Содержание к диссертации
Введение
2 Электродинамика Уилера-Фейнмана 13
2.1 Мотивация 14
2.2 Уравнения движения 16
2.2.1 Двухмерная модель 19
2.3 Лучевые координаты 19
2.4 Параметризация 22
3 Возмущения точного решения 26
3.1 Одномерный атом Томпсона 30
3.1.1 Два заряда 32
3.1.2 Решетка 34
3.2 Задача рассеяния 36
4 Непертурбативные алгоритмы 38
4.1 Метод сжимающих отображений 38
4.1.1 Оценки скоростей 40
4.1.2 Регуляризованное отображение 43
4.1.3 Сходимость 44
4.2 Редукция дифференциального порядка 45
4.3 Лестничная параметризация 46
4.3.1 Рассеяние 48
4.3.2 Связанное состояние 49
Заключение 51
Введение к работе
В области классической электродинамики [1, 2] зародилась одна из фундаментальных концепций современной науки: представление о поле как необходимой [1, §15] составляющей описания взаимодействий. Тем не менее, прямое следование теоретическому аппарату электродинамики зачастую приводит к логическим противоречиям. В качестве примера можно привести проблему расчета самодействия для точечной частицы. И в этом смысле классическая (неквантовая) электродинамика резко отличается от, например, ньютоновой механики. Проблемы имеют свое преломление и в квантовой области, поэтому представляет интерес анализ трудностей с позиции классической физики.
Данная работа посвящена менее известному вопросу классической теории: формулировке начальной задачи для системы точечных заряженных частиц с током и электромагнитного ноля. Традиционно к этой проблеме подходят с точки зрения теории уравнений в частных производных, например [3, 4]. Значения электромагнитного поля в начальный момент времени2 (t = 0)
Мировые линии частиц записываются латинскими буквами а, Ь... Ограничимся случаем постоянной метрики в М : ab = а ЬР = g a b", аналогично: а2п = (аа)п. Точками обозначаются производные по параметру.
Во введении предполагается, что метрика д и = diag(+, —, —, —) и траектории параметризованы координатным временем t — XQ. рассматриваются как независимые данные, необходимые для определения поведения системы в будущем. Действительно, для построения решения уравнений поля в неограниченном пространстве можно воспользоваться интегральной формулой Кирхгоффа [5, ее. 417-418]. Вклад векторного потенциала поля, сгенерированного частицами о приводит к появлению в уравнениях движения заряженных частиц интегральных операторов типа Вольтерра и фиксация обычных ньютоновых начальных данных достаточна для единственности решения.
Данная постановка задачи имеет ряд вариаций и в любой из них система в целом трактуется как бесконечномерная. Например, поле может быть разложено на гармонические составляющие, осцилляторы, и место уравнений в частных производных заменит счетный набор зацепляющихся ОДУ. Можно заметить здесь, что часть расходимостей квантовой электродинамики (бесконечная энергия вакуума) возникает как раз в этой парадигме [6, §3], [7, гл. 9 §3].
Рассмотренный подход, к сожалению, не свободен от принципиальных трудностей. Дело в том, что при решении конкретных задач поле исследуемой системы физически представлет собою суперпозицию как полей внешних источников (излучателей, на которые сама система зарядов оказывает пренебрежимо малое влияние) так и созданных зарядами
системы в прошлом, при t 0. Поля, сгенерированные самой системой (в том числе, в ходе отклика на действие внешних нолей), не являются произвольными. Нельзя утверждать, что движение заряженных частиц в соответствии с физическими законами и под действием известных внешних нолей (и иных сторонних сил) позволит получить произвольное, наперед заданное электромагнитное иоле к интересующему нас моменту времени.
Например, поле зарядов имеет сингулярности вдоль их мировых линий. Для нерелятивистской системы, «разогреваемой» начальный момент времени мощным электромагнитным импульсом, с достаточной степенью точности можно использовать кулоново иоле. Оно не произвольно и зависит от начального распределения частиц. Таким образом, задание значений поля как независимых данных не отражает адекватно размерность задачи, реальное число степеней свободы системы.
