Содержание к диссертации
Введение
1 Обратная задача для электромагнитного поля точечной заряженной частицы . 13
1.1 Обратная задача для поля точечного заряда, дипольного электрического и дипольного магнитного моментов 14
1.1.1 Формулировка задачи 14
1.1.2 Обратная задача для точечного заряда и дипольного электрического момента
1.1.3 Обратная задача для магнитного момента 21
1.2 Восстановление закона движения заряженной частицы по ее электро магнитному полю 24
1.2.1 Обратная задача для полей Лиенара - Вихерта 25
1.2.2 Решение задачи для прямолинейно движущегося заряда 29
1.2.3 Пример 32
1.3 Восстановление параметров траектории частицы по синхротронному излучению 34
2 Обратная задача для тензора энергии-импульса . 39
2.1 Тензор энергии-импульса для частиц 40
2.2 Тензор энергии-импульса для полей 42
2.3 Обратная задача для суммарного тензора энергии-импульса 47
2.3.1 Случай 1. Тензор энергии-импульса, приведенный к диагональному виду 51
2.3.2 Случай 2. Вектор Умова-Пойтинга перпендикулярен векторам иапряжешюстей полей 55
2.3.3 Случай 3. Параллельные поля 5G
2.3.4 Случай 4. Перпендикулярные поля 57
3 Движение и излучение заряженной частицы в квазиоднородном магнитном поле . 59
3.1 Движение заряженной частицы в квазиоднородном магнитном поле. Решение в квадратурах 60
3.2 Приближение малых колебаний
3.3 Спектрально-угловое распределение излучения частицы 67
3.4 Угловое распределение излучения 73
3.5 Решение обратной задачи для заряженной частицы в квазиоднород
ном магнитном поле 78
Заключение 81
- Восстановление закона движения заряженной частицы по ее электро магнитному полю
- Решение задачи для прямолинейно движущегося заряда
- Обратная задача для суммарного тензора энергии-импульса
- Движение заряженной частицы в квазиоднородном магнитном поле. Решение в квадратурах
Введение к работе
Под обратными задачами электродинамики понимаются задачи восстановления источников электромагнитного поля по известным значениям этого поля. Обратные задачи электродинамики охватывают очень широкий круг явлений [1]-[3]. Наиболее известная и хорошо изученная обратная задача - задача локации объекта по его электромагнитному излучению (пассивная локация) или по отраженному излучению (активная локация). В простейшей форме локация заключается в определении направления на объект и расстояния до него. В более сложной форме цель локации заключается в определении формы объекта и сто электрофизических свойств.
Обратная задача в отношении квазистатических источников электрического поля возникает при исследовании атмосферного электричества, например, грозовых облаков, когда но зарегистрированным параметрам сигналов, отраженных от молний, оценивается среднее время ее существования и другие характеристики. Такие данные позволяют человеку в дальнейшем воздействовать на электрическое состояние кучевых облаков, чтобы регулировать последующую грозовую стадию развития, используя, к примеру, лазеры [4]-[8].
Однако, стоит отметить, что перечисленные выше классы обратных задач имеют эмпирический характер и являются итогом наблюдений и анализа полученных данных.
Неоценима роль обратных задач в астрофизике, ибо исследование радиосигналов от удаленных источников является на данный момент единственно возможным методом изучения характеристик звездных объектов. Неудивительно, что вопросу решения обратных задач в области астрофизики посвящено множество статей. К примеру, решение уравнения Фредгольма, описывающее распределение по радиусу яркости в различных длинах волн в двойных системах типа звезд Вольфа-Райе по наблюдаемым данным изменения их светимости во времени; решение с определением угловых размеров ближайших звезд и распределений интенсивностей их излучения по радиусу звезды по наблюдаемым кратковременным изменениям светимости звезды при ее заслонении лунным диском [9]; нахождение радиального распределения плотности звезд в шаровом скоплении по видимому распределению их поверхностной плотности [10]; а также многое другое [11], [12].
Начиная с С0-х годов прошлого века астрофизики пытаются использовать результаты измерения свойств излучения внеземных источников для анализа свойств этих источников. Речь идет об излучении релятивистских электронов в магнитном поле космических объектов. При определенных предположениях (однородность магнитного поля, ультрарелятивистские частицы, степенной закон распределения частиц по энергиям и т.д.) удалось существенно продвинуться в решении обратной задачи синхротронного излучения (см. обзор в [13], [14]). Используя иоляризацион- иые свойства синхротронного излучения можно найти направление магнитного поля, в котором движутся релятивистские частицы, в области излучения. Измерение зсемановского расщепления спектральных линий позволяет определить величину магнитного поля, если известен угол между силовой линией и лучом зрения. Такое комплексное решение задачи позволило вычислить распределение магнитного поля в нашей Галактике (см., например, [15]).
Восстановление свойств источника излучения в астрофизике затруднено многими факторами, такими как изменение спектра и поляризации излучения при прохождении через межзвездную плазму, неизвестным распределением излучающих частиц по энергиям и т.д. В результате, при решении обратной задачи приходится использовать более или менее правдоподобные предположения. Тем не менее, точность полученных результатов оценивается достаточно высоко - около 80 процентов [16].
Круг проблем, связанных в той или иной мере с решением обратных задач п сфере радиолокации огромен. Например, интерпретация электроразведочных данных сводится к восстановлению строения и свойств среды по наблюдаемым значениям поля. Такая задача относится к классу обратных задач, в которых но известному следствию требуется установить причину. В геофизике, к примеру, анализ статистических характеристик радиосигналов, отраженных от земной поверхности, позволяет определить местонахождение источников различных физических полей, получать более емкую картину о структуре подземных слоев и прогнозировать их дальнейшее развитие [2], [3], [17]-[20].
