О некоторых свойствах непрерывного поливерсума Рябко Даниил Борисович

Содержание к диссертации

Введение

2 Предварительные сведения 24

2.1 Топологические пространства и расширенные функции . 24

2.2 Булевы алгебры 25

2.3 Векторные решетки 26

2.4 Булевозначные модели и непрерывный поливерсум 28

3 Инфинитезимальный анализ в слоях поливерсума 33

3.1 Критерий счетной насыщенности слоя поливерсума 33

3.2 Инфинитезимальный анализ на вещественной прямой в слоях поливерсума 37

3.3 Нестандартная оболочка нормированного пространства . 39

4 Изучение векторных решеток синтетическими методами нестандартного анализа 43

4.1 Изоморфизм между 0Ц. и Coo(Q) 43

4.2 Описание свойств Zff-пространств в терминах внешних сечений 48

4.3 Поточечные критерии 56

4.4 Таблица существования поточечных критериев 61

5 Публикации автора по теме диссертации 62

Литература 63

• Булевы алгебры
• Булевозначные модели и непрерывный поливерсум
• Инфинитезимальный анализ на вещественной прямой в слоях поливерсума
• Описание свойств Zff-пространств в терминах внешних сечений

Введение к работе

1.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние десятилетия в математике все большую роль играют методы булевозначного анализа. Это объясняется, в частности, тем, что они находят широкое применение в исследовании таких классических объектов, как /^-пространства и векторные решетки.

Использование методов булевозначного анализа, возникновение которого связано со знаменитыми работами П. Дж. Коэна по проблеме континуума, уже привело к возникновению новых идей в таких областях математики как теория алгебр фон Неймана, выпуклый анализ, теория векторных мер, теория векторных решеток и /^-пространств.

Особенно возрос интерес к булевозначному анализу в связи с выходом (одновременно на русском и английском языках) книг серии «Нестандартные методы анализа», издающейся под редакцией С.С. Кутателадзе.

Роль булевозначного анализа в развитии современного функционального анализа в основном определяется тем, что он позволяет упрощать многие математические объекты рассматривая их в специальных моделях теории множеств. Так, теорема Гордона утверждает, что произвольное расширенное /іГ-пространство является интерпретацией поля вещественных чисел подходящей булевозначной модели, а реализационная теорема Кусраева дает булевозначное представление архимедовых векторных решеток.

Новый этап в развитии этого направления был начат А.Е. Гутманом и Г.А. Лосенковым, предложившими представление произвольного булевозначного универсума в виде непрерывного расслоения (так называемого поливерсума), слоями которого являются классические модели теории множеств. При этом булевозначный универсум представляется в виде класса непрерывных сечений поливерсума — непрерывных функ- ций, сопоставляющих каждой точке компакта Q элемент соответствующего слоя. Таким образом, исследователи в области функционального анализа могут иметь дело не с абстрактным булевозначным универсумом, а с его функциональным аналогом — моделью, элементами которой являются непрерывные функции, а основные операции вычисляются поточечно.

Такое функциональное представление подсказывает идею представления объектов исследования булевозначного анализа, таких как расширенные А'-пространства, и, более общо, векторные решетки, в виде расслоений. Это позволило бы свести изучение данных объектов к изучению их «поточечных» свойств, действительно упрощая работу исследователя с этими объектами. Поэтому важной является задача нахождения представления векторных решеток в виде расслоений (подрасслоений непрерывного поливерсума) и исследование вопроса, какие свойства этих объектов имеют поточечные аналоги.

На современном этапе развития булевозначного анализа в нем все большую роль играют методы, использующие идеи и понятия другого направления нестандартного анализа — инфинитезимального. Идейные основы инфинитезимального анализа принято ассоциировать с именами Лейбница и Эйлера, однако формальные основания он получил только в середине XX века благодаря А. Робинсону, сделавшему, в частности, бесконечно большие и бесконечно малые величины строгими математическими понятиями. Бурное развитие инфинитезимального анализа и его применение в самых различных областях математики (от математической экономики до теории /іГ-пространств) началось в конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э.Нельсона.

Первые шаги в области комбинирования нестандартных (булевознач-ных и инфинитезимальных) методов анализа были сделаны в 80-е годы работах С.С. Кутателадзе, в которых реализован метод булевозначного моделирования в инфинитезимальном универсуме. В дальнейшем, А.Е. Гутманом, А.Г. Кусраевым, С.С. Кутателадзе и другими исследователями были разработаны различные подходы к комбинированию методов инфинитезимального и булевозначного анализа, что послужило исходной точкой для многих направлений исследований. Среди этих подходов мы отметим метод инфинитезимального моделирования в булевознач-ном универсуме А.Г. Кусраева и С.С. Кутателадзе и попытку построения булевозначной модели теории внутренних множеств А.Е. Гутмана и А. И. Попова, приведшую авторов к доказательству невозможности построения такой модели.

В рамках изучения векторных решеток в настоящей работе предлагается другой вариант совместного использования идей и методов инфинитезимального и булевозначного анализа, с помощью которого становится возможным изучение «поточечных» свойств векторных решеток. В связи с этим ставится задача введения понятий инфинитезимального анализа вещественной прямой (по аналогии с теорией Э.Нельсона) в слоях по-ливерсума, что позволило бы с новых позиций подойти к упрощению работы с векторными решетками методами булевозначного анализа.

Целью диссертации является изучение свойств поливерсума, позволяющих упростить работу с /('-пространствами и векторными решетками с помощью техники инфинитезимального анализа.

Методы исследования. В работе были использованы основные положения и результаты инфинитезимального и булевозначного анализа, а также теории векторных решеток.

Научная новизна и основные результатов работы, выносимые на защиту- В работе получены следующие новые результаты: (1) Изучены аналоги понятий инфинитезимального анализа на вещественной прямой в рамках функционального представления булевозначного универсума (непрерывного поливерсума). Это позволи- ло найти один из возможных вариантов решения задачи Кусраева-Кутателадзе о построении булевозначной интерпретации нестандартной оболочки и изучении соответствующей конструкции «спущенной» нестандартной оболочки.

Введено понятие внешних сечений и разработаны методы их использования. Показано, что определенный класс внешних сечений является булевозначным аналогом множества векторных решеток. Новое понятие позволяет упрощать доказательства многих утверждений о /^-пространствах и векторных решетках переходя к их «поточечным» аналогам, что сводит изучение векторных решеток к изучению подмножеств множества вещественных чисел в рамках инфинитезималыюго анализа.

Формализовано понятие поточечного критерия и детально исследовано, какие из рассматриваемых свойств векторных решеток и /^-пространств имеют поточечные аналоги.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы могут быть использованы специалистами в области векторных решеток и функционального анализа знакомыми с методами инфинитезимального анализа, без детального изучения аппарата булевозначного анализа. Полученные результаты могут использованы в курсах нестандартного анализа, булевозначного анализа, функционального анализа и ряде других спецкурсов, читаемых на механико-математических факультетах университетов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции по функциональным пространствам (4th Conference On Function Spaces SIUE, Edwardsville, USA, 2002), на ХХШ Конференция молодых ученых мехмата МГУ в 2001 г., на ХХХУШ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно- технический прогресс , НГУ в 2000 г., а также на семинарах отдела математического анализа Института математики им. С Л. Соболева СО РАН.

1.2 Постановка проблемы и литературный обзор

1.2.1 Булевозначный анализ

Возникновение булевозначного анализа связано со знаменитыми работами П. Дж. Коэна, в которых предложен метод форсинга для доказательства непротиворечивости добавления отрицания гипотезы континуума к аксиомам теории множеств ZFC. В современном варианте это доказательство состоит в построении булевозначной модели теории множеств, в которой верно отрицание гипотезы континуума.

Впоследствии интерес к булевозначному анализу был вызван еще и тем, что многие относительно сложные объекты математического анализа имеют значительно более простые изображения в булевозначных моделях. К настоящему времени, булевозначному анализу посвящен ряд монографий, среди которых мы отметим [20, 31, 55, 60].

Изучение объектов математического анализа при помощи булевозначных моделей осуществляется следующим образом. В первую очередь, осуществляется выбор соответствующей булевой алгебры В. Затем, при помощи так называемой операции подъема объект исследований переводится в булевозначный универсум V^B. В универсуме \^в этот объект выглядит иначе (при подходящем выборе алгебры В он выглядит проще). Так как V^B является моделью теории множеств, то известные факты о новом (более простом) объекте верны и в этой модели; они могут быть интерпретированы как свойства исходного объекта при помощи так называемой операции спуска.

Булевозначный универсум строится по (произвольной) полной булевой алгебре В. Каждой формуле <р, переменные которой теперь пробе- гают ставится в соответствие элемент ||<^|| исходной булевой алге- бры В. Величину \\(р\\ называют истинностью (или оценкой истинности) формулы <р. Формулы получающие наибольшую оценку истинности \в называют истинными в V^я. Истинными в любом булевозначном универсуме оказываются все теоремы теории множеств ZFC. Таким образом, булевозначный универсум это модель теории множеств не с двузначной, а с Я-значной логикой, т.е. истинность любого утверждения есть элемент булевой алгебры В. (Этим и объясняется название данного направления нестандартного анализа — булевозначный анализ.)