В более общем случае, постановка задачи может допускать добавление полей зарядов, движущихся заданным образом внутри системы. Например, электрическое поле статического распределения зарядов. Но так или иначе, само понятие электромагнитного поля в данном подходе играет вспомогательную роль: в уравнениях движения заряженных частиц взаимодействие описывается полностью в терминах их мировых линий.
Законно спросить, имеет ли электродинамическая система дополнительные степени свободы [8, 9] (но сравнению с ньютоновой механикой), если учесть проведенную выше декомпозицию поля на внешнее и самосогласованное, зависящее от истории движения зарядов? Это основной вопрос, поставленный в данной работе. Нетривиальность его связана с тем, что уравнения движения являются функционально-дифференциальными [10, 11, 12, 13, 14] (ФДУ). В изучаемой здесь модели это ФДУ точечного типа, называемые также иногда дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом или дифференциально-разностными уравнениями (ДРУ).
ДРУ, описывающие процессы с последействием, появились в литературе еще в XVIII веке, в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако их активное изучение началось только в 50-х годах XX века, в рамках развития теории автоматического регулирования [15, 16], когда выяснилось, что для описания практических систем необходимо привлекать такой параметр, как время реакции. До этого периода, не существовало даже четкой постановки начальной задачи [10]. ДРУ получили распространение в иммунологии, химии, электронике [17, 18]. В основном использовались модели с постоянным запаздыванием, как наиболее изученные.
Хотя можно предложить ряд контрпримеров (приложение А), демонстрирующих возможность выделения решения конечномерным набором начальных данных, в теории ДРУ единственность обычно обеспечивается заданием поведения неизвестных функций на некотором отрезке изменения независимой переменной, «времени» [14]. Такие начальные данные представляют собою точку в фазовом пространстве системы [16], являющемся, таким образом, функциональным пространством.
Наряду с этим, в задаче Синга была продемонстрирована [30,31, 32, 8, 33, 34, 35, 24, 23, 36] достаточность обычных «ньютоновых» начальных данных Коши для выделения единственного решения, как и в нерелятивистском случае. Более того, неоднократно утверждалось [21, 37, 38], что (1.3) являются достаточным набором начальных данных для задач релятивистской механики.
Аналогичная проблема выбора подходящих начальных данных возникает и в электродинамике Уилера—Фейнмана [39, 28, 40, 41, 42, 43, 44, 41, 45], когда заряды взаимодействуют полусуммой опережающих и запаздывающих потенциалов. Теорема существования и единственности решения для задачи о симметричном лобовом столкновении двух одинаковых (та = ть = т) частиц была доказана Драйвером [46] при кинетических энергиях є 1(Г3т в системе центра масс. Недавние результаты численного моделирования, проведенные Никитиным с соавторами [47, 48, 9], демонстрируют бифуркации (распад на три ветви) единственного в нерелятивистской области решения при є 3.7771 и выше.
Далее в качестве математической модели будет использоваться именно двухмерная (ограничение движения на прямую) формулировка электродинамики Уилера—Фейнмана [39, 28, 49, 49, 44]. Выбор обусловлен, в первую очередь, трудностями обычной Максвелл—Лоренце-вой электродинамики в областии учета самодействия. Консервативность динамики в этой модели также позволяет проанализировать примеры движения частиц с релятивистскими энергиями в ограниченной области. Соответствующая задача в обычной электродинамике потребовала бы нестационарных внешних условий: накачки системы энергией, для компенсации радиационных потерь. В первой главе приведена подробная формулировка теории и обсуждаются ее физические аспекты.
В главе 3 рассмотрен спектр линейных возмущений точного решения равновесного состояния системы iV зарядов на однородном противоположно заряженном фоне (одномерный атом Томпсона). Показано, что при увеличении плотности системы в спектре собственных значений линейной теории возмущений появляются новые моды, отвечающие ограниченным решениям. В контрасте с этим, проведено также доказательство единственности ограниченного решения в линейной теории возмущений для задачи о лобовом столкновении частиц.
