Содержание к диссертации
Введение
1. Предварительные сведения
1.1 Общие понятия 11
1.2 Примитивные элементы и примитивная ширина группы 16
1.3 Упорядочиваемые группы 20
2. Примитивная ширина относительно свободных групп
2.1 Вспомогательные результаты 26
2.2 Оценки примитивной ширины групп из многообразий 9tc2l 34
2.2 Оценки примитивной ширины групп из многообразий Шк 38
3. Доупорядочнваемость групп без Г-кручения из многообразия 9?с21 П 21^ПА-
3.1 Нильпотентность по Мальцеву мультипликативной полугруппы кольца эндоморфизмов End(G, Л) 44
3.2 Основной результат. 49
4. Пример неупорядочпваемой группы без Г-крученпя с двуступеино ннльпотентным комму тантом 51
Заключение 6l
- Примитивные элементы и примитивная ширина группы
- Оценки примитивной ширины групп из многообразий 9tc2l
- Нильпотентность по Мальцеву мультипликативной полугруппы кольца эндоморфизмов End(G, Л)
- Пример неупорядочпваемой группы без Г-крученпя с двуступеино ннльпотентным комму тантом
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию свойств групп с пиль-потентным коммутантом и групп, являющихся расширениями абелевых групп с помощью нилыютснтиых. При этом рассматриваются вопросы оценки примитивной ширины свободных групп многообразии 9ТС21, с Є N, и 2Фїь к Є N, и вопросы упорядочиваемости и доупорядочиваемости групп с ниль-потентпым коммутантом.
Понятие примитивной ширины свободной в некотором многообразии группы было введено В.А. Романьковым в связи с проблемой автоморфпой сопряженности элементов группы. Эта проблема связана с более широкой проблемой строения групп автоморфизмов относительно свободных групп, исследование которой нашло отражение и работах С. Андреадакиса, С, Ба-хмута, P.M. Брайента, К. Гупты, Н. Гупты, О.Н. Мацедонской, Ф. Левина, В.А. Романькова, В. Шпильрайна и др. (см. [22, 24, 25, 27, 30, 37, 38]). Ученицей В.А. Романькова Е.Г. Смирновой были получены оценки примитивной ширины свободных абелевых п метабелевых групп (см. [36]).
В диссертации по оценке примитивной ширины были получены следующие результаты. Примитивная ширина свободных нилыютснтиых нециклических груші равна 2 (следствие 2.2), примитивная ширина свободных групп ранга п > 2 многообразии 9]с21, с Є N, не превышает четырех, а примитивная ширина свободных двухпорожденных групп таких многообразии равна трем (следствие 2.3). Примитивная ширина свободных групп ранга п>2 многообразии SlOTjt, к Є N, ограничена сверху числом 2и, примитивная ширина свободных групп ранга п > 2 многообразия 219І2 ограничена сверху числом п + 1 (теорема 2.4). Также получены оценки примитивной ширины свободных по-лшшльпотентных групп многообразий 91ДЦ, с,к Є N (следствие 2.4).
Другой аспект рассматриваемых вопросов — это вопросы угюрядочиваемости групп. Теория упорядочиваемых групп берет свое начало с характеристики архимедово упорядочиваемых групп, полученной Гельдером в начале двадцатого столетия. Дальнейшие результаты уже датируются концом сороко-' вых годов прошлого века, когда К. Ивасава и А.II. Мальцев независимо друг от друга получили описание структуры упорядоченных групп в терминах выпуклых подгрупп. В тоже время А.II. Мальцев и Б. Нейман доказали, что упорядоченные группы вкладываются в упорядоченные поля частных. С тех пор теория упорядочиваемых групп привлекает к себе большое внимание и развивается быстрыми темпами. Особый вклад в развитие теории линейно упорядоченных групп внесли А.II. Кокорин, Д.М. Смирнов, В.М. Копытов, В.В. Блудов, Н.Я. Медведев, А. Гласе, А. Ремтулла и другие.
Одной из основных задач теории упорядочиваемых групп является изучение взаимосвязи между свойствами упорядочива- смостн и теоретико-групповыми условиями, такими как нильпотентность, разрешимость, конечность ранга и т. д. В этом направлении были получены результаты об упорядочиваемое пилыютентных, метабелевых, централыю-метабелевых и других классов групп (см. [8, 35]). Одним из важных направлении в исследованиях по теории упорядочиваемых групп является изучение роли нильпотентности и се обобщений (центральные системы выпуклых подгрупп, энгелевость и др.). С.А. Гурченко в (см. [4]) доказал теорему о вложении линейно упорядоченных групп в линейно упорядочение группы с полной нормальной локально нильпотентной подгруппой. II.К. Ким и А.Х. Рем-тулла (см. (32]), основываясь на работе Н.Я. Медведева (см. [19]), доказали нильпотентность ограниченно энгелевых линейно упорядоченных групп. Отмстим также работы В.М. Копы-това и Н.Я. Медведева (см. [9]), В.В. Блудова, A.M.У. Гласса и А.Х. Ремтуллы (см. [2G]), и которых изучались линейно упорядоченные группы с центральной системой выпуклых подгрупп.