Важную роль в булевозначном анализе играет каноническое вложение («)^л, осуществляющее погружение класса всех множеств V в буле-возначную модель V^s. При этом отображении, например, пустое множество переходит в пустое множество булевозначной модели, вещественные числа в вещественные числа, и т.д. В диссертации каноническое вложение используется для определения предиката стандартности St (см. ниже раздел 1.2.4) для вещественных чисел в слоях функционального представления булевозначного универсума (поливерсума), делая доступными многие факты инфинитезимального анализа для изучения элементов булевозначных моделей.

1.2.2 Непрерывный поливерсум

Решающим шагом в области использования достижений булевозначного анализа для решения аналитических задач стало открытие А.Е. Гутманом и Г.А. Лосенковым функционального представления булевозначного универсума в работе [12]. До этой работы использование методов булевозначного анализа было сопряжено с достаточно сложной техникой прежде всего логического характера, что осложняло работу с этими методами специалистов в области, например, функционального анализа. В работе А.Е. Гутмана и Г.А. Лосенкова для произвольного буле- возначного универсума предложен удобный функциональный аналог — непрерывный поливерсум, представляющий собой непрерывное расслоение (над некоторым экстремально несвязным компактом Q), слоями которого являются классические модели теории множеств. При этом бу-левозначный универсум представляется в виде класса непрерывных сечений поливерсума — непрерывных функций, сопоставляющих каждой точке компакта Q элемент соответствующего слоя. Точнее, авторы показывают, что класс непрерывных сечений поливерсума является буле-возначной алгебраической системой, удовлетворяющей всем основным принципам булевозначного анализа, а также устанавливают, что любая такая булевозначная алгебраическая система может быть представлена в виде класса сечений подходящего непрерывного поливерсума.

Таким образом, исследователи в области функционального анализа могут иметь дело не с абстрактным булевозначным универсумом, а с его функциональным аналогом — моделью, элементами которой являются непрерывные функции, а основные операции вычисляются поточечно.

В рамках затронутой в настоящей работе проблематики важно, что описанная функциональная модель позволяет ввести в рассмотрение такие понятия инфинитезимального анализа как бесконечная близость чисел и элементов нормированного пространства внутри слоя поливерсума. Таким образом, методы инфинитезимального анализа возможно будет применять «поточечно» для изучения свойств объектов функционального анализа, имеющих соответствующее булевозначное представление.

1.2.3 Изучение векторных решеток средствами булевозначного анализа

Теория векторных решеток и /^-пространств изложена во многих монографиях, среди которых мы отметим [1,16,17,6,30,46, 56,57]. В последние десятилетия развитие этой теории в значительной мере определялось исследованиями, использующими методы булевозначного анализа.

В этой области основополагающей явилась теорема Гордона [7], которая говорит о том, что произвольное расширенное If-пространство является интерпретацией поля вещественных чисел соответствующей бу-левозначной модели. Это позволяет переносить известные факты о вещественных числах на /f-пространства: любая теорема (теории ZFC) о вещественных числах имеет свой аналог для /f-пространств. Стоит отметить, что некоторые частные случаи этой теоремы были известны и ранее, см. [59], а также исчерпывающий обзор в [11].

Следующим шагом в направлении изучения векторных решеток бу-левозначными методами анализа стала реализационная теорема Кусра-ева [18], утверждающая, что любая архимедова векторная решетка реализуется как подрешетка поля вещественных чисел соответствующей булевозначной модели (рассматриваемого как решетка над R^A). В [18] также приводятся несколько утверждений о реализации неархимедовых векторных решеток.

Описанное представления Zf-пространств и векторных решеток позволило упростить изучение таких структурных свойств этих объектов, как представление пространствами функций, функциональное исчисление и т.п., сведя их изучение к свойствам поля действительных чисел в подходящей булевозначной модели. Об этих результатах см. [11, 22, 24, 40].

Дальнейшие шаги в этом направлении делались уже в изучении таких относительно более сложных объектов как решеточно-нормированные пространства. Использование булевозначных методов позволяет свести исследование этих объектов к изучению банаховых пространств (см., например, [11,19, 51, 52]).

Итак, сведение средствами булевозначного анализа исследования более сложных объектов (в частности, векторных решеток) к изучению объектов относительно простых является содержательным направлением функционального анализа, богатым интересными результатами и аналогиями.

В этой связи представляется интересной решенная в настоящей диссертации задача о разработке методики сведения работы с векторными решетками и их подмножествами к поточечной работе с полями вещественных чисел в слоях поливерсума. При этом поле вещественных чисел рассматривается не в булевозначной модели (поле вещественных чисел булевозначной модели само по себе достаточно сложный объект), а в обычных моделях теории множеств (слоях поливерсума).

Разработанная техника внешних сечений позволяет представить векторные решетки и их подмножества в виде непрерывных расслоений, слоями которых являются подмножества множеств вещественных чисел слоев поливерсума. Исследуется, какие свойства векторных решеток имеют поточечные аналоги, т.е. в каких случаях изучение свойств векторной решетки сводится к изучению подмножеств поля вещественных чисел, наделенного инфинитезимальной структурой.

1.2.4 Инфинитезимальный анализ

Первые идеи, легшие в основу современного инфинитезимального анализа, относят к Г.В. Лейбницу, И. Ньютону и Л. Эйлеру. Именно эти ученые первыми пытались оперировать понятиями бесконечно больших и бесконечно малых. Впоследствии эти понятия вновь появились в связи с возникновением теории пределов в работах О. Коши и К. Вейерштрас-са. Однако, зарождающиеся идеи инфинитезимального анализа отвергались широкой математической общественностью, поскольку не имели под собой сколь-нибудь формальных оснований. Впервые эти идеи были формально обоснованы лишь в бОх годах прошлого столетия А. Робинсоном [53, 54]. (Исчерпывающий исторический обзор см. в монографии

А.Г. Кусраева и С.С. Кутателадзе [9]).

В настоящее время инфинитезимальный анализ находится в центре внимания многих исследователей, работающих в таких разделах математики, как теория вероятностей и теория меры, теория векторных решеток и /^-пространств, негладкий анализ, математическая экономика. Основные достижения в области инфинитезимального анализа и его приложений описаны в многочисленных монографиях, среди которых мы отметим работы [2, 9, 11, 22, 33, 39].

У современного инфинитезимального анализа есть несколько вариантов формального обоснования, наиболее удобным из которых является, пожалуй, теория внутренних множеств (1ST) Э. Нельсона [48, 49], развитая, впоследствии, в теорию внешних множеств К. Хрбачека [38] и Т. Каваи [44].

Для точного описания рассматриваемых задач и полученных результатов, перейдем к более формальному описанию, вводя по мере необходимости требуемые определения.

Алфавит теории 1ST получается путем добавления к алфавиту теории множеств ZFC символа одноместного (неопределяемого) предиката St. Таким образом, в теории 1ST появляются утверждения вида St(x), т.е. *х — стандартно» (St(x) — одна из атомарных формул теории). Работа с новым предикатом формализуется с помощью трех добавочных (для ZFC) аксиом: принципов переноса, идеализации и стандартизации.

При доказательстве «стандартных» теорем можно пользоваться аппаратом теории внутренних множеств с той же степенью надежности что и при работе в рамках теории множеств Цермело-Френкеля; формально, теория 1ST является консервативным расширением теории ZFC (теорема Поуэлла, см., например, [48]).

Классический объект математического анализа, вещественная прямая, является также интересным примером использования методов ин- финитезимального анализа. Именно здесь исследователи имеют дело с объектами, впервые неформально описанными Г.В. Лейбницом, И. Ньютоном и Л. Эйлером.

В рамках теории 1ST вещественные числа делятся на стандартные и нестандартные. Ограниченным (или доступным) называют число, модуль которого меньше некоторого стандартного. Число N не являющееся ограниченным называют бесконечно большим (недоступным) и пишут N « +оо (N « —оо). Число Л называется бесконечно малым, если |Л| < 1/п для любого стандартного натурального п. Говорят, что два числа бесконечно близки если их разность бесконечно мала. Отношение бесконечной близости обозначают символом ^*

В качестве примера упрощения классических понятий математического анализа при использовании инфинитезимальных методов приведем нестандартный критерий придела. Для любой стандартной последовательности (А_п) стандартное число А является пределом (А_п) в том и только том случае, если для всех бесконечно больших номеров N член А# бесконечно близок к А, т.е. A = limA_n « (VN и +оо)(Адг « А).

Элемент стандартного нормированного пространства X называют бесконечно малым (ограниченным, бесконечно большим) если соответствующим свойством обладает его норма. Бесконечно близкими называют элементы нормы которых бесконечно близки. Это отношение обозначается символом « и является отношением эквивалентности на X. Фактор-пространство X по отношению « называется нестандартной обо-лочкой X и обозначается X (это понятие впервые введено в [47]). Важным (и уже классическим) фактом современного инфинитезимального анализа является теорема о том, что пространство X полно (даже в том случае, когда X не полно). Подробно об инфинитезимальном анализе на вещественной прямой см. [9, 39]. О нестандартных оболочках нормированных пространств см. [9, 35, 36, 37, 39].

Приведенные определения и факты являются основополагающими в инфинитезимальном анализе; поэтому кажется естественным, что новая (разработанная, например, в рамках функционального представления булевозначного универсума) инфинитезимальная теория должна включать в себя эти понятия и факты. Развитая в диссертации теория инфи-нитезимального анализа в слоях поливерсума обладает этим свойством и, в этой связи, может рассматриваться как первый шаг в развитии нового подхода к комбинированному использованию нестандартных методов анализа.

