и докажем, что она является конечно порожденной, то есть, что А имеет конечный ранг и является свободной группой. Пусть {ai}iej - максимальная независимая система элементов группы А и F — 0(). Рассмотрим делимую группу L — 0QZ-, где Qi — Q для ІЄІ ІЄІ всякого і Є I. Пусть гомоморфизм (р : F — L таков, что (аг) изоморфно вкладывается в Qi для всякого г I. Делимая группа инъективна, и поэтому гомоморфизм ср : F — L можно продолжить до гомоморфизма 6 : А — L. Так как А - S-малая группа, то I - конечное множество. Следовательно, группа А имеет конечный ранг. Рассмотрим факторгруппу A/F. По лемме 1.6 A/F = 0( ( 1) ф ... Є Z(p )), р где 0 ірд ... гР)П оо. Эпиморфный образ A/F -малой группы А по лемме 2.2 также является -малой группой. Используя теорему 2.4 и предложение 4.1, получаем, что A/F - конечная группа. Следовательно, существует такое натуральное число т, что тА С F. Значит, тА является свободной группой. Так как А = тА, то А - свободная группа. Рассмотрим теперь произвольную -малую группу А. Пусть Т(А) - ее периодическая часть. Факторгруппа А/Т(А) является -малой группой без кручения. Выше мы доказали, что -малая группа без кручения является свободной группой конечного ранга. Значит ([18], с. 91), А = Т{А) F, где F = А/Т{А) - свободная группа конечного ранга, и нам осталось показать, что Т(А) - конечная группа. Т(А) представима в виде прямой суммы р-компонент Тр: Т(А) = ()Тр. Для каждой -компоненты v Тр существует ее делимая оболочка Ср. Так как Нот(2],, Ср) 0, если Тр -ф 0, и Т(А) - -малая группа, то по теореме 2.3 она имеет конечное число ненулевых слагаемых Тр, причем эти слагаемые являются -малыми группами. Пусть Вр - базисная подгруппа группы Тр. Вр является прямой суммой циклических р-групп, а Тр/Вр - делимая периодическая группа, являющаяся -малой группой как эпиморфный образ -малой группы Тр. Из предложения 4.1 следует, что Тр/Вр = 0, то есть Тр = Вр = ф(аг), где в силу теоремы 2.3 множество / конечно. Получили, что Т(А) - конечная группа, а значит, А - конечно порожденная группа. п 2) = 3). Пусть А - конечно порожденная группа. Тогда А = ф( 2і) ([18], г=1 с. 96). Пусть Я- класс всех групп. Используя лемму 2.2 Ь) и следствие 2.7, получаем, что А является малой группой.
Группы, малые относительно класса групп без кручения
В третьей главе три параграфа. В шестом параграфе дано описание группы, малой относительно произвольного класса групп без кручения, на языке факторно ограниченных подгрупп и показано, что любая группа без кручения конечного ранга является -малой. В седьмом параграфе получено полное описание -малых вполне разложимых групп. В восьмом параграфе исследуются прямые произведения групп, малые относительно классов узких групп.