Одна из основных задач теории распространения радиоволн - задача о восстановлении диэлектрических свойств среды, с которой эти волны взаимодействуют. В статье [21], к примеру, рассмотрена задача отражения плоских гармонических радиоволн, падающих по нормали к границе плоско-слоистой среды. Представлено аналитическое решение в частотной области одномерной задачи отражения радиоволн от поглащаюшего слоя, лежащего на однородном полупространстве, для случая нормального падения.
Немаловажную роль обратные задачи играют и в навигации. Так, анализ свойств доплеровского спектра радиолокационного СВЧ сигнала, отраженного от морской поверхности, позволяет сделать оценки о наличии на море того или иного типа волнения (развивающееся ветровое; ветровое; зыбь), определить доминантную длину волны, направление ее распространения и ее высоту, а для ветрового волнения -скорость и направление ветра [22], [23].
В середине 70-х прошлого века стал актуальным другой аспект обратной задачи излучения - создание источников излучения с заранее заданными спектральными и поляризационными свойствами. Например, предложено несколько способов формирования параметров излучения в системах типа ондуляторов ([24]-[32]). В работах ([33]-[3б]) для систем типа "короткого" магнита фактически решена задача о создании наперед заданного спектра для ограниченного интервала частот путем подбора эффективного поля на траектории заряда. В работах ([37]-[41]) дано общее теоретическое решение одночастичной обратной задачи излучения. Показано, что если известно поле излучения движущегося заряда, то его закон движения можно восстановить с точностью до произвольной скалярной функции. Если известно, что скорость заряда постоянна, то обратная задача излучения решается однозначно. Другая возможность исключить произвол в решении заключается в том, чтобы задать поле излучения в двух направлениях [38].
В связи с обсуждением механизмов излучения вблизи пульсаров привлекло к себе внимание излучение, возникающее при движении заряда вдоль силовых линий неоднородного магнитного поля. Такое излучение получило название магнитодрей-фовым или изгибшлм (curvature radiation). Сейчас более употребляем термин "излучение кривизны". Фактически, в неоднородном поле заряд движется не строго вдоль силовой линии, он также дрейфует в направлении, перпендикулярном к плоскости, в которой лежит рассматриваемая линия [12], [43]. В результате появляется сила Лоренца, искривляющая его траекторию так, что в первом приближении заряд можно считать движущимся вдоль искривленной силовой линии. Возникающее при этом излучение кривизны обладает в основном теми-же характерными особенностями, что и синхротронное излучение, но роль радиуса ларморовской окружности играет радиус кривизны силовой линии магнитного поля [42], [45].
Квазиоднородное магнитное ноле хорошо аппроксимируется магнитным полем, созданным линейным током. Движение частиц в таком поле хорошо изучено. Впервые движение частицы в магнитном поле линейного тока исследовал Хертвик [4G]. Позже Лениерт [47], комбинируя закон сохранения энергии с уравнениями Лагран-жа, получил формулу для определения запрещенных областей движения частицы и показал, что частица будет двигаться в пространстве между двумя цилиндрами, "стенки" которого являются границами возможной зоны движения частицы. Им же была определена средняя дрейфовая скорость частицы при таком движении. В настоящей диссертации для частицы, движущейся в магнитном поле, созданном линейным током, получено решение уравнений движения в квадратурах и найден закон движения частицы в приближении малых колебаний.
В настоящее время изучению свойств изгибного излучения посвящено множество научных работ, т.к. подобный механизм излучения присущ большенству космических объектов. Излучению релятивистского электрона, движущегося по искривленной спирали в плазме, посвящена статья [48], в которой получены формулы для полной энергии излучения для частицы, движущейся в вакууме. В работе [49] рассматривается излучение электрона, движущегося по спиральной траектории, навивающейся на искривленную магнитную силовую линию. Показано, что для получения правильных формул синхротронного излучения необходимо использовать траекторию, которая наряду с дрейфом учитывает наклон ларморовской окружности к магнитному полю. Получены формулы, имеющие в качестве предельных случаев синхротронное и изгибное излучения. Найдены спектрально-угловое распределение излучаемой энергии, спектральное распределение мощности излучения, поляризационные характеристики излучения. В работе [50] исследовано движение и излучение релятивистской заряженной частицы в магнитном поле в приближении малого угла отклонения вектора скорости от оси траектории (приосевое приближение). Получены выражения для спектрально-углового распределения излучения, не содержащие скорости или ускорения заряженной частицы, а определенные через векторный потенциал магнитного поля на прямой, в окрестности которой движется частица. Показано, что спектрально-угловое, угловое и спектральное распределения излучения содержат энергию только в виде общего множителя, откуда следует, что форма спектрально-углового распределения излучения не зависит от энергии частицы. С изменением энергии изменяется лишь масштаб в распределении по частоте и угол между вектором направления излучения и осью траектории. В работах [51]-[55] были выведены формулы излучения ультрарелятивистской частицы, движущейся по спиральной траектории, навивающейся на магнитную силовую линию. В работе [51] показано, что свойства излучения существенно зависят от угла между направлением вектора скорости частицы и касательной к силовой линии магнитного поля, который называется питч-углом. Рассмотрено два крайних случая - очень большого питч-угла а (а » 7-1) и очень малого угла (or « 7_1)i гДе 7 ~~ релятивистский фактор. В первом случае генерируется синхротронпое излучение, во втором - излучение кривизны. Промежуточный случай or ~ 7-1 исследован только численно. В работе [53] рассмотрен случай синхротронно-изгибного излучения, а и работе [55] - ондуляторно-изгибное излучение. В наших работах [56]-[58] получены аналитические выражения для спектрально-углового и углового распределений излучения релятивистской заряженной частицы, движущейся по спирали, навивающейся на искривленную силовую линию магнитного поля, для промежуточного случая а ~ 7-1-
Цель работы. Р'ешение обратной задачи для электромагнитного поля, созданного электрическим дииольным моментом и точечным зарядом; магнитным моментом; произвольно движущимся точечным электрическим зарядом; произвольно распределенными в пространстве движущимися зарядами по известному тензору энергии-импульса такой системы.