Идея, реализованная в диссертации, состоит в том, что стандартными числами в слое поливерсума ассоциированного с точкой q компакта Q объявляются образы вещественных чисел при каноническом вложении ()^А, взятые в точке q. Таким образом, предикат St, неопределяемый в теории 1ST, в слоях поливерсума для чисел определен явным образом. В работе детально исследовано, в каких слоях поливерсума этот подход ведет к содержательной теории.

1.2.5 Комбинирование нестандартных методов анализа

Первые шаги в направлении комбинирования методов инфинитезималь-ного и булевозначного анализа были сделаны С.С. Кутателадзе в работах [25, 26]. Использованный в этих работах метод, булевозначное моделирование в инфинитезимальном универсуме, вместе с другим подходом, инфинитезимальным моделированием в булевозначном универсуме, изложен в работе А.Г. Кусраева и С.С. Кутателадзе [23], которая впервые привлекает внимание исследователей к важности комбинирования нестандартных методов анализа.

В этой работе и, затем, в главе 1 монографии [11] описаны и развиты следующие два подхода к комбинированию нестандартных методов.

Первый подход состоит в изучении стандартной булевозначной модели внутри универсума внутренних множеств Нельсона (или внутри универсума внешних множеств Каван). При этом специфические средства инфинитезимального анализа, связанные с предикатом стандартности St, используются во внешнем для булевозначного универсума мире — мире спусков. В рамках излагаемого подхода стандартное АГ-пространство с базой В изучают с помощью стандартного булевозначного универсума V^s. Полученные в этом направлении результаты лежат, в основном, в области изучения фильтров (в частности, в монадологии) иизложены в [25, 26, 23, 11]. В этих работах получены критерий экстенсионально-сти фильтра, нестандартные критерии перемешивания фильтра, проком-пактности и пропредкомпактности, и многие другие результаты.

Второй подход состоит в применении методов инфинитезимального анализа к объектам, лежащим внутри V^s. В рамках этого подхода, изучение, например, расширенного Я"-пространства начинается с превращения его с помощью подъема в множество вещественных чисел универсума \^в. Тогда, интерпретируя результаты инфинитезимального анализа вещественных чисел при помощи спусков, можно получать результаты об исходном /^-пространстве. Основные результаты полученные в рамках этого подхода изложены в главе 1 работы [11].

Не смотря на достигнутые многочисленные результаты, представляют интерес и другие подходы к синтезу нестандартных методов, так как в рамках изложенных подходов понятия инфинитезимального анализа еще не возникают в булевозначных моделях непосредственно.

А.Е. Гутман и А.И. Попов сделали новую попытку синтезировать нестандартные методы анализа, путем построения булевозначной модели нестандартного универсума. В результате им удалось доказать, что построение такой модели невозможно, что оставляет открытым вопрос о разработке подхода, в рамках которого в булевозначных моделях появились бы инфинитезимальные объекты.

Говоря о задачах, которые лежат в пересечении областей исследования инфинитезимального и булевозначного анализа, Прежде всего стоит отметить, что в работе «Нерешенные нестандартные задачи» [21] А.Г. Кусраев и С.С. Кутателадзе сформулировали ряд проблем, часть которых подразумевает либо совместное использование нестандартных методов, либо нахождение аналогов понятий и фактов инфинитезимального анализа в булевозначных моделях. Среди этих проблем одной из наиболее интересных кажется задача о построении булевозначной интерпретации нестандартной оболочки и изучении соответствующей конструкции «спущенной» нестандартной оболочки. Один из возможных вариантов решения этой задачи предлагается в настоящей диссертации.

Одним из важнейших направлений принадлежащим областям исследований как инфинитезимального, так и булевозначного анализа, принято считать теорию векторных решеток и /("-пространств.

Исследованию векторных решеток методами инфинитезимального анализа посвящена глава 4 монографии [11], написанная Э.Ю. Емельяновым, в которой также имеется исчерпывающий литературный обзор по данному вопросу. В этой работе рассмотрены, в частности, вопросы инфинитезимального представления векторных решеток; описано нестандартное построение условного пополнения архимедовой векторной решетки; рассмотрена проблема существования *-инвариантного гомоморфизма на векторных решетках; введены и изучены два вида нестандартной оболочки векторной решетки: порядковая и регулярная. Из других работ, посвященных изучению векторных решеток методами инфинитезимального анализа стоит отметить [13, 14,15, 32, 45].

О сведении изучения векторных решеток и ііГ-пространств к изучению вещественных чисел булевозначных моделей рассказано выше в раз- деле 1.2.3. Другие аспектах булевозначного анализа векторных решеток освещены в [8, 19, 22, 29, 40, 41] и др.

В настоящей работе понятия инфинитезимального анализа на вещественной прямой введены в слоях поливерсума, что открывает новую возможность исследования таких объектов как векторные решетки и ^"-пространства методами одновременно булевозначного и инфинитезимального анализа.

1.3 Краткое содержание работы

В главе 3 в слоях функционального представления булевозначного универсума (поливерсума) введено понятие бесконечной близости элементов нормированного пространства (и, в частности, вещественных чисел). Стандартными числами в слое поливерсума ассоциированного с точкой q компакта Q объявляются образы вещественных чисел при каноническом вложении ()*, взятые в точке q. Найдены аналоги некоторых теорем инфинитезимального анализа, касающиеся вещественных чисел. В том числе, установлено, что каждое ограниченное число А имеет стандартную часть А — единственное стандартное число, бесконечно близкое к А.

Используя введенные понятия, теорема о полноте нестандартной оболочки нормированного пространства перенесена на слои поливерсума, ассоциированные с не ^-изолированными точками компакта Q. Полноту нестандартной оболочки удалось доказать благодаря установленному в этой же главе критерию насыщенности слоя поливерсума. Точнее, доказана следующая теорема.

Теорема 1.3.1. Пусть 'V — слой в точке q Є Q непрерывного поливерсума над экстремально несвязным компактом Q. Следующие утверждения эквивалентны: (а) тонка q не является а-изолированной; (б) модель 'V счетно насыщена; (в) нестандартная оболочка любого нормированного пространства внутри 'V полна.

В главе 4 введено понятие непрерывного внешнего сечения, в определенном смысле обобщающее понятие сечения. Значением внешнего сечения в точке компакта Q является не элемент, а подмножество соответствующего слоя поливерсума. Таким образом, внешнее сечение по-ливерсума, как и сам поливерсум, является непрерывным расслоением, множество непрерывных сечений которого называется его спуском.

Спуски внешних сечений, обладающих определенными свойствами, являются векторными решетками. Более того, любая векторная решетка оказывается изоморфной спуску подходящего внешнего сечения.

Понятие стандартной части, введенное в главе 3, позволяет получить явное описание изоморфизма между спусками внешних сечений поливерсума и подрешетками пространства расширенных функций Coo(Q), представляющего собой общий вид расширенного /ІГ-пространства. А именно, каждая подрешетка Coo(Q) совпадает с решеткой функций q t- u(g), где и — элементы спуска некоторого внешнего сечения поливерсума. Соответствующая теорема доказана в параграфе 4.1.

Новое функциональное представление позволяет упрощать доказательства многих утверждений о ^"-пространствах и векторных решетках с помощью перехода к их «поточечным» аналогам. В данной главе формализовано понятие поточечного критерия для произвольного свойства векторной решетки и установлено, какие из рассматриваемых свойств имеют поточечные критерии.

Чтобы описать полученные результаты более формально, нам потребуется несколько определений.

Подмножество F векторной решетки Е назовем конечно-циклическим, если для любых элементов /i,...,/_n Є F и для любых попарно дизъюнктных порядковых проекторов 7Гі,..., 7Г_П Рг(Е) элемент 7Гі/і + + 7Гп/п принадлежит F.

Всюду далее мы имеем дело с непрерывным поливерсумом над экстремально несвязным компактом Q. Класс непрерывных сечений поли-версума (который и является булевозначным универсумом) обозначают символом C(Q,^V). Символ V обозначает универсум всех множеств.

Символ Л обозначает множество вещественных чисел поливерсума. Стандартной частью сечения и Є Л\. назовем R-значную функцию и, определенную на множестве dom« тех точек q Є Q, в которых внутреннее число u(q) ограничено, полагая {u)(q) = {u(q)) для всех q Є domu.

Пусть D Є Clop(Q). Функцию s : D —> V назовем внешним сечением, если s(q) С 'V для любой точки q Є D. Внешнее сечение з : Q —> V назовем внешним подмножеством Л, если s(q) С ^ЧЩ. для всех q Q. Пусть s : D -+У — внешнее сечение. Символом s\. обозначим множество {и Є C(D, V) : u(q) Є s(q) для всех q D}. Ясно, что если s — внешнее подмножество Л, то s\. С #|.

Внешнее сечение а будем называть непрерывными в точке q Є dome, если для любого элемента я Є *(#) найдутся множество Р Є Clop(g) и сечение и Є s\p\. такие, что u(q) = х. Внешнее подмножество Л будем называть непрерывным, если оно непрерывно во всех точках компакта Q. Множество внешних подмножеств Л условимся обозначать символом S„(Л), а множество непрерывных внешних подмножеств Л — символом С~(Л). Кроме того, обозначим через 5(31) множество всех внешних подмножеств Л, непустых в каждой точке компакта Q, а символом С (Л) — множество С~{Л) П 5(31).