В диссертации исследуется вопрос об упорядочиваемости и доупорядочиваемости групп без Г-кручения из многообразий 9ТС21Л2^П*, сД Є N. Известно, что если некоторое многообразие ЇЇЯ раскладывается в произведение двух нетривиальных многообразий: 9Л = 9Jti 9 и при этом многообразие 9)ti содержит некоммутативные группы, то нециклические свободные группы многообразия Ш недоупорядочиваемы (В.Н. Ремесленников, см. теорему 1.22). Тем самым нециклические свободные группы многообразий 9^21, с > 1, недоупорядочиваемы. Будут ли доупорядочиваемы свободные группы многообра- зпй 219^., к > 1, пока неизвестно. Отметим, что до настоящего времени было известно только два примера многообразии, чьи свободные группы доупорядочиваемы, - это многообразия нильпотентных групп любой заданной ступени нильпотентности (А.И. Мальцев, см. теорему 1.17) и многообразие мстабе-левых групп (В.М, Кокорин, см. теорему 1.18). Поскольку пересечение многообразии ШЯк- и 9ТС21 содержит как многообразие метабслевых, и так и нильпотентных групп, то естественно возникли вопросы об упорядочиваемости и доупорядочива-емостн групп без Г-кручения из этого многообразия. Этот вопрос решен в диссертации положительно: доказана доупорядо-чиваемость групп без Г-кручения из многообразий О^ДПЗШЪ, с, к GN {теорема 3.2).
Отсутствие в группе Г-кручения является необходимым, а для некоторых классов групп (метабелевые, централыю-метабе-лсвые группы, (локально) нильпотентные группы) и достаточным условием упорядочиваемости группы. То, что это условие недостаточно в общем случае, показали примеры, построенные В.В. Блудовым и А. Ремтуллой (см. параграф 1.3). Вопрос о достаточности отсутствия Г-кручения для упорядочиваемости групи с нильпотентным коммутантом (групп из многооразий 9ТсД, с Є N) до сих нор оставался открытым. Многообразие централыю-метабелевых групп, для которых рассматриваемое условие является критерием упорядочиваемости, включается в каждое из многообразий 9ТС21, с > 2, при этом ни одного примера неупорядочиваемой группы из этих многообразий без Г-кручения известно не было. В 1977 году А. Ремтулла доказал, что всякая группа конечного ранга с нильпотентным комму- тантом без Г-кручения упорядочипаема (см. теорему 1.23). В диссертации показано, что для бесконечного ранга это неверно: построен пример неуиорядочиваемой группы с двуступенно нилыютентным коммутантом без Г-кручспия.
Обе темы исследовании — примитивная ширина относительно свободных групп и вопросы упорядочиваемости групп — связаны единым объектом исследований, в основном, это группы с нилыютентным коммутантом, а также единой методикой исследований, вычислением коммутаторных соотношении.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых па 9 параграфов, заключения и списка литературы.
Во введении дается обоснование актуальности темы исследований.
Первая глава посвящена пояснению терминологии и основных обозначении, принятых в работе. Также в ней делается обзор тех известных результатов, которые использованы в работе.
Во второй главе исследуется примитивная ширина относительно свободных групп из многообразий 9tc2l, с Є N, и 219U, к Е N. Первый параграф носит вспомогательный характер. Теорема 2.1 представляет собой обобщение теоремы Фраттини (теорема 1.2) для пильпотентных групп. В утверждении 2.1 показано, что ІЛ - эндоморфизмы действуют тождественно на факторах нижнего центрального ряда группы. В теореме 2.2 получено определенное представление для элементов из взаимного коммутанта [>i,G] в группе G с нормальної'! абелевой подгруппой А. В утверждении 2.2 доказано, что подобное представление паіідстся для любого элемента подгруппы А в случае, когда фактор-группа G/A нилыютентна.
Второй параграф посвящен оценке примитивной ширины группе нилыютентным коммутантом. Рассматриваются свободные группы одинаковых рангов из многообразии 9Tcit, с Є N, и 2Ш, где it — некоторое многообразие. В лемме 2.2 установлена определенная связь между примитивными элементами этих групп, а в теореме 2.3 показано, что такие группы имеют одинаковую примитивную ширину. В следствиях 2.2 и 2.3 получены оценки примитивной ширины свободных нилыютентных групп и свободных групп многообразии 01c2t, с Є N.
В теореме 2.4 третьего параграфа оценена примитивная ширина свободных конечнонорожденных групп многообразий 2191*, А: Є N. В следствии 2.4 получены оценки для примитивной ширины свободных конечнонорожденных групп многообразий
9ЇДЦ., с,кєК
Третья глава посвящена вопросу доупорядочиваемости групп из многообразия 01с2(П2Шй-, с, к Є N. Пусть G — группа с ниль-потентным ступени с коммутантом G', и А — ее нормальная абс-лева подгруппа такая, что фактор-группа G/A — нилыютентна ступени А:. В первом параграфе доказана нильпотентность по Мальцеву мультипликативной полугруппы кольца эндоморфизмов подгруппы Л, порожденного внутренними эндоморфизмами группы G (теорема 3.1). Как следствие из нее, доказывается теорема 3.2 о доупорядочиваемости групп без Г-кручения из многообразий 91С21ПШУ1*, с, к Є N.
В четвертой главе строится приме]) неупорядочиваемой группы с нильпотептным коммутантом без Г-кручспия.
По результатам, изложенным її диссертации, опубликовано G научных работ [2, 3, 12, 13, 14, 15], отражающих основное содержание диссертации. Результаты диссертации были представлены на Международной конференции по теории групп (Екатеринбург, 2001), Международной конференции "Алгебра и ее приложения"(Красноярск, 2002), Международной конференции "Алгебра, логика и кибернетика"(Иркутск, 2004), II Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе (Иркутск, 2003), а также неоднократно докладывались на семинарах Иркутского государственного университета и Иркутского государственного педагогического университета.
Автор благодарен Российскому фонду фундаментальных исследований за финансовую поддержку научных исследований по теме диссертации (грант Л*2 03-01-00320) и своему научному руководителю профессору В.В. Блудову за постановку вопросов и внимание к работе.
