Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Сокращенное описание в задачах термомеханики и электродинамики для тонких тел 16
I. Методы сингулярных возмущений в задачах о тонких телах (обзор литературы) 16
2. Основные уравнения и граничные условия 36
3. Асимптотическое преобразование уравнений, выражающих законы сохранения 42
4. Общая схема построения асимптотического разложения для внутренней задачи 51
Выводы 68
ГЛАВА 2. Одномерные и двумерные теорий для различных моделей сплошных сред 70
5. Анизотропная теплопроводность пластин и стержней 70
6. Термоупругость анизотропного неоднородного стержня 93
7. Длинноволновые колебания анизотропных стержней 118
8. Анизотропная "балка - струна" 127
9. Асимптотическое решение задачи о течении в индукционной магнитогидродинамнческой машине 133
10. Осреднение в периодической задаче теории теплопроводности для пластины 143
Выводы 152
ГЛАВА 3. Приторцевой пограничный слой 155
11. Пограничный слой в задачах теории теплопроводности 155
12. Пограничный слой в задачах теории упругости для тонкого стержня 170
13. Пограничный слой в задаче об индукционном течении 186
Выводы 193
ГЛАВА 4. Внутренние пограничные слои 195
14. Пограничный слой около линии смены типа граничных условий 196
15. Пограничный слой около линии смены типа граничных условий при резком изменении коэффициентов 205
16. Сопряжение тонких областей с существенно различными свойствами 216
17. Сопряжение тонких областей с близкими свойствами 230
Выводы 240
ГЛАВА 5. Асимптотическое расщепление задач для тонких тел при учете взаимодействия с внешней средой 242
18. Асимптотическое описание взаимодействия тела с внешней средой 243
19. Асимптотика ближнего поля токонесущей линии 249
20. Асимптотика ближнего поля токонесущей поверхности 259
21. Электромагнитное поле у края индуктора 265
22. Теплообмен излучением между коаксиальными цилиндрами 270
Выводы 278
Заключение 280
Приложение.
- Асимптотическое преобразование уравнений, выражающих законы сохранения
- Асимптотическое решение задачи о течении в индукционной магнитогидродинамнческой машине
- Пограничный слой в задачах теории упругости для тонкого стержня
- Пограничный слой около линии смены типа граничных условий при резком изменении коэффициентов
Асимптотическое преобразование уравнений, выражающих законы сохранения
Основной геометрический объект, изучаемый в настоящей работе, это "тонкое" тело - пластина, стержень, провод, узкий канал. Этот объект является, как минимум, "двухмасштабным", характеризуясь существенно различными длиной и диаметром поперечного сечения (или толщиной и размером в плане). Различие геометричесішх параметров задает естественный малый параметр, от которого зависит структура физических полей в тонких телах. Однако основной параметр - относительная толщина - не определяет указанную структуру полностью. Важную роль играют другие параметры, прежде всего те, которые входят в граничные условия. При рассмотрении статических и квазистационарных процессов учитываемым в задаче физическтл явлениям можно сопоставить в качестве масштабов некоторые характерные длины. Отношения характерных длин задают безразмерные параметры задачи (критерии подобия). В тех случаях, когда эти безразмерные параметры принимают большие (малые) значения, и возникает многомасштабная задача, в случае тонкого тела почти всегда сингулярно возмущенная.
Многомасштабность задач, сопряженная со сложной структурой физических полей, не обязательно связана с наличием малого геометрического параметра. Так, в семимерном фазовом пространстве, рассматриваемом в физической кинетике, "тонким" часто оказывается "слой" импульсного пространства по сравнению со "слоем" конфигурационного пространства. В задачах для кристаллических или конструктивно-анизотропных тел многомасштабность может быть вызвана резкой анизотропией свойств. Общим для всех многомасштабных задач является наличие хотя бы одного малого параметра и одного или нескольких параметров, "управляющих" структурой поля.