Для произвольного s Є С(Л) положим sty — {« : и Є «4-}- Д^{ля s} Є С(Л) обозначим множество {q Є Q : s(

Лемма 1.3.2. Для любого з Є С{%) множество {з ф 0} открыто.

Лемма 1.3.3. Для любого з С(31) множество {з < о} открыто и всюду плотно в {з ф 0}.

Множество сечений U С C(Q,^V) назовем конечно-циклическим, если оно замкнуто относительно конечных перемешиваний.

Теорема 1.3.4. Множество Е С Coo(Q) является конечно-циклическим тогда и только тогда, когда Е = s-ty для некоторого з Є С (К).

Ясно, что для любого конечно-циклического множества Е С C«>(Q) непрерывное внешнее подмножество з Є С(Л), фигурирующее в формулировке теоремы 1.3.4, единственно. Условимся обозначать это внешнее подмножество символом Eft. Очевидно, для любого конечно-циклического множества Е С C<»(Q) имеет место равенство Е = Eftty.

Перейдем к описанию свойств векторных решеток в терминах внешних сечений, подробно приведенному в параграфе 4.2.

Теорема 1.3.5. Конечно-циклическое множество Е С Coo(Q) является идеалом Coo{Q) в том и только том случае, когда для любой точки g Q множество Eft(q) является идеалом *1Ц.

Теорема 1.3.6. Идеал Е С C<»(Q) является фундаментом C^Q) в том и только том случае, когда множество {Eft ф 0} всюду плотно eQ.

Теорема 1.3.7. Пусть Е — конечно-циклическая векторная подрешет-ка CooiQ)- В Е есть слабая порядковая единица тогда и только тогда, когда множество {Eft ф 0} замкнуто (а значит, открыто-замкнуто согласно лемме 1.3.2).

Теорема 1.3.8. Идеал Е пространства C(Q) является его полосой тогда и только тогда, когда множество {Eft ф 0} замкнуто и для каждой точки qGQ верно Eft(q) = {⁹0} или Eft(q) = ^ЧЩ.

Можно заметить, что некоторые из приведенных утверждений носят «поточечный» характер, так что проверка соответствующих свойств векторных решеток сводится к проверке определенных утверждений в каждой точке компакта Q.

В параграфе 4.3 формализовано понятие поточечного критерия и получен ряд утверждения, показывающие, какие из рассматриваемых свойств векторных решеток имеют поточечные аналоги.

Итак, пусть множества и Ф — произвольные множества конечно-циклических подмножеств пространства Coo(Q). Будем говорить, что на множестве есть поточечный критерий принадлежности множеству Ф, если найдется семейство множеств ip_q С 1P(*R4), q Є Q, удовлетворяющее следующему условию: VE Є (Е Є Ф & Vq Є Q ЕШ Є v,). (1)

Условие 1 будем называть поточечным критерием принадлежности Ф, а семейство (Vg)₉e

Теорема 1.3.0. (а) На множестве фундаментов Coo(Q) есть поточечный критерий существования слабой единицы: в фундаменте Е С C(Q) есть слабая порядковая единица тогда и только тогда, когда Eft(q) ф {'0} для всех q Q {т.е. поточечный критерий реализуется семейством множеств <р_я = УСЩД-^'О}}, q Є Q). (б) Если экстремально несвязный компакт Q бесконечен, то на множестве идеалов Coo(Q) «em поточечного критерия существования слабой порядковой единицы.

Теорема 1.3.10. Пусть экстремально несвязный компакт Q бесконечен. Тогда на множестве фундаментов C(Q) нет поточечного критерия существования сильной порядковой единицы.

Теорема 1.3.11. На множестве идеалов C<»(Q) есть поточечный критерий принадлежности мноокеству фундаментов в том и только том случае, когда множество изолированных точек компакта Q всюду плотно в Q. Критерий следующий: идеал Е С Coo(Q) является фундаментом тогда и только тогда, когда Eft(q) Є (р_я для всех q Є Q, где ip_q = {'Rj.}, если точка q изолирована, и ip_q = З^'ІЦ) в противном случае.

Теорема 1.3.12. Если экстремально несвязный компакт Q бесконечен, то на множестве идеалов Coo{Q) нет поточечного критерия принадлежности множеству полос Coo{Q)-

В параграфе 4.4 приведена таблица условий существования поточечных критериев для рассмотренных нами множеств и свойств.

2 Предварительные сведения

В этой главе приведены некоторые определения и факты, необходимые для дальнейшего изложения. По мере необходимости (в основном в параграфах 2.3 и 2.4) мы вводим также некоторые новые определения и обозначения, используемые в дальнейшем.

2.1 Топологические пространства и расширенные функции

В изложении материала этого параграфа, касающегося расширенных функций мы следуем, в основном, [10] ( 1.1). О топологических пространствах см., например, [3, 4, 27].

Компакт называется экстремально несвязным, если замыкание любого его открытого подмножества открыто. На протяжении всего текста Q — экстремально несвязный компакт. Символом С1ор(ф) обозначают совокупность всех открыто-замкнутых подмножеств Q, а символом Clop(g) — совокупность всех открыто-замкнутых подмножеств Q, содержащих точку q Є Q.

Точка топологического пространства называется ^-изолированной (или Р-точкой), если пересечение любого счетного множества ее окрестностей является окрестностью этой точки.

Пусть D — всюду плотное подмножество Q и / : D —У R — непрерывная функция. Будем говорить, что функция / имеет предел А Є Я в точке q Є Q, если для любой открытой окрестности V точки А найдется открытая окрестность U точки q такая, что f[U] С V. Благодаря непрерывности / это определение предела отличается от классического лишь тем, что значения функции в изолированных точках объявляются ее пределами в этих точках. Рассмотрим множество D всех точек q Є Q, в которых функция / имеет предел, и обозначим этот предел через /(

Функция / : D —> R, очевидно, является продолжением /. Известно, что функция / непрерывна и определена на котощем подмножестве Q, (см. [10], Теорема 1.1.1). Функцию / называют максимальным расширением /. Определенная на всюду плотном подмножестве Q функция называется расширенной, если она совпадает со своим максимальным расширением.

Множество расширенных функций обозначают символом Coo{Q). Заметим, что любая функция / Є Coo(Q) имеет продолжение / Є C(Q,R). Две функции f,g Є Соо(Ф) равны в том и только том случае, когда они равны на всюду плотном подмножестве Q.

2.2 Булевы алгебры

О булевых алгебрах см. монографии [5, 28, 34, 42].

В произвольной булевой алгебре символ _L обозначает отношение дизъюнктности: а±.Ь о а Л Ь = 0. Семейство элементов булевой алгебры называется дизъюнктным, если любые два его элемента попарно дизъюнктны.

Следующее теорема носит название принципа исчерпывания.

Теорема. Пусть В — полная булева алгебра. Тогда для всякого семейства (a^fgs элементов В существует такое дизъюнктное семейство (^)*Е> что Ь{ ^ а$ для всех Є Н и sup^_e2a^ = 8\ip_(Sb^.

Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [28], теорема 20.2.

Следующая теорема была доказана Стоуном и Огасаварой [50, 58].

Теорема. Пусть В — полная булева алгебра и Q — совокупность всех ультрафильтров в В. Для каждого элемента Ь Є В обозначим мно-жество {q Є Q : b q} через b. Множество {b : b Є В} является базой некоторой топологии на Q, относительно которой Q является экстремально несвязным компактом. Кроме того, отображение Ь н* b осуществляет булев изоморфизм между алгебрами В и Clop(Q)

Компакт Q, построенный в формулировке последней теоремы, называется стоуновским компактом булевой алгебры В.

2.3 Векторные решетки

Теория векторных решеток и АГ-пространств изложена во многих монографиях, см. например [1,16,17, б, 30, 46, 56, 57].

Всюду ниже под векторной решеткой мы понимаем решеточно упорядоченное векторное пространство. При этом, если явно не оговорено противное, все рассматриваемые векторные решетки предполагаются архимедовыми.

В векторной решетке Е элементы ей/ называются дизъюнктными, если |е|Л |/| = 0. Дизъюнктное дополнение {е Е : е±/ для всех / Є F} множества F С Е обозначается через F^x. Подмножество векторной решетки, имеющее вид F^xl- для некоторого F С Е, называется полосой. Подмножество F С. Е является полосой тогда и только тогда, когда F^lx = F. Полосы вида {е}^хх, где є Є Е, называются главными. Полосы векторной решетки образуют полную булеву алгебру. Элемент 1 Є Е называется слабой порядковой единицей, если 1 ^ 0 и {1}^1х = Е, и сильной порядковой единицей, если для каждого элемента є Є Е существует число Л R такое, что |е| ^ А1.