Группы, малые относительно класса групп без кручения Пусть - некоторый класс групп без кручения. Заметим, что всякая периодическая группа является -малой группой. Лемма 6.1. Смешанная группа А является -малой тогда и только тогда, когда А/Т(А) - -малая группа. Необходимость. Пусть А - -малая группа. По свойству -малых групп (лемма 2.2) А/Т(А) - -малая группа. Достаточность. Пусть А - смешанная группа, а С - группа без кручения. Тогда всякий гомоморфизм (р Є Нот(Д С) допускает представление в виде р = (/?і7г, где 7г : А — А/Т(А) - канонический эпиморфизм, а (р\ - следующий гомоморфизм из группы Hom(v4/T(j4), С): pi(a + Т(А)) = ра для всякого элемента а + Т(А) Є А/Т(А). Пусть теперь р - гомоморфизм смешанной группы А в группу ф В где ВІ є для всякого і Є I. Имеем ір — ірііт, где (pi e B.om(A/T(A), 0Bj). Так как A/T{A) - -малая группа, то существует конечное подмножество J множества / такое, что pi(A/T(A)) С ф В . Следовательно, срА С ф В ieJ ieJ и поэтому А - -малая группа. Назовем подгруппу А группы G факторно ограниченной, если факторгруппа G/A ограничена. Теорема 6.2. Следующие условия для группы G эквивалентны: 1) G - -малая группа. 2) Любая факторно . ограниченная подгруппа группы G является -малой группой. 3) Некоторая факторно ограниченная подгруппа группы G является -малой группой. 4) Любая подгруппа конечного индекса группы G является -малой группой. 5) Некоторая подгруппа конечного индекса группы G является -малой группой. Доказательство. 1) = 2). Пусть G - -малая группа и А -произвольная факторно ограниченная подгруппа группы G. Пусть ір -гомоморфизм группы А в группу ф Bj: где В{ Є для всякого і Є І. Для ІЄІ группы А найдется натуральное число т такое, что mG С А. Рассмотрим сужение (fi гомоморфизма (р на mG, то есть р\ = (p\mG- Эпиморфный образ mG группы G является -малой группой (лемма 2.2). Значит, существует конечное подмножество J С I такое, что ipi(mG) С 0 В{. Тогда т((рА) = ieJ р(тА) = pi(mA) С ф В{. ieJ Так как всякая группа Д,- (і Є 7) является группой без кручения, то У 4 С ф В{, и поэтому А - -малая группа. ieJ 2) = 3). Очевидно. 3) = 1). Пусть А - -малая факторно ограниченная подгруппа группы G и ср - гомоморфизм группы G в группу 0 В і, где В і Є для всякого ІЄІ і Є I. Пусть (fi = Lp\A. Так как А - -малая группа, то существует конечное подмножество J С I такое, что ip\A С ()-. Учитывая факторную ограниченность группы А, получаем, что существует натуральное число т такое, что mG с А. Тогда m((pG) = ip(mG) = (pi(mG) С ф ВІ. Значит, G С ф ВІ и, следовательно, G - -малая группа. ieJ 2) = 4). Так как любая подгруппа конечного индекса является факторно ограниченной подгруппой, то доказательство очевидно. 4) = 5). Очевидно. 5) =Ф- 3). Пусть А - -малая подгруппа конечного индекса, то есть G/A - конечная группа, и {mi,m2,... ,ms} - множество порядков элементов из G/A. Если п - наименьшее общее кратное чисел mi,ni2,.. ,ms, то n(G/A) = О, то есть G/A - ограниченная группа. Следовательно, А - -малая факторно ограниченная подгруппа группы G. П Теорема 6.3. Любая группа без кручения конечного ранга является -малой. Доказательство. Пусть {аг}г-=Гга максимальная независимая система элементов группы без кручения А ранга пи :Л—з-фіЗ - произвольный ІЄІ гомоморфизм, где ВІ Є (і Є І). Так как у?аг- = Іцл + - + bik (г = 1,п), то существует конечное подмножество J множества I такое, что (раї,..., (рап Є ф ВІ. Для любого элемента а Є А существуют натуральное ieJ число т и целые числа гаї,..., тп такие, что та = miai + + тпап. Имеем р(та) = ггкра — гп,і(раі + - - - + пгп(рап Є ф В Из того, что (pa ieJ - элемент бесконечного порядка, следует, что ра Є ф ВІ. Так как это iJ выполняется для любого а Є Л, то (рА С 05г-, и поэтому А - -малая ieJ группа.
