Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Поперечный изгиб и кручение слоистых стержней 23
1.1. Поперечный изгиб слоистой балки 23
1.1.1. Постановка задачи 23
1.1.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки 28
1.1.3. Уравнение поперечного изгиба слоистой балки 37
1.1.4. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 38
1.1.5. Исследование решений уравнения изгиба 39
1.1.6. Краевые условия на торцах 46
1.1.7. Изгиб балки под действием линейно распределенной нагрузки 49
1.1.8. Изгиб балки под действием сосредоточенных нагрузок 50
1.1.9. Гидродинамическая аналогия распределения касательных напряжений в сечении 52
1.2. Слоистая балка с параллельными слоями 57
1.2.1. Техническая теория слоистой балки 57
1.2.2. Слоистая балка прямоугольного сечения 61
1.3. Плоская деформация балки прямоугольного сечения 73
1.4. Сложный поперечный изгиб слоистой балки 90
1.4.1. Постановка задачи 90
1.4.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки 91
1.4.3. Уравнение поперечного изгиба слоистой балки в специальном случае 94
1.4.4. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 94
1.4.5. Другой специальный случай 94
1.4.6. Сложный поперечный изгиб. Общий случай 96
1.4.7. Краевые условия на торцах 97
1.4.8. Центр изгиба 99
1.5. Кручение слоистых стержней 101
1.5.1. Постановка задачи о кручении стержня 101
1.5.2. Краевые задачи в сечении слоистого стержня 104
1.5.3. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости ПО
1.5.4. Исследование решений уравнения кручения 111
1.5.5. Краевые условия на торцах 114
1.5.6. Гидродинамическая аналогия распределения касательных напряжений 115
1.5.7. Кручение стержня под действием торцевых нагрузок 120
1.5.8. Кручение многослойной трубы 124
1.6. Действие на слоистую балку объемных поперечных сил 131
1.6.1. Постановка специальной задачи 131
1.6.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки 132
1.6.3. Уравнение поперечного изгиба слоистой балки в специальном случае 135
1.6.4. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 136
1.6.5. Общий случай 137
1.6.6. Краевые условия на торцах 140
1.6.7. Техническая теория балки 140
1.7. Пограничный слой в слоистом стержне 141
1.7.1. Постановка задачи 141
1.7.2. Пограничная краевая задача 143
1.7.3. Принцип Сен-Венана 146
1.7.4. Пограничный слой при плоском изгибе слоистой балки 147
1.8. Пограничный слой при кручении 153
Основные выводы и результаты, полученные в главе 1 160
Глава 2 Продольно-поперечный изгиб слоистых балок 162
2.1. Продольно-поперечный изгиб слоистой балки симметричного сечения 162
2.1.1. Постановка специальной задачи 162
2.1.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки 165
2.1.3. Уравнения продольно-поперечного изгиба слоистой балки. Специальный случай 171
2.1.4. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 172
2.1.5. Решение полукраевой задачи. Специальный случай 172
2.16. Уравнения продольно-поперечного изгиба слоистой балки. Общий случай 175
2.1.7. Краевые условия на торцах 176
2.2. Плоская деформация при продольно-поперечном изгибе слоистой балки 179
2.3. Сложный продольно-поперечный изгиб слоистой балки 191
2.3.1. Постановка задачи 191
2.3.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки 192
2.3.3. Уравнение поперечного изгиба слоистой балки в специальном случае 194
2.3.4. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 195
2.3.5. Сложный продольно-поперечный изгиб. Общий случай без учета кручения 195
2.3.6. Общий случай продольно-поперечного изгиба стержня с учетом кручения 197
2.3.7. Краевые условия на торцах 197
2.3.8. Задача Митчелла-Альманзи 198
2.4. Воздействие температуры на слоистую балку 200
2.4.1. Постановка полукраевой задачи 200
2.4.2. Первый тип решений 200
2.4.3. Второй тип решений 207
2.4.4. Пограничный слой 220
2.5. Действие на слоистую балку объемных продольных сил 223
2.5.1. Постановка полукраевой задачи 223
2.5.2. Краевые задачи в сечении слоистой балки 224
2.5.3. Плоская деформация 227
2.5.4. Уравнения продольно-поперечного изгиба слоистой балки. Общий случай 228
2.5.5. Пример. (Равномерно вращающаяся слоистая консоль) 229
2.6. Предварительно деформированные слоистые балки 232
2.6.1. Постановка полукраевой задачи 232
2.6.2. Пример 236
2.7. Продольно-поперечный изгиб слоистых балок из ортотропных упругих материалов 238
2.7.1. Поперечный изгиб слоистой ортотропной балки 238
2.7.2. Продольно-поперечный изгиб слоистой ортотропной балки 241
2.8. Слоистая балка на упругом основании 244
2.8.1. Балка на гладком упругом основании 244
2.8.2. Балка на гладком жестком основании 251
2.8.3. Поперечный изгиб балки при температурных воздействиях 252
2.8.4. Балка на упругом основании без проскальзывания 254
2.8.5. Балка на жестком основании без проскальзывания 258
2.8.6. Краевые условия на торцах 260
2.9. Кромочный эффект при растяжении и изгибе слоистой балки 262
2.9.1. Кромочный эффект при растяжении-сжатии слоистой балки 262
2.9.2. Кромочный эффект при изгибе слоистой балки 273
Глава 3 Динамика слоистой балки 283
3.1. Свободные поперечные колебания слоистой балки 283
3.1.1. Постановка задачи 283
3.1.2. Краевые задачи в сечении балки 285
3.1.3. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 291
3.1.4. Уравнение свободных колебаний 293
3.1.5. Краевые условия на торцах 294
3.1.6. Краевые задачи в сечении балки при плоской деформации 295
3.1.7. Свободные колебания однопролетной шарнирно-опертой балки 296
3.1.8.. Свободные колебания консольно-защемленной балки 299
3.2. Вынужденные поперечные колебания слоистой балки 303
3.2.1. Постановка задачи 303
3.2.2. Краевые задачи в сечении 304
3.2.3. Асимптотическая выполнимость трехмерных динамических уравнений теории упругости 308
Глава 4 Продольно-поперечный изгиб слоистых плит 313
4.1. Поперечный изгиб слоистых плит 313
4.1.1. Постановка задачи 313
4.1.2. Краевые задачи по толщине плиты 318
4.1.3. Уравнение поперечного изгиба слоистой плиты 329
4.1.4. Компоненты вектора перемещений и тензора напряжений 331
4.1.5. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 333
4.1.6. Краевые условия на кромке плиты 337
4.1.7. Использование криволинейных систем координат 339
4.1.8. Поперечный изгиб кольцевых слоистых плит 344
4.1.9. Сравнение с точными решениями, полученными другими методами 348
4.1.10. Сравнение с решениями, полученными по приближенным теориям 355
4.2. Продольно-поперечный изгиб слоистых плит 361
4.2.1. Постановка задачи 361
4.2.2. Краевые задачи по толщине плиты 365
4.2.3. Компоненты вектора перемещений и тензора напряжений 377
4.2.4. Уравнения продольно-поперечного изгиба слоистой плиты 379
4.2.5. Асимптотическая выполнимость трехмерных уравнений теории упругости 381
4.2.6. Краевые условия на кромке плиты 383
4.2.7. Уравнения продольно-поперечного изгиба. Общий случай 385
4.2.8. Точные решения пространственной задачи теории упругости 389
4.2.9. Использование криволинейных систем координат 392
4.2.10. Действие сосредоточенной нагрузки 399
4.3. Пограничный слой в слоистых плитах 411
4.3.1. Постановка задачи 411
4.3.2. Потенциальный пограничный слой 412
4.3.3. Вихревой пограничный слой 417
4.3.4. Использование криволинейной системы координат 421
4.3.5. Пограничный слой. Общий случай 425
4.3.6. Задача о круглой плите под действием распределенного по кромке закручивающего момента 426
4.3.7. Задача о круглой плите под действием распределенного по кромке изгибающего момента 430
Основные выводы и результаты, полученные в главе 4 433
Заключение 435
Список литературы 440
- Слоистая балка с параллельными слоями
- Пограничный слой в слоистом стержне
- Плоская деформация
- Поперечный изгиб кольцевых слоистых плит
Введение к работе
Пространственная теория упругости как замкнутая теория, обладающая почти математическим уровнем строгости в постановке своих задач, сложилась в трудах Навье, Пуассона, Коши в начале XIX века (см. например, Трусделл К. [411], Тимошенко СП. [409], Бернштейн С.А. [43], Тодхантер и Пирсон [500]). Однако, задачи пространственной теории упругости - это краевые задачи для систем уравнений в частных производных, теория которых по существу отсутствует и по нынешний день. Поэтому математические трудности, возникшие перед создателями, во многих случаях поставили под сомнение ценность новой теории. Навье [471] и Пуассон [480] - первые из исследователей, кто успешно использовал трехмерную теорию упругости, для решения задачи об изгибе круглой пластины (1821, 1829 гг.). Уже при анализе задачи об изгибе балки Пуассон, столкнувшись с трудностями, вынужден был отказаться от «царского пути» и прибегнул к введению гипотезы плоских сечений и использованию уравнений равновесия для усилий. Коши использовал трехмерную теорию упругости для решения задачи кручения призматических стержней, удовлетворительные результаты были получены только для стержней с узким прямолинейным сечением [447]. В середине XIX века Сен-Венан [385] пошел дальше своих предшественников и сумел дать исчерпывающее решение задачи об изгибе и кручении однородной консоли произвольного поперечного сечения под действием сосредоточенной нагрузки на ее торце на основе пространственной теории упругости (1847-1856). Спустя почти пятьдесят лет, на рубеже XIX и XX веков, Митчелл [467] и Альманзи [444] сумели обобщить результат Сен-Венана, на основе пространственной теории упругости ими была решена задача об изгибе и кручении однородной консоли под действием распределенной нагрузки на ее боковой поверхности, полиномиально зависящей от продольной координаты.