Линейный оператор п : Е —> Е называется порядковым проектором, если 7г² = 7ги0^я-е^е для всех положительных элементов е Е. Множество всех порядковых проекторов векторной решетки Е обозначается символом Рг(Е). Образ любого порядкового проектора является полосой. Каждый порядковый проектор однозначно определяется своим образом. Порядковые проекторы векторной решетки Е образуют булеву алгебру. В пространстве Coo(Q) для любого порядкового проектора 7Г найдется единственное множество Р Clop(Q) такое, что я^-/ = %pf Для всех / Є Coo(Q), где хр ~ характеристическая функция множества Р. Соответствие ж і-» Р является изоморфизмом между булевыми алгебрами Pr(Coo(Q)) и Clop(Q).

Множество F С Е назовем конечно-циклическим, если для любых элементов /і,..., /„ Є F и для любых попарно дизъюнктных порядковых проекторов тгї, ..., 7г_п Є Рг(.Е) элемент 7Гі/і + + ir_nf_n принадлежит F.

Тот факт, что сеть (e_Q)_aeA монотонно убывает и inf_aeA = е, коротко обозначают формулой е_а\.е. Говорят, что сеть (ес,)_аеА о-сходится к элементу є Є Е и пишут е = o-limogA е_а, если в Е найдется сеть (/з)/?_ев такая, что /# 4- 0 и V/? ЄВ 3 а Є A Va ^ а |е_а — е| ^ /#. Если в роли сети (/з)/зев выступает последовательность (//n)neN для некоторого / ^ 0, то говорят, что сеть (е_а)_аЄА г-сюtt-

Векторное подпространство F С. Е называют (порядковым) идеалом векторной решетки /?, если для любых /Є.РиеЄ2?из|е|^|/| следует є Є F. Идеал F называют главным (порожденным элементом є Є F) если для любого элемента f Є F верно |/| ^ п\е\ для некоторого числа п Є N. Идеал F называют фундаментом, если F*-¹- = Е.

Пространством Канторовича или К-пространством называется векторная решетка, в которой любое ограниченное сверху (снизу) подмножество имеет точную верхнюю (нижнюю) границу. Расширенным К-пространством называется /^-пространство, в котором любое дизъюнктное подмножество ограничено. Любое /^-пространство является фундаментом некоторого (единственного с точностью до изоморфизма) расширенного /^-пространства. Любое расширенное К-пространство изоморфно пространству Coo(Q), где Q — стоуновский компакт булевой алгебры полос данного пространства.

2.4 Булевозначные модели и непрерывный поливер-сум

Подробные сведения о непрерывных расслоениях и непрерывном поли-версуме имеются в [12]. По булевозначному анализу см. монографии [20, 31, 55, 60].

Символом V мы обозначаем класс всех множеств и предполагаем, что V является моделью ZFC (а точнее, NBG; см., например, [20, 60]).

На протяжении всего текста Q — экстремально несвязный компакт. Символом Clop(Q) обозначают совокупность всех открыто-замкнутых подмножеств Q, а символом Clop(q) — совокупность всех открыто-замкнутых подмножеств Q, содержащих точку q Є Q. Пусть V^я cQxV-класс-соответствие, на котором задана некоторая топология (см. [12]). Класс всех открыто-замкнутых подмножеств V^я обозначается через Clop(V^Q). Для каждой точки q Є Q класс V^я П ({q} X V) = {(q,x) \ (q,x) Є V^е*} обозначают символом V^я.

Соответствие V^я называют непрерывным расслоением над Q, а класс V^я — слоем расслоения V^я в точке q.

Функцию и : D —* V^я называют сечением расслоения V^я над множеством D С Q, если u(q) V^я для всех q Є D. Под непрерывным сечением расслоения V** понимается сечение, являющееся непрерывной функцией. Для любого подмножества D С Q символом C(D, V^е*) обозначается класс всех непрерывных сечений V^я над D.

Как установлено в [12] (предложения 2.3 и 2.5), если выполнены условия (l)VqQ VxeV 3uC(Q,V) u(q) = x; (2) Vu Є C(Q, V^Q) V Л Є Clop(Q) u(A) Є Clop(V«), то непрерывное расслоение V^е* обладает следующими свойствами: (і) топология V^е* хаусдорфова; (ii) для любых и Є C(Q, V^е*) и q Є Q множество {м(Л) | А С1ор(е*) являются открытыми и замкнутыми отображениями; (iv) топология V^е* экстремально несвязна.

В дальнейшем мы предполагаем, что для каждой точки q Є Q класс V^я является алгебраической системой сигнатуры {є}.

Для произвольной формулы n) сигнатуры теории множеств и сечений щ,...,и_п расслоения V^е* символом {<р(щ,..,и_п)} обозначают множество {qe domui n---ndomw_n | V^я f= n(q))}.

Для любого элемента х Є U, где U — алгебраическая система сигнатуры {б}, спуском х называется класс х\, := {у U | U \= у Є х}. Если в системе U истинна аксиома экстенсиональности, то для всех i,y6U равенства х\. = т/4- ^{и х =} У равносильны. Далее нас в основном будет интересовать случай U = V^я.

Для произвольного сечения « Є C(Q, V^е*) класс LLeo ^u(?)4- называется распаковкой сечения и и обозначатся символом l«_i.

Непрерывное расслоение V^е* называется ( непрерывным) поливерсу-мом над Q, если в каждом слое V^я (q Є Q) истинны аксиомы экстенсиональности и регулярности и, кроме того, в дополнение к (1) и (2) выполнены следующие условия: (3) Vu Є С(ф, V^е*) l«j Є Clop(V^е*); (4) VA" Є Clop(УЗ) 3 и Є C(Q, V«) i_u_i = X.

Для произвольных сечений и, и Є C"(Q, V^) множества {м = и} и {и Є v} открыто-замкнуты (см. [12], 3.3), что позволяет ввести в рассмотрение две класс-функции

II' =' II, И Є -1| : C(Q, V«) х C(Q, V«) -> <Лор(0), полагая ||u = v\\ = {u = v} и \\u v|| = {u Є v}.

Несложно убедиться в том, что тройка (C(Q, V), ||* = *||» II" Є "II) представляет собой отделимую С1ор(ф)-значную алгебраическую систему.

Как показывает следующая теорема ([12], 4.10), класс непрерывных сечений поливерсума представляет собой общий вид булевозначного универсума.

Теорема. Пусть Q — стоуновский компакт полной булевой алгебры В. (а) Класс C(Q, V^е*) непрерывных сечений поливерсума V^ над Q яв ляется булевознанным универсумом над Clop(Q). (б) Для любого булевозначного универсума U над В существует по- ливерсум V^е* над Q, класс C(Q,V^Ci) непрерывных сечений которого изо морфен U.

Всюду далее V^ — непрерывный поливерсум, а V* — его слой в точке q Є Q, который мы также будем обозначать символом 'V. (Заметим, что 'V представляет собой модель ZFC.)

Условимся обозначать символами R и N множества вещественных и натуральных чисел (0 . N), а символами % и Л — элементы C(Q, У), являющиеся в C(Q, У) множествами вещественных и натуральных чисел. Введем также обозначения *R = R(q), *N = N(g), и для числа а Є R символом ⁹а будем обозначать элемент ct^A(q) Є 'V, где (-)^A — каноническое вложение V в C(Q, V^) (см. [20], И.2.2.7). Кроме того, символом ^я0 обозначим элемент 0^A(q) Є 'V.

Если элемент X Є *V является внутри 'V полем или упорядоченным множеством, то на Х\. можно естественным образом ввести операции поля или, соответственно, отношение порядка. Например, для а,(3 Є 'R4-сумма а + 0 определяется как такой элемент 7 Є 'R4, что 'V \= (у = а + (і). Легко проверить, что спуск поля является полем. Если элемент X Є 'V является внутри 'V векторным пространством над полем F Є 'V, то Х\. окажется векторным пространством над полем F\,.

Лемма. Для любого числа а Є R элемент ^ча Є ^eV является числом внутри ⁹V, т.е. ^ча. Є 'Rj.. Функция *() : R —> *R| ішзектокена и сохраняет отношение порядка и операции сложения и умножения. Кроме того, N^A(g) = 'Nu R^A(g) С *R внутри «V.

Доказательство этой леммы несложно провести, используя свойства канонического вложения («)^л, изложенные, например, в [20], и опираясь на классическое определение числовых множеств, при котором натуральными числами являются (ненулевые) конечные ординалы, рациональные числа вводятся как классы эквивалентности пар целых чисел, а вещественные числа определяются как дедекиндовы сечения множества рациональных чисел.

Условимся в дальнейшем отождествлять элементы а Є R и ⁹а Є ⁹Щ. и, тем самым, считать, что R С 'R4-.

Пусть U — класс, являющийся моделью сигнатуры теории множеств, а элемент Р G V является внутри U отношением (т.е. множеством пар). Рассмотрим следующее свойство последовательности (x_n)neN элементов (domP)4.: если для любого п Є N найдется элемент у_п Є U такой, что U \= ((жі,у_п)> »(х_п,Уп) Є Р), то существует элемент у Є U, для которого U |= ((х_п, у) Є Р) при всех п Є N. Отношение Р называется счетно насыщенным, если любая последовательность элементов (dom Р)\. обладает указанным выше свойством. Говорят, что класс U является счетно насыщенным, если любое отношение в U счетно насыщено.

3 Инфинитезимальный анализ в слоях поли-версума

В данной главе устанавливается критерий счетной насыщенности слоя поливерсума, предлагаются аналоги некоторых теорем инфинитезималь-ного анализа о поле вещественных чисел и нормированных пространствах и исследуется вопрос о полноте нестандартной оболочки нормированного пространства в слое поливерсума.

