Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Связные групповые подсхемы 11
1.1. Предварительные сведения 11
1.2. Основной результат 13
1.3. Квази-замкнутые множества корней 14
1.4. Гладкие групповые подсхемы 15
1.5. Морфизм Фробениуса 17
1.6. Построение связных групповых подсхем 19
1.7. Свойства связных групповых подсхем 23
1.8. Редукция к алгебраически замкнутому полю 25
1.9. Приведенная подсхема 26
1.10. Подгруппы редуктивпой группы над кольцом 28
1.11. Функция <р 33
Глава 2. Нормализатор 36
2.1. Основной результат 36
2.2. Пересечение с нормализатором тора 37
2.3. Построение групповых подсхем 38
2.4. Свойства групповых подсхем 40
2.5. Пара {W, 2.6. Пересечения 43 Заключение 46 Список литературы 47 Введение к работе Актуальность темы. Диссертационное исследование относится к структурной теории алгебраических групп. Являясь современным этапом развития теории Ли, эта теория занимает одно из центральных мест в математике начиная со второй половины XX века. Многочисленные приложения в теории чисел, алгебраической геометрии, теории конечных групп, теории представлений и других областях математики привлекают внимание специалистов. Одно из важнейших направлений в развитии структурной теории алгебраических групп связано с изучением и описанием различных классов подгрупп. Особый интерес представляет описание надгрупп некоторой фиксированной подгруппы. Настоящее исследование примыкает именно к этому направлению. Одной из самых популярных задач этого направления, которой посвящены многие десятки публикаций, является описание надгрупп максимальных торов. А именно, пусть G — расщепимая редуктивная группа над полем К^ В — боре-левская подгруппа в ней, Т — максимальный тор, Т < В < G. Требуется описать подгруппы в группе G, содержащие тор Т. Частные случаи этой задачи и ее аналоги активно изучались в течение последних 40 лет. Фактически данная задача восходит к замечательному результату Ж. Титса 1962 года, состоявшему в классификации параболических подгрупп (т.е. подгрупп, содержащих В) в группе G. В 1964 году в своей фундаментальной работе А. Борель и Ж. Тите классифицировали связные замкнутые подгруппы в группе G, нормализуемые Т, предполагая, что поле К алгебраически замкнуто. В дальнейшем многие авторы рассматривали возможные обобщения этих результатов на случай произвольных полей или даже полулокальных колец. Так, в 1976 году З.И.Боревич в предположении, что \К\ > 7, доказал, что все абстрактные промежуточные подгруппы в GLn(K), содержащие группу диагональных матриц, являются алгебраическими. В работах 3. И. Боревича и Н. А. Вавилова 1977-1981 годов эти результаты были перенесены на почти произвольные полулокальные кольца. Для этого полиномиальные уравнения, определяющие промежуточные подгруппы, были заменены на сравнения по модулям систем согласованных идеалов. Одновременно в 1979 году Г. Зейтц получил описание абстрактных подгрупп, содержащих расщепимый максимальный тор, для групп Шевалле над конечным полем. В дальнейшем в работах Н. А. Вавилова, Е. В. Дыбковой и О. Кинга эти результаты были перенесены сначала на другие классические группы над произвольным полем и коммутативными полулокальными кольцами, а затем и на исключительные группы Шевалле над бесконечными полями. В последние годы интерес к этой тематике снова оживился. Это связано с тем, что, во-первых, было предложено несколько новых концептуальных доказательств теоремы Боревича. Во-вторых, Е. В. Дыбковой удалось получить некоммутативные аналоги этой теоремы в контексте баковских унитарных групп. В настоящей работе предлагается обобщение теоремы Бореля—Титса в несколько другом направлении. А именно, полностью решается задача об описании