Научная новизна и практическая ценность работы.
С помощью известных выражений для полей в дипольном приближении решена обратная задача для поля точечного заряда, дипольного электрического и магнитного моментов. Полученный результат может быть использован для восстановления макроскопического распределения электрических зарядов по полю, создаваемому этими зарядами на значительных расстояниях, когда применимо мульти-полыгас разложение.
Впервые решена обратная задача для произвольно движущейся точечной заряженной частицы с помощью потенциалов Лиенара-Вихерта. Показано, что одно и тоже поле может быть создано разными по знаку зарядами, движущимися по различным траекториям.
Получены формулы для нахождения параметров траектории частицы по ее синхротронному излучению, которые могут быть использованы, например, в астрофизике для определения величины и направления магнитного поля в источниках нетеплового электромагнитного излучения.
Решена обратная задача для тензора энергии-импульса невзаимодействующих частиц, для тензора энергии-импульса электромагнитного поля без зарядов и токов. Установлено, что обратная задача для тензора энергии-импульса электромагнитного поля не имеет однозначного решения. Показано, что обратная задача может быть решена с точностью до дуальных поворотов.
Впервые исследовано спектрально-угловое распределение излучения частицы, движущейся в квазиоднородиом магнитном иоле для случая, когда питч-угол меньше обратного релятивистского фактора, когда существенную роль играет как ондуляторный механизм излучения, так и излучение кривизны. Получены форму- лы для усредненного но времени углового распределения, которые в предельных случаях ондуляторного излучения и излучения кривизны, совпадают с известными формулами. Полученные формулы использованы для решения обратной задачи восстановления траектории частицы при движении в квазиоднородном магнитном поле.
Апробация работы. Результаты, положенные в основу диссертации, докладывались на следующих конференциях: II международная конференция " Квантовая теория поля и гравитация QFTG - 97", 28 июля - 2 августа, 1997. - Томск; Third International Symposium "Radiation of Relativistic Electrons in Periodical Structures" (RREPS - 97), September 8-12, 1997. - Nuclear Physics Institute Tomsk Politcchnic University, Tomsk; The Inter. Conf. of Math. Methods in Electromagnetic Theory "MMET - 98", June 2-5, 1998. - Kharkov, Ukraine; The Ninth Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics, September 20-26, 1999. - Moskow; III сибирская школа молодого ученого, 2001. - ТГПУ, Томск; V общероссийская межвузовская конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование", 23-20 апреля, 2001. - Томск; Всероссийская астрономическая конференция, 6-12 августа, 2001. -СПбГУ, С.-Петербург; The Intern. Conf. "Theoretical and Experimental Problems of General Relativity and Gravitation", July 1-7, 2002. - Tomsk.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и списка литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации составляет 91 страницы.
Основное содержание работы.
Первая глава диссертации посвящена исследованию различных аспектов обратной задачи для поля точечной заряженной частицы, точечного дипольного электрического и дипольного магнитного моментов, а также решена обратная задача синхротронного излучения. Глава состоит из трех разделов.
В разделе 1.1 рассмотрено решение обратной задачи для электростатической системы зарядов и токов, находящейся в некоторой области однородного пространства, достаточно удаленной от наблюдателя, который фиксирует поля, созданные этой системой. Задача решена с использованием известных выражений для полей в дипольном приближении [59].
Предполагаются известными напряженности стационарных электрического Е(г) и магнитного Н(г) полей в некоторой точке вдали от зарядов и токов, а также первые производные от этих векторов по координатам: Ец = ОЕі/Oxj и Я*,- = дII\/'Oxj.
В результате получено два решения для величины заряда, дипольного момента и положения источника электрического поля. Физически это означает, что одно и то-же поле с его производными в данной точке может быть создано двумя разными источниками находящимися в разных точках пространства относительно наблюдателя. Координаты и компоненты дипольного магнитного момента выражаются однозначно.
Если в разделе 1.1 был представлен статический случай, то раздел 1.2 посвящен исследованию поля движущейся заряженной частицы. Обратная задача ставится следующим образом: восстановить закон движения заряженной частицы по ее электромагнитному полю, т.е. радиус-вектор R(t) точечной заряженной частицы как функцию времени, если известны напряженности электрического и магнитного полей E(t) и H(t) в некоторой точке пространства. В первой части раздела обратная задача поля произвольно движущегося заряда решена в общем виде с помощью формулы, полученной Фейнманом [60]. В второй части раздела 1.2 показано решение относительно простой задачи — нахождение положения и скорости равномерно движущегося точечного заряда в некоторый момент времени, если известны поля E{t) и H(t) в тот же момент времени. Во третьей части раздела рассмотрен примсі) заряженной частицы, движущейся равномерно и прямолинейно с постоянной скоростю V.