Примитивные элементы и примитивная ширина группы
Основные определения, связанные с понятиями свободной группы, базиса, примитивного элемента, можно найти в книгах [1С, 20]. Пусть _Y — подмножество некотороії группы F. Тогда F называется свободной группой (класса X) с базой Л", если выполняется следующее условие: для любой группы Н (класса X) и любого отображения ф : Л" ь- Н существует единственное продолжение р до гомоморфизма ф : F ь- В общем случае класс X может не иметь свободных групп, или же они будут существовать только для некоторых рангов. Однако, в многообразиях существуют свободные группы всех рангов, конечных и бесконечных (см. [о, 11]). Группа, свободная в некотором многообразии, называется относительно свобод-ной группой (свободной группой многообразия). Во избежание смешения терминов, группы, свободные в классе всех групп, будем называть абсолютно свободными группами. Преобразования подмножества U = {иьг 2,...} группы G следующих типов: (ТІ) заменить некоторый элемент іц элементом ujl; {Т2) заменить некоторый элемент и І элементом "; ,/, где і ф j; (ТЗ) вычеркнуть некоторый элемент и,-, если и І = 1 (во всех случаях имеется ввиду, что элементы н/t при /( ф і остаются неизменными) называются элементарными иилъсаювекшш преобразованиями; произведение таких преобразований пазьшется просто ниль-сеиовским преобразованием, регулярным в том случае, когда отсутствуют сомножители типа (ТЗ), и сингулярным и противном случае. Образ базиса абсолютно свободной группы при регулярном нильсеновском преобразовании снова является базисом группы (см. [16]). Поскольку свободная группа конкретного многообразия является фактор-группой абсолютно свободной группы по вербальной подгруппе (см. [5, 11]), которая устойчива относительно всех эндоморфизмов абсолютно свободной группы, то всякий автоморфизм абсолютно свободной группы индуцирует автоморфизм относительно свободной группы. Следовательно, нильсеновские преобразования базиса, определяющие автоморфизм абсолютно свободной группы, индуцируют автоморфизм относительно свободной группы (см. [1С, 20]). Приведем определение примитивной ширины свободной в некотором многообразии группы. Это понятие было введено В.А. Романьковым. Его ученицей Е.Г. Смирновой были получены оценки примитивной ширины свободных метабелевых групп (см. [36]).
Определение 1.2 Элемент д из (относительно) свободной группы Н называется примитивным, если его MODICUO включить в некоторую базу отой группы. Определение 1.3 (см. [3G].) Примитивной шириной \g\yr элемента g из (относитслыю) свободной группы G называется наименьшее число т такое, что g мозіспо представить в виде произведения т примитивных элементов. Примитивная ширина \G\})r группы G есть число supgG(y\g\f}f.. Ниже приведены известные оценки примитивной ширины относительно свободных групп: Теорема 1.3 (Смирнова [36].) Примитивная ширина свободной абелевой группы А ранга и, п 2 равна 2. Теорема 1.4 (Смирнова [ЗС].) Примитивная ширина свободной метабелсоой группы М ранга 2 равна трем. Теорема 1.5 (Смирнова [ЗС].) Произвольный элемент свободной метабелсвой группы М ранга п, п 3 мооїсст быть представлен как произведение не более четырех примитивных элементов. Теорема 1.6 (см. [3G].) Произвольный элемент относительно свободной группы бесконечного ранга представим в виде произведения не более двух примитивных элементов. Теорема 1.7 (см, [36].) Примитивная ширина бесконечной циклической группы бесконечна. Так как автоморфизм переводит базис относительно свободной группы в некоторый се другой базис, то автоморфный образ примитивного элемента снова будет примитивным элементом группы, тем самым вопросы, касющиеся оценки примитивной ширины групп, оказываются тесно связанными с вопросами изучения автморфизмов относительно свободных групп, в частности, с вопросом индуцирования автоморфизмов факторгруппы автоморфизмами группы (см. [22, 24, 25, 27, 30, 37, 38]}. Теорема 1.8 (см. [24, 25]) Пусть F — свободная группа ко-печного ранга п и пусть V — характеристическая подгруппа группы F такая, что F/V — нилъпотентна ступени не выше с. Если п — 1 или с 2, то каждый автоморфизм F/V поднимается до автоморфизма группы F. Таким образом, если G — свободная группа многообразия 2191 , к — 2, А — ее нормальная абелева подгруппа такая, что фактор-группа G/A — пильпотентна, ступени не выше 2, и р примитивный элемент в G/Л, то всякиіі его прообраз;; в группе G при каноническом гомоморфизме G на G/A примитивен в G. Этот факт будет использован при оценке примитивной ширины групп из многообразия 219 (теорема 2.4). Множество G называется частично упорядоченной группой, если оно является группой относительно операции умножения, частично упорядоченным множеством относительно частичного порядка, и частичный порядок сохраняется при умножении справа и слева на элементы G, т. с. если а Ь, то ас be и са cb для всех а, Ь, с Є G.