Библиография по вопросу о термомеханике и электродинамике тонких тел чрезвычайно обширна. В настоящем кратком литературном обзоре затронуты, главным образом, работы, непосредственно примыкающие к теме диссертации.
Модели меньшей размерности. В теории сплошной среды для тонких тел, наряду с общими многомерными моделями, существуют упрощенные модели, дающие сокращенное описание объекта. Таковы одномерные уравнения теплопроводности для стержней и двумерные -для пластин и оболочек, уравнения деформации балок, стержней, пластин и оболочек - в теории упругости, уравнения длинных линий, проводов и токонесущих пластин и оболочек - в электродинамике. Да и сама механика сплошной среды является моделью меньшей размерности по отношению к физической кинетике.
Традиционно переход от полного описания к сокращенному совершался путем введения некоторых дополнительных предположений. Классическое одномерное уравнение теплопроводности в стержне было: выведено Фурье одновременно с полным трехмерным уравнением с помощью дополнительного предположения о постоянстве температуры по сечению стержня. Модели меньшей размерности в теории упругости строятся на основании гипотез Кирхгофа - Лява /166/ о неизменности нормального элемента ж пренебрешшой малости нормаль -ных напряжений на площадках, параллельных срединной поверхности пластины (оболочки). Б третьей из рассматриваемых в диссертации областей - теории течения вязкой электропроводной жидкости в бегущем магнитном поле - модели меньшей размерности имеют более короткую историю, чем в теории теплопроводности и теории упругости. Они представлены, главным образом, теорией плоскопараллельного поля А.И.Вольдека /67/, одномерной теорией продольного краевого эффекта Г.И.Штурмана /266/, обобщениями этих теорий с учетом анизотропной структуры статора /63/. В работе /324/ поперечный и продольный эффекты рассматриваются одновременно. Перечисленные модели получены в так называемом электродинамическом приближении, то есть для твердотельного ротора. Магнитогидродинами-ческий вариант теории плоскопараллельного поля получен из эвристических соображений Е.И.Литовским /269/. Дополнительной гипотезой при выводе указанных моделей слр ьит предположение о том, что нормальная к плоскости индуктора компонента поля не меняется поперек зазора. Повышение точности расчета полей температуры, скорости и напряжений потребовало анализа применимости моделей меньшей размерности /281, 295, 296/ и создания уточненных теорий, занимающих промежуточное положение между полными и упрощенными. Уточненные теории опираются на дополнительные гипотезы, в той или иной мере ослабленные по сравнению с классическими. Таковы уточненные теории оболочек С.П.Тимошенко /233/, Э.Рейсснера /304, 305/, С.А.Амбарцумяна /8-Ю/, теории стержней Г.Ю.Дкане -лидзе /98/ и Я.С.Уфлянда /252/, варианты теории оболочек А.И. Лурье /163/, В.В.Новожилова /193/ (см.также обзоры /7/, /85/). Многовариантность уточненных теорий и отсутствие четкой их классификации и ясно очерченной области применимости представляет определенное неудобство. Кажущиеся или действительные противоречия моделей, основанных на дополнительных гипотезах, пытается преодолеть "аксиоматическое" направление, основанное на концепции оснащенных линий /102/ или поверхностей /78, 105, 207, 285, 299, 320/. Логическая безупречность таких теорий, как отмечено в /192/, не избавляет их от физических погрешностей, связанных с заменой трехмерного объекта двумерным. Искусственный отрыв одно- и двумерных теорий от трехмерной теории сплошной среды противоречит естественно-научной тенденции вывода различных моделей "из первых принципов".
Асимптотическое решение задачи о течении в индукционной магнитогидродинамнческой машине
При сделанных предположениях можно построить равномерную асимптотику решения задачи. Для этого положим вместо (4.25) а правые частині зависят от функций 1/%, с номерами t- K. и функций с номерами С /С . Условие (4.44) экспоненциального затухания функций UTfc приводит при этом в силу предположения 5 к coot где jg зависит от функций с номерами, меньшими /с . Таким образом, на каждом шаге итерационного процесса решаются три задачи: (4.28) относительно 66 , (4.29), (4.50) - относительно - относительно погранслойной функции ЬГ . Указанные свойства рекуррентного процесса легко устанавливаются с помощью метода математическом индукции. При условии равномерной по корректной разрешимости возмущенной задачи при О Є Є построенные с помощью этого процесса формальные ряды являются асимптотическими разложениями решения.