Все указанные задачи решены чисто алгебраическим методом, без интегрирования дифференциальных уравнений. Исключение составляет случай, когда II(t) = 0. Тогда решение обратной задачи сводится к интегрированию уравнения Риккати.
Все полученные решения неоднозначны. Одно и то-же поле может быть создано как положительным, так и отрицательным зарядами. При этом траектория положительного заряда отличается от траектории отрицательного.
В разделе 1.3 первой главы решена обратная задача синхротронного излучения с использованием его поляризационных свойств. В качестве заданных величин берутся а- и 7г- компоненты поляризации спектральной плотности излучения, а также спектральные индексы этих компонент.
Однако, полученное решение не позволяет найти отдельно поперечную /ij_ и продольную /?;| составляющие скорости частицы, потому что они не входят в исходные формулы для излучения. Можно определить, зная 72, лишь величину общей скорости: Р2 = 1—7~2. Это объясняется тем, что формулы, используемые для решения обратной задачи, описывают излучение ультрарелятивистских частиц, которое определяется только радиусом траектории в точке, в окрестности которой происходит излучение. Результаты раздела 1.3 использованы в третьей главе для решения обратной задачи для поля излучения частицы, движущейся в квазиоднородном магнитном поле. Основные положения первой главы диссертационной работы изложены в материалах [01] - [63].
При решении обратных задач электродинамики, рассмотренных в первой главе, заданными считались либо квадраты напряженностей электрического и магнитного полей (как, например, в обратной задаче излучения), либо сами напряженности (в обратных задачах электростатики). В том случае, если в пространстве присутствует и статическое поле и поле излучения, возникает нетривиальная задача восстановления напряженностей электрического и магнитного полей по их квадратичным комбинациям.
Исследованию этого вопроса посвящена вторая глава диссертационной работы. В качестве "квадратичной комбинации" напряженностей электрического и магнитного полей берется тензор энергии-импульса. Задача ставится следующим образом: в некоторой области пространства известен тензор энергии-импульса для некоторой системы, состоящей из заряженных частиц и электромагнитного поля. Требуется восстановить нарпяженности электрического и магнитного полей и плотность распределения зарядов как функции координат и времени.
В разделе 2.1 решается обратная задача для тензора энергии-импульса частиц в области, где отсутствует электромагнитное поле и заряды, плотность энергии и импульса определяются только массами движущихся частиц.
В разделе 2.2 восстановлено электромагнитное поле по известному тензору энергии-импульса этого поля. Задача решена применительно к электромагнитному полю в отсутствие зарядов и токов. Тензор энергии-импульса такой системы определяется известной формулой [59]. Вследствии того, что уравнения Максвелла без зарядов и токов инвариантны относительно дуальных преобразований, тензої) энергии-импульса также не изменяется при дуальных поворотах. Следовательно, обратная задача не имеет однозначного решения - оно найдено с точностью до дуального преобразования.
Из определения тензора энергии-импульса электромагнитного поля был получен ряд полезных соотношений на компоненты этого тензора, которые использовались в разделе 2.3 этой главы, где рассматривается обратная задача для тензора энергии-импульса в пространстве, содержащем и частицы и электромагнитное иоле. В этом случае имеется десять неизвестных: компоненты векторов напряжеиностей Е и Н, компоненты вектора скорости частиц /3 и плотность масс fi.
Привлекая выведенные соотношения на компоненты тензора энергии-импульса электромагнитного поля, удалось свести решение к системе квадратных уравнений, содержащих только проекции вектора (3 и плотность масс ft. Рассмотрено несколько частных случаев, в которых можно обойтись без системы квадратных уравнений и довести решение обратной задачи до конца в общем виде. Решена обратная задача для случая диагонального тензора энергии-импульса; для случая, когда вектора напряжеиностей Е и Н лежат в одной плоскости; рассмотрены также случаи для параллельных электрического и магнитного полей и взаимно перпендикулярных электрического и магнитного полей. В процессе решения для каждого частного случая выведены свои соотношения связи между компонентами тензора энергии-импульса. Эти соотношения показывают, что не всякий тензор энергии-импульса может описывать заданную систему полей и частиц. Материалы этой части были изложены в публикациях [64] - [67].
В главе 3 рассмотрено движение и излучение заряженной частицы в квазиоднородном магнитном поле, а именно, исследовано излучение заряженной частицы в неоднородном магнитном поле в условиях, когда траектория движения представляет собой искривленную спираль. Рассмотрен случай, когда питч-угол меньше обратной величины релятивистского фактора. Показано, что спектрально-угловое распределение излучения состоит из двух частей, существенно разнесенных по частоте. Одна из составляющих представляет собой излучение кривизны, поляризованное преимущественно линейно, а вторая обладает типичными свойствами онду-ляторного излучения с высокой степенью круговой поляризации.
Восстановление закона движения заряженной частицы по ее электро магнитному полю
Первая глава диссертации посвящена исследованию различных аспектов обратной задачи для поля точечной заряженной частицы, точечного дипольного электрического и дипольного магнитного моментов, а также решена обратная задача синхротронного излучения. Глава состоит из трех разделов.
В разделе 1.1 рассмотрено решение обратной задачи для электростатической системы зарядов и токов, находящейся в некоторой области однородного пространства, достаточно удаленной от наблюдателя, который фиксирует поля, созданные этой системой. Задача решена с использованием известных выражений для полей в дипольном приближении [59].