Если частичный порядок в частично упорядоченной группе линейный, то группа называется лгшейно упорядоченной. Группа, которую можно сделать линейно упорядоченной, называется упорядочиваемой. Модулем \а\ элемента а называется тах{а,а 1}. Элемент а называется бсско}(счно малым по сравнению с Ь — символически а Ь, — если \а\п & справедливо дли любых целых ЇЇ. Если не выполнено ни а С Ьу ни Ь С а, то а и Ь называются архимедовски эквивалентными. Элемент g группы G называется V-периодическим (или G-периодическим), если найдется набор элементов /ii,...,/j„ G такой, что У і+ "+ )" = 1. Если в группе G нет нетривиальных Г-периодических элементов, то говорят, что G есть гриппа без Г-кручения. Необходимое условие упорядочиваемости любой группы отражено в: Теорема 1.9 ([8], Следствие 2, гл. І, 2) Упорядочиваемая группа G есть группа без V-кручения и, значит, без кручения. Вопрос о совпадении класса упорядочиваемых групп и класса групп без Г-кручения был решен отрицательно В.В. Блу-довым, построившим пример псупорядочиваемого расширения абелевой группы посредством прямого произведения двух свободных групп ранга 2 (см. [1]). Другой пример — пеупорядочи-ваемая группа без Г-кручения с метабелевой подгруппой иидск-. са 2 — представили Б. Мура и А. Ремтулла ( см. [31, 35, 34]). Ниже мы приводим некоторые полезные нам результаты, касающиеся свойств замкнутости класса упорядочиваемых групп. Теорема 1.10 ([8], Предложение 2, гл. I, 2) Полное прямое произведение упорядочиваемых групп упорядочиваемо. Теорема 1.11 ([8], Предложение 4, гл. I, 2) Сплетение упорядочиваемых групп упорядочиваемо. Подгруппа Н группы G называется изолированной в G, если из ап Є Н следует «Я, Изолятором подгруппы Н называется минимальная изолированная подгруппа 1(H) группы G, содержащая Н. Фактор-группа упорядочиваемой группы необязательно упорядочиваема, более того, не обязательно будет группой без кручения. Но фактор-группа упорядочиваемой группы по изолированной подгруппе является группой без кручения. Теорема 1.12 ([8], Предложение 8, гл. II, 2) Изолятор пор-мольной абслсвой подгруппы о группе без Г-кручсшія есть нормальная абелсоа группа. В линейно упорядоченной группе для любых элементов а и Ь справедливо соотношение j[a,6] . тах{\а\7\Ь\} (Чехата, [28].). В упорядочиваемых нильпотентных группах справедливо более сильное утверждение: Теорема 1.13 ( [8], Предложение G, гл. II, 2) В линейно упорядоченной пилъпотептпой группе для любых се элементов справедливо соопиюшенис [а,6] С г.
Оценки примитивной ширины групп из многообразий 9tc2l
Нам потребуется утверждение, перед формулировкой которого сделаем некоторые предварительные замечания. Пусть ІІ — произвольное многообразие групп, Fn и G „ — свободные группы ранга п многообразии 97Д1, с Є N, и 2Ш со- ответственно. По определению произведения многообразиіі, существуют нормальные подгруппы N Fn и Л Gn такие, что N — свободная нилыютентная группа ступени не выше с, А — свободная абелева группа и Fn/N = Gn(A — свободная группа многообразия it. Кроме того, ранги подгрупп N и А совпадают (см. [20], Следствие 21), откуда N/N = А и, следовательно, существует гомоморфизм (р группы Fu на группу Gn с ядром ker = N . Следующая лемма устанавливает связь примитивных элементов групп Fn и Gn относительно указанного выше канонического гомоморфизма ip : Fn Н Gn. Лемма 2.2 Ест р9 — примитивный элемент группы Gn, то всякий его прообраз р — примитивный элемент группы Fn. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р9 = rf, /#,... Рп базис группы Gn и / i, р2,.. - іРп — произвольные прообразы элементов pf, р2,... ,р9 в группе Fn. По теореме 1.1 элементы рітрї,.. ,рп порождают группу Fu. Пусть х\,... ,„ — базис группы Fn. Отображение ф : ХІ \Ч- pi, г = 1,...,;г продолжается до эндоморфизма группы Fn на себя. Положим Л — кегф и покажем, что Поскольку ip — канонический гомоморфизм группы Fn на свою фактор-группу G„, то х ,х%,... ,х9 — другой базис группы Gn, и тогда существует автоморфизм группы Gn, переводящий pf в xf, і = 1,...,/1. Подействовав этим автоморфизмом на равенство (1G), получаем W{xf,... ,х%) = \\/Ір(хі,... ,хп) = 1 в группе Gn и, значит, їК(;гі,... ,хи) Є кег = Лт . Заметим, что (xf) -1 = (#;н) = (aijV ) = {p f = = pfu = pf, где г = 1,,..,/1 п it Є Кегір = ЛГ , причем /Л Є ЛГ/ в силу того, что вербальная подгруппа N устойчива относительно эндоморфизмов. Согласно единственности продолжения отображения базиса на систему порождающих относительно свободной группы, получаем, что автоморфизм ф группы Gn, переводящий xf в pf, і = 1,..., п, можно представить в виде ф = 9 4V- Пусть д = V{xu..., хп) Є N. Тогда if = V{x\,... ,xft). Так как р{,Р2,... }р% — другой базис группы G„, то if = = Кі(? ь - іРп) Длї! подходящего V\. Отсюда получаем: Следовательно, д = V\(x\,... г „)ні, и\ Є Аг .