3.1 Критерий счетной насыщенности слоя поливерсума

В данном параграфе сформулирован и доказан критерий счетной насыщенности слоя поливерсума, а также доказано несколько утверждений, необходимых для развития теории инфинитезимального анализа на прямой в слоях поливерсума.

Теорема 3.1.1. Класс 'V счетно насыщен тогда и только тогда, когда точка q Є Q не является а-изолированной.

Доказательство. Достаточность. Предположим, что точка q не является <г-изолированной, и установим счетную насыщенность класса 'V.

Пусть Р — элемент 'V, являющийся отношением внутри 'V. Рассмотрим произвольную последовательность (o:_n)_nN элементов &от(Р)\. и предположим, что для любого п Є N найдется элемент у_п Є 'V, удовлетворяющий условию 'Vh((*i,!/n),...,(s_n,y_n)eP).

Покажем, что существует элемент у Є *V, для которого 'V \= (х_п, у) Є Р при всех п N.

Проведем через Р сечение З* Є C(Q, У), а через х_п и у_п — сечения «»»,*>„ Є C(Q,V) (п Є N). Определим элементы W_n Clop(Q) (n Є N) следующим образом: ^1 = 11(4,,01)6 041, ^2 = 11(^1,^),(^,^)6^10^1, W„ = ||(«i,i;„),...,(«„,i;_n) Є 0>|| П W_n_i,

Случай 1: HneN^» ^не является окрестностью точки д.

Положим D\ = Wi\W2, ..., D_n = W_n\W_n+i, ..., и обозначим через Do дополнение замыкания UneN ^^п Д Q- Множества D„ (n = 0,1,2,...) образуют разбиение единицы в булевой алгебре Clop(Q).

Определим сечение v Є С(и^о-^»»»^)» полагая v\d„ — *>п\о» для всех п Є N и v\d₀ = 0^ЛІ)_О. Согласно принципу продолжения (см. [12], 3.8) сечение v (определенное на всюду плотном подмноясестве Q) продолжается до сечения v Є C(Q,\). Покажем, что элемент у = v(q) является искомым. Для этого зафиксируем произвольное число п Є N и установим включение qe\\(u_nyv)e?l

Положим Wo = || («n, v) Є УЦ П W_n и покажем, что q принадлежит замыканию Wo (а следовательно, q Є Wo). Допустим вопреки доказываемому, что некоторая окрестность W С W_n точки q не пересекается с И^о. Как нетрудно заметить, D_m С Wo для всех m ^ п. Следовательно, W С W_n\ Ura>n Dm- С Другой СТОрОНЫ, МНОЖЄСТВО W_n\ (J D_m = f| W_ro = f| W_m mjjn m^n mgN не является окрестностью точки q.

Случай 2: flneN ^л является окрестностью точки q. Поскольку точка q не является ст-изолированной, существует такая убывающая последовательность открыто-замкнутых окрестностей (W^)neN точки q, что flneN Wn ^не является окрестностью q. Без ограничения общности можно считать, что W„ С flmgN W"» Д^^2всех п Є N. Дальнейшее доказательство сводится к повторению рассуждений для случая 1 с заменой W_n на W_n.

Необходимость. Пусть q — <т-изолированная точка. Покажем, что класс 'V не является счетно насыщенным.

Положим и = N^A Є C{Q, ^V) и пусть Р — элемент 'V, являющийся внутри 'V множеством всех пар (х,у) элементов u(q) = 'N таких, что х фу. Покажем, что отношение Р не является счетно насыщенным.

Очевидно, «V |= Г(*1,'(п + 1)),.-., (^чп,^ч(п + 1)) Є Р) для всех п Є N. Предположим вопреки доказываемому, что существует элемент у Є u(q)l, удовлетворяющий соотношению ^чпф у для всех п Є N. Проведем через у сечение v C{Q,\). Тогда q\\veu\\=\J \\v = n*\\=c\\J\\v = n% nN nN

Поскольку для каждого т Є N точка q не принадлежит (J_nv ~ ^nA|l> мы заключаем, что q Є cl|J_n>TO ||и = п^л|| =: W_m для всех го N, т.е. q Є rimeN^"¹* ^ ДРУГОЙ стороны, используя попарную дизъюнкт- ность множеств || v = гс^Л|| (п Є N), нетрудно показать, что пересечение DmeN^"^{1 не является} окрестностью точки q, и, тем самым, получить противоречие с <т-изолированностью точки q.

Предложение 3.1.2. Для любого множества С С 'V существует элемент С Є 'V такой, что С С С\-

Доказательство. Проведем через каждый элемент с Є С сечение и_с Є C(Q>^QV) и положим и = {и_с | с Є C}f. Ясно, что элемент С — u(q)является искомым.

Предложение 3.1.3. Для любого конечного множества С С 'V существует элемент С Є *V, такой что С = С\.. При этом С является внутри ^gV конечным множеством.

Доказательство. Пусть С = {xi,...,x_n} С 'V. Обозначим символом и подъем множества сечений {щ,... u_n} С C(Q,^V), проведенных соответственно через Х\,...,х„, и положим С = u(q). Очевидно, х\,...,х_п Є С].. Покажем, что любой элемент х Є С\. совпадает с г,- для некоторого і Є {1,..., п}. Проведем через х сечение v C(Q,^Q\). Ясно, что =1 1=1 а значит, х = v(q) = «,(#) = Хі для некоторого і Є {1,..., п}.

Очевидно, элемент С, фигурирующий в формулировке предложения 3.1.3, однозначно определяется конечным множеством С. Мы будем называть этот элемент подъемом множества С и обозначать его символом С"!".

Пусть С С «V, D Є «V и / : С -» D4-. Элемент / Є 'V будем называть внутренним продолжением функции /, если *V |= / : С —> D, где С Є «V, С С Щ и «V |=/(с) = /(с) для всех с Є С.

Лемма 3.1.4. Пусть точка q Є Q не является а-изолированной. Если С — счетное подмножество 'V и D Є 'V, то любое отображение f : С — i?4- tuieem внутреннее продолжение.

Доказательство. По предложению 3.1.2 найдется такой элемент С Є 'V, что С С С4-. Пусть Р Є 'V является внутри *V отношением на множестве всех отображений из подмножеств Св D, определенным следующим образом: (h, h) Є Р <$ h — продолжение h.

Пусть С = {сі,..., Сп,...}. Для каждого п Є N обозначим через /_п такой элемент 'V, ЧТО ^ч\ \= f_n— {(Cn,/(Cn))}, и положим Jn = {{cuf{c₁)),...,(c_n,j{c_n))}b

Ясно, что «V |= ((/і,/„),--,(/»>/„) Є Р)- Тогда из счетной насыщен ности класса 'V следует существование такого элемента / Є 'V, что 'V \= (fnif) Є Р для всех п Є N. Очевидно, элемент / является искомым внутренним продолжением отображения /.

3.2 Инфинитезимальный анализ на вещественной прямой в слоях поливерсума

В данном параграфе вводятся обозначения и доказываются основные факты инфинитезимального анализа на вещественной прямой в слоях поливерсума, ассоциированных с не (7-изолированными точками.

Условимся называть элементы 'R4- внутренними числами. Внутреннее число А назовем стандартным, если существует такое число а R что 'а = А. Заметим, что с учетом принятого ранее соглашения (о включении R С *Щ.) мы отождествляем стандартные числа и элементы R.

Ограниченным числом назовем внутреннее число, модуль которого меньше некоторого стандартного числа, и обозначим символом Q(^?R) множество всех ограниченных чисел. Числа, не являющиеся ограниченными, будем называть бесконечно большими.

Внутреннее число А назовем бесконечно малым, если |А| < а для любого стандартного числа а > 0. Будем говорить, что два внутренних числа бесконечно близки, если их разность бесконечно мала. Отношение бесконечной близости обозначим символом рй. Это отношение является отношением эквивалентности на множестве внутренних чисел. Условимся обозначать символом [А] класс эквивалентности, содержащий внутреннее число А.

Предложение 3.2.1. Для любого ограниченного числа А существует единственное стандартное число, бесконечно близкое к А.

Доказательство. Существование. Рассмотрим множества

А = {а Є R | а < А}, В = {0 Є R | 0 > А}.

Из ограниченности числа А вытекает, что А, В ф 0. Кроме того, A U В = R и а < 0 для любых а Є А и 0 Є В. Положим 7 = sup Л = inf В. Если 7 < А, то 7 Є Л и, следовательно, 7 ^ А (поскольку в этом случае f является наибольшим стандартным числом, меньшим А). Случай 7 > А рассматривается аналогично.

Единственность. Если стандартные числа а и 0 таковы, что а ф 0и а,0 яз А, то число |а — 0\ отлично от нуля и бесконечно мало, что противоречит его стандартности.

Следствие 3.2.2. Отображение а н* [а] осуществляет биекцию R на ь 0(*R)/«.

Для любого ограниченного числа А бесконечно близкое к нему стан-дартное число назовем стандартной частью А и обозначим через А.

Замечание 3.2.3. Легко проверить, что для любых а, 0 Є R « А, у, Є 'Rj. справедливо равенство (аА + 0ц) = а А + 0(t.