Вторую половина XIX и три четверти XX века называют временем расцвета научно-технической революции, т.к. именно в это время такие хозяйственные отрасли, как железнодорожный транспорт, мостостроение, судостроение, авиация, космическая техника и т.п. получили невиданное развитие. Из сказанного выше следует, что на рубеже веков и в первой половине двадцатого века темпы развития теории точного расчета упругих конструкций явно не соответствовали общим темпам развития НТР и связанным с этим стремительно нарастающим потребностям в инженерных расчетах. По-видимому, это обстоятельство в двадцатом веке послужило главным фактором в охлаждении исследователей в массе своей к точному решению задач изгиба стержней и плит в пространственной постановке и обращению к более практичным методам, как правило, основанным на введении той или иной гипотезы.
По сравнению с задачами изгиба в задачах кручения составных стержней в пространственной постановке были достигнуты более законченные результаты, которые представлены в монографиях Мусхелишвили [266], Арутюняна Н.Х., Абрамяна Б.Л. [25] и Лехницкого [240].
Если характеризовать в целом процесс развития методов расчета стержней и плит на изгиб и другие виды нагружений, то можно сказать следующее. При построении математических методов исследования напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций (стержней, пластин, оболочек) исследователи всегда стремились свести решение трехмерных задач к совокупности решений некоторых более простых двумерных и одномерных задач. При этом, учитывая малый размер в поперечном направлении, авторы различными способами стремились избавиться от поперечной координаты, сводя проблему к решению краевых задач в плане (для пластин) или вдоль оси (для стержней). Способов понижения размерности решаемых задач разработано такое количество, что их детальный анализ далеко выходил бы за рамки допустимых объемов представляемой диссертации тем более, что анализ таких способов приведен в серии монографий Агаловяна Л.А. [2], Александрова А.Я. и др. [8-9], Алехина В.В., Аннина Б.Д., Колпакова А.Г. [12], Алфутова Н.А., Зиновьева П.А., Попова Б.Г. [14], Амбарцумяна С.А. [16], Андреева А.Н., Немировского Ю.В. [23], Болотина В.В., Новичкова Ю.Н. [48], Вайнберга Д.В., Вайнберга Е.Д. [60], Васильева В.В. [65], Векуа И.Н. [76], Власова В.З., Леонтьева Н.Н. [83], Горынина Г.Л., Немировского Ю.В. [143], Григолюка Э.И., Куликова Г.М. [167], Григолюка Э.И., Селезова И.Т. [169], Доннелла Л.Г. [192], Кильчевского Н.А. [211], Лехницкого С.Г. [239-241], Лурье А.И. [247], Образцова И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианова И.В. [303], Огибалова П.М., Колтунова М.А. [304], Пикуля В.В. [322-323], Рассказова А.О., Соколовской И.И., Шульги Н.А. [362], Ржаницына А.Р. [368], Тимошенко СП., Войновского-Кригера С. [405], Филина А.П. [417], Reismann Н. [483] и обзоров Александрова А.Я., Куршина Л.М. [10], Альтенбаха X. [15], Болотина В.В. [47], Васильева В.В. [66], Вериженко В.Я., Пискунова В.Г., Присяжнюка В.К., Табакова П.Я. [77], Вериженко В.Я., Присяжнюка В.К. [78], Воровича И.И. [92-93], Воровича И.И., Шленева М.А. [98], Григолюка Э.И., Когана Ф.А. [165], Григолюка Э.И., Куликова Г.М. [168], Дудченко А.А., Лурье С.А., Образцова И.Ф. [193], Зверяева Е.М. [202], Куршина Л.М. [233], Немиша Ю.Н., Хомы И.Ю. [298], Пикуля В.В. [324], Пискунова В.Г., Рассказова А.О. [327], Тетерса Г.А. [404], Рейсснера Е. [488]. Поэтому схематически разделим существующие подходы на четыре основных класса и дадим краткий обзор и анализ исследований, примыкающих к рассматриваемым в диссертации вопросам исследования напряженно-деформированного состояния стержней и пластин.
0.1. Однослойные конструкции
Первый класс. К первому классу отнесем работы, связанные с разложением искомых функций в специальные ряды по поперечным координатам и построением на их основе бесконечной системы дифференциальных уравнений с бесконечным числом неизвестных функций. Родоначальником этого направления является Пуассон [480]. Присоединяя к полученной системе уравнений граничные и начальные условия, полученные из условий исходной задачи путем аналогичной процедуры разложения в ряды по заданным функциям, приходим к корректно поставленной задаче, точное решение которой связано с не меньшими трудностями, чем решение исходной трехмерной задачи. Поэтому для получения практических результатов (приближенных решений) обычно ограничиваются удержанием конечного числа членов ряда и соответствующих конечных систем уравнений. При использовании степенных рядов такой подход рассматривался в работах Бердичевского В.Л., Коца Л.Я. [42], Кильчевского Н.А. [210-211], Муштари Х.М. [267], Немировского Ю.В. [271], Терегулова И.Г. [400].
Понятовский В.В. для построения уравнений равновесия и соответствующих краевых условий изотропных, анизотропных, трансверсально-изотропных и слоистых пластин разработал подход [340-342, 344-345], основанный на использовании вариационного принципа Кастильяно при разложении тангенциальных напряжений в ряды по полиномам Лежандра по поперечной координате и интегрировании уравнений равновесия для отыскания поперечных компонент напряжений. Идея разложения искомых функций по полиномам Лежандра по-видимому впервые была предложена Векуа И.Н. [74], в обобщенном виде изложена в монографии [76] и получила развитие в ряде работ его учеников и последователей [38, 72, 73, 106, 125-127, 173, 181-183, 198, 227, 425-427,432, 434,439].
Главным недостатком методов разложения по поперечной координате является существенное повышение порядка основных разрешающих систем дифференциальных уравнений при увеличении количества удерживаемых в разложениях слагаемых, что приводит к необходимости преодоления значительных математических трудностей при попытке получения решений в высоких приближениях, что во многих случаях обесценивает прикладное значение таких теорий. Реальные решения обычно получаются при построении нулевого и первого приближений.
Введение Еще один способ приведения трехмерной краевой задачи к двумерной основан на символическом методе А.И.Лурье [247], который позволяет получить широкий класс частных решений, удовлетворяющих неоднородным граничным условиям на лицевых поверхностях и однородные решения, удовлетворяющие условиям отсутствия напряжений на лицевых поверхностях. Путем комбинации этих решений удается с той или иной степенью точности добиться удовлетворения граничных условий на боковых поверхностях конструкции. Для однородных однослойных изотропных и анизотропных плит этот метод применялся в работах [7, 93,96, 210,242, 246, 299, 353]. Близким к этим методам является метод начальных функций [82, 85-86], сущность которого состоит в представлении искомых напряжений и перемещений через напряжения и перемещения на отсчетной (начальной) поверхности и сводится к нахождению шести двумерных функций. При этом порядок разрешающей системы уравнений меняется и существенно нарастает с увеличением числа удерживаемых в разложениях членов. В работах [116, 331-333] разработаны варианты итерационных процедур уточнения теории, при которых на каждой итерации определяется не только вектор перемещения отсчетной поверхности, но и закон распределения перемещений по поперечной координате. В результате получаются гипотезы приведения, тождественно удовлетворяющие трехмерным уравнениям теории упругости и всем граничным условиям, принятым на данной итерации. На следующей итерации производится разложение вектора перемещений и уточнение его компонент. В работах Горбачева В.И., Победри Б.Е., Симакова В.А. [118-123] разработан операторный метод, который применяется как к неоднородным анизотропным однослойным полосам, так и к неоднородным анизотропным пластинам. В частных случаях метод позволяет получать точные решения.