Последняя глава посвящена непертурбативным методам решения задачи iV-тел. Принцип сжимающих отображений [50, гл. II §4] использован при доказательстве теоремы существования и единственности решения в разделе 4.1 для задачи типа рассеяния с достаточно низкими энергиями налетающих частиц. Редукция дифференциального порядка системы в разделе 4.2 позволяет расширить этот результат на случай движения зарядов в ограниченной области для слабого релятивизма. Использование лестничной параметризации [47] в разделе 4.3 позволяет свести задачу о финитном движении двух тел к счетному набору зацепляющихся обыкновенных дифференциальных уравнений (решетка) и набору алгебраических уравнений сшивки (механика со связями). Для эффективного обрыва цепочки уравнений можно использовать граничное условие Борна—Кармана. Анализ возмущений точного решения задачи двух тел в этом случае позволяет строго подтвердить вывод главы 3 о повышении размерности системы, возникновении новых коллективных «степеней свободы».
Уравнения движения
Рассмотрим математическую формулировку теории более подробно. Ниже предполагается, что пространство-время является псевдоевклидовым с сигнатурой (+, —,—,—): где метрика д не зависит от координат1, но не обязательно диагональная. В этом случае уравнения движения определяются как экстремали функционала действия что приводит к уравнениям, совпадающим по форме с теми, что получаются в нолевой теории. Для скоростей и ускорений частиц справедливо тождество: Однако, «потенциалы» Обобщение теории на случай произвольной системы координат [44, ch. II]. тензор электромагнитного поля являются только вспомогательными обозначениями (подобно электростатике и магнитостатике) и имеют смысл, вообще говоря, лишь на мировых линиях частиц.
В этих обозначениях, считая движения части заряженных частиц заданным, можно ввести представление о «внешнем поле». Действие (2.2) инвариантно относительно трансляций и поворотов в М\. Интегралы движения могут быть получены стандартными методами (теорема Нетер). Трансляциям отвечает закон сохранения импульса вращениям соответствует закон сохранения момента (2-10) Отметим здесь, что электромагнитное ноле (2.6), действующее на частицу а, допускает декомпозицию вида через парциальные вклады отдельных частиц (F& соответствует слагаемому для 6-й частицы в формуле (2.6)), где запаздывающее Fet и опережающее Fdv значение «электромагнитного поля» определяются соответствующими положениями точки Ь по отношению к а на световом конусе (а — Ь)2 = 0 в выражении (2.5). Второе слагаемое в (2.11) сводится к известному выражению для силы радиационного торможения, предложенному Дираком [60] При параметризации мировой линии собственным временем частицы, скалярное произведение аа = 0, поэтому второй член в (2.12) пропадает.
Третье слагаемое (2.11) не имеет сингулярностей на мировых линиях заряженных частиц (представляет собою решение однородной системы уравнений Максвелла) и равно нулю, в условиях предположения о полной абсорбции излучения сделанного Уилером и Фейнманом. В этой связи интересно отметить возможность иных симметричных «граничных условий» на это слагаемое. Помимо полного исчезновения, можно рассмотреть случай, когда оно представляет собою слабое флуктуирующее с гауссовым (однородность, изотропность) спектром [87, 88, 89, 90, 91, 92] электромагнитное поле. Ограничимся далее двухмерным нсевдоевклидовым пространством, поскольку данный случай допускает дополнительные упрощения уравнений движения. Физически это соответствует ограничению движения заряженных частиц на прямую для обычной электродинамики в Mf. Используя выражения для потенциалов поля (2.5) и соотношения несложно показать, что в двухмерной модели напряженности поля не зависят от ускорений: на фоне статического в некоторой ИСО (используемой в качестве лабораторной системы отсчета) распределения остальной части зарядов системы, формирующих заданное «внешнее поле», которое полностью характеризуется скалярным потенциалом ф{х\). Сохраненный выше произвол в выборе метрики позволяет использовать удобную с точки зрения структуры взаимодействия систему координат [93, 47, 41, 45], когда оси направлены вдоль световых лучей. Связь