Таким образом, д = Vi (x\,...,xn)u2, где и-2 = /]" Є Лг и, значит, Лг = ЛН ЛГ , что по теореме 1.2 дает в нилыютептиой группе N = N . Тогда ф индуцирует автоморфизм ф группы Л7/Лг и, кроме того, кегф = К Лг , а это влечет, в силу нильпотентности Аг, кегф = 1, Отсюда, ф — автоморфизм группы Fn, pi,...,/ „ — базис FUi и значит, элемент// = р\ — примитивный в Fu. п Теорема 2.3 Для любого многообразия групп і\ свободные группы одинаковых рангов многообразий ШСП, с Є N, и 2111 имеют одинаковую примитивную ширину. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЕСЛИ многообразие 11 совпадает с многообразием всех груші Й, то ЇЇЇДІ = 2111 — 0 и теорема справедлива, поэтому можно считать, что 11 ф 0. Далее будем использовать обозначения, введенные в начале этого параграфа. Заметим, что так как р является каноническим гомоморфизмом группы Fn на свою фактор-группу Gn, то образы примитивных элементов группы Fn остаются примитивными и Gn. Поэтому произведение примитивных элементов Р\ Рк группы Fn индуцирует произведение примитивных элементов jjf pi группы Gn и, следовательно, примитивная ширина группы Gn не превосходит примитивной ширины группы Fn. В силу этого, теорема справедлива, если Пусть j(?,j;J,. = Q оо. Тогда для любого у Є F„ его образ у9 Є Gn представляется произведением k q примитивных элементов у9 = pf ... -р . Пусть i,.., ,;)д. их произвольные прообразы, являющиеся примитивными в Fn по доказапнному в лемме 2.2. Тогда у = р\ р и, и Є N . По следствию 2.1 PkU — примитивный элемент группы Fn, таким образом, элемент у представляется в виде произведения к q примитивных элементов. В случае, когда к = 0 (то есть у = и Є Лг ), имеем представление у в виде произведения двух примитивных элементов: у = -1 (ри), где р — произвольный примитивный элемент группы Fn. Замстіьм, что G„j,,r 2, поскольку группа Gn содержит нетривиальные непримитивные элементы, напри- мер, порождающие подгруппы Л. Следовательно, ,Р71?,Г q = Взяв в теореме 2.3 качестве Я тривиальное многообразие, получаем, что примитивная ширина свободных нилыютентных и свободных абслевых групп одинаковых рангов совпадают, что вместе с теоремой 1.3 дает Следствие 2.2 Примитивная ширина свободных нилыютентных групп ранга п, п 2, равна 2. Снова воспользуемся теоремой 2.3, положив ii = 21, и вместе с теоремами 1.4 и 1.5 получим Следствие 2.3 Примитивная ширина свободных групп ранга п 2 многообразий 97с21, с Е N, не превосходит четырех, а примитивная ширина свободных групп ранга два из паких многообразий равна трем. В этом параграфе получены оценки для примитивной ширины свободных конечнопорожденных групп многообразий %Щ]. Теорема 2.4 Примитивная ширина свободных групп ранга п 2 многообразия 219Ть к Є N; не превосходит числа 2п. Примитивная ширина свободных групп ранга и 2 многообразия 210І2 "с превосходит числа п + 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, Пусть G — свободная группа ранга п 2 многообразия 219, А — се нормальная абелева подгруппа такая, что фактор-группа G/A нпльпотсптна ступени к. Пусть также пі, ,---, (hi некоторая база группы G.
Сначала получим оценку примитивной ширины для произвольного к, а затем уточним ее для к Для любого g Є G имеет место представление: Произведение а "1 .-а ,"" можно представить в виде y\Ziit 2, где j/i = n} 1 «J", Z\ = fl i1 при этом элементы у\ и z\ являются примитивными в G (см. [16,36]). Далее отметим, что в силу нильпотентности фактор-группы G/[A,G] по лемме 2.1 для любого и Є G и для произвольной системы порождающих t/i,..., dn группы G найдутся b Є [A, G], Д, /п Є G такие, что: Дополним примитивный элемент гі до базы z\, z%,..., »„ группы G, а примитивный элемент у\ — до Сазы Ї/Ь j/a,- ,#» группы G. Тогда системы порождающих z = ( -.. .--rt-i)"1, 2, ,zn " У = (ї/2 УнУх) \y-h ... ,Уп также будут базами группы G, как полученные применением нильсеновских преобразовании (см. параграф 1.2). Тогда найдутся такие / , . ..,Л„ Є G что при этом элементы z hvJi , z% 5У ,..-, /in!/l , /Г(і, Z/7 % і #7 " являются примитивными в группе G, как образы примитивных элементов z l,Z2li-, 2п ,У 1,У21, - :1/,71 ПРИ внутренних автоморфизмах группы. Таким образом, мы получили для произвольного элемента д Є G представление в виде произведения 2п примитивных элементов. Уточним оценку для случая к = 2. Если д А, то согласно утверждениям 2.2 и 2.3, получаем представление для д в виде произведения п + 1 примитивного элемента: Пусть теперь д А. По следствию 2.2 всякиіі элемент фактор-группы G/.4 представляется в виде: д — р\ f/i, где 7} — образ У-, Ри li — примитивные элементы в G/A. Тогда д = piQiu, где и Є А и pi, f/i — примитивные элементы в G по теореме 1.7. Дополним примитивный элемент qi до базы fli, ь ) /н группы G. Система / = («2-- --(їні/і)"1, (/2, - ) їп также будет являться базой группы G, а потому, снова применяя утверждения 2.2 и 2.3, получаем: для некоторых &і,..., Ьп Є G. Тем самым доказано, что примитивная ширина любого элемента, а следовательно, и самой группы, не будет превосходить С помощью теоремы 2.3 получаем Следствие 2.4 Примитивная ширшій свободных групп ранга п 2 многообразий 9?с%ь, с Є N, к Є N ограничена сверху числом 2/1. Примитивная ширина свободных групп ранга п 2 мпогообразий УІкУіі, к Є N ограничена сверху числом п + 1.