Прямые произведения групп, малые относительно классов узких групп
Пусть в множестве I нет бесконечных подмножеств, то есть множество I конечно. Тогда группа Л = фД- является группой без кручения конечного ранга. Значит, по теореме 6.3 А является -малой группой. Пусть I - бесконечное множество и нет такого отображения а : Г —у , что для любого і Є Г выполнено а(і) Є . Предположим, что А - не -малая группа, то есть существует гомоморфизм у? : А = 0 Аі —+ 0 -By, iei jeJ где Bj є (j Є J), такой, что (0 А) 0 -В-/ для любого конечного подмножества J\ С J. Пусть для всякого j Є J TTJ - проекция прямой суммы 0 Bj на прямое слагаемое Bj. Для всякого і Є I обозначим через ірі ограничение гомоморфизма ip на прямое слагаемое А Для всякого і Є I обозначим через Ji следующее множество, Ji — {j Є J І 7Гjpi - 0}. Так как АІ -группа конечного ранга, то АІ - -малая группа (теорема 6.3). Поэтому для всякого і Є I Ji - конечное множество. Пусть Г и J - следующие подмножества множеств I и J соответственно: Так как группа А не является -малой, то J - бесконечное множество, но J = [J Ji: и так как все Ji - непустые конечные множества, то множество Г бесконечно. Понятно, что в этом случае существует отображение (3:1 - (J Jz такое, что (3(І) Є Ji- Обозначим для всякого г Є ІЄГ J индекс (3(і) через ji. Тогда имеем 7 ф 0, Wjtfi Є Hom(Ai1Bji). Пусть а Є А{, а ф 0. Тогда -к хрііа Є В и t j a) і(Д-). Значит, , Є Итак, существует отображение а : Г — , а именно а (г) = -В/?(г) = ? , для которого а(г) Є г ДЛЯ ВСЯКОГО г Є V. Противоречие. Следовательно, А - -малая группа. 8. Прямые произведения групп, малые относительно классов узких групп Пусть Є - некоторый класс узких групп. Теорема 8.1. Пусть {АІ}ІЄІ - некоторое семейство групп без кручения, где лтожество I неизмеримо. Группа YI ЛІ является &-малой ІЄІ тогда и только тогда, когда каждая группа ЛІ (І Є I) является &-малой. Необходимость. Пусть щ : fj А\ —» ЛІ - проекция. Тогда каждая ІЄІ группа ЛІ (і Є I) является -малой как эпиморфный образ -малой группы (лемма 2.2). Достаточность. Пусть (р - некоторый гомоморфизм из группы YI ЛІ ІЄІ в группу ф Bj, где Bj Є б (j Є J). По теореме 1.10 ф Bj является jeJ jeJ узкой группой. Так как по теореме 1.11 любой гомоморфизм р : YI ЛІ — ІЄІ ф Bj полностью определяется своим ограничением на подгруппу ф ЛІ и jeJ ІЄІ множество Ір = {і є І І ірАі Ф 0} конечно, то (П7 ) = У(Ф АІ) — ІЄІ іЄІср Y2 рАі. Так как каждая группа ЛІ (І Є І) является -малой, то для іЄІір каждого і Є Itp существует конечное подмножество Ji С J такое, что pAi С ф Bj. Следовательно, /?(П А) С ф Bj, где J = (J J;, то есть ЗЄІІ ІЄІ ЗЄІ ЇЄІу YI ЛІ — -малая группа. ІЄІ Теорема 8.2. Всякое прямое произведение групп без кручения конечного ранга с неизмеримым множеством компонент является &-малой группой. Доказательство. Пусть {Ai}iej - некоторое семейство групп без кручения конечного ранга, где множество І" неизмеримо. Применяя теорему 6.3, получаем, что каждая группа Д- (г Є 7") является -малой группой. По теореме 8.1 Y[ М является -малой группой. ІЄІ Следствие 8.3. Векторная группа, множество компонент ранга 1 которой неизмеримо, является &-малой группой. Теорема 8.4. Пусть 5 - класс всех счетных редуцированных групп без кручения, {Лі}іЄі - некоторое семейство групп без кручения, где лтооюество I неизмеримо, и A = Y\ М- Тогда имеют место следующие утверэюдения: 1) Группа А является Ш.\-малой тогда и только тогда, когда каждая группа А{ (г Є I) является Ші-малой. 2) Если каждая группа Аі (? Є I) имеет конечный ранг, то А -Ш-1-малая группа. 3) Если А - векторная группа, то А - Ш.\-малая группа.