Предполагаются известными напряженности стационарных электрического Е(г) и магнитного Н(г) полей в некоторой точке вдали от зарядов и токов, а также первые производные от этих векторов по координатам: Ец = ОЕІ/OXJ и Я ,- = дII\/ Oxj.
В результате получено два решения для величины заряда, дипольного момента и положения источника электрического поля. Физически это означает, что одно и то-же поле с его производными в данной точке может быть создано двумя разными источниками находящимися в разных точках пространства относительно наблюдателя. Координаты и компоненты дипольного магнитного момента выражаются однозначно.
Если в разделе 1.1 был представлен статический случай, то раздел 1.2 посвящен исследованию поля движущейся заряженной частицы. Обратная задача ставится следующим образом: восстановить закон движения заряженной частицы по ее электромагнитному полю, т.е. радиус-вектор R(t) точечной заряженной частицы как функцию времени, если известны напряженности электрического и магнитного полей E(t) и H(t) в некоторой точке пространства. В первой части раздела обратная задача поля произвольно движущегося заряда решена в общем виде с помощью формулы, полученной Фейнманом [60]. В второй части раздела 1.2 показано решение относительно простой задачи — нахождение положения и скорости равномерно движущегося точечного заряда в некоторый момент времени, если известны поля E{t) и H(t) в тот же момент времени. Во третьей части раздела рассмотрен примсі) заряженной частицы, движущейся равномерно и прямолинейно с постоянной скоростю V.
Все указанные задачи решены чисто алгебраическим методом, без интегрирования дифференциальных уравнений. Исключение составляет случай, когда II(t) = 0. Тогда решение обратной задачи сводится к интегрированию уравнения Риккати.
Все полученные решения неоднозначны. Одно и то-же поле может быть создано как положительным, так и отрицательным зарядами. При этом траектория положительного заряда отличается от траектории отрицательного.
В разделе 1.3 первой главы решена обратная задача синхротронного излучения с использованием его поляризационных свойств. В качестве заданных величин берутся а- и 7г- компоненты поляризации спектральной плотности излучения, а также спектральные индексы этих компонент.
Однако, полученное решение не позволяет найти отдельно поперечную /ij_ и продольную /?; составляющие скорости частицы, потому что они не входят в исходные формулы для излучения. Можно определить, зная 72, лишь величину общей скорости: Р2 = 1—7 2. Это объясняется тем, что формулы, используемые для решения обратной задачи, описывают излучение ультрарелятивистских частиц, которое определяется только радиусом траектории в точке, в окрестности которой происходит излучение. Результаты раздела 1.3 использованы в третьей главе для решения обратной задачи для поля излучения частицы, движущейся в квазиоднородном магнитном поле. Основные положения первой главы диссертационной работы изложены в материалах [01] - [63].
При решении обратных задач электродинамики, рассмотренных в первой главе, заданными считались либо квадраты напряженностей электрического и магнитного полей (как, например, в обратной задаче излучения), либо сами напряженности (в обратных задачах электростатики). В том случае, если в пространстве присутствует и статическое поле и поле излучения, возникает нетривиальная задача восстановления напряженностей электрического и магнитного полей по их квадратичным комбинациям.
Исследованию этого вопроса посвящена вторая глава диссертационной работы. В качестве "квадратичной комбинации" напряженностей электрического и магнитного полей берется тензор энергии-импульса. Задача ставится следующим образом: в некоторой области пространства известен тензор энергии-импульса для некоторой системы, состоящей из заряженных частиц и электромагнитного поля. Требуется восстановить нарпяженности электрического и магнитного полей и плотность распределения зарядов как функции координат и времени.
В разделе 2.1 решается обратная задача для тензора энергии-импульса частиц в области, где отсутствует электромагнитное поле и заряды, плотность энергии и импульса определяются только массами движущихся частиц. В разделе 2.2 восстановлено электромагнитное поле по известному тензору энергии-импульса этого поля. Задача решена применительно к электромагнитному полю в отсутствие зарядов и токов. Тензор энергии-импульса такой системы определяется известной формулой [59]. Вследствии того, что уравнения Максвелла без зарядов и токов инвариантны относительно дуальных преобразований, тензої) энергии-импульса также не изменяется при дуальных поворотах. Следовательно, обратная задача не имеет однозначного решения - оно найдено с точностью до дуального преобразования.
Из определения тензора энергии-импульса электромагнитного поля был получен ряд полезных соотношений на компоненты этого тензора, которые использовались в разделе 2.3 этой главы, где рассматривается обратная задача для тензора энергии-импульса в пространстве, содержащем и частицы и электромагнитное иоле. В этом случае имеется десять неизвестных: компоненты векторов напряжеиностей Е и Н, компоненты вектора скорости частиц /3 и плотность масс fi.
Привлекая выведенные соотношения на компоненты тензора энергии-импульса электромагнитного поля, удалось свести решение к системе квадратных уравнений, содержащих только проекции вектора (3 и плотность масс ft. Рассмотрено несколько частных случаев, в которых можно обойтись без системы квадратных уравнений и довести решение обратной задачи до конца в общем виде. Решена обратная задача для случая диагонального тензора энергии-импульса; для случая, когда вектора напряжеиностей Е и Н лежат в одной плоскости; рассмотрены также случаи для параллельных электрического и магнитного полей и взаимно перпендикулярных электрического и магнитного полей. В процессе решения для каждого частного случая выведены свои соотношения связи между компонентами тензора энергии-импульса. Эти соотношения показывают, что не всякий тензор энергии-импульса может описывать заданную систему полей и частиц. Материалы этой части были изложены в публикациях [64] - [67].