Нильпотентность по Мальцеву мультипликативной полугруппы кольца эндоморфизмов End(G, Л)
Третья плаца посвящена вопросу доупорядочивасмости групп из многообразиії ШС2ІП210Т/.., с, к Є N. Исходя из известных признаков доупорядочивасмости (см. теоремы 1.14 и 1.15), для доказательства доу поря до чи ваем ост и группы G из данного многообразия нам достаточно будет показать, что элементы ее некоторой нормальной абелевой подгруппы Л, фактор-группа по которой иильпотентна ступени не выше к, удовлетворяют условию Описи. Это условие может быть сформулировано в терминах групповых эндоморфизмов. Таким образом, мы переходим к рассмотрению кольца эндоморфизмов нормальной абелевой подгруппы, порожденного внутренними эндоморфизмами группы G. Оказывается, что мультипликативная полугруппа указанного кольца иильпотентна по Мальцеву (теорема 3.1). Это свойство применяется в доказательстве доупорядочивасмости группы G (теорема 3.2). Этот параграф посвящен доказательству нильпотентности мультипликативной полугруппы кольца эндоморфизмов нормальной абелевоп подгруппы А, порожденного внутренними эндоморфизмами группы G. Хорошо известно, что эндоморфизмы абслевой группы Л образуют кольцо End Л с естественными операциями сложения и умножения (см. [11]): В случае, когда абелена группа А является нормальной подгруппой некоторой группы G, внутренние автоморфизмы группы G индуцируют автоморфизмы группы А: на которые мы будем смотреть как внешние автоморфизмы группы А. Подкольцо кольца End А, порожденное всеми автоморфизмами вида (1) будем обозначать End(G,.4). Произвольный элемент и Є End(G,/1) представляется {в общем случае неоднозначно) в виде Теперь определим ряд левых идеал о із 9,t(G,A) кольца эндоморфизмов End(G, А), полагая: OQ(G,A) = End(G,A)y a IIJ II n 0 On[G, A) — идеал, порожденный элементами вида где fc 1, 1 г ь... , г ь, ЇЇ + ... + ik «, 70+1 ( ) — О + 1-члсн нижнего центрального ряда группы G. С учетом (2) получаем, что произвольный элемент v из On(G,A) представляется в виде где mb..., ms Є Z, /(-і,..., Лв Є G, и u i,...,we Є (С,Л) — элементы вида (3). Кроме того, заметим, что ввиду ((//. — \)д = = g{d\. — 1) и (Ц. Є 7ij(G), рассматриваемые нами идеалы будут не только левыми, но двусторонними. Лемма 3.1 Если х Є 0„{G,A), у Є End(G,.4), то ху ух Є 6n+i(G,A).
Доказательство. ЕСЛИ g,f є G, то для соответствующих автоморфизмов группы А имеем gf — fg = fg([g,f] — 1) Є Є 0і(G,-4). Если, кроме того f Є 7н+і( 2), то [/,д] Є 7»+2(G), и следовательно: Тогда ху - ух представляется в виде суммы sk слагаемых вида iniUj(hiWjgj — (jjliiWi). Каждое из слагаемых этой суммы, а следовательно, п сама сумма, принадлежит On+i(G,A), Покажем это. Запишем ш, в виде (3). Тогда: причем последнее слагаемое принадлежит On+i(G,A), так как описанный процесс, получаем: Теорема 3.1 Пусть А — нормальная абслсва подгруппа группы G и фактор-группа G/Л иилъпотснпит ступени q. Если коммутант группы G ііильпотсиптси ступени с, то Ocq+i(G,A) = 0 и мультипликативная полугруппа кольца End(G, А) иильпотситна ступени не выше CY/+1. Доказательство. Поскольку элементы идеала 0C!J+i(G,A) представляются в виде (4), то достаточно показать, что всякий ш Ocq+i{G, А), представленный в виде (3), равен нулю. Если хотя бы для одного di. из представления (3) ij q, то dij Є yq+i(G) и элемент dij представляет тождественный автоморфизм группы .4, поэтому d;. — 1 = 0, а с ним и w = 0. Если для всех dij из представления (3) ij у, то поскольку kq г і + ... + і;. С(/+ 1, то к с. Кроме того, ad l = и w — нулевой эндоморфизм. Теперь проверим, что мультипликативная полугруппа кольца End(G, ) иилыютентна и ее ступень нильпотентности не превосходит cq+l. Пусть — элементы кольца End(?,-4), представленные в виде (2). Построим Х„, Уп (см. определение 1.1) и индукцией по п покажем, что Xn-Yn Є en(G,A). Пусть Л і = xuiy, Yy = yu\x. По лемме 3.1 получаем: Первое слагаемое ((A „ - Yn)un+iYn - nn+iYn(X„ - Yn)) принадлежит Q1i+\(G,A) согласно лемме 3.1, второе слагаемое принадлежит Ou+i(G1A) как произведение (А"„ — У„), по индуктивному предположению содержащееся в On(G,A), и н„+іУ„ — -ї „+і Є 0X{G,A). Отсюда, A „+i - Г„+1 Є Поскольку Ocq+i(G,A) = 0, то A"c?+i = +1 и мультиплика тивная полугруппа кольца EndfG, А) нилыютентна ступени не выше cq + 1. п В этом параграфе доказывается, что всякая группа без Г-кручения из многообразий 21%.П91С21, с, к Є N, доупорядочи-ваома и, следовательно, упорядочиваема.