Все вышеупомянутые подходы полезны тем, что теоретически они открывают возможность получения сколь угодно точных решений соответствующих трехмерных задач. Однако практическая реализация этих подходов технически сложна, не увязана с общими и единообразными методами решения возникающих краевых задач и реализована лишь при решении простейших конкретных задач.
Второй класс. Основной поток исследований, которые доведены до разработок методов решения широкого круга прикладных задач относится к другому классу, который связан с методами различных упрощений на основе принятия некоторых эвристических предположений-гипотез. Методы, основанные на этих подходах, как правило, не содержат регулярного процесса уточнения решения. В них трехмерная задача теории упругости попросту заменяется некоторой приближенной двумерной задачей, степень приближения которой в общем случае заранее не установлена и не ясна. Общий класс исследований,
Введение связанных с таким подходом, будем кратко называть классом гипотез. В рамках этого класса будем говорить далее о пластинах, учитывая, что задача о стержнях (балках) прямоугольного сечения в рамках таких подходов эквивалентна задаче цилиндрического поперечного или продольно-поперечного изгиба пластин. Первые исследования в этом направлении связаны с именами Бернулли, Эйлера, Софи Жермен, Кирхгофа [212, 463] и опирались при построении разрешающих уравнений на следующие основополагающие гипотезы:
а) Прямолинейные волокна пластинки перпендикулярные к отсчетной плоскости до деформации, остаются после деформации прямолинейными и перпендикулярными к деформированной срединной поверхности и не изменяют при этом своей длины (гипотеза Кирхгофа-Лява).
б) Нормальные напряжения на эквидистантных площадках настолько малы, что ими можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями (приближение плоского напряженного состояния). При использовании этих гипотез задача сводится к решению неоднородного бигармонического уравнения (уравнение С. Жермен) для одной разрешающей функции-прогиба. Это позволило разработать удобные аналитические и численные методы решения для широкого круга практических задач поперечного и продольно-поперечного изгиба, колебаний и устойчивости пластин различной формы при широком спектре условий закрепления и статических граничных условий.
Соответствующая теория в настоящее время излагается практически во всех монографиях по теории упругости и теории пластин. Ее принято называть классической теорией пластин. Ввиду простоты она была обобщена на случай анизотропных, биметаллических и полиметаллических пластин [16, 60, 164-169, 192-193, 224, 230-231, 239, 272, 292, 304, 321-323, 334, 405, 483] и оказалась удобным инструментом для решения обратных задачрационального и оптимального проектирования [34,65,292,297,359].
С момента своего возникновения и по настоящее время классическая теория подвергается критике вследствие присущих ей внутренних противоречий. Например, совместное выполнение гипотез а) и б) приводит к нарушению закона Гука для поперечных нормальных и касательных напряжений. Чтобы избавиться от этих противоречий обычно предлагается считать теорию пригодной не для традиционного упругого материала, а для искусственного трансверсально-изотропного материала с бесконечными модулями упругости поперечного сжатия и поперечного сдвига. Такое приближение можно принять для материалов, подвергающихся специальным методам облучения, прокатки или поверхностного наклёпа [24, 243]. Тем не менее, даже в рамках таких положений в некоторых случаях классическая теория обладает неприемлемыми
Введение противоречиями и парадоксами. Например, очевидно, что при формулировке краевых статических условий на кромке пластины будем иметь шесть граничных условий, тогда как разрешающее уравнение имеет четвертый порядок. Установлено также, что классическая теория дает серьезные сбои в окрестностях локализованных воздействий. Детальный анализ недостатков и парадоксов классической теории пластин, установленных к настоящему времени, содержится, в частности, в работах [13, 66-70, 112-113, 199-200, 202,298,387,502].
С целью избавления от таких парадоксов исследователи пошли по пути смягчения некоторых гипотез классической теории. Соответствующие теории принято называть неклассическими теориями. Первые исследования в этом направлении для балок и пластин были выполнены С.П.Тимошенко [405-406, 407, 499], который в рамках гипотезы а) отказался от требования сохранения нормальности прямых поперечных линий (гипотеза прямых линий). Соответствующая теория носит название теории Тимошенко и свое полное изложение нашла в работах [51, 101, 102-103, 189, 319-321, 420]. Использование этой теории в ряде случаев даёт лучшее соответствие прогибов и частот колебаний экспериментальным значениям по сравнению с классической теорией [196, 418], но не избавляет от многих противоречий. В частности дает большие отклонения в зонах закреплений и сосредоточенных нагрузок [201]. Поэтому многие исследователи идут по пути дальнейшего смягчения гипотез путем учета обжатия и искривления нормали к недеформируемой поверхности [13, 16, 18, 21-23, 46, 66-70, 102-103, 129-131, 169, 174-185, 199, 202, 292, 322, 326, 420, 436, 479, 484-488]. При всем многообразии указанных вариантов, отметим следующее: самый низкий порядок разрешающих уравнений, получающихся при таком подходе будет шестым, что позволяет избавиться от несоответствия между порядком разрешающих уравнений и количеством задаваемых на краю силовых характеристик. Уравнения такого типа принято называть уравнениями типа Э.Рейсснера, впервые последовательно установившего такое соответствие [484-485], проведшего анализ их особенностей и получившего на их основе ряд аналитических решений [486-488]. Анализ и обзор полученных к настоящему времени решений на основе теорий типа Рейсснера содержится в ряде обзоров и специальных статей [15-16,23,26, 66, 99,101,108,175,199].
Характерное для этих теорий обстоятельство заключается в том, что их уравнения относятся к классу сильно «жёстких систем» дифференциальных уравнений, характеризующихся наличием двух типов решений: медленно меняющихся, определяющих основное состояние и быстро изменяющиеся в окрестностях краев и скачков нагрузок решений. Как известно, наличие быстро изменяющихся по координатам
Введение решений вызывает большие трудности при реализации численных методов расчета и требует разработки специальных алгоритмов устойчивого численного счета (см. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. [23]). Именно поэтому, несмотря на существующие в ряде работ [13, 66, 69, 502, 199, 202, 327,483] рекомендации по использованию при расчетах пластин теорий типа Рейсснера вместо классической теории, большинство исследователей опирается на последнюю. С одной стороны, учёт деформаций поперечного сдвига и обжатия в тонких однородных пластинах необходим только в специальных случаях и практически не уточняет результатов в традиционных задачах расчета пластин (например, при шарнирном опираний). С другой стороны, наличие резко выраженных краевых моментов при использовании ряда стандартных вычислительных процедур и программ может приводить к существенным ошибкам и создавать ложные оценки степени уточнения.
В то же время в работах [108,112-114] Гольденвейзер А.Л. отмечал, что недостатком теории Рейсснера является то, что «она исходит из гипотез, отражающих явления, происходящие вдали от края пластинки и в связи с этим в краевой зоне может давать результаты, далёкие от действительности». В дальнейшем А.П. Прусаков [354] на основе энергоасимптотического метода подтвердил это мнение, показав, что напряжения в заделке пластины средней толщины значительно превосходят те, которые даёт теория Рейсснера. Поэтому усилия по построению специальных численных и аналитических методов прямого интегрирования уравнений Рейсснера являются мало продуктивными.