Решение задачи для прямолинейно движущегося заряда
При решении обратных задач электродинамики, рассмотренных в предыдущей главе, заданными считались либо квадраты напряжснностей электрического и магнитного полей (как, например, в обратной задачи излучения), либо сами нарняженнос-ти (в обратных задачах электростатики). В том случае, если в пространстве присутствует и статическое поле и поле излучения, возникает нетривиальная задача восстановления напряжснностей электрического и магнитного полей по их квадратичным комбинациям.
В настоящей главе решается именно такая задача. В некоторой области пространства известен тензор энергии-импульса, создаваемый некоторой системой заряженных частиц. Требуется восстановить нарпяженности электрического и магнитного полей и плотность распределения зарядов как функции координат и времени.
Кроме естественного академического интереса эта задача имеет прикладное значение в теории гравитации. При разработке новых методов аналитического интегрирования полевых уравнений существенное значение имеет вид тензора энергии-импульса. При этом возникает вопрос - соответствует ли данный тензор энергии-импульса какой-либо физической системе, и, если да, то какой именно.
Известно [59], что тензор взаимодействующих зарядов и полей можно представить в виде суммы тензоров энергии-импульса полей и частиц, причем частицы считаются невзаимодействующими. В связи с этим разобьем обратную задачу на две: а) считаем, что в рассматриваемой области имеются только невзаимодействующие частицы, тензор энергии-импульса которых известен и нужно найти плотность их распределения и их скорости; б) в дайной области имеется только электромагнитное поле с известным тензором энергии-импульса и нужно найти напряженности полей. Решив указанные выше задачи, можно приступить к нахождению характеристик полей и частиц для обобщенного случая, когда известен тензор энергии-импульса системы частиц и полей.
Пусть известны все компоненты тензора энергии-импульса 7 " в некоторой области пространства. Известно также, что в рассматриваемой области электромагнитное поле и заряды отсутствуют. Плотность энергии и импульс определяются только массами движущихся частиц. Найдем рапределение масс частиц и скорости их движения.
Распределение масс в пространстве задается с помощью плотности массы, которую можно определить как где га — радиус-вектор а-й частицы, а та — масса а-й частицы. Суммирование производится по всем частицам системы. Из теории относительности известно, что энергия и импульс частицы определяются следующими соотношениями: где Р = v/c, с - скорость света, v - скорость частицы. Плотность четырехмерного импульса частиц запишется в виде цси1, где « - безразмерная четырехскорость частицы. Эта плотность представляет собой компоненты T0l/c тензора энергии-импульса, то есть Но плотность массы является временной компонентой 4-вектора ,1с ". Поэтому тензор энергии-импульса системы невзаимодействующих частиц есть где S - интервал. Производная от интервала по времени равна dS/dt = Су/І — 02. Этот тензор симметричен. Найдем компоненты Т0г. Для этого подставим в уравнение (2.1) значение четырехмерной скорости ип. Получаем следующие компоненты тензора энергии-импульса частиц: Нам неизвестны: плотность масс \і и компоненты трехмерной скорости частиц vx, vy, vz. Все компоненты тензора энергии-импульса Т считаем известными. Кро-ме того, тензор симметричен. Следовательно, имеем десять уравнений на компоненты тензора при четырех неизвестных величинах. Такая система уравнений переопределена. Для того, чтобы система имела решение, должно быть четыре независимых уравнения. Очевидно, что кроме условий симметрии для компонент тензора (2.5), должны выполнятся другие условия. Например, нетрудно установить, что Т Тцу = (Т)2 или Т0иТй„ = ТТ00. Если заданный тензор энергии-импульса дает систему десяти несовместных уравнений, то это означает, что тензор определяется не только частицами, но и полями. Предположим, что заданный тензор удовлетворяет всем требуемым условиям. Тогда все интересующие нас величины легко находятся. Найдем след тензора.
Обратная задача для суммарного тензора энергии-импульса
Для нахождения /z воспользуемся определением следа тензора: Т = /І (1 — /j2), откуда получаем квадратное уравнение на /І , дискриминант которого равен
Также из (2.72) следует, что для дальнейшего решения подходит только верхний знак: стоящая под знаком корня всегда больше Т, поэтому, для нижнего знака перед корнем получаем, что fi О, а это невозможно. Считая ц известной, найдем Рх и получим полное решение Это значит, что можно найти все компоненты Pfiw тензора энергии-импульса для поля и записать ответ для напряженностей полей в виде (2.33).
Итак, мы рассмотрели вопрос о возможности восстановления характеристик системы полей и частиц по известному тензору энергии-импульса. В случае; системы невзаимодействующих частиц решение довольно простое и однозначное. В случае системы электромагнитного поля обратная задача решается лишь с точностью до дуальных преобразований, т.е. заданный тензор энергии-импульса описывает целый класс электромагнитных полей. В случае же обобщенной системы полей и частиц удается восстановить ее характеристики в аналитическом виде лишь для частных примеров, при этом на компоненты тензора энергии-импульса необходимо накладывать различные ограничения. Движение и излучение заряженной частицы в квазиоднородном магнитном поле.