Замечания. В приложениях (главы 2 и 3) условия (4.49) и условия (4.50) являются условиями Дирихле. Кроме этих условий рассматриваются и условия второго рода, которые в настоящем параграфе моделировались первшл условием (4.35). При таких условиях существуют ненулевые решения однородной задачи о пограничном слое. Неоднородная задача требует при этом выполнения условий разрешимости. Именно эти условия и будут давать граничные условия для уравнений (4.29). Возможны также граничные условия, часть которых относится к условиям (4.35), а часть - к условиям (4.49), а также смешанные граничные условия. Нетрудно распространить описанную схему и на эти случаи (см., в частности, 12), В II рассматриваются примеры применения общей схемы и к некоторым нелинейным задачам в случае размерности ядра оператора В , равной единице. В этом случае вместо І4.27) имеем нелинейное уравнение со степенными нелинейностями. Если соответствующая этому уравнению диаграмма Ньютона /48/ имеет возрастающую часть, состоящую из конечного числа звеньев, то описанный выше алгоритм проходит при некотором его видоизменении.
В книге /48/ регулярно возмущенная задача (4.10) рассматривается для оператора 3 , действующего из одного линейного нормированного пространства в другое. Для этого случая можно построить и схему асимптотического разложения сингулярно возмущенной задачи, повторяя изложенное выше почти дословно. В приложениях гильбертово пространство И является пространством h. (SL) t где LQ/ - поперечное сечение тонкого тела, поэтому в указанном обобщении нет необходимости. Отметим, правда, случай, когда в силу специфики данных задачи, именно, краевой задачи для эллиптического уравнения в поперечном сечении тонкого тела, она ставится в пространстве Соболева с дробным индексом (в связи с теорией возмущений см. /48, пункт 29.3/). Этот случай представляет, главным образом, теоретический интерес.
Асимптотическое преобразование (усреднение по толщине) дифференциальных законов сохранения скалярных и векторных величин приводит к одномерным (двумерным) аналогам этих законов. Эти одномерные (двумерные) уравнения являются незамкнутыми. Для их замыкания необходимо асимптотическое расщепление полной задачи.
Моделью для задач математической физики, допускающих редукцию размерности, может служить абстрактное сингулярно возмущенное уравнение в линейном нормированном пространстве. Невозмущенный оператор имеет непустое нуль-пространство (ядро) и цепочку собственных и присоединенных векторов относительно последовательности возмущающих операторов. При этом основной итерационный процесс проводится формально так же, как и в случае регулярных возмущений.
Модельное уравнение вблизи границы имеет второе предельное разложение. При выполнении ряда условий (наличие собственных и "моментных" решений и соотношения типа формулы Грина) строится условие затухания компоненты решения, локализованной вблизи границы (пограничного слоя). Условия затухания служат граничными условиями для скалярных уравнений, полученных в ходе основного итерационного процесса.
Для применимости алгоритма, использованного в модельной задаче, к асимптотическому расщеплению многомерных задач термомеханики и электродинамики сплошной среды, необходимо, чтобы невозмущенная задача в поперечном сечении тонкого тела имела нетривиальные решения. В стационарном случае это имеет место при условиях второго рода (естественных краевых условиях).
При асимптотическом расщеплении задач для тонких тел с условиями первого рода на боковой (лицевой) поверхности ядро невозмущенного оператора имеет нулевую размерность. В этом случае для тонкого тела не существует одномерного (двумерного) аналога уравнений теории сплошной среды.