Третий класс. Третья группа работ по сведению трёхмерных уравнений теории упругости тонкостенных конструкций (балок, пластин и оболочек) к двумерным уравнениям связана с асимптотическими методами интегрирования. Возникающие в этом методе (вследствие наличия малого геометрического параметра - отношения поперечного размера к размеру в плане) сингулярно-возмущенная краевая задача разделяется на две отдельные задачи: а) задача для основного напряженно-деформированного состояния; б) задача для погранслоя с последующим сращиванием найденных решений при помощи краевых и начальных условий. При построении регулярного решения в уравнения, граничные и начальные условия подставляются представления искомых величин в виде степенного ряда по малому параметру и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра. При этом для каждого приближения соблюдается полное соответствие между порядком уравнений и числом поставленных условий. Общая теория асимптотических методов представлена в работах [30, 35, 59, 71, 185, 225, 244, 256, 265, 269]. Применению асимптотических методов в области механики твердого тела посвящены работы Бахвалова Н.С., Опанасенко Г.П. [37], Ванина Г.А. [61], Зино И.Е.,
Введение Троппа Э.А. [204], Ивлева Д.Д., Ершова Л.В. [206], Ильина A.M. [207]. Развитию асимптотических методов в теории балок, пластин и оболочек посвящены работы Агаловяна Л.А. [1-4], Агаловяна Л.А., Геворкян Р.С. [5], Агаловяна М.Л. [6], Назаренко Н.А., Воровича И.И. [31], Бутенко Ю.И. [52-57], Волоха К.Ю., Горшкова А.А. [88], Воровича И.И. [93], Воровича И.И., Кадомцева И., Устинова Ю.А. [95-96], Воровича И.И., Малкиной О.С. [97], Гольденвейзера А.Л. [108-115], Горынина Г.Л. [133-141], Горынина Г.Л., Каменцева Д.В. [142], Горынина Г.Л., Немировского Ю.В. [143-162, 285-287, 455, 473], Гузя А.Н., Немиша Ю.Н. [171], Гусейн-Заде М.И. [177-180], Елисеева В.В. [195], Колпакова А.Г. [220], Назарова С.А. [268], Никольской Н.А., Проскуры А.В. [300], Образцова И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианова И.В. [303], Понятовского В.В. [343, 346-347], Роменской Г.И., Шленева М.А. [371], Рябенкова Н.Г. [373], Сапонджяна О.М. [375], Саркисяна СО. [380-382], Устинова Ю.А. [413-415], Шойхета Б.А. [440].
Преимущество такого подхода заключается в том, что уточнение регулярного решения осуществляется намного легче, чем в случае иных способов решений, так как для этого приходится лишь соответствующее число раз решать бигармонические уравнения типа уравнений классической теории пластин. Однако одним лишь этим решением невозможно описать все разнообразие условий, возникающих при закреплении торцов балок и кромок пластин. Для этого необходимо иметь принципиально иное решение -погранслойное и изучить степень его изменения при движении от краёв или точек разрыва нагрузок вглубь конструкции. В связи с этим в последние десятилетия активно развиваются работы по изучению, обоснованию и обобщению принципа Сен-Венана. Отметим здесь, в частности, работы [2, 41, 140, 150, 187, 306, 375, 385, 449]. Асимптотический метод позволил установить, что принцип Сен-Венана является справедливым для однородных балок, полос и пластин из изотропных и ортотропных материалов для широкого спектра краевых условий. В то же время установлено [2], что применение асимптотических методов для балок и пластин, изготовленных из материалов с ярко выраженной анизотропией может приводить к неверным результатам.
Для теории пограничного слоя в балках и плитах следует особо отметить пионерские работы Папковича П.Ф. [316-318] и Лурье А.И. [246], в которых были заложены ключевые идеи построения пограничных решений, хотя и без использования современной терминологии. Эти идеи получили свое развитие в работах Воровича И.И. и его учеников [7, 92-98, 413-415]. Для слоистых балок произвольного очертания и слоистых плит с произвольным расположением слоев соответствующая теория построена в работах Горынина Г.Л., Немировского Ю.В. [143,150,160,162].
Введение Асимптотический метод во всех его вариантах оказывается полезным средством построения уточненных прикладных теорий [2,143,483,490].
Четвертый класс. Для анализа напряженно-деформированного состояния пластин и стержневых элементов в рамках классических и неклассических подходов широко используются также численные методы, такие как метод конечных разностей, конечных элементов, дискретной ортогонализации и другие. Наличие быстро изменяющихся по координатам решений вызывает большие трудности при реализации численных методов расчета. Эти затруднения особенно возрастают при уменьшении относительной толщины пластины, учете ослабленного сопротивления поперечным сдвигам и обжатию, вызывающих увеличения показателя изменяемости краевых эффектов и ухудшающие обусловленность систем уравнений применяемых методов и их сходимость. В связи с этим для каждого типа основополагающих уравнений приходится находить специальные схемы дискретных разбиений, гарантирующих определенную уверенность в достижении достоверных результатов. Это обстоятельство приводит к тому, что разработка численных методов решения неклассических задач поперечного и продольно поперечного изгиба развивается гораздо медленнее, чем создание новых вариантов теории. Не останавливаясь на анализе различных вариантов численных схем, который можно почерпнуть из упомянутых выше монографий и обзорных статей, отметим здесь ряд полезных работ, связанных с привлечением наиболее популярного ныне метода конечных элементов [203, 254, 257-261, 290-291, 296, 348, 473], в которых обсуждаются вопросы, связанные с диспропорцией в требованиях к аппроксимациям тангенциальных и поперечных перемещений, с построением эффективных высокоточных элементов, построением автоматизированных процедур триангуляции плоских областей со сгущением и разрешением узлов и эффективных численных схем интегрирования двумерных краевых задач с большими градиентами решения.
0.2. Многослойные конструкции
Описанные выше четыре основных подхода к построению решения задач напряженно-деформирования пластин и стержней, относились к однослойным конструкциям. К современным конструкциям предъявляются многообразные и очень жесткие требования по обеспечению необходимых качеств по материалоёмкости, экономическим показателям, теплопроводности, жесткости, кратковременной и длительной прочности, виброзащите, звукопоглощению, радиационной и коррозионной стойкости и другим, которые никакой материал в рамках однослойной конструкции обеспечить не может. В связи с этим в течение последних пятидесяти лет активно
Введение развиваются подходы к расчету и анализу поведения многослойных конструкций. Существующие к настоящему времени технологические приемы позволяют соединять практически без ограничений материалы различной природы: дерево, пластмассы, резины, металлы, бетоны, графиты в любых сочетаниях. В частности, здесь можно отметить технологии склейки, сварки взрывом, диффузионной сварки, холодного и плазменного газодинамического напыления [8, 190, 214, 222, 224, 230-231, 310, 363]. В ряде случаев конструкция из однородного материала может приобрести неоднородные свойства (стать слоистой) вследствие специальных способов поверхностной обработки: глубокого пластического деформирования при прокатке, дробеструйной обработки, магнитно-ультрозвуковой наплавки, электронно-дуговой наплавки и др. [24,190,243]. Учитывая, что слоистые конструкции используются в качестве несущих элементов наиболее важных объектов аэрокосмической, судостроительной и машиностроительной техники и в современных объектах стройиндустрии, становится понятным тот громадный интерес, который проявляют специалисты отечественной и мировой науки к развитию теоретических подходов и численных методов расчета слоистых конструкций. Развитие теории многослойных конструкций идет практически теми же путями, что и теории однородных конструкций. Это естественно, поскольку любой вариант теории многослойной конструкции должен сводиться при определенных предельных переходах к однородным конструкциям. Поэтому выполненные к настоящему времени исследования можно также разделить на четыре вышеупомянутых группы. По мере развития теории слоистых конструкций анализ её достижений находил отражение в обзорах [10,15,33,46-47, 102-103, 165, 169, 193, 222, 233, 272, 298, 325, 327, 404, 464, 480, 488] и монографиях [8, 14, 16, 23, 48, 143, 224, 239-240, 297, 320, 323]. Проведенный анализ развития теории слоистых конструкций показывает, что хотя число публикаций по рассматриваемой проблеме измеряется тысячами, но распределение их по вышеупомянутым четырем группам далеко неравномерно. Работы, касающиеся использования координатных и асимптотических рядов для приведения многоконтактных пространственных задач теории упругости к более простым двумерным задачам, исчисляются единицами и носят разрозненный характер [1-6, 52-57, 333, 343, 346-347, 381-382, 413]. Подавляющее число исследований по слоистым конструкциям связано с методом гипотез. Их, в свою очередь, можно разбить на два больших подкласса, названных в обзоре Пискунова В.Г., Рассказова А.О. [327] соответственно дискретно-структурными и непрерывно-структурными теориями слоистых конструкций. Для дискретно-структурных моделей характерно использование различных кинематических гипотез (типа Кирхгофа-Лява, Тимошенко, Рейсснера и др.) для жестких и мягких слоев при выполнении требований сплошности
Введение пакета. Разрешающие системы уравнений дискретно-структурных теорий многослойных пластин при различных вариациях дополнительных упрощающих положений были получены в работах [8,26,32,46-48,77-78,166,168-177,255,323,349,352,450,464,505]. Выбор системы кинематических гипотез для слоистых конструкций определяется деформативными и геометрическими параметрами слоев и является достаточно широким. В рамках такого подхода можно достаточно точно аппроксимировать поле перемещений каждого слоя и описать тонкие эффекты, связанные с локальными особенностями деформирования отдельных слоев. Однако реальное решение конкретных задач при большом числе слоев связано с большими, иногда непреодолимыми трудностями. Дело в том, что порядок разрешающих систем уравнений при таком подходе зависит от числа слоев и быстро нарастает как с увеличением слоев, так и с усложнением аппроксимаций кинематических характеристик. Следует также отметить, что всякое изменение структуры пакета слоев требует изменения системы гипотез, соответствующей модификации разрешающей системы дифференциальных уравнений и пересмотра процедуры её численного интегрирования, что вносит в расчет дополнительные трудности и затрудняет выбор рациональных конструктивных схем. Возможно, поэтому в литературе практически отсутствуют публикации численных исследований напряженно-деформированного состояния слоистых конструкций (с числом слоев большим трёх) выполненных в такой постановке. Обстоятельные обзоры с классификацией принимаемых гипотез и критическим анализом получающихся результатов содержатся в работах [168, 327], что позволяет не останавливаться здесь на анализе большого количества конкретных публикаций этого направления.