Проблема излучения релятивистских частиц в электромагнитном поле остается одной из самых актуальных и интересных проблем современной физики. Подавляющее большинство примеров этого излучения в природе и технике связано с излучением в магнитном поле. Это синхротронное и ондуляторное излучения, циклотронное излучение и излучение кривизны, охватывающие спектральный диапозон от радиоволн до гамма-квантов. Источниками внеземного радиоизлучения, как правило, служат области, занимаемые магнитными полями. Особое место в теории излучения занимает излучение в однородном магнитном поле, досконально исследованное и описанное в сотнях статей и десятках монографий.
Между тем, однородное магнитное поле является лишь удобной моделью и не существует в природе. Во многих случаях неоднородности магнитного поля довольно индивидуальны, как, например, в ускорителях заряженных частиц, и не позволяют делать общие выводы относительно свойств излучения. Существует, тем не менее, очень распространенный вид неоднородности магнитного поля, имеющий важное практическое значение. Речь идет о поле, силовые линии которого в ограниченной области пространства можно аппроксимировать дугами окружности с очень большим радиусом кривизны. Такое поле принято называть квазиоднородиым.
Излучение в квазиоднородном поле, на первый взгляд, должно быть близко по свойствам к синхротронному излучению [77], [80], [81]. Это действительно так, но при определенных условиях. Возможны такие параметры движения частицы (угол между вектором скорости и силовой линией - так называемый питч-угол - сравним и много меньше обратной величишл релятивистского фактора), при которых излучение в квазиоднородном поле существенно отличается от излучения в однородном поле. Исследованию этой проблемы посвящены работы [51] - [57]
В настоящей главе рассмотрено движение и излучение заряженной частицы в квазиоднородном магнитном поле, а именно, исследовано излучение заряженной частицы в неоднородном магнитном поле в условиях, когда траектория движения представляет собой искривленную спираль. Рассмотрен случай, когда питч-угол меньше обратной величины релятивистского фактора. Показано, что спектрально- угловое распределение излучения состоит из двух частей, существенно разнесенных по частоте. Одна из составляющих представляет собой излучение кривизны, поляризованное преимущественно линейно, а вторая обладает типичными свойствами ондуляторного излучения с высокой степенью круговой поляризации.
Пусть релятивистская заряженная частица движется в неоднородном магнитном поле. Будем считать, что размеры участка траектории, с которого частица излучает в заданном направлении, много меньше локального радиуса кривизны силовой линии магнитного поля. Считаем также, что изменением радиуса кривизны в пределах траектории частицы можно принебречь. Тогда в рассматриваемой области пространства силовую линию можно заменить дугой окружности. Ось z направим ортогонально плоскости, локально соприкасающейся силовой линии магнитного поля. Начало координат поместим в центр кривизны силовой линии. Магнитное поло, силовые линии которого представляют собой окружности, задается вектором напряженности Н — (0, // ,, 0) в цилиндрической системе координат г, (р, z. В пустоте магнитное поле удовлетворяет уравнению Максвелла rot// = 0. В цилиндрической системе координат это уравнение эквивалентно системе
С учетом того, что Hz = 0, IIT = 0, Н = const, имеем дІІ /dz = 0, т.е. Н = Н,р(г, ср). Из условия аксиальной симметрии следует, что Hv не зависит от ср. Следовательно Hv = Hv(r). Уравнение (г// ) = 0 дает: гЯ (г) = const = /, откуда следует, что Hv(r) = I Jr. Это выражение соответствует магнитному полю, создаваемому линейным током /. Впервые движение частицы в таком магнитном поле исследовал Хертвек [46]. Решение подобных задач встречается так же в работах [47], [G8]. Уравнения движения заряда в электромагнитном поле даются уравнениями Ла-гранжа: Найдем траекторию заряженной частицы, движущейся в поле // = I /г. Решение задачи будем проводить, используя цилиндрическую систему координат; ось z совместим с направлением тока /, откуда сразу следует: где Ло - некоторая константа. Определеим ее. С одной стороны // = І/r, с другой из Н = rotA найдем: Н9 = —OAz/dr или Я = —А0/г, откуда следует, что: А0 = -J. Функция Лагранжа (3.1) имеет вид: Легко видеть, что функция Лагранжа не зависит явно от координат (р и z, значит, согласно закону сохранения импульса, проекции импульса на оси z и (р но меняются с течением времени: Pv = const и Рг — const. Их можно использовать в качестве параметров
Движение заряженной частицы в квазиоднородном магнитном поле. Решение в квадратурах
Таким образом, в магнитном поле // 1/г в приближении малых колебаний частица движется в плоскости, проходящей через ось Oz по окружности радиуса а с угловой скоростью ио, медленно дрейфуя вдоль оси Oz со скоростью Vz. Сама плоскость равномерно поворачивается вокруг оси Qz с угловой скоростью Г2. В результате траектория частицы представляет собой спираль радиуса а. Ось этой спирали сама является спиралью гораздо большего радиуса гт, навитую на ось Qz. Перейдем к вопросу об излучении заряженной частицы в таком поле.
Как известно, спектр излучения релятивистских заряженных частиц в магнитном иоле зависит от питч-угла а между направлением вектора скорости частиц и касательной к силовой линии [59], [82] - [84]. Если этот угол много больше обратного релятивистского фактора 7-1 = л/1 P2i ГД Р = v/ci v " скорость частицы, то спектр излучения имеет синхротронную природу в том смысле, что он квазинепре-рывен и максимум приходится на высокие гармоники. Если этот угол много меньше 7-1, то генерируется излучение ондуляторного типа, т.е. излучается, в основном, первая гармоника с высокой степенью круговой поляризации. Силовые линии магнитного ноля, как правило, искривлены и, следовательно, частица движется по криволинейной спирали, ось которой с точностью до альвеновского дрейфа совпадает с силовой линией магнитного поля. При этом можно выделить три различных типа излучения: синхротронное излучение, определяемое радиусом спирали; ондулятор-иое излучение при а 7-1 и, так называемое, излучение кривизны, которое генерируется вследствии того, что частица в среднем движется по дуге окружности, радиус которой близок к локальному радиусу кривизны силовой линии.