не обязательно приведенных групповых подсхем в группе G, содержащих Т. Некоммутативным неприведенным групповым схемам посвящено сравнительно небольшое количество работ. Отметим статьи К. Венцеля и Ф. Кнопа, имеющие самое непосредственное отношение к рассматриваемой нами задаче. В 1993 году К. Венцель классифицировал все параболические групповые подсхемы в редук-тивной группе над алгебраически замкнутым полем при небольших ограничениях на характеристику. В работе Ф. Кнопа 1995 года описаны все групповые подсхемы специальной линейной группы второго порядка. Таким образом, в диссертационной работе получено совместное обобщение нескольких важных результатов: классического результата А. Бореля и Ж. Титса о связных алгебраических надгруппах расщепимого максимального тора и результата К. Венцеля о параболических групповых подсхемах. Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование групповых подсхем редуктивной группы, содержащих расщепимый максимальный тор, над произвольным полем. Методы исследования. Часть работы, относящаяся к схемным аспектам проблемы, использует стандартную технику и методы алгебраической геометрии, такие как расширение основного поля, морфизм Фробениуса, функториальность, переход к приведенной подсхеме и т.п. Ключевой и технически наиболее сложный шаг исследования относится к структурной теории групп Шевалле над кольцами. Кроме того, в работе используется комбинаторика систем корней и групп Вейля. Основные результаты. В работе исследованы групповые подсхемы расще-пимых редуктивных групп над произвольным полем. Основные результаты заключаются в следующем: Получена классификация связных групповых подсхем редуктивной группы, содержащих расщепимый максимальный тор, в терминах функций на соответствующей системе корней. Установлено, что каждая такая групповая подсхема порождена максимальным тором и своими пересечениями с корневыми подгруппами. Получена полная классификация всех (не обязательно связных) групповых подсхем редуктивной группы, содержащих расщепимый максимальный тор, в терминах функций на системе корней и подгрупп в группе Вейля; при этом функция на системе корней отвечает компоненте связности промежуточной групповой подсхемы, а подгруппа группы Вейля отвечает ttq. Дано описание решеток как связных, так и произвольных групповых над-схем расщепимого максимального тора в редуктивной группе. Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и развитые в работе методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях структурных свойств алгебраических групп, прежде всего при описании различных классов подгрупп и разложений в редуктивных группах. Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на семинаре "Seminar K-Theory, Homotopy theory and Related topics" университета Биле-фельда, на семинаре "Seminaires de I'equipe de Topologie Algebrique" университета Париж-13 и на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре имени Д. К. Фад-деева. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4], перечисленных в конце автореферата. Структура и объем работы. Диссертация объемом 52 страницы состоит из введения, двух глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы, содержащего 54 наименования. В этом разделе мы введем и обсудим понятие квази-замкнутого множества корней и приведем свойство, эквивалентное свойству ( ). Понятие квази-замкнутого множества взято из работы [27] А. Бореля и Ж. Титса, но мы используем комбинаторное определение, отличное от исходного. Определение. Пусть S — подмножество системы корней Ф. Предположим, что для любой пары корней а и /3 из S и пары натуральных чисел г и s, для которых линейная комбинация га + s/З является корнем и р \ Naprs, корень га -+- s/З принадлежит S. Тогда множество S называется квази-замкнутым. Замечание. Любое замкнутое множество квази-замкнуто. Обратно, любое квази-замкнутое множество замкнуто, если выполнены следующие ограничения на характеристику: если Ф Э і?2, то р 2; если Ф D С?2, то р 3. Лемма 1.1. Пусть Ф — система корней, р простое число. 