Введение к работе
Актуальность темы. История задач о рассеянии угловыми областями имеет своим началом труды А. Пуанкаре, опубликованные в конце 19 века. В этих работах впервые была рассмотрена стационарная акустическая задача дифракции на клине с условиями Дирихле и Неймана.
Вскоре А. Зоммерфельдом было получено решение задачи о дифракции плоской электромагнитной волны на экране, с идеальными граничными условиями . Найденное им интегральное представление для решения задачи носит его имя- "интеграл Зоммерфельда".
В 1932 В.И. Смирновым и С.Л. Соболевым был предложен новый аналитический метод решения двумерных нестационарных задач дифракции. С его помощью было найдено решение задачи о рассеянии на клине с идеальными граничными условиями акустического поля точечного источника*М.М. Фридман и А.Ф. Филиппов применили этот подход для решения задачи дифракции упругой волны на трещине. Решение этой задачи в стационарной постановке было найдено А. Мауэ с помощью метода Винера-Хопфа.
В середине 50-ых годов прошлого века Г.Д. Малюжинец нашел решение задачи о рассеянии акустической плоской волны клином с импедансными граничными условиями. Представляя решение в виде интегралов Зоммерфельда, он свел задачу к разностным уравнениям для аналитических функций вида F(z±a) = 'R±(z)F(—z±a), где F неизвестная мероморфная функция, R* = (— sin z—a±)/(sin z— Ь*), a a* и &1 известные константы.
На протяжении 60-ых и 70-ых годов были найдены решения в нескольких вырожденных случаях: так скользко-твердый упругий клин (нулевые касательные напряжения и нормальное смещение) был рассмотрен Б.В. Костровым;
з .
ЮС. НАЦИОНАЛЬНА*! БИБЛМШКА J
случай упругого клина со смешанными граничными условиями- В.Б. Поручиковым.
Итак, по сей день, аналитическое решение задачи о рассеянии плоской упругой волны на клине с нулевыми нормальными напряжениями найдено лишь для трещины, т.е. клина с углом раствора 360 ([1]), [2],[3] и [4]) , а также в ряде вырожденных случаев, таких, как симметричное падение поперечной волны на клин с раствором 90, когда решение есть сумма плоских волн, т.е. волна, рассеянная вершиной, отсутствует.
Начиная с середины 80-ых было разработано несколько подходов к численному решению задачи об упругом угле1. Так А. Гаутезен рассматривал задачу о рассеянии волны Рэлея в работах [5]- [9]. Эту же задачу численно рассматривали К. Фуджи [10] и Б.В. Будаев и Д. Боджи [11]-[15]. Автором вместе с В.М. Бабичем, В.А. Боровиковым, Л. Фрадкин и Б.А. Самокишем был пересмотрен подход Будаева, основанный на представлении решения в виде интегралов Зоммерфельда: в работах [16]—[18] был предложен альтернативный метод решения выведенных Будаевым сингулярных интегральных уравнений и вычисления рассеянного поля для случаев падения как волны Рэлея так и объемных волн. Перечисленные подходы имеют как недостатки, так и достоинства, в число которых входит их вычислительная надежность: почти все численные результаты, приведенные в этих работах, хорошо между собой согласуются (см. сравнение в [18]).
Во всех упомянутых работах на первое место выходила вычислительная сторона задачи, в то время как вопрос корректной постановки задачи,- теоремы существования и единственности,- оставался в стороне.
Всюду далее выражение "упругий угол" (клин) подразумевает угол с нулевыми нормальными напряжениями.
В середине 90-ых годов Ж. Лебо ([19],[20])разработал оригинальный подход к решению задач этого рода- метод спектральных функций- способ исследования задач рассеяния в "угловых областях", никак не опирающийся на разделение переменных и позволяющий обосновывать принцип предельного поглощения. В частности, с помощью этого метода была рассмотрена задача об упругом клине, погруженном в жидкость: в работе [20] был сделан первый значительный шаг к корректной постановке в задачах этого типа: в ситуации общего положения было доказано существование решения задачи о падении плоской волны в виде потенциала простого слоя.
С помощью этого же метода в совместной с Лебо работе автора [21] была рассмотрена задача об упругом клине с гранями, свободными от напряжений. В этой работе было доказано как существование решения задачи о падении плоской волны, так и его единственность в классе функций, удовлетворяющих условиям излучения, сформулированных в [21].
В обеих работах ([20] и [21]) не рассматривался случай критического падения,- т.е. ситуация, при которой возникает плоская волна, распространяющаяся вдоль одной из сторон угла к его вершине. Автором в работе [22] был заполнен этот пробел: было доказано существование и единственность решения также и в этом случае. Использованный новый подход тесно связан с методом спектральных функций и состоятелен не только для критического падения, но и в общем случае.
Основные результаты работы. В работе рассматриваются следующие вопросы:
Построение теории спектральных функций упругого клина, доказательство центральной для подхода теоремы об изоморфизме;
Доказательство существования решения задачи о падении плоской волны на упругий клин в естественной с физической точки зрения постановке
Доказательство существования тензора Грина для упругого клина, удовлетворяющего принципу предельного поглощения;
Формулировка условий излучения для задач рассеяния на упругом клине с нулевыми нормальными напряжениями на границе;
Доказательство теоремы единственности для задач рассеяния на упругом клине с условиями излучения;
Доказательство отсутствия собственных функций из L2 у оператора Ламе в клине с условием нулевых нормальных напряжений на границе;
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть полезны специалистам Санкт-Петербургского государственного университета, Московского государственного университета, Новосибирского государственного университета, Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук и Санкт-Петербургского отделения Математического института Российской академии наук. Результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов и семинаров по математической физике.
Апробация работы. Результаты диссертационного исследования докладывались на Международной конференции День Дифракции (Санкт-Петербург 2002), научных семинарах в Ecole Polytechnique (Париж, 2002), ПОМИ РАН и ИПМАШ РАН (Санкт-Петербург 2002, 2003).
Публикации. По теме диссертации автором опубликованы две работы [21], [22].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 16 параграфов, и списка литературы. Текст диссертации изложен на 71 странице машинописного текста. Список литературы состоит из 37 названий.