Если рассматривать группы только из одного многообразия 91с21 ИЛИ 219 ., то уже в многообразии 9 21 существуют неупорядочиваемые группы без Г-кручеиия (теорема 4.1), а для многообразия ШУЦ. вопрос о существовании иеупорядочинаемых групп без Г-кручения остается открытым. Теорема 3.2 Группа G из многообразия 219.П91 Д доупоря-дочиоасма тогда и только тогда, когда она без Г-кручснкя. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Известно, что всякая упорядочиваемая группа не имеет Г-кручения (теорема 1.9). Покажем, что группа G из указанного в теореме многообразия доупорядочивае-ма, если она без Г-кручения. Пусть А — нормальная абелева подгруппа группы G и фактор-группа G/A нилыютентна. Поскольку в группах без Г-кручения изолятор нормальной абе-левои подгруппы также нормальная абелева подгруппа (теорема 1.12), то не нарушая общности, можно считать, что G/A нильпотентная группа без кручения. В силу теорем 1.14 и 1.15 достаточно показать, что элементы подгруппы .4 удовлетворяют условию (У ). Пусть Ь, с Є SG( (), тогда Ь a,Jl+-+ ln, с = ahl+-+!ik для подходящих gi, hj Є G. В этом случае элементы Ь и с являются образами элемента а относительно эндоморфизмов и = [}\ + ... + gk и iv = h\ + + lis соответственно. По теореме 3.1 мультипликативная полугруппа кольца эндоморфизмов Епс1(С, Л) удовлетворяет для подходящего п тождеству Хп — Уп (см. определение 1.1). Но тогда и всякая подполугруппа, в частности подполугруппа End(G, А) , порожденная эндоморфизмами тіі/і + ... Ч- ит/,„, fi G с положительными коэффициентами гг,-, і = 1,..., ті также удовлетворяет тождеству Л"„ = Уп. Положим Л о = v, YQ = w и получим, что Л „ начинается с v, а Уп с ш, то есть Л ,г = vv\, Уп = wwy для подходящих vi,wi Є End(G,А) .
Пример неупорядочпваемой группы без Г-крученпя с двуступеино ннльпотентным комму тантом
В этом параграфе доказывается, что всякая группа без Г-кручения из многообразий 21%.П91С21, с, к Є N, доупорядочи-ваома и, следовательно, упорядочиваема. Если рассматривать группы только из одного многообразия 91с21 ИЛИ 219 ., то уже в многообразии 9 21 существуют неупорядочиваемые группы без Г-кручеиия (теорема 4.1), а для многообразия ШУЦ. вопрос о существовании иеупорядочинаемых групп без Г-кручения остается открытым. Теорема 3.2 Группа G из многообразия 219.П91 Д доупоря-дочиоасма тогда и только тогда, когда она без Г-кручснкя. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Известно, что всякая упорядочиваемая группа не имеет Г-кручения (теорема 1.9). Покажем, что группа G из указанного в теореме многообразия доупорядочивае-ма, если она без Г-кручения. Пусть А — нормальная абелева подгруппа группы G и фактор-группа G/A нилыютентна. Поскольку в группах без Г-кручения изолятор нормальной абе-левои подгруппы также нормальная абелева подгруппа (теорема 1.12), то не нарушая общности, можно считать, что G/A нильпотентная группа без кручения. В силу теорем 1.14 и 1.15 достаточно показать, что элементы подгруппы .4 удовлетворяют условию (У ). Пусть Ь, с Є SG( (), тогда Ь a,Jl+-+ ln, с = ahl+-+!ik для подходящих gi, hj Є G. В этом случае элементы Ь и с являются образами элемента а относительно эндоморфизмов и = [}\ + ... + gk и iv = h\ + + lis соответственно. По теореме 3.1 мультипликативная полугруппа кольца эндоморфизмов Епс1(С, Л) удовлетворяет для подходящего п тождеству Хп — Уп (см. определение 1.1). Но тогда и всякая подполугруппа, в частности подполугруппа End(G, А) , порожденная эндоморфизмами тіі/і + ... Ч- ит/,„, fi G с положительными коэффициентами гг,-, і = 1,..., ті также удовлетворяет тождеству Л"„ = Уп. Положим Л о = v, YQ = w и получим, что Л „ начинается с v, а Уп с ш, то есть Л ,г = vv\, Уп = wwy для подходящих vi,wi Є End(G,А) . А это означает, что и условие (У ) выполняется. а В главе 3 была доказана доупорядочішаемость групп без Г-кручения из многообразий 9ТС2(П 2191/.-, с, к 6 N. Настоящая глава посвящается изучению вопросов упорядочиваем ости групп из многообразий 0ТсШ, с Є N, то есть групп с нильпотентным коммутантом.