Предложение 3.2.4. Пусть точка q Є Q не является о-изолированной. Предположим, что спуск элемента D 'V содержит множество {п Є N | m ^ п} для некоторого т Є N. Тогда существует бесконечно большое натуральное число М такое, что внутри 'V справедливо включение {п Є 'N |

Доказательство. Достаточно рассмотреть отношение Р, заданное внутри 'V правилом (х,у)Є Р & (х,уЄ >n*N, Куй {n'N|x^n

3.3 Нестандартная оболочка нормированного пространства

В данном параграфе, в рамках развитой теории, изучается нестандартная оболочка нормированного пространства в слоях поливерсума.

Пусть X Є *V — нормированное пространство над *R внутри 'V. Элемент х Є Х\. назовем ограниченным, если его норма внутри 'V является ограниченным числом. Обозначим символом 0(Х) множество всех ограниченных элементов Х4-

Элементы х, у XX будем называть бесконечно близкими и писать х и у, если норма их разности внутри 'V бесконечно мала. Отношение бесконечной близости является отношением эквивалентности на множе- стве Х\.. Класс эквивалентности, содержащий элемент х Є Х\., условимся обозначать через [х].

Обозначим фактор-множество 0(Х)/« символом X и положим х + у=[х + у], Ах = [Ах], ||х||=||х|| для любых х, у Є X и А Є К, где х и у — произвольные представители классов х и у, и ||х|| — норма элемента х внутри ⁹V. Легко показать, что введенные операции определены корректно и превращают X в нормиро-ванное пространство над R, которое мы будем обозначать символом X и называть нестандартной оболочкой нормированного пространства X.

Теорема 3.3.1. Пусть точка q Є Q не является а-изолированной и X Є *V — нормированное пространство внутри 'V. Тогда нормирован-ное пространство X полно.

Доказательство. Пусть (x_n)„_eiv — фундаментальная последователь-ность в пространстве X и х_п Є х„ для всех п Є N. Тогда для любого Аг Є N найдется число п& Є N такое, что 'V \= \\х_п — х_т\\ < 1/k для всех п,т > га*. Рассмотрим внутреннее продолжение (я»»)_пЄ# Є *V последовательности (x„)_nN, понимаемой как функция из N в Х\. (такое продолжение существует в силу леммы 2). Можно считать, что *V ^= N С *N.

Покажем, что найдется бесконечно большое число т Є 'NJ., принадлежащее N\. и удовлетворяющее внутри 'V неравенству ||а:_п — х^-Ц < 1/k для всех fc,n Є N, n > njfe. (Тем самым, мы установим, что элемент Хт Є Х\. является ограниченным и последовательность (х„)_пк сходится к [х_ш].)

Для каждого к Є N обозначим через Ей элемент 'V, удовлетворяющий внутри ⁹V соотношению

Ек = {т Є N | \\х{—Xj\\ < 1/k для всех i, j Є iV таких, что n* < i,j ^ m}.

Заметим, что N С *4-, ^а следовательно, согласно предложению 4 {т Є ^ЧЩ | m ^ т*} С #4 для некоторого бесконечно большого числа гпк Є N\.. Можно считать, что тпк+i < Шк для всех к Є N. Благодаря счетной насыщенности 'V существует бесконечно большое число m Є N\. такое, что m < гпк для всех к Є N. Тогда тп Є Ек\- для любого к Є N, а значит, внутреннее число ?й = m является искомым.

Предложение 3.3.2. Если точка q Є Q является о-изолированной, то в 'V все вещественные числа стандартны. ..''ЛІ'ртвло.с.'.''

Доказательство. Сначала покажем, что в 'V нет нестандартных натуральных чисел. Предположим вопреки доказываемому, что существует сечение и Є C(Q,^QV), для которого C(Q,^QV) [= и ЄХ и u(q) ф ^чк при всех к N. Из <т-изолированности точки q следует, что множество W = fljfceN II^й Ф ^^А11 является окрестностью q. С другой стороны, Q = ||„ _Є Л|| = \/ 11« = *^А|| = cl (J ||« = Аг^л||, fceN JteN а значит, множество (J_feeN ||u = &^л|| = (ДИ^ всюду плотно в Q, что невозможно.

Из доказанного выше следует, что в *V нет неограниченных веще ственных чисел. Для завершения доказательства осталось заметить, что если А Є ⁹К| — нестандартное ограниченное число, то число 1/(Л — Л) является неограниченным.

Предложение 3.3.2 означает, что в случае сг-изолированной точки q справедливы равенства 'R4- = R и 'Щ. = N (с учетом принятого ранее соглашения о включении R С *R|).

Докажем теперь утверждение, обратное к теореме 3.3.1.

Предложение 3.3.3. Пусть точка q Є Q является а-изолированной. Тогда найдется элемент X Є ^gV, являющийся внутри 'V нормирован-ным пространством, для которого нормированное пространство X не полно.

Доказательство. Рассмотрим элемент X Є *V, являющийся внутри 'V неполным нормированным пространством, и покажем, что его нестан-дартная оболочка X не полна.

Из предложения 5 вытекает, что бесконечная близость элементов Х\. равносильна их равенству, а значит, элементы X представляют собой синглитоны {х} ограниченных элементов х Є Х\..

Пусть s — элемент *V, который внутри *V является фундаменталь ной последовательностью элементов X, не имеющей предела. Рассмот рим последовательность (ar„)_niv элементов Х\,, полагая х_п равным ^чп-ыучлену последовательности s внутри 'V. Используя предложение 5, лег ко показать, что ({х„}) „ является фундаментальной последовательно- стью элементов X. С другой стороны, эта последовательность не может иметь предела, поскольку из ее сходимости к элементу \х} Є X с оче видностью вытекала бы сходимость последовательности s к элементу хвнутри 'V.

В заключение сформулируем теорему, объединяющую основные результаты данной главы.

Теорема 3.3.4. Пусть 'V — слой в точке q Є Q непрерывного поливер-сума над экстремально несвязным компактом Q. Следующие утверждения эквивалентны: (а) точка q не является а-изолированной; (б) модель 'V счетно насыщена; (в) нестандартная оболочка любого нормированного пространства внутри 'V полна.

4 Изучение векторных решеток синтетическими методами нестандартного анализа

В данной главе, в рамках разработанной в предыдущих разделах теории, новыми методами устанавливается изоморфизм между ЗЦ я Coo(Q), используемый затем для разработки теории внешних сечений. Устанавливается, что спуски внешних сечений, обладающие определенными свойствами, являются векторными решетками; более того, любая векторная решетка изоморфна спуску подходящего внешнего сечения. Формализовано понятие поточечного критерия для векторной решетки и установлено, какие из рассматриваемых свойств имеют поточечные аналоги.

4.1 Изоморфизм между ЗЦ, и 0^(0)

Изоморфизм между ЗЦ. и Coo(Q) устанавливает теорема Гордона [7]. В этом разделе этот изоморфизм доказан другими методами, более того, построен явно с привлечением введенных понятий инфинитезимального анализа. Это позволяет разработать теорию внешних сечений и применить ее к изучению векторных решеток, что и сделано в последующих разделах.

Стандартной частью сечения и Є ЗЦ. назовем R-значную функцию "и, определенную на множестве dom м тех точек q Є Q, в которых внутреннее число u(q) ограничено, полагая (u)(q) = (u(g)) для всех q Є dom «.

Сечение и Є 9Ц, назовем ограниченным (на множестве D С Q), если для любой точки q Є Q (q Є D) внутреннее число u(q) ограничено. Множество ограниченных сечений из ЗЦ. обозначим символом 0(!R|). Нетрудно проверить, что множество О(ЗЦ) является векторной подре-шеткой ЗЦ..

Лемма 4.1.1. Сечение и Є ОД ограничено в том и только том случае, когда существует такое число а Є R, что \и\ ^ а^Л.

Доказательство. Пусть сечение и Є ОД ограличено. Для любой точки q Є Q найдется число а_я Є R, такое что \u(q)\ ^ '(а,). Множество {|||«| ^ ^ао II ^: Я Є Q} является открытым покрытием компакта Q. Выберем из

ЭТОГО ПОКРЫТИЯ КОНеЧНОе ПОДПОКрЫТИе |||и| ^ а* ||,..., |||«| ^ ^Qq_n\\i ^и положим a = maxi^„a,-. Ясно, что \и\ ^ а^Л. Обратная импликация очевидна.

Предложение 4.1.2. Для любого сечения и Є ОД функция "и принадлежит Coo{Q).

Доказательство. Покажем, что domM — всюду плотное подмножество Q. Пусть сечение N Є ОД является в C(Q,V) целой частью числа и. Тогда Q = ||JV Є Х|| = \\N Є N^A|| = cl\J{qeQ:N(q) = n*(q)} Ccl[J{qeQ:N(q)A(₉)} = cldomu.

Далее, покажем, что функция и определена на открытом множестве и непрерывна. Для любых q dom u и є Є R имеют место неравенства (М«) -1 Пя) < «(«) < (Чя) + f )^А(«).