В настоящей главе для двух указанных в 2 моделей сплошной среды - линейного упругого тела и проводящей вязкой жидкости реализуется основной итерационный процесс 4 (пограничные слои рассматриваются в следующей главе). При этом роль невозмущенного оператора играет оператор краевой задачи в поперечном сечении тонкого тела или узкого канала (немагнитного зазора). В 5 и 10 рассматриваются задачи теории теплопроводности, интересные как сами по себе, так и в связи с приложениями к задачам термоупругости. Периодически-неоднородная структура, изучаемая в 10, потребовала применения вместо метода погранслой-ных поправок метода двухмасштабных разложений. Поскольку задача с периодическими условиями имеет цепочку с.п.в. такую же, как и возмущенная, вторая краевая задача, то итерационный процесс развертывается для задачи с условиями периодичности аналогично процессу для задачи о тонком теле.
Пограничный слой в задачах теории упругости для тонкого стержня
Уравнения (6.94)- (6.96) представляют собой точные одномерные уравнения, описывающие растяжение- сжатие, кручение и изгиб стержня. В системе (6.88)- (6.96) пока еще нет никаких приближений, она эквивалентна исходной системе уравнений, но при этом уравнения относительно средних по сечению смещений (система (6.94)- (6.96)) и уравнения для отклонений от среднего (система (6.88)- (6.93)) связаны друг с другом. С помощью представления (6.87) главная часть разложения искомого решения по параметру выделена, и асимптотическое разложение решения системы (6.88)-(6.93) содержит только неотрицательные степени Є . Введем обозначение для вектора амплитуд при собственных функциях:
Подставляя разложение (6.98) в систему (6.88)- (6.93), получаем рекуррентную систему уравнений. На каждом шаге итерационного процесса сначала решается система обыкновенных уравнений относительно вектора tyJlyv . При этом оказывается выполненным условие разрешимости задачи типа (6.7)- (6.12), после решения которой процесс возобновляется. С помощью метода математической индуїщии устанавливаем, что задача алгоритмически разрешима, т.е. из рекуррентной системы можно найти члены разложений (6.98) с произвольными номерами. Система обыкновенных уравнений (6.94)- (6.96) и системы, получающиеся из нее после подстановки разложений (6.98), требуют для своего замыкания граничных условий. Вопрос о граничных условиях для этих систем обсуждается ниже, в 13.
Рассмотрим важный частный случай задачи теории упругости для стержня - задачу об однородном стержне с плоскостью материальной симметрии, перпендикулярной образующей /75/. В этом случае становится существенно проще вид цепочек с.п.в., упрощаются и задачи, из которых они определяются. В частности, задача (6.27) распадается на две независимые - задачу кручения L Ф - Мк. с и задачу о плоской деформации L -Myci Оке (операторы l3-l3 = -О ). В цепочке с.п.в., начинающейся с (/3 , в данном случае функции напряжений 93 и Т обращаются в нуль. Условие разрешимости (6.60) оказывается выполненным, а выражение ( flip
Уравнения (6.94)- (6.96) представляют собой точные одномерные уравнения, описывающие растяжение- сжатие, кручение и изгиб стержня. В системе (6.88)- (6.96) пока еще нет никаких приближений, она эквивалентна исходной системе уравнений, но при этом уравнения относительно средних по сечению смещений (система (6.94)- (6.96)) и уравнения для отклонений от среднего (система (6.88)- (6.93)) связаны друг с другом. С помощью представления (6.87) главная часть разложения искомого решения по параметру выделена, и асимптотическое разложение решения системы (6.88)-(6.93) содержит только неотрицательные степени Є . Введем обозначение для вектора амплитуд при собственных функциях:
Подставляя разложение (6.98) в систему (6.88)- (6.93), получаем рекуррентную систему уравнений. На каждом шаге итерационного процесса сначала решается система обыкновенных уравнений относительно вектора tyJlyv . При этом оказывается выполненным условие разрешимости задачи типа (6.7)- (6.12), после решения которой процесс возобновляется. С помощью метода математической индуїщии устанавливаем, что задача алгоритмически разрешима, т.е. из рекуррентной системы можно найти члены разложений (6.98) с произвольными номерами.
Система обыкновенных уравнений (6.94)- (6.96) и системы, получающиеся из нее после подстановки разложений (6.98), требуют для своего замыкания граничных условий. Вопрос о граничных условиях для этих систем обсуждается ниже, в 13. Рассмотрим важный частный случай задачи теории упругости для стержня - задачу об однородном стержне с плоскостью материальной симметрии, перпендикулярной образующей /75/. В этом случае становится существенно проще вид цепочек с.п.в., упрощаются и задачи, из которых они определяются. В частности, задача (6.27) распадается на две независимые - задачу кручения L Ф - Мк. с и задачу о плоской деформации L -Myci Оке (операторы l3-l3 = -О ).
В цепочке с.п.в., начинающейся с (/3 , в данном случае функции напряжений 93 и Т обращаются в нуль. Условие разрешимости (6.60) оказывается выполненным, а выражение ( flip В цепочках, начинающихся с ук —условия (6.72), (6.73) выполняются при нулевых функциях.В результате система (6.94)- (6.96) в первом приближении, как и в классическом изотропном случае, распадается на независимые уравнения растяжения- сжатия, кручения и изгиба. Сравнивая этот частный случай и случай неоднородного стержня произвольной анизотропии, замечаем, что главное отличие общего случая состоит в наличии члекручение и растяжение (сжатие) стержня при наличии изгиба. "Нормальное" растяжение и сжатие при тех же условиях имеет порядок (см.(6.87)).
Асимптотический алгоритм решения стационарной задачи термоупругости для изотропного цилиндра был предложен в /72/, случай однородного анизотропного цилиндра при наличии плоскости материальной симметрии рассмотрен в работе автора и Е.В.Галактио-нова /75/, а также в монографии /119/. В /73/ получено асимптотическое решение задачи термоупругости для анизотропной пластины. На основе этих асимптотических решений в статье /15/ был проведен расчет термоупругих напряжений, возникающих при выращивании кристаллов германия из расплава по способу Степанова. Хотя упругие свойства германия анизотропны, расчеты проводились в изотропном приближении (с усреднением по Фогту). На рис.4-6 приведены эпюры среднеквадратичных касательных напряжений при ориентации кристалла германия III при различных тепловых уело -виях. Рис.4 соответствует модельному профилю температуры с постоянной второй производной ( /0»л3 ) I град.см , рис.5 и 6 - экспериментальным распределениям температуры. На рис.5 изображена эпюра напряжений для случая, когда экран и фор-мообразователь выполнены как единое целое, на рис.6 - для случая разделенных преобразователя и экрана. Максимальная кривизна фронта температуры вблизи фронта кристаллизации составляет #10 град.см"2 (рис.5) и 20 град.см"2 (рис.6). Числа на кри--вых означают величину касательного напряжения в единицах :Г.мм .
Пограничный слой около линии смены типа граничных условий при резком изменении коэффициентов
Поскольку в области 3 нет выделенного направления с наименьшим магнитным сопротивлением, то следует вернуться к одинаковым масштабам для координат Х и з и соответствующих проекций В : При oi- О область, занятая индуктором и шинами сжимается в полосу Y= О , (21 0- .Из результатов 20, где рассматривается асимптотика ближнего поля для токонесущей плоскости, следует, что в первом приближении Из условий сращивания поля в шинах с внешним полем следует, что в первом приближении это равенство должно выполняться и в области 2: Равенство (9.18) вместе со вторым уравнением (9.9) и условием равенства нулю нормальной к стенкам хх - ± { составляющей тока позволяет преобразовать уравнение (9.15) к виду Остальные компоненты поля в шинах определяются по найденной помощью квадратур и линейных алгебраических уравнений. Таким образом, основные условия одномерных моделей МГД-канала и проводящих шин, задающие распределение искомых величин всюду, кроме окрестностей краев индутстора и шин, сформулированы.
Обсудим теперь граничные условия. На границе шина-канал в принципе должны выполняться условия непрерывности касательных составляющих векторов Е и Н и нормальных составляющих векторов В и / .Из этих четырех условий могут быть выполнены только два. Анализ задачи в переходной зоне (см. 21) показывает, что этими условиями должны быть условия непрерывности /3 и w :
Уравнение (9.19) при условии (9.21) можно проинтегрировать и, исключив ?/ из соотношений (9.20), свести задачу к интегрированию нелинейного уравнения (9.14) с граничными условиями Сформулированная одномерная задача представляет собой магнито-гидродинамический вариант теории плоскопараллельного поля, разработанной А.й.Вольдеком /67/ в так называемом электродинамическом приближении (при однородном поле скорости). Как отмечено в работе /244/, асимптотический вывод уравнений теории плоскопараллельного поля позволил устранить противоречие, имевшее место в этой теории: по физическим соображениям /67/ магнитное поле в шинах весьма мало, а по расчету оно получалось одного порядка с полем в канале. Замечательно, что распределение компоненты п, в канале при этом не меняется.
Для оправдания другого распространенного допущения - замены действительного профиля скорости на осредненный по толщине -оказалось достаточно условий справедливости длинноволнового приближения ( «4 ) и слабости магнитного взаимодействия ( N«4 ). Решение уравнений (9.14), (9.15) с условиями (9.22), (9.23), демонстрирующее сильное влияние текучести проводника на характеристики индукционной машины с каналом конечной ширины, приведено в II.
Следующая из асимптотического решения немонотонность расхо-до-напорной характеристики насоса является основной причиной наблюдаемых экспериментально неустойчивостей в работе насоса. В работе /II/ с помощью представлений о гидравлической цепи, содержащей гидравлическую массу, нелинейное гидравлическое сопротивление и гидроакустическую емкость, удалось интерпретировать наблюдавшиеся в эксперименте низкочастотные колебания.
Б предыдущих параграфах этой главы рассматривались либо однородные тела, либо тела с медленно меняющимися в пространстве параметрами. Между тем большой интерес для приложений представляют задачи для неоднородных сред с быстрым изменением параметров на малых по сравнению с размерами тела длинах. С помощью метода сингулярных возмущений можно исследовать случай тел с регулярной структурой, свойства которых изменяются в пространстве периодическим образом. Этот случай важен для приложений, так как служит для описания армированных конструкций и композиционных материалов. Главное приближение при этом может быть использовано и для приближенного моделирования более сложных тел - с нерегуляр - 144 ной, в том числе и случайной структурой. В случае тел нерегулярной "мелкозернистой" структуры дальше этого главного приближения, заменяющего неоднородное тело эквивалентным "гомогенизированным" /17 сдвинуться невозможно в силу самой природы задачи. Для тел периодической структуры можно, в принципе, построить полное асимптотическое разложение. Однако использованные выше методы оказываются для этого недостаточными. В рассматриваемом случае эффективен другой вариант метода сингулярных возмущений - метод двухмасштабных разложений /184/.
Рассмотрим стационарную задачу теории теплопроводности для тонкой пластины, армированной решеткой стержней. Предполагается, что теплопроводность арматуры и связующего различна, а тепловой контакт между ними идеален.
Из физических соображений ясно, что армированную пластину можно приближенно заменить однородной пластиной с теплопроводностью, различной в направлениях вдоль и поперек решетки стержня, если не интересоваться изменением температуры на расстояниях, малых по сравнению с размерами пластины в плане.
Асимптотический метод дает обоснование этой замены, позволяя вывести из трехмерного уравнения двумерное и построить алгоритм, последовательно вычисляющий необходимые поправки к двумерному полю температуры. На этом пути определяются, в частности, точные эффективные коэффициенты теплопроводности без каких-либо произвольных гипотез о распределении температуры по толщине пластины или по сечению армирующего стержня.
Похожие диссертации на Асимптотическое расщепление многомасштабных статических и квазистационарных задач термомеханики и электродинамики сплошной среды