При построении непрерывно-структурных теорий слоистых конструкций авторы используют единую кинематическую гипотезу для всего пакета слоев, обеспечивающую сплошность конструкции с частичным или полным обеспечением реальной податливости материалов на поперечные сдвиги и обжатия. Вывод разрешающих систем уравнений опирается при учёте принятых кинематических гипотез на вариационные принципы Лагранжа или Рейсснера. При этом получаются непротиворечивые с точки зрения вариационных принципов варианты систем дифференциальных уравнений слоистых пластин и оболочек, различающиеся между собой по структуре, широте охвата учитываемых факторов и границами применимости. В этом случае устанавливаются системы внутренних усилий, соответствующие принятым геометрическим моделям деформирования и формулируются соответствующие корректные краевые усилия. Хотя порядки разрешающих систем уравнений в этом случае также нарастают по мере усложнения принимаемых кинематических гипотез, достоинство такого подхода состоит в том, что при принятии некоторой кинематической гипотезы, порядок разрешающей системы уравнений далее не зависит ни от числа слоев, ни от их трансформации, что существенно упрощает разработку численных схем решения и позволяет расширить множество решаемых задач. С общей характеристикой работ этого направления, включающей в себя оценку пределов применимости используемых кинематических и статических гипотез можно ознакомиться в работах [21-23, 101-103, 167, 193, 357, 362 и др.]. В [255] разработан метод, объединяющий дискретно-непрерывно-структурные подходы к построению математической модели слоистых плит. На его основе конструкция по толщине разделяется на полосы (однородные или слоистые), объединенные условиями контакта. Пакет полос рассчитывается на основе дискретно-структурного подхода. Такой метод позволяет учесть структурные особенности элементов слоистого пакета и увеличить точность результатов, приблизив их к данным трехмерного решения. Сравнительный анализ результатов расчета слоистых конструкций с использованием различных вариантов двумерных непрерывно-структурных моделей выполнен в работах [17-18, 21-22, 49, 313, 350, 388, 482 и др.]. Такой сравнительный анализ ввиду оправданного и неизбежного появления многих «уточненных» вариантов уравнений слоистых конструкций позволяет выявить характер и степень влияния трансверсальных деформаций, уточнить взаимные границы пригодности прикладных двумерных уравнений и в их рамках выделить наиболее простые и достаточно надежные (с вычислительной точки зрения) подходы к анализу поведения слоистых конструкций. Однако уверенный выбор того или иного из упоминаемых вариантов приближенных неклассических теорий многослойных стержней и пластин должен опираться на всесторонние сравнения с расчетами многоконтактных задач теории упругости кусочно-однородных и кусочно-неоднородных тел и на сравнение с прямыми экспериментами, выполненными над конструкциями.
Экспериментальные исследования. Достоверность теоретических построений всегда подвергается независимой экспертизе путем сравнения результатов расчета с экспериментами. Если классические теории для однородных пластин и стержней в течение последних двух веков подвергались многочисленным и разнообразным экспериментальным проверкам, то количество целевых экспериментальных исследований по проверке неклассических вариантов теорий однородных и слоистых стержней и пластин не столь велико, не носит характера всесторонних испытаний и ожидает еще своих исследователей. Приведем здесь обзор некоторых испытаний, относящихся к предмету, исследуемому в данной монографии. Наиболее полное описание результатов экспериментальных исследований для трехслойных балок и пластин с легкими заполнителями можно почерпнуть в источниках [8-9, 27, 51, 99, 224, 307-308, 361-362,
Введение 370, 397]. Приведенные в них экспериментальные данные отличаются достаточной полнотой и обстоятельностью описания. В испытуемых трехслойных конструкциях в качестве обшивок (жестких слоев) использовались металлы, а в качестве заполнителей (лёгких или мягких слоев) - пенопласта и органическое стекло. Испытывались свободно-опертые балки при воздействии равномерно-распределенных нагрузок [308], синусоидально распределенных нагрузок [9], сосредоточенных сил [27]. В [9] приведены также экспериментальные данные по изгибу трехслойных свободно-опертых по контуру пластин при равномерно распределенной поперечной нагрузке. В [308] представлены результаты опытного определения частот колебаний шарнирно-опертых трехслойных балок и пластин. Результаты экспериментов по изгибу коротких защемленных по краям двутавровых балок при нагружении сосредоточенной силой описаны в [99]. Сравнительные данные испытаний трехслойных шарнирно-опертых и защемленных балок-полос приведены в монографии [224]. Экспериментальные данные показывают необходимость построения неклассических вариантов теории изгиба слоистых балок и плит, особенно в случае несимметричных структур сечения и существенного отличия материалов слоев. Экспериментальные данные для пластин несимметричной структуры с числом слоев больше трех для случаев статического и динамического изгибов приведены в работах [361-362].
Решение многоконтактных краевых задач теории упругости на сегодняшний день (за исключением единичных частных и искусственных случаев) не представляется возможным. Существенного прогресса здесь можно было бы добиться за счет разработки процедуры расщепления общих пространственных уравнений многоконтактных краевых задач кусочно-однородных и кусочно-неоднородных тел. Однако, несмотря на неоднократные указания в необходимости разработки такого направления в различных обзорных статьях, начиная с середины прошлого века [98, 167, 169 и др.] попытки продвижения в этом направлении до сих пор носили разрозненный характер единичных исследований для некоторых частных ситуаций [2, 52, ПО, 197, 247, 268, 344, 346, 365, 444,467].
В постановке (1)-(5) доказаны теоремы существования и единственности решения (Новацкий В. [301]). Однако в такой постановке удается получить точное решение задачи теории упругости лишь в очень немногих и подчас искусственных случаях.
Пространственная задача теории упругости в постановке Сен-Венана. Для задач изгиба и кручения стержней очень часто на торцевых поверхностях вместо распределенного поля сил (4) задаются интегральные характеристики этого поля - усилия, а вместо распределенного поля перемещений (5) - их некоторая интегральная характеристика (например, среднее перемещение). Для пластин - тоже самое задается на их кромке. Это делается с целью упрощения задачи. Такая постановка тесно связана с именем Сен-Венана, именно в такой постановке им была решена задача об изгибе консоли (Сен-Венан Б. [385]) и было дано правдоподобное обоснование такого подхода в виде знаменитого принципа Сен-Венана. В дальнейшем пространственную задачу теории упругости, для которой условия (4) или (5) на некоторых участках поверхности тела заменены интегральными равенствами, будем называть пространственной задачей теории упругости в постановке Сен-Венана. Очевидно, что для такой задачи в отличие от краевой задачи теории упругости отсутствует единственность искомого решения. Поле напряжений, возникающее при решении задачи теории упругости в постановке Сен-Венана, по определению будем называть основным напряженным состоянием для краевой задачи теории упругости. Соответствующее поле перемещений будем называть основным полем перемещений для краевой задачи теории упругости.
Введенная терминология своим главным основанием имеет то обстоятельство, что все теории балок и пластин, основанные на введении гипотез, фактически стремятся приблизиться к решению не краевой задачи теории упругости, а задачи теории упругости в постановке Сен-Венана. Таким образом, такая постановка задачи фактически существует, однако терминологически не фиксирована.
Решение задачи в постановке Сен-Венана в общем случае отличается от решения краевой задачи, их разность будем называть пограничным решением. Принцип Сен-Венана утверждает, что это решение быстро убывает при удалении от торца - для балки, и при удалении от кромки -для пластины.
Целью диссертации является изложение и обоснование нового метода решения пространственных задач теории упругости в постановке Сен-Венана, таких как задача продольно-поперечного изгиба и кручения слоистых стержней и задача продольно-поперечного изгиба плит для достаточно широкого класса действующих нагрузок. Достижение данной цели включает в себя решение следующих задач:
• Обоснование и применение метода к задачам продольно-поперечного изгиба слоистых стержней произвольного поперечного очертания. Выявление класса поверхностных, объемных, температурных и иных нагрузок, при которых метод дает точное аналитическое решение данной задачи.
• Обоснование и применение метода к задачам кручения слоистых стержней произвольного поперечного очертания. Выявление класса поверхностных нагрузок, при которых метод дает точное аналитическое решение данной задачи.
• Изучение возможности применения данного метода к задачам продольно-поперечного изгиба слоистых стержней, лежащих на упругом или жестком основаниях.
• Изучение возможности применения данного метода к задачам свободных и вынужденных колебаний слоистых стержней.
• Обоснование и применение метода к задачам продольно-поперечного изгиба слоистых плит с произвольным расположением и числом слоев. Выявление класса поверхностных нагрузок, при которых метод дает точное аналитическое решение этой задачи.
• Изучение возможности применения данного метода к решению задач о действии сосредоточенных нагрузок на слоистые плиты.
• Изучение возможности применения данного метода к объяснению явления кромочного эффекта в слоистых композитах.
Введение Данный метод назван его авторами, Горыниным Г.Л. и Немировским Ю.В., в монографии [143] методом асимптотического расщепления. Такое название связано с главным свойством метода - расщеплением исходной трехмерной задачи теории упругости в постановке Сен-Венана на одномерные и двумерные задачи, которые существенно проще исходной. Расщепление становится возможным благодаря двум основным идеям: первая - строится формальное асимптотическое решение пространственной задачи теории упругости, вторая - неизвестные вектор-функции перемещений и тензор-функции напряжений ищутся в виде степеней дифференциальных операторов от некоторых функций и рассматриваются как независимые величины. При реализации первой идеи обычно используют понятие асимптотического ряда. Однако это понятие оказалось слишком узким для решения рассмотренного класса задач, поэтому вместо него в диссертации используется более широкое понятие асимптотической последовательности. Вторая идея ранее использовалась в завуалированном и половинчатом виде (например, в работах Доннелла [192] и символическом методе Лурье [247]), однако систематическое развитие и анализ получила только в вышеупомянутой монографии [143] и работах [133-142, 144-162, 285-287, 455, 472]. Метод является существенно новым, поэтому закономерно возникает целый ряд новых понятий: полукраевая задача, номинальный порядок дифференциального уравнения, номинальное линейное подмногообразие решений, линейное многообразие асимптотически расщепленных приближений, характеристические функции вектора перемещений и тензора напряжений, характеристические жесткости (сдвиговая, изгибная и пр.) и другие.
Все задачи решаются в геометрически и физически линейной постановке. Слоистые конструкции считаются состоящими из слоев с упругими изотропными свойствами, быть может, непрерывно меняющимися внутри слоя. Лишь в двух параграфах рассматриваются ортотропные материалы.
В диссертационной работе кроме метода асимптотического расщепления разработана теория пограничных решений для слоистых стержней и разработаны элементы теории пограничных решений для слоистых плит. Данные разделы имеют вспомогательное значение, т.к. без учета пограничных слоев результаты, полученные методом асимптотического расщепления, подчас приводят к парадоксальным ситуациям. Для разрешения подобных парадоксов и были разработаны соответствующие разделы теории пограничного слоя.
Слоистая балка с параллельными слоями
Рассмотрим слоистую балку произвольного поперечного сечения, симметричного по своим геометрическим и механическим характеристикам относительно оси х. Будем считать, что все границы между слоями, а также верхняя и нижняя поверхности балки, параллельны плоскости zOy (рис. 1.1.1). Кроме того, будем считать, что поперечная нагрузка приложена только к верхней и нижней поверхностям балки. Введем обозначение для операции осреднения функции А(х,у) по ширине сечения (попеременной у): Применим операцию осреднения к уравнениям (1.1.19) при к = 1 и воспользуемся условиями сопряжения и условиями на поверхности (1.1.20)-(1.1.21). Далее воспользуемся равенствами (1.2.1)-(1.2.3) и свойством симметрии сечения, тогда второе уравнение (1.1.19) превратится в тождество (нуль равен нулю), а первое и третье примут вид Запишем условия сопряжения для средних величин на границе слоев при х = h, и условия на верхней и нижней Равенства (1.2.4)-(1-2.6) представляют собой две краевые задачи на осредненные функции ((ххх), ) и ((ти), ), которые зависят только от переменной х. В частности функции ((т ); ) тождественно равны нулю Функции ((їй), ) вычисляются прямым интегрированием Формула (1.2.7) полезна в тех случаях, когда слоистая балка содержит слои с разными коэффициентами Пуассона, в этом случае решение первой краевой задачи (1.1.26)-(1-1-29) не является тривиальным. Поэтому для оценки результатов полезно иметь в виду равенство (1.2.7). Формула Журавского. Равенство (1.2.8) полезно в тех случаях, когда имеется информация об осредненных продольных характеристических функциях ((т ) ). Например, в случае балки с одинаковыми коэффициентами
Пуассона такая информация известна согласно формулам (1.1.38). Подставим их в равенство (1.2.8) (( )!3)) = т)ь(Щ-с0)с1 i = l,s. (1.2.9) Воспользуемся формулами (1.1.89) для первого приближения напряжений и равенством (1.2.9), тогда для осредненных значений первых приближений касательных напряжений получим ((ст-)і2)) = 3 гад Jb( -c0)d4, i = i,s. (1.2.10) Первое приближение касательных напряжений (оц совпадает с точными касательными напряжениями {oxz\ в случае действия на балку равномерно распределенной нагрузки и сосредоточенных сил. Воспользуемся равенством (1.1.87) для поперечного усилия, которое является справедливым для этих типов нагрузки, тогда формула (1.2.10) принимает вид Полученная формула является обобщением формулы Журавского для случая слоистой балки произвольного сечения, симметричного относительно прямой х, со слоями, имеющими одинаковый коэффициент Пуассона. Она определяет распределение средних касательных напряжений по высоте балки. С выводом формулы Журавского для однослойной балки можно познакомиться в курсах сопротивления материалов (см., например, А.Ф.Смирнов и др. [383]). Формула (1.2.10) является обобщением формулы Журавского для более сложных типов распределенной нагрузки, чем равномерно распределенная, она представляет собой формулу распределения первых приближений средних касательных напряжений по высоте балки. Для слоистой балки прямоугольного сечения (рис. 1.2.2) формула Журавского (1.2.11) упрощается Выражения (1.2.21) являются аналитическими формулами для средних значений первого приближения (п=2) всех компонент тензора напряжений для слоистой балки, имеющей одинаковые коэффициенты Пуассона. Они могут использоваться для оценки пространственного напряженного состояния достаточно узких слоистых балок. Формулы (1.2.21) в совокупности могут называться технической теорией слоистой балки. В случае действия на балку только сосредоточенных сил и равномерно распределенной нагрузки первое приближение напряжений является точным полем напряжений и указанные формулы с помощью равенств (1.1.55) и (1.2.11) принимают следующий вид При уменьшении значения параметра є различия между равенствами (1.2.21) и (1.2.21а) асимптотически исчезает, поэтому для достаточно малых значений параметра є формулы (1.2.21а) в совокупности также могут рассматриваться как техническая теория слоистой балки. Степень их применимости существенно зависит не только от значений параметра є, но и от скорости изменения поперечной нагрузки вдоль оси балки. Для балки прямоугольного сечения, слои которой параллельны плоскости zOy и имеют одинаковый коэффициент Пуассона (рис. 1.2.2), краевая задача (1.1.41)-(1-1-43) записывается в следующем виде: уравнение
Пограничный слой в слоистом стержне
В предыдущих разделах краевые условия на торцах стержня на напряжения заменялись интегральными краевыми условиями на внутренние усилия. При этом делалась ссылка на принцип Сен-Венана. Сам принцип Сен-Венана нуждается в обосновании, в любом случае его справедливость зависит от наличия пограничных слоев вблизи торцов стержня. Плоские пограничные слои для однородных однослойных и двухслойных балок с узким прямоугольным сечением исследовались в работах Агаловяна [2] и Бутенко [52-55]. Исследуем вопрос о наличии и структуре пограничного слоя для слоистого неоднородного стержня произвольного сечения при произвольном наборе слоев. Будем считать, что в общем случае перемещения и напряжения в стержне вблизи правого торца являются суммой двух величин, которые будем называть основными и пограничными: где (их);п (г,є), (uyJn (r,E), (uz)j (r,s) - решения основной полукраевой задачи (например задачи (1.1.3)-(1-1-7)), для нахождения которых в предыдущих параграфах был разработан метод асимптотического расщепления. Для пограничных величин используем верхний индекс . Теория нахождения основных решений изложена в параграфах 1.1-1.6.
Относительно пограничных перемещений (ux)((r,e), (uy) (г,е), (uz),(r,s) будем считать, что напряжения, вызванные этими перемещениями, удовлетворяют уравнениям равновесия (1.1.3), однородным условиям на боковой поверхности стержня и подчиняются закону Гука (1.1.7). Кроме того, считаем, что выполнены условия сопряжения перемещений и контактных напряжений на границах слоев стержня торца стержня вместо переменной z введем новую переменную Тогда уравнения равновесия (1.1.3) принимают вид Задача (1.7.2)-(1-7.4), (1.1.7), решениями которой являются пограничные функции (ua)(, ae[x,y,z], является полукраевой, так как на торцах стержня краевые условия не заданы. Коренное отличие данной задачи от рассмотренных ранее полукраевых задач состоит в том, что она однородная, т.е. функции, тождественно равные нулю, заведомо являются ее решениями. При выполнении определенных условий эта задача имеет общее нетривиальное решение, содержащее счетное число произвольных независимых параметров. Краевая задача теории упругости для стержня получается из основной полукраевой задачи присоединением к ней краевых условий на торце стержня в виде задания либо значений компонент тензора напряжения, либо значений компонент вектора перемещения, либо комбинации этих условий. В дальнейшем без ограничения общности будем рассматривать только два первых случая, как наиболее часто встречающиеся: или где fa(x,y), ga(x,y) - заданные функции. Решение основной полукраевой задачи, как это было рассмотрено в предыдущих разделах, содержит конечное число произвольных параметров, которые не позволяют удовлетворить условиям (1.7.5) или (1.7.6). Именно поэтому точные торцевые условия заменяют на интегральные. Если к решениям основной полукраевой задачи добавить решения пограничной задачи, то в силу однородности последней вновь будут получаться решения основной полукраевой задачи, но теперь уже содержащие счетное число произвольных параметров. Это позволяет удовлетворить торцевым условиям (1.7.5) или (1.7.6) с заданной точностью.
Для нахождения значений параметров основной и пограничной полукраевых задач, удовлетворяющих краевым условиям (1.7.5) или (1.7.6), эти условия переформулируем в смысле метода наименьших квадратов: Для того чтобы пограничные функции (ux) (r,s), (uy) (r,s), (uz),(r,s) являлись существенно значимыми внутри пограничного слоя вблизи правого торца, а вне его их где U,p(x,y)- пограничные характеристические функции вектора перемещений (ae{x,y,z}); Ар - некоторые, быть может комплексные, показатели, действительная часть которых больше нуля. Подставим формулы (1.7.7) в равенства (1.1.7), (1.1.12) и используем формулы (1.7.3), тогда получим следующее представление для компонент тензора напряжений: В силу однородности краевых условий (1.7.19) краевая пограничная задача (1.7.17)-(1.7.19) является задачей на нахождение собственных функций U,pH собственных значений Ар. Линейная комбинация собственных пограничных функций образует общее решение трехмерной пограничной задачи вблизи торца стержня. Предположительно система собственных пограничных функций обладает трехкратной полнотой (Келдыш [209]), т.е. позволяет выполнить три равенства (1.7.5) (или (1.7.6)) со сколь угодно заданной точностью, в общем случае вопрос об их полноте не исследован и должен рассматриваться отдельно в каждом случае на основе этой работы М.В. Келдыша
Для исследования пограничного слоя на левом торце стержня также вводится переменная вместо продольной переменной z , но уже по формулам отличным от формул (1.7.3): Представление (1.7.7) остается справедливым, тогда, повторяя все выкладки, сделанные для правого торца, получится краевая пограничная задача, отличающаяся от задачи (1.7.17)-(1.7.19) умножением каждого собственного числа Ар на (-1). С другой стороны, если функции U, І заменить на функции -Ubp, то опять получится краевая пограничная задача (1.7.17)-(1.7.19). Если же учесть, что умножение собственной функции на любое число опять дает собственную функцию, то можно сделать следующий вывод: общее решение пограничной краевой задачи вблизи левого и правого торцов совпадают. Это значит, что пограничная краевая задача и ее общее решение полностью определяются только лишь геометрическими и механическими свойствами слоистого стержня. Из равенств (1.7.15)-(1.7.16) следует, что добавление пограничных напряжений к основным в соответствии с формулой (1.7.1) не меняет величины всех внутренних усилий в каждом сечении. Это значит, что если краевые условия на торцах заданы в напряжениях, то внутренние усилия, образованные основными напряжениями должны иметь на торцах те же значения, что и внутренние усилия заданных напряжений. Поэтому в данном случае основные напряжения определяются независимо от пограничных, ставя для них торцевые условия в виде заданных усилий. После этого ищутся пограничные напряжения на основе формул (1.7.5а). Таким образом, точные торцевые усилия могут быть удовлетворены с заданной точностью только за счет системы самоуравновешанных напряжений, существенно значимых лишь в малом пограничном слое вблизи торца. Это составляет содержание знаменитого принципа Сен-Венана, который может быть сформулирован для слоистых стержней, например, в следующем виде: «две системы статически эквивалентных сил, заданных на торце, вызывают напряжения, разница между которыми быстро убывает по мере удаления от торца». Этот принцип справедлив как при продольно-поперечном изгибе, так и при кручении. В случае плоской деформации в плоскости xOz перемещения и напряжения перестают зависеть от переменной у и формулы для характеристических функций (1.7.9) принимают вид Для решения краевой задачи (1.7.21)-(1.7.24) используем метод, разработанный JI.A. Агаловяном [2] для решения систем типа (1.7.22). Введем новую функцию, совпадающую на каждом слое с функцией характеристического напряжения (т ), :
Плоская деформация
Пусть слоистая консоль равномерно вращается вокруг вертикальной оси угловой скоростью со. Действием силы тяжести пренебрегаем. Согласно принципу Даламбера воздействие движения на консоль заменяем действием сил инерции, которые распределены по объему, прямо пропорциональны плотности материала р,, расстоянию от оси вращения и квадрату угловой скорости P,z(x,y,z)=r1z(x,y)P2:(z), r x.y) , Ps(z)=mco2z, m = Jp.dF, (2.5.25) m .=1 F, где m - масса сечения консоли (или линейная плотность консоли). Функция распределения r,z(x,y) удовлетворяет второму равенству (2.5.3). Из неравенств (2.5.24) найдем минимальные значения приближений, обеспечивающих точное решение полукраевой задачи (2.5.1)-(2.5.2), (1.1.4)-(1-1-8), ms=l, mx=0, nw=3, nu=3. (2.5.26) Система уравнений продольно-поперечного изгиба консоли (2.5.22) с учетом равенств (2.5.25)-(2.5.26) имеет вид (Gw.fMs4(G5fMsWz = 0, dz dz (O»/f ME4G 4bf =0. (2.,27) dz dz dz Из уравнений (2.5.27) следует, что производные функции продольного смещения wp тождественно зануляются начиная с 4-й, а производные функции прогиба щ тождественно зануляются начиная с 5-й. Будем считать, что консоль испытывает плоскую деформацию.
С учетом сказанного воспользуемся формулами (2.5.21), (2.5.23) и запишем формулы для компонент вектора перемещений, тензора напряжения и внутренних усилий Проинтегрируем равенства (2.5.27) с учетом условий (2.5.31) и формул (2.5.19) и (2.5.30), тогда получим, что поперечная сила тождественно равняется нулю и для усилий и производных функций справедливы формулы Из формулы (2.5.20) и (2.5.25), следует, что в случае сечения, геометрические и механические характеристики которого симметричны относительно оси х = с0, момент функции распределения объемных сил по сечению l и характеристическая жесткость (( ) равны нулю и, следовательно, согласно формуле (2.5.32) изгибающий момент тождественно равен нулю во всех сечениях консоли, т.е. консоль не изгибается и функция прогиба тождественно равняется нулю. Если же величина і не равняется нулю, то изгибающий момент не равен нулю и возрастает прямо пропорционально квадрату скорости, разрушение такой консоли наступит как от действия продольного усилия, так и от действия изгибающего момента. На левом торце, в месте закрепления консоли потребуем минимума отклонений квадратов перемещения от нуля Подставим равенства (2.5.28) и (2.5.32) в функционалы условий (2.5.33) и воспользуемся равенствами (1.1.11) и (2.1.3), тогда минимум достигается при нулевых значениях параметров Формулы (2.5.29), (2.5.32), (2.5.34) дают точное решение задачи об основном напряженно-деформированном состоянии равномерно вращающейся слоистой консоли. Материзлы данного параграфа опубликовзны в работе авторз [143]. 2.6.1. Постановка полукраевой задачи Будем считать, что прежде чем балка была объединена в единое деформируемое тело. Каждый из ее слоев был предварительно деформирован (еар) Если отсчитывать перемещения и соответствующие им деформации от этого предварительно деформированного состояния, то закон Гука в отличие от формул (1.1.9) принимает вид Ы, =Х,Є8ар +2ц, (еаР +(еаЭ)Р), Є= і(ея +(ew)f), і = 1,3. (2.6.1) Один из распространенных способов предварительного деформирования слоя - его растяжение в направлении оси z. Тогда деформации упругого слоя имеют вид В случае изготовления предварительно деформированных железобетонных конструкций в силу технологических особенностей (поэтапность процессов деформации арматуры и застывания бетонной смеси) предварительные деформации всего слоя нельзя считать подчиненными закону упругости.
В ряде случаев можно считать, что выполняются соотношения Обобщая случаи формул (2.6.2), (2.6.3) и другие подобные им случаи, будем считать, что выполнены соотношения (е»У=с#ой, (eJ?= 5oW, (ejf =a 0(z), (ехуИегуНе-)?=0 (2-6-4) где o(z) функция продольного изменения предварительной деформации; осх(х,у), ay(x,y), az(x,y) - заданные функции распределения предварительной деформации по сечению балки, і = 1, s. Будем рассматривать слоистые балки с симметричным сечением относительно оси х, для которых предварительная деформация также обладает симметрией: 2 б Предварительно деформированные слоистые банки Вместо полукраевой задачи (1.1.3)-(1-1-8) будем решать задачу (1.1.3)-(1-1-6), (2.6.1) при условии выполнения равенств (2.6.4) и (2.6.6), которая также полукраевая, так как на торцах балки не заданы краевые условия. Будем считать, что кроме нагрузки, вызванной наличием предварительной деформации, на балку действует поперечная поверхностная нагрузка. Для построения другого типа решений полукраевой задачи (1.1.3)-(1.1.6), (2.6.1) используем представление для перемещений (2.1.1):
Поперечный изгиб кольцевых слоистых плит
Для исследования круговых и кольцевых слоистых плит удобно использовать полярную систему координат (4.1.114) в плоскости плиты. Оператор Лапласа в этом случае имеет вид: Используя формулы (4.1.115) и (4.1.119), запишем формулы (4.1.123)-{4.1.124) в полярной системе отсчета Известно свойство оператора Лапласа свойства следует, что последовательное применение операторов Лапласа к четным степеням переменной г, в конечном итоге дает тождественный нуль, а к нечетным степеням приводит к появлению особенности в начале координат. Такой же результат получается при применении операторов Лапласа к четным степеням переменной г, умноженным на In г. Предположим, что поперечная нагрузка рх является многочленом четной степени 2т и содержит только четные степени переменной г, либо таким же многочленом, умноженным на In г, тогда т.е поперечная нагрузка является (т+1) гармонической функцией, и к ней применимо утверждение 4.1.2. Следует заметить, что справедливость этого утверждения основана на обнулении правых частей равенств (4.1.91). Правые части являются первыми и вторыми производными от (n - l)-x степеней операторов Лапласа примененных к функции прогиба. Поэтому, необходимая для обнуления правой части равенств (4.1.91) степень гармоничности функций г и г ш1пг является различной. Сформулируем это в виде утверждения. Утверждение 4.1.3 (о точном решении осесимметричной задачи поперечного изгиба счоистой плиты). Пусть выполнены условия: 1. Поперечные распределенные нагрузки, приложенные к верхней и нижней поверхностям плиты, осесимметричны, пропорциональны между собой и в сумме не равны нулю.
Продольные распределенные нагрузки отсутствуют. 2. Характеристические функции U k(x), U k(x) удовлетворяют формулам (4.1.27), (4.1.70)-(4.1.77). 3. Функция прогиба удовлетворяет уравнению (4.1.99). Если поперечная нагрузка рх является многочленом четной степени 2т расстояния до оси симметрии, а номер асимптотического приближения удовлетворяет неравенству или же, если поперечная нагрузка рх является многочленом четной степени 2т расстояния до оси, умноженным на In г, а номер асимптотического приближения удовлетворяет неравенству то перемещения, вычисляемые ниже, являются точным решением пространственной полукраевой задачи (4.1.3)-(4.1.8): Из полученных формул следует, что радиальное усилие (N ) " для слоистой плиты в общем случае не равняется нулю, следовательно, для его обнуления следует решать дополнительную задачу о сжатии плиты под действием нагрузки, действующей в плоскости плиты, и распределенной по ее кромке. Парадокс параболического штампа. Известен парадокс, широко освещенный в литературе (Васильев В.В. [66-67], Алфутов Н.А. [13] и др.), когда штамп параболической формы (- г J давит на пластину. Считается, что верхняя поверхность пластины копирует поверхность штампа. В соответствии с классической теорией изгиба функция прогиба и0 совпадает с профилем штампа где им - смещение штампа вниз (на плиту). При ее подстановке в уравнение Софи Жермен (4.1.83) получается, что поперечная нагрузка, действующая со стороны штампа на пластину, равна нулю. А этого не может быть. Воспользуемся формулами (4.1.82) и (4.1.85) для изучения данного парадокса, пусть штамп является параболоидом степени 2т. Предположим, что верхняя поверхность пластины в точках взаимодействия копирует его форму и выполняются равенства В рамках изложенной теории нас интересуют функции прогиба, регулярно зависящие от малого параметра, поэтому из равенства (4.1.134) следует, что функция прогиба является многочленом степени 2т. Тогда из равенства (4.1.135) и второй формулы (4.1.130) следует, что при m 2 поперечная нагрузка является многочленом степени (2т-4), и, следовательно, формулы (4.1.132) при n m +2 в соответствии со сказанным выше являются точным решением полукраевой задачи (4.1.3)-(4.1.8). Если же т=1, то получается тот же парадокс, что и при использовании классической теории. Обратим внимание на то обстоятельство, что при m 2 поперечная распределенная нагрузка рх является отрицательной, например, при m = 2 отрицательной постоянной нагрузкой. Отрицательная нагрузка действует не со стороны штампа, т.е. ее причиной является не штамп, а другое тело.
Следовательно, смысл этой нагрузки в том, что она необходимо должна быть приложена к пластине одновременно с воздействием на нее штампа с целью придания пластине формы этого штампа. Это возможно только в том случае, если воздействие штампа на пластину имеет сосредоточенный характер в начале координат. Сосредоточенная нагрузка является нагрузкой, которая на малой площадке меняется от нуля до своего максимума. Для столь быстро меняющихся нагрузок утверждение 2.1.1 не работает и формулы (4.1.85) не являются решением даже в асимптотическом смысле. Отсутствие решения с особой наглядностью проявляется для параболического штампа при ш=1, однако и в остальных случаях имеет место тот же парадокс. Естественно, что на практике при действительном нагружении в месте сосредоточенного воздействия достаточно быстро начинают развиваться пластические деформации, благодаря которым собственно и происходит копирование пластиной формы штампа и перераспределение нагрузки, действующей на пластину. Окончательно сделаем вывод: парадокс заключался в необоснованном предположении о копировании упругой пластиной формы параболического штампа. 247]. Другим общеупотребительным методом является метод подбора функции напряжения (см. например, Тимошенко [405], [407] Папкович [315]). Для сравнения результатов следует внести непринципиальные изменения в изложенную выше теорию.