Свойства рассматриваемого излучения заряженных частиц имеют важное значение в астрофизике, в особенности при выяснении природы излучения пульсаров. Действительно, в сильном магнитном поле пульсара частица быстро теряет энергию поперечного относительно силовой линии движения и питч-угол становится малым. ІЗ работах [51, 53] получены формулы, охватывающие режимы синхротронного излучения с большим питч-углом а и излучение кривизны с а = 0. Между этими крайними значениями угла о существует область малых углов, в которой существенную роль играют как ондуляторный механизм излучения, так и излучение кривизны. В настоящем разделе исследуются свойства такого смешанного излучения. Ниже мы покажем, что при определенных условиях излучение онду-ляторного типа генерируется на частотах, значительно больших, чем излучение кривизны. При этом излучение кривизны поляризовано, в основном, линейно, а ои-дуляториое излучение имеет высокую степень круговой поляризации. Этот факт может объяснить свойство излучения пульсаров, отмеченное в [85]: с ростом частоты степень линейной поляризации в импульсах многих пульсаров уменьшается, а степень круговой поляризации увеличивается. Итак, рассмотрим излучение заряженной частицы, движущейся согласно уравнениям (3.19) Скорость дрейфа равна1 Vz = vZ/u 0rm. Если в качестве начальных условий выбрать поперечную относительно силовой линии компоненту скорости v±_ и продольную составляющую г ], то частоты UQ, СІ и радиус а определятся равенствами Здесь сит — заряд и масса частицы, // — модуль наряженности магнитного поля, который считается постоянным в окрестности траектории, с — скорость света. Далее считаем, что угол между вектором скорости и касательной к силовой линии магнитного поля много меньше 7-1, т.е. В теории ондуляторного излучения параметр к определяет форму спектра излучения. При выполнении условия (3.21) генерируется только первая гармоника. С ростом к возрастает излучение на кратных частотах (см., например, [87]). Релятивистская частица излучает в узкий конус в направлении силовой линии в течении времени порядка 7-1 /Ct. За это время она совершает порядка шо/-уС1 оборотов вокруг оси спирали. Обозначим N = UJQ/ CI. ЕСЛИ N 1, то траекторию можно аппроксимировать дугой окружности с некоторым радиусом кривизны, отличным от гт и а. При этом излучение будет опять иметь синхротронний характер. Здесь мы рассмотрим другой случай, а именно N 1. Если это условие выполнено, то излучение можно считать аксиально-симметричным относительно оси z. Это позволяет, не уменьшая общности, выбрать единичный вектор направления на наблюдателя лежащим в плоскости yz n = (0,cosx,sinx), Х 1-Единичные орты компонент поляризации определим следующим образом с0 = (-1,0,0), еК = [е0п] = (0,sinx,-cosx). 1 Формула Альвена для скорости дрейфа имеет вид [86] vj = [v\/2-\- t jj J /uortn,. Но в приближении малых колебаний величина v±/u orm имеет второй гкфядок малости. где R — расстояние между зарядом и наблюдателем, со — частота излучения в спектре, к = пи/с — волновой вектор, г— радиус-вектор частицы, компоненты которого заданы уравнениями (3.19). Условие (3.21) означает, что в мгновенно сопутствующей системе отсчета, движущейся со скоростью иц, поперечное движение частицы является нерелятивистским, а соответствующее излучение динольным. В духе дипольного приближения поперечной частью движения можно пренебречь в показателе экспоненты в (3.22), но сохранить его в (3j(t). Докажем это. Излучение в направлении п генерируется втечение времени порядка Ш J l-Ото позволяет разложить тригонометрические функции с аргументом Ш в ряд: Здесь использовано приближенное равенство Пгт/с = /Зц « 1 — у 2/2. В показателе экспоненты (3.23) первые три члена типичны для синхротронного излучения и соответствуют излучению кривизны, в то время как два последних слагаемых соответствуют движению по спирали. Аналогично, выражения для компонент скорости (3.24) распадается на сумму двух слагаемых. При интегрировании постоянных и линейно растущих членов в (3.24) используется метод перевала, в соответствии с которым спектр обрезается кубическим по t членом в (3.23). При этом существенной оказывается область частот, для которых этот член имеет величину порядка единицы, т.е. и l/Q2t3 S y3 (здесь подставлено t = 7-1/ )- Это характерная частота излучения кривизны.
При интегрировании осциллирующих членов в (3.24) основной вклад вносят частоты, для которых %{у 2 + Х2) ш0і т-е- и о72- Другими словами, излучение происходит на основной частоте ш0, смещенной эффектом Допплера.
Оценим порядок величин слагаемых в формуле (3.23). Нетрудно показать, что в первом приближении по 7-1 Отсюда следует, что PdX 7 2 и этим членом в (3.23) можно пренебречь, также можно пренебречь и скоростью дрейфа в (3.24). Из (3.25) видно также, что можно пренебречь слагаемым с синусом. Член, пропорциональный косинусу имеет тот жо порядок величины, поскольку