Следовательно, множество

Р(д,е) = \\("и(я) - |)^Л < « < («(

Для любых q Є Q\ dom u и n N окрестность P(q, n) = \\u > п^л\\ точ ки q удовлетворяет соотношению u(P(g,n)) ^ п. Следовательно, функ ция u не имеет предела в любой точке вне своей области определения и, тем самым, совпадает со своим максимальным расширением. G

Лемма 4.1.3. Для любых щ,и₂ Є ЗЦ. и аі,а₂ Є R имеет место равенство "(ацщ + «г^г) = <*i Щ + «2 «2-

Доказательство. Согласно замечанию 3.2.3, для всех q Є domui Пdom«i выполнено соотношение "(аіщ + 02^2)(9) = <*i"i(9) + 0:2^2(9)- Остается заметить, что по предложению 4.1.2 все рассматриваемые функции являются элементами Coo(Q). О

Лемма 4.1.4. Пусть щ,и₂ Є Л|. Тогда щ ^ «2 & «і ^ мг (в частности, U\=U2& щ = и%).

Доказательство. Положим и = иг — щ. С учетом леммы 4.1.3 достаточно показать, что и ^ 0 *» « ^ 0.

Сначала докажем эквивалентность равенств и — 0 и и = 0. Первое равенство, очевидно, влечет второе. Покажем обратное. Пусть и = 0. Обозначим символом Р множество ||« ф 0|| и предположим вопреки доказываемому, что Р ф 0. Определим сечение t; следующим образом: v(q) = ⁴\/u(q) при q Є Р и t>(g) = '1 при g Q\P. Очевидно, что сечение v непрерывно. По предложению 4.1.2 сечение v ограничено на всюду плотном подмножестве Q и, следовательно, в некоторой точке q Є P. Поскольку внутреннее число ⁹l/u(q) ограничено, u(q) ф 0, что противоречит равенству и = 0.

Теперь покажем, что и > О <$ и > 0. Импликация «=»> очевидна. По доказанному выше и > 0 влечет "и ф 0. Осталось заметить, что из « > 0 вытекает "и ^ 0.

Предложение 4.1.5. Для любой функции / Є CooiQ) существует единственное сечение и Є Л| такое, что и = /.

Доказательство. Единственность следует из леммы 4.1.4. Докажем существование.

Функцию g Є Coo{Q) назовем ступенчатой, если найдутся последовательность попарно различных чисел (a„)_nN и разбиение единицы (Р„)„_ен в алгебре Clop(Q) такие, что д\р_п = а_я для всех п Є N. Для такой функции д определим сечение *д как перемешивание сечений а* с весами P_n, п Є N (см. [20], 2.3.1, 2.5.3). Очевидно, *д Є ЗЦ. и %'д) = д. Символом StiQ) обозначим множество всех ступенчатых функций.

Далее, пусть / Є CooiQ)- Без ограничения общности можно считать, что / ^ 0. Как легко видеть, найдется такая функция h Є StiQ), для которой / ^ Л. Обозначим через Sif) множество {'д : д StiQ), 0 ^ 9 ^ /} Это множество сечений ограничено сверху сечением *А, а снизу — нулевым сечением. Следовательно, CiQ,^QV) |= (S(/)t С [0,'h]). Пусть и Є 31| — такое сечение, что u = sup (S(/)t) внутри C(Q, V). Установим равенство u = /.

Предположим сначала, что «(g) < /() для всех р Є Р. Определим сечение v следующим образом: и(р) = х^Л(р) при р Є Р и v(p) = ^р0 в противном случае. Ясно, что v (/) и тем самым и ^ v. С другой стороны, ||« < v\\ ф 0, поскольку Р С ||« < ю||.

Итак, / ^ и. Предположим теперь, что найдется точка р Є dom(/) П dom(u) для которой верно «(р) > /(р). Пусть х = (и(р) + /(р))/2.

Найдется такое множество Р Є С1ор(|>), что u(q) > х > f(q) для всех точек q Є Р. Определим сечение и' следующим образом: u'(q) — х^Л(д) при q Є Р и u\q) = u(q) при q . Р. Тогда и' ^ v для всех v Є S(f), и, следовательно, C(Q,^QV) \=и' ^ sup (5(/)1) = и. С другой стороны, и' < и.

Таким образом, функции и и / совпадают на всюду плотном множе стве, а значит, и = /.

Теорема 4.1.6. (1) Функция и »-4 и осуществляет изоморфизм векторной решетки 314- ^ка расширенное К-пространство Coo(Q). (2) Функция и 1-4 « осуществляет изоморфизм векторной решетки Q(3tJ.) ^ма К-пространство C(Q).

Доказательство. Из предложений 4.1.2 и 4.1.5 следует, что функция и 1-4 "и осуществляет биекцию между ЗЦ- и Coo(Q); леммы 4.1.3 и 4.1.4 гарантируют, что функция и i-4 u и обратная к ней сохраняют операции векторного пространства и отношение порядка. Кроме того, из лемм 4.1.1и 4.1.4 следует, что ограниченные сечения соответствуют ограниченным функциям. D

Следствие 4.1.7. Для любого булевозначного универсума верны следующие утверждения.

Векторная решетка ЗЦ. является расширенным К-пространством.

Векторная решетка 0(314-) является К-пространством.

Первая часть этого утверждения представляет собой известную теорему Гордона [7].

Функцию, обратную к и ь4 "и, действующую из Coo(Q) на ЗЦ, обозначим через / Н4 */

4.2 Описание свойств л-пространств в терминах внешних сечений

В данном параграфе вводится понятие внешнего сечения, представляющего собой расслоение на компактом Q, слоями которого являются подмножества множеств 'R. В терминах внешних сечений описаны такие свойства векторных решеток как наличие сильной и слабой порядковых единиц, быть идеалом, фундаментом или полосой соответствующего расширенного /^-пространства.

Пусть D Є Clop(Q). Функцию з : D —> V назовем внешним сечением, если s(q) С 'V для любой точки q Є D. Внешнее сечение s : Q -> V назовем внешним подмножеством 01, если s(q) С ^ЧЩ. для всех q Є Q.

Пусть s : D —ї V — внешнее сечение. Символом s± обозначим множество {и Є C(D, V) : u(q) Є s(q) для всех q 6 D}. Ясно, что если 5 — внешнее подмножество Л, то ^4- С ОЦ..

Внешнее сечение s будем называть непрерывным в точке q Є doms, если для любого элемента х Є s(q) найдутся множество Р Є Clop(g) и сечение и &\р1 такие, что u(q) = х. Внешнее подмножество 01 будем называть непрерывным, если оно непрерывно во всех точках компакта Q. Множество внешних подмножеств 01 условимся обозначать символом S~(0l), а множество непрерывных внешних подмножеств 01 — символом С~(01). Кроме того, обозначим через S(0t) множество всех внешних подмножеств 01, непустых в каждой точке компакта Q, а символом С(01) — множество Cs,(ft) П S(0l).

Лемма 4.2.1. Внешнее подмножество з Є S(0V) непрерывно тогда и только тогда, когда для любых q Є Q и х Є s(q) найдется сечение и Є ^4- такое, что u(q) = х.

Доказательство. Пусть з непрерывно, q Є Q и х Є $(q). Положим х_ч = х и для каждой точки р Є Q\{q} выберем произвольный элемент х_р Є з{р).

Для каждой точки р Є Q найдутся множество Р_р Є С1ор(р) и сечение и_р Є s\p_pX такие, что и_р(р) = х_р. Множество {Р_р :р Є Q} представляет собой открытое покрытие компакта Q. Из этого покрытия выберем конечное подпокрытие {P_Pl,..',P_Pn}_t которое, уменьшив при необходимости его элементы, превратим в разбиение единицы {.Р^,...,/^} в алгебре Clop(Q). Определим сечение v Є ОЦ. следующим образом: v(p) = u_Pi(p) для р Є Р_рі, і = 1,..., п. Ясно, что v Є «4- ^{и v}(q) = ^х-

Обратное утверждение очевидно.

Для произвольного з Є С {К) положим sty- = {"и : и Є s\.}. Заметим, что sty С Coo(Q) по теореме 4.1.6.

Для s Є C(3V) обозначим множество {q Є Q : s(q) = {'О}} символом {s = 0}, а его дополнение — символом {з ф 0}. Аналогично обозначим через {з С о} множество {q Є Q : s(q) С o('R)}, а его дополнение — через {s ф. о}. Заметим, что {з ф 0} = {q Є Q : u(q) / *0 для некоторого u Є s|}, {s (f_ o} = {q Є Q : u(g) 7^ 0 для некоторого и (= ^4-}.

Лемма 4.2.2. Длл любого s Є (7(31) множество {з ф 0} открыто.

Доказательство. Пусть g Є {з ^ 0}. Рассмотрим сечение и Є sj,, для ко торого u(q) ф ⁹0. Тогда открытая окрестность \\и ф 0^Л|| точки q является подмножеством {з ф 0}.

Лемма 4.2.3. Для любого з Є С{Л) множество {з (. о} открыто и всюду плотно в {з ф 0}.

Доказательство. Сначала покажем, что множество {s ⁹є. Тогда множество |||u| > е^л|| является открытой окрестностью точки q, содержащейся в {s . о}.

Далее, покажем, что множество {s

Множество сечений U С C(Q_J^QV) назовем конечно-циклическим, если оно замкнуто относительно конечных перемешиваний.

Предложение 4.2.4. Пусть U С C(Q,V) — конечно-циклическое множество сечений, иі,...,и* Є C(Q,V), Р — непустое замкнутое подмножество Q и (p(t,ti,..., tk) — произвольная формула теории множеств. Если верно утверждение

УрЄРЗиєи