1. Условие ( ) эквивалентно следующему: для любых корней а, (3, га + /З Є Ф, для которых р \ Ма$Т. 2. Множество S квази-замкнуто в том и только том случае, если выполнено следующее условие: для любой пары корней а и /3 из S и нату рального г, для которыхга + /3 является корнем up ЛМарг, корень га + (3 лежит в S. Доказательство. 1. Если s = 1, то Naprs = Марг и условия ( ) и ( ) совпадают. Случай г — 1 аналогичен. Единственный случай, когда г, s 1 и га + sj3 является корнем, таков: а и (3 — простые корни системы типа G2, г = 2 и s = 3 (или симметричный ему случай, когда г = 3 и s = 2). В этом случае мы имеем Na \ = 1 и Nsa+ppn — 1 (см. [51]), поэтому справедливы неравенства 2. Условие выполнено в том и только в том случае, если функция (ps, определенная следующим образом: удовлетворяет неравенству ( ). Множество S квази-замкнуто в том только в том случае, если функция (fs удовлетворяет неравенству ( ). Применим первое утверждение леммы к функции (fs В этом разделе мы рассмотрим связные гладкие групповые подсхемы, содержащие расщепимый максимальный тор, и покажем, что они соответствуют квази-замкнутым подмножествам системы корней. Этот раздел основан на главе Ехр. XXII [44] и содержит краткое изложение некоторых ее результатов. Определение. ([44] Ехр. XXII 5.2.1). Пусть X — предсхема, G — гладкая конечно представимая групповая Х-предсхема со связными слоями, Н — групповая подпредсхема в G. Мы говорим, что Н типа (R), если выполнены следующие условия: 1. Н — гладкая конечно представимая Х-предсхема со связными слоями; 2. для любого х Є X группа Н$ содержит подгруппу Картана группы (. Предположим теперь, что G = Сг(Ф) — расщепимая редуктивная группа над полем. В этом случае связная групповая подсхема, содержащая максимальный тор Т, является подсхемой типа (R) тогда и только тогда, когда эта схема гладкая. Согласно [44] Ехр. XXII 5.4.1, каждая групповая подсхема типа (R), содержащая Т, однозначно определяется своей алгеброй Ли, которая имеет вид для некоторого подмножества S в Ф. Определение. ([44] Ехр. XXII 5.4.2) Подмножество S системы корней Ф называется множеством типа (R), если Ls является алгеброй Ли некоторой групповой подсхемы типа (Л), содержащей тор Т. Обозначим за G(S) групповую подсхему типа (R), однозначно определенную множеством S. Лемма 1.3. Любое множество типа (R) квази-замкнуто. Обратно, любое квази-замкнутое мнооїсество является множеством типа (R). Доказательство. Покажем сначала, что любое множество S типа (R) является квази-замкнутым. По лемме 1.1, достаточно проверить, что для любой пары корней аи]3из5и натурального числа г, для которых га+(3 является корнем и р \ МарТ, корень га + /? лежит в S. Поскольку /З Є 5, мы имеем ер Ls. Поскольку а Є S, то, согласно лемме 1.2, справедливо включение xa{Ga) Q G(S). Поэтому для любого а элемент АА[ха{а))ер = ер -\- Ylr o МаргйГега+р лежит в алгебре Ли Ls. Поскольку Ls Ьо Ф (Ф- /?) и Р \ М» г, мы заключаем, что Lra+p С Ls, и ps потому корень га + /3 лежит в S. В этом разделе мы изучим некоторые свойства связных групповых подсхем, построенных в предыдущем разделе. В частности, мы докажем, что они удовлетворяют всем условиям теоремы А. Лемма 1.10. Схема Hv не зависит от выбора числа N и удовлетворяет всем условиям теоремы А, т.е. является связной групповой подсхемой в С?