Два заряда
Рассмотрим решение уравнений (2.24), представив его в виде ряда по степеням отклонения от невозмущенного решения: f+5f + 52f-\ h 5nf + Невозмущенное решение Sf = f соответствует равновесному состоянию системы (3.8), 6f - линейное приближение. Тогда, в линейном порядке теории возмущений получим: N тПаШг = .- 13 №( - К - h\) + йі( + «i - &i)) + ЛГ 2еаеь5аі еаеИф"(аі) Ьфа что дает maASai = 2 I—ГГІЗ № 01) + —лГП—5ai (3,10) Ьфа в нерелятивистском случае Ограничимся в дальнейшем одинаковыми зарядами: модель с единственным безразмерным параметром а = 2е2/(гаД), характеризующим отношение потенциальной энергии соседних зарядов к их массе покоя. В фурье-представлении 6ai(t) — баї exp(zcjt), уравнение для спектра линейных возмущений будет — + 1« 2.542 3 (9-d2Y (3.16) Рис. 3.2. Левая и правая части уравнения (3.15) как функции частоты. Число положительных корней (3.15) растет при а —- со как Птах " (тг/d) " Trd 1 это следует из простейших геометрических соображений (рис. 3.2) . Для значений а 20, зависимость ш(а) представлена на Рис. 3.3, где видно появление пар новых собственных значений (например, при сх 7.85). В пределе а — со, несложно получить спектр в виде s+cos +[a Рис. 3.3. Зависимость a(uj) для спектрального уравнения (3.15). При а « 7.85 происходит появление первой пары новых мод. Значения сит\а и штах соответствуют a = 20. Для N » 1 частиц на отрезке L, взаимодействующих с однородно заряженным фоном, уравнения равновесия (3.8) дают, как отмечено было выше, практически равномерное распределение. Вклад потенциала ф играет в этом случае роль граничного эффекта, а период решетки Д является новым независимым параметром задачи.
Значения невозмущенных координат частиц пробегают ряд целых чисел а, Ь Є Z. В остальном, уравнения теории в точности совпадают с (3.9), (3.10), (3.11) и (3.12), учитывая изменения пределов сумм и исчезновения слагаемого, отвечающего взаимодействию с фоном. Решение спектрального уравнения (3.11) ищем в виде стоячих волн exp(ifcn), где к Є [0,7г]. От куда спектр решетки определится из нелинейного уравнения в нерелятивистском пределе Аналогично характеристическому уравнению (3.15) для пары частиц, в релятивистском случае (а — +оо), ветви спектра u n(A;) будут определяться нулями правой части (3.22); число ветвей растет линейно с а. Это соответствует линейному росту числа собственных значений (3.11) по а и N при большом числе частиц иа- +оо. В релятивисткой кинетической теории плазмы известна интересная особенность решения начальной задачи Ландау в линейном приближении. Из-за неаналитичности функции диэлектрического отклика плазменной среды, обусловленной релятивизмом, наряду с волновым решением возникает дополнительный вклад в решение, названный В. П. Силиным и В. Н. Урсовым [98] неволновым решением. Это решение в некотором смысле можно интерпретировать как новую неволновую моду с UJ ft! кс, обусловленноую релятивисткой динамикой. В этой диссертации (приложение В), показано что в одномерной магнитоактивной плазме возникает аналогичное дополнительное неволновое релятивистское решение в области циклотронной частоты. Отметим также, что в работе [99], установлено, что в релятивисткой одномерной плазме может существовать дополнительная волновая мода.
Таким образом, возникновение дополнительных колебательных мод из за релятивистских особенностей не является абсолютно неожиданным фактом релятивистской динамики. Качественно более простой ситуацией является случай, когда невозмущенное решения принадлежит к типу рассеяния, когда межчастичные расстояния стремятся к бесконечности при t — ±00 и скорости не становятся асимптотически световыми. Рассмотрим возмущения симметричной (&i = — а\, частицы одинаковы) задачи двух тел в галилеевой системе координат при параметризации t = XQ. Линейная теория приводит для вариаций импульсов р = брь к уравнению вида где r]{t) и r(t) являются положительно определенными функциями, причем f\ 1 и т 1. Учитывая свойства невозмущенного решения \ui(t) — h(t)\ ос \t\ при t — ±00, имеем k\t2 ос \t\ , &з ос \t\ и І&4І со-Будем искать ограниченное решение (3.24), представив его в виде p(t) = р(0) ехр ( I a(s)ds] + I dr(3{r)ехр ( f a(s)ds] , (3.25) где И, Ht)\ dt оо и 1ГМ \№\ dt оо.
Регуляризованное отображение
Для заданных начальных условий (4.11) удобно использовать (4.24) и (4.25) при определении отображения. Положим Определим отображение {а} —» {а1} = Л {а}, учитывая ограниченность скоростей (4.24) и межчастичных расстояний (4.25): «Скорости» а! автоматически становятся ограниченными и межча стичные расстояния а! — Ъ = а(0) - 6(0) + /0 dr(a — У) ограничены снизу. Поэтому учтем эти ограничения сразу при выборе метрического пространства М для вектор-функций {а}. Также, метрику введем соотношением что соответствует слаборелятивистской области и ньютонову пределу. Действительно, при а(0) 1 и тта ь \а(0) — 6(0) — оо имеем М — 1 и Данные рассуждения применимы и при взаимодействии только запаздывающими потенциалами [102]. Здесь утверждение может быть усилено. Решение единственным образом определяется параметрами рассеяния, поскольку доказательство сходимости достаточно провести на t 0 (существенно, что D в этом случае можно сделать сколь угодно большим): мировые линии тривиально продолжаются «в будущее» последовательным интегрированием ДРУ «методом шагов». Для задачи о финитном движнении частиц в удерживающем потенциале ф О, можно воспользоваться методом редукции дифференциального порядка системы уравнений. Представив правую часть уравнений движения в виде формального ряда но степеням отклонения аргумента, на первой итерации решение определяется из дарвиновского приближения. В последующих итерациях алгоритма определяем производные выше второго порядка из предыдущей итерации. Учитывая, что отклоняющиеся аргументы ос supfmaxa аі(), сходимость данного алгоритма удается доказать в слаборелятивистском случае. Когда мала энергия системы (по нерелятивистской формуле) заряженных частиц. В совокупности с задачей рассеяния, данное утверждение показывает, что выполнен принцип соответствия: ньютоновы начальные данные определяют единственное решение уравнений движения при достаточно низких энергиях системы.
Для двух частиц, как отмечено в первой главе, существует параметризация, в которой отклонения аргументов становятся постоянными. Здесь можно свести задачу (Рис. 4.1) к набору зацепляющихся ОДУ (решетка) Ограничив индекс п Є [—iV, АГ], мы получаем оборванную цепочку Рис. 4.1. Переход к счетному числу зацепляющихся ОДУ в случае лестничной параметризации для двух частиц. уравнений. Причем, q и q N при t Є [0,1] удовлетворяют уравнениям соответственно. Ha интервалах t 1 для 6і = q , и на t 0 для 6і = д дг справедливы уравнения (2.31). В задаче рассеяния и движения частиц в ограниченной области, используются различные граничные условия для обрыва цепочки. 4.3.1. Рассеяние Здесь (ф = 0) движение «частиц» с \п\ — со является ассимп-тотически свободным: в зависимости от начальных данных и є, существует такое N(e,q± (0), (0)), что взаимодействие «соседей» (правая часть в (4.34)) с \п\ N пренебрежимо мало, меньше е. Что позволяет ограничить индекс п конечным интервалом. И заменить в (4.36) и (4.37) значения q (i) при t 1 и 9-дг(0 ПРИ 0 на линейные функции, с сохранением непрерывности q±N и их производных. В результате, имеем систему 2(JV + 1) ОДУ второго порядка (4.34), (4.36) и (4.37) для q„. Следует отметить, что в ультрарелятивистском пределе цепочка уравнений выпрождается в пару для gjjS поскольку взаимодействие здесь быстро спадает вдали от столкновения, обратно пропорционально кинетической энергии частиц. Начальные значения {(7 (0), (0)} при п Ф 0 и п N, определяются из условий сшивки: размерность пространства начальных данных ((7 (0) и (/ (0)) остается такой же, как и в нерелятивистском случае. Отметим, что алгебраические уравнения сшивки могут иметь конечное число решений относительно начальных данных, что означает распад при высоких энергиях рассеяния единственного (раздел 4.1) в нерелятивистской области решения на несколько ветвей, соответствущих одинаковым параметрам рассеяния.
Лестничная параметризация
В случае финитного движения выбираются граничные условия Борна-Кармана и задача сводится к поиску решений типа бегущей волны. При слабом отклонении от равновесного распределения рассмотренного во второй главе, Ъ\ и а\ удовлетворяют (3.8), ветви спектра соответствуют действительным собственным значениям уравнения (3.15). В заключении сформулируем основные результаты, полученные в диссертации: 1. Исследована модель электродинамики Уиллера-Фейнмана в двухмерном пространстве Минковского (движение вдоль прямой). Установлено, что уравнения движения сводятся к системе N ДРУ второго порядка. 2. Рассмотрен спектр линейных возмущений точного решения для равновесного состояния системы N зарядов на однородном противоположно заряженном фоне (одномерный атом Томпсона). Показано, что при увеличении плотности системы в спектре появляются новые собственные значения, отвечающие ограниченным решениям. 3. Доказано (принцип соответствия), что ньютоновы начальные данные позволяют выделить единственное решение релятивистской задачи рассеяния или задачи о финитном движении частиц при достаточно низких энергиях системы. 4.
В релятивистском случае, задача о движении двух заряженных частиц во внешнем поле сведена (лестничная параметризация) к счетному набору зацепляющихся ОДУ (решетка) и алгебраических 5. В задаче рассеяния можно воспользоваться условием асимптотической свободы для обрыва полученной цепочки ОДУ. Это показывает, что размерность задачи остается той же, что и в механике. 6. При финитном движении, использование граничного условия Борна-Кармана позволило строго подтвердить вывод о повышении размерности системы и возникновении новых коллективных «степеней свободы», сделанный на основе анализа спектра линейных возмущений. Постановку начальной задачи, принятую в теории ФДУ точечного типа проиллюстрируем на простейшем примере линейного ДРУ Очевидна недостаточность начальных данных задачи Коши теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): при х(0) = 0 одним из решений будет семейство С sin t с произвольным С. Характеристическое уравнение для (АЛ): Аналогичная структура спектра получается и в случае уравнений с отрицательным запаздыванием или смешанном присутствии отклонений аргументов разных знаков. В отличие от линейных ОДУ с постоянными коэффициентами, левая часть характеристического уравнения не является полиномом и имеет бесконечное и притом счетное [12, Гл. 4] множество нулей; число ограниченных (с Imo; = 0) собственных значений всегда конечно, если ДРУ не содержит производных с отклоняющимися аргументами (ДРУ нейтрального типа). Континуум начальных данных Наличие счетного множества линейно независимых решений наводит на мысль, что набор начальных данных не может быть конечным.
Действительно, систематический подход к постановке начальной задачи [12, секция 3.4] заключается в фиксации значений неизвестной функ-ции(ий) на некотором начальном множестве. Так (А.1), имеет единственное решение на t 0, если x(t) = ф(і) на t Є [—7г/2,0] и ф — непрерывна. Последовательным интегрированием {метод шагов) уравнения (А.1) на отрезках длинной 7г/2, получаем решение на t 0. Нетривиально [10, 6] при этом определение решения на t —7г/2. Однако, может быть реализована и прямо противоположная ситуация, когда единственность решения обеспечивается фиксацией конечного набора начальных данных. Простейшим примером [31, 46] может послужить задача