Пример 4.1 Пусть N — свободная двуступенно пплыютентная группа со множеством свободных порождающих a,b,Cj, і Є Z. Элементы л-1[&, сі]-1, Ь-1[а,сі], C{, І Є Z, также свободно порождают группу N (теорема 1.2). Следовательно, N допускает автоморфизм d : N — JY, продолжающиіі отображение Докажем некоторые вспомогательные соотношения для элементов указанной группы: Утверждение 4.1 Для любых і Є Z, гг Є N ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем индукцией по п. (2) Начальный шаг индукции: cf = c,-+i согласно (1). Индукционный переход: Перед доказательством утверждений пунктов (3) — (8) приведем некоторые полезные соотношения, получаемые с помощью коммутаторных тождеств Витта-Холла (теорема 1.1), справедливые но всякой двуступснно нилыютентной группе N для любых х7 уj z из N и и из (3) Начальный шаг индукции. Так как d автоморфизм, то имеем равенство [я, Cj]d = [aJ, cf], подставляя в правую часть ко торого выражения для ad и cf из (1), и заметив, что [Ь, с\] 1 Є Л", используя вышеприведенные формулы, получим Индукционный переход: Снова используем последнюю из вспомогательных формул: (4) Доказательство проводил! аналогично доказательству ут верждения из (3). Начальный шаг индукции: ИидукциошіьііІ переход: Далее подставляем выражения для а из (1) и [?;, с,-] из (4), и пользуемся тем фактом, мто коммутаторы из Лг лежат в ее центре: (G) Начальный шаг индукции; Ь 1 = Ь-І[а,сі] согласно (1). Индукционный переход: (7) Отметим, что по доказанному и (5) и (6), ad — о- - 1 "»!, hd = 6 -1 Уі, где u\,vi Є N . Таким образом, с учетом вспомо гательных формул, получаем: Пустії NX(d) — полуирямое произведение группы Дг на бесконечную циклическую группу (с/), определяемое автоморфизмами 1. Пусть Н = ([a,b],[cj,Cj] i,j б Щ N\{d). В силу (7), (8), Я — нормальная подгруппа группы N\{d). Фактор-группу (NX{d))/H обозначим через G и покажем, что группа G является нсупорядочиваемой груипоіі без Г-кручения из многообразия групп с двуступенно пильиотентным коммутантом. По построению группы NX(d) ее коммутант нилыютеитнен ступени два, а потому и коммутант G фактор-группы G пиль-потентен ступени не выше двух. Поскольку G неабелев (например, [[fl, ,[ci,fi]] = [«"V , 1 ] = {(Ґ2[Ь ,0 ,0 0-2] = = [й_2,с 1С2] = [0 ,6-71]-1 = a2ci 2c2 ф 1, так как N — свободная нилыютсптная группа со свободными порождающими а, 6, а, і Є Щ-, то он двуступенно нилыютентеп. Как известно (см., например, [5, 11]), в полупрямом произведении ATX(d) произвольный элемент д имеет однозначное представление вида а в свободной нильпотентной группе Л7 произвольный элемент h имеет однозначное представление вида и — произведение коммутаторов [я, 6] и [с/,с;-], а индексы и показатели — целые числа. Причем для любого целочисленного набора индексов и показателей представления (9) и (10) определяют некоторый элемент групп iYA(fZ) и N соответственно. Из (9), (10) и определения подгруппы Н следует, что произвольный элемент (j Є G однозначно представляется в виде и для любого целочисленного набора индексов и показателей представление (11) определяет некоторый элемент группы G. Для обозначения элементов группы G мы используем тс же символы, что и для элементов группы NX{d)\ это не вызывает путаницы в виду представлений (9) и (10). Из определения групп Лг, Н и автоморфизма d группы Л7 получаем определяющие соотношения группы G: Покажем, что группа G не допускает никакого линейного упорядочения.
Предположим противное: существует порядок , при котором {?, ) — линейно упорядоченная группа. В силу (11) а ф 1 в группе G. Если а 1, то по формуле (1) ad = a-1[ii, C[]_I 1 и [&, сі]-1 о 1, если же а 1, то ad =. а-1[6, С]]-1 1 и 1 я-1 [Ь,с\] — в любом случае я \[Ь,С]]. Аналогично получаем, что Ь [я,сі]. По построению группы G элементы а, Ь и с\ порождают пильпо-теитиую подгруппу, а для любых элементов х и у нилыютент-ных липеПно упорядоченных групп справедливо неравенство [[ у]! С \х\ (теорема 1.13). Поэтому получаем противоречие: М 1 , 11 161 [a,ci] «. Проверим, что группа G не имеет Г-крученпя. Из представления (11) следует, что группа G допускает гомоморфизм па сплетение двух бесконечных циклических групп (co)wr(rf) с ядром К — (a,b,\a,Ci],[b,Cj] \ i,j Є Щ. Поскольку сплетение бесконечных циклических групп упорядочиваемо (теорема 1.11), то оно не имеет Г-крученпя. Следовательно Г-перподические элементы группы G должны принадлежать подгруппе А и потому имеют вид Предположим, что для элемента д Є Л , представленного в виде (13), найдутся Л],.., Л( Є G такие, что Если элементы а и b не входят явно її представление (13), то есть р]_ = р-2 — 0, то ввиду перестановочности элементов a, b и с с коммутаторами [а, сг], [6, с/], можно считать, что элементы / ,-, і 1,..., t в формуле (14) имеют вид: 1ц (Vй. Но в этом случае элементы [«,с,-], [i,Cj] и rf порождают подгруппу, изоморфную сплетению {[я,со],[6, co])wr(d) двух упорядочиваемых групп, и поэтому д не может быть нетривиальным Г-периодическим элементом. Пусть теперь р\ р\ ф 0 и представлении элемента / в виде (13). Ввиду перестановочности элементов а и Ь друг с другом и с коммутаторами [а, с,-], [6, cj\t можно считать, что элементы Л,-, г = 1,.,., в формуле (14) имеют вид: 1ц = Уг-с/ г , где vi Є (CJ I j Є Z). Заметим, что группа G допускает автоморфизм р : G — G, продолжающий отображение поскольку ( переводит множество порождающих группы G в множество порождающих и согласован с определяющими соотношениями (12) группы G: Под действием p элементы 1ц — VidUi остаются на месте, а элемент д переходит в элемент где и — некоторое произведение коммутаторов [rt,Cj], [b, с,-]. Отсюда имеем, что Возведем полученное равенство в степень — р% и перемножим с равенством (14), возведенным в степень р[ и получим где А; = р\ + р?2 ф О, а w — некоторое произведение коммутаторов [a, Ci], [h,Ci]. Для упрощения дальнейших вычислении рассмотрим равенство (1G) в фактор-группе G группы G но подгруппе, порожденной элементами [а,С{], і Є Z. В группе G элементы а и q, і Є її перестановочны, поэтому можно считать, что элементы hi в формуле (16) имеют вид hi = d" , а н, если w ф 1 в G, то m\,ms ф 0 (при s = 1 формула (17) читается как ш = [Ь,CjJ "1, и т& в этом случае совпадает с ті). Для элементов ги Є {[і, q] І Є Z), представленных в виде (17) коммутаторы, [6,] и [Ь, c,J будем называть младшими и старшими сомножителями соответственно.