(Ф), содержащей тор Т. Более того, (Яу,)геа = G(S). Доказательство. Покажем, что схема Н не зависит от выбора числа N. Предположим, что N — некоторое натуральное число, большее числа N, и N тах{(р((3) (/?) = со}. Очевидно, схема E i содержит схему E jq, откуда следует включение G(S)E(PtN 2 (5) , . С другой стороны, G(S) содержит подсхему Тдг и подсхемы xpfapN ) для всех /З Є S, а схема Е9)м содержит подсхемы хр(асрр{А)) для всех (3 ф. S. Таким образом, имеет место включение откуда G(S)EiPtN С G(S)ElfitN- Таким образом, групповые схемы G(S)Eip 1 и G{S)E(p совпадают, т.е. схема Ну не зависит от выбора числа N. Докажем, что G(S) является приведенной подсхемой групповой схемы Ну. Предположим для начала, что поле К совершенно, тогда мы можем ввести в рассмотрение морфизм Фробениуса. По определению мы имеем FN(Hy) = FN(G(S)). Тогда, по лемме 1.5, мы получаем (Hy)red = G{S). Любое расширение основного поля сохраняет это равенство, поэтому оно справедливо для произвольного (не обязательно совершенного) поля К. Для того, чтобы доказать, что схема Ну связна, достаточно проверить, что ее приведенная подсхема (Hy)I&i связна, поскольку для любого нетривиального идемпотента / Є К[Ну] элемент / Є (К[Ну]/Nil) также является нетривиальным идемпотентом. Но нам уже известно, что приведенной подсхемой схемы Ну является связная схема G(S). Поскольку подсхема (#y )red = G(S) схемы Ну содержит тор Т, сама схема Ну также содержит тор Т. Лемма 1.11. xp(Ga) ПНу = хр(ар1Р(0)). В частности, все схемы Ну различны. Доказательство. Предположим для начала, что поле К совершенно. Тогда мы можем ввести в рассмотрение ІУ-ую степерь морфизма Фробениуса FN : (?(Ф) -» FN(G($)). Пусть (p(j3) = со. Тогда корень /3 по определению лежит в множестве S, и, согласно лемме 1.2, имеет место включение xp{Ga) С G(S). Из этого следует, что xp(Ga) С Ну и xp(Ga) Г) Ну- xp(Ga). Если р(/3) со, то (р(/3) N, согласно выбору числа N. В этом случае имеет место включение xp{&pptf)) = хр(архАпмв),т) С Eyfl С Ну. Поскольку FN(EIP}N) = 1 имеет место равенство (# ,) = FN(G(S)). Значение (р(/3) конечно, поэтому /3 . 5, и, согласно лемме 1.2, выполнено xp{Ga) П G(S) — 1. Поскольку морфизм Фробениуса F сохраняет корневые данные, справедливо включение Таким образом, FN(xp(Ga) Л Я ,) = 1, откуда xp(Ga) Л Яу, С ar fa y). Рассмотрим элемент хр(а) Є Я (Я). Согласно определению Я , существуют такая /рр/ Я-алгебра R , такой элемент g Є 7(5, Я ) и такой элемент h Є Яу,д(Я;), что Ж(a) = gh. Поскольку сг = 0, имеет место FN(xp(a)) = 1. Кроме того, FN(h) = 1. Поэтому FN(g) — 1, или, другими словами, элемент д лежит в пересечении G(S,R!) Л E (R ), По лемме 1.7, имеет место включение G(S, R!) Л Ejy(R ) С E9fl(R!). Отсюда мы получаем хр(а) Є д(Я ), и потому #/з(а) Є ЕіРі {Щ. По единственности разложения в лемме 1.6, из определения схемы Eipfl(R) следует, что а Є apm(R), откуда мы получаем требуемое включение xp(Ga) П Htp С (оуоз)). Мы доказали утверждение леммы для совершенного поля К. Поскольку любое расширение основного поля сохраняет требуемое равенство, оно справедливо для произвольного поля К. Теперь, чтобы доказать теорему А, нам достаточно проверить, что каждая связная групповая подсхема Я в G, содержащая Т, является схемой Н для некоторой функции ip, удовлетворяющей неравенству ( ). В этом разделе мы сведем общую ситуацию к случаю алгебраически замкнутого поля. Пусть Я — схема, удовлетворяющая всем условиям теоремы А, т.е. связная групповая подсхема G, содержащая тор Т. Пусть Я# — схема над алгебраическим замыканием Я, представленная алгеброй K[G] = К g K[G]. Тогда Hj — групповая подсхема G%, содержащая расщепимый максимальный тор Tft. Схема Я по-прежнему будет связной, поскольку расширение основного поля сохраняет связность групповой схемы, см. [52] 6.5. Известно (см. [52] 15.3), что все групповые подсхемы данной групповой схемы являются замкнутыми подсхемами. Предположим теперь, что теорема А доказана для случая алгебраически замкнутого поля. Доказательство в общем случае вытекает тогда из следующей леммы. Лемма 1.12. Пусть Я и Н — замкнутые подсхемы некоторой алгебраической афиппой схемы G над полем К. Если схемы Н% и Я- г совпадают как подсхемы схемы G-g над алгебраическим замыканием К, то и схемы Я и Н совпадают. Доказательство. Предположим, что схема G представлена алгеброй K[G], а ее подсхемы Я и Я представлены алгебрами K[G]/I и K[G]/I для некоторых идеалов / и V соответственно. Тогда схема Я представлена алгеброй К (K[G]/I) = K[G]/K[G)I, и, аналогично, схема Н представлена алгеброй K[G]/K[G]I . Поскольку подсхемы Я и Н - совпадают, мы получаем K[G\I =K[G]I . Отсюда поскольку вложение K[G] - K[G] строго плоское. Эта лемма будет использована также в разделе 2.5 для сведения теоремы В к случаю, когда поле К алгебраически замкнуто. Начиная с этого места и до конца главы мы предполагаем поле К алгебраически замкнутым. В этом разделе мы изучим приведенную подсхему промежуточной групповой схемы. На протяжении этого раздела мы будем предполагать, что ос Прежде, чем переходить непосредственно к доказательству основного результата текущей главы, теоремы В, мы докажем полезную лемму о пересечении связной промежуточной групповой подсхемы с нормализатором. Доказательство. 1. Группа G(S) допускает разложение G(S) = G(Sr)U(S) где ST = {0 є S І -0 Є 5}, Su = {/3 є S -0 І 5}, U(S) = Ц, /»( ?«) унипотентный радикал группы G(S), подгруппа G(Sr) нормализует подгруппу U(S), и пересечение групп G(Sr) и U(S) тривиально, т.е. произведение G(Sr)U(S) является прямым произведением многообразий. Рассмотрим произвольный элемент из пересечения G(S) П N(T). Он представляется в виде произведения gh, где д Є G(Sr) и h Є U(S). Поскольку элемент gh нормализует тор Т, выполнено соотношение ghTh lg l = Т, откуда hTh 1 — д 1Тд. С другой стороны, имеют место включения Поскольку группа G(Sr) содержит тор Т и пересечение групп G(Sr) и U(S) тривиально, справедливо соотношение G(Sr) П TU(S) = Т. Поэтому выполнены равенства hTh 1 — д хТд = T,ug,h Є N(T). Поскольку нормализатор тора N(T) не содержит унипотентных элементов, h = 1. Отсюда мы заключаем, что gh Є Ncr(T). Первое из утверждений леммы доказано. 2. Пересечение Нр П N(T) = NQ(S -){T) содержит тор Г и содержится в нормализатое тора N(T). Поэтому пересечение Hv П N(T) является прообразом подгруппы W группы 1У(Ф) = N(T)/T в N(T). В частности, схема Ну П N(T) приведена. Поэтому пересечение Ну П N(T) содержится в приведенной подсхеме (Я )геа = G(S). Откуда по первому утверждению леммы. Пусть (W, ф) — пара, удовлетворяющая всем условиям теоремы В, т.е. функция (р : Ф — NU {0,оо} удовлетворяет условию ( ), a W — подгруппа группы Вейля И Ф), нормализующая функцию (р и содержащая группу W(Sr), где S — {а Є Ф р(а) = со}. Условия на группу W могут быть переписаны в виде двойного включения Напомним, что, по определению, группа Вейля \(Ф) — это фактор N(T)/T. Обозначим через W групповую подсхему в ЛГ(Т), которая проецируется на W, т.е. прообраз группы W в N(T). Лемма 2.2. Подгруппа W группы Вейля ](Ф) нормализует функцию р в том и только том случае, когда соответствующая групповая подсхема W нормализует схему Н . Доказательство. Предположим, что группа W нормализует функцию ср. Пусть w — произвольный элемент группы W(K). Рассмотрим подсхему Н = wHyW 1. Заметим, что Н является связной групповой подсхемой в С?(Ф). Далее, схема Н содержит тор Т, поскольку элемент w принадлежит нормализатору тора N(T). Поэтому мы можем применить теорему А и заключить, что Н = Щ для некоторой функции ф, удовлетворяющей условию ( ). Рассмотрим пересечение групповой подсхемы Н и корневой подгруппы xp{Ga). Имеют место следующие соотношения: Далее, где w — образ элемента w в группе Вейля W = N(T)/T. По лемме 1.11, Поскольку элемент w нормализует функцию р, выполнено соотношение p{w l{0)) = ф{Р). Поэтому С другой стороны, по лемме 1.11, имеет место равенство Сравним это равенство с предыдущими, заключаем, что (р = ф и элемент w нормализует подсхему #„,. Согласно характеризации элементов нормализатора (см. [32] И, 1, по 1, prop. 3.5), это означает, что любой элемент группы W(K) принадлежит нормализатору тора Т. Поскольку схема W является приведенной, из этого следует, что W N(Hy), т.е. групповая подсхема W нормализует схему Ну. Теперь докажем обратную импликацию. Предположим, что групповая подсхема W нормализует схему Ну. Из этого, в частности, следует, что для любого элемента w Є W его прообраз w в группе W удовлетворяет соотношению wHyW l = Ну. В этом случае выкладки, проведенные выше, показывают, что p(w l{0)) — р(/3), т.е. элемент w нормализует функцию ip. Отсюда следует, что группа W нормализует функцию (р. Лемма доказана. Из только что доказанной леммы следует, что двойное включение для группы W эквивалентно Определим групповую подсхему Н\у, р, соответствующую данной паре (W, р) как произведение И Я ,. Поскольку групповая подсхема W нормализует Я , схема Н\у, р является групповой подсхемой в С(Ф). Поскольку схема Ну содержит тор Г, схема Нцг, р тоже его содержит. Таким образом, определенная нами схема Ну/ц, удовлетворяет всем условиям теоремы В. В этом разделе мы докажем лемму, описывающую свойства групповой подсхемы H\v i определенной нами в предыдущем разделе. Лемма 2.3. 1. Компонентой связности групповой подсхемы Hw# является Ну. 2.W = N(T) П Hw„. Доказательство. 1. Заметим, что схема Ну связна. Далее, Ну является нормальной групповой подсхемой в Н\у, р по построению схемы Н\у, р- Согласно универсальному свойству 7Г0 для афинной групповой схемы (см. [52] 6.7), достаточно доказать, что фактор Hw,tp/Hv является этальной групповой схемой. Согласно второй теореме об изоморфизме, Далее, по лемме 1.11, имеет место изоморфизм где S = {(З Є Ф р(13) = со}. Поскольку W этальна, фактор Нщ /Нр также является этальным. 2. Согласно определению, Нц?, р — WH p. Поскольку подсхема W содержится в нормализаторе тора N(T), справедливо соотношение Теперь применим лемму 2.1 и заключим, что Поскольку групповая схема W содержит в себе подсхему Nc(sr)(T), мы получаем WNG(S ){T) = W,U ЭТО завершает доказательство. В этом разделе мы покажем, что любая промежуточная групповая подсхема является схемой Н\у, р для подходящей пары (W, p), и тем самым завершим доказательство теоремыВ. Прежде всего, мы сведем общую ситуацию к случаю, когда основное поле алгебраически замкнуто. Для этого достаточно применить лемму 1.12, в точности так же, как это было сделано в разделе 1.8 в предыдущей главе. Отныне мы предполагаем, что основное поле К алгебраически замкнуто. Рассмотрим произвольную (не обязательно связную) групповую подсхему Я в С?(Ф), содержащую тор Т. Компонента связности схемы Н является В этом разделе мы изучим решетку промежуточных групп, классифицированных в предыдущей главе и в предыдущих разделах текущей главы. Основной результат этого раздела, предложение 2.6, является обобщением следующей известной леммы. Лемма 2.5. {G(S) Л G(S )) = G(S Л S ). Доказательство. См. [44] Ехр. XXII 5.4.5 или [27] Prop. 3.22. Предложение 2.6. Доказательство. 1. Схема (Я ПЯ )0 является связной групповой подсхемой в С?(Ф). Далее, поскольку подсхемы Я и Н содержат тор Г и поскольку тор Т связен, подсхема (Я , Л Я ) также содержит тор Т. Таким образом, мы можем применить теорему А и заключить, что (Яр Л Я )0 = Нф для некоторой функции ф, удовлетворяющей условию ( ). Теперь рассмотрим пересечения корневых подгрупп с групповыми подсхемами Н р, Н и Нф. По лемме 1.11, выполнены соотношения Поскольку любая схема &рп связна и (Яр Л Яр/) — Нф, мы заключаем, что ф = min( p, //). Первое из утверждений доказано. 2. Заметим, прежде всего, что пересечение Нцг,ірГ\Н\у, р является групповой подсхемой в С?(Ф) и содержит тор Т. Поэтому мы можем применить теорему В и заключить, что Яи/рЛЯи/ ,р/ — Нцг", р" для некоторой пары (W", (р"). Рассмотрим компоненту связности пересечения Hw, p П Hw ,0- Это максимальная связная групповая подсхема, поэтому справедливо включение откуда (Hw nHwrf)0 Я (Яр Л Яр/)0. С другой стороны, выполнено включение (Яр П Я /) С (Нцг,ц Л Яи/ .р»), откуда (Яр П Я ) С (Я ,р Л Нцп ). Следовательно, КОМПОНеНТЫ СВЯЗНОСТИ ГРУППОВЫХ ПОДСХеМ H\y,ip Л Нцг , р и Н(р П Htpi совпадают. Согласно первому утверждению предложения, справедливо соотношение (Н рГ\Н рі)0 — #тіп( )- Таким образом, мы получаем, что (Hw,v П Hw tfY = Ятіп( ,} и / = тіп( , у/). Из конструкции промежуточных групповых подсхем следует, что С другой стороны, имеют место соотношения Поэтому W" = W Г) W. Предложение доказано. В работе мы исследовали групповые подсхемы редуктивных групп. Перечислим основные результаты настоящей работы. Получена классификация связных групповых подсхем редуктивной группы (?(Ф), содержащих расщепимый максимальный тор, в терминах функций на системе корней Ф (теорема А). Установлено, что каждая та-кая групповая подсхема порождена своими пересечениями с корневыми подгруппами и максимальным тором (конструкция в разделе 1.6 и лемма 1.11). Получена полная классификация всех групповых подсхем редуктивной группы Сг(Ф), содержащих расщепимый максимальный тор, в терминах функций на системе корней Ф и подгрупп в группе Вейля И (Ф) (теорема В). При этом функция на системе корней отвечает компоненте связности промежуточной групповой подсхемы, а подгруппа группы Вейля отвечает тго (лемма 2.3). Получено описание решеток как связных, так и произвольных промежуточных групповых подсхем (предложение 2.6). [1] Боревич З.И., О параболических подгруппах в линейных группах над полулокальным кольцом, Вестник Ленингр. Ун-та, 13 (1976), с. 16-24. [2] Боревич 3. И., О параболических подгруппах в специальной линейной группе над полулокальным кольцом, Вестник Ленингр. Ун-та, 19 (1976), с. 29-34. [3] Боревич 3. И., Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц, Зап. научн. семин. ЛОМИ, 64 (1976), с. 12-29. [4] Боревич 3. И., Вавилов Н. А., Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу диагональных матриц, Труды МИАН 148 (1978), с. 43-57. [5] Вавилов Н.А., О подгруппах полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц, Вестник Ленингр. Ун-та, 1 (1981), с. 10-15. [6] Вавилов Н. А., О подгруппах специальной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц. I-V, Вестник Ленингр. Ун-та, 4 (1985), с. 3-7; 2 (1986), с. 10-15; 2 (1987), с. 3-8; 3 (1988), с. 10-15; 2 (1993), с. 10-15. [7] Вавилов Н. А., О подгруппахрасщепимых ортогональных групп. I, II, Сиб. мат. журн. 29 (1988), с. 12-25; Зап. научн. семин. ПОМИ, 265 (1999), с. 42-63. [8] Вавилов Н. А., Подгруппы групп Шевалле, содержащие максимальный тор, Труды Лен. мат. общ. 1 (1990), с. 64-109.Квази-замкнутые множества корней
Свойства связных групповых подсхем
Пересечение с нормализатором тора
Пересечения
Похожие диссертации на Групповые подсхемы редуктивных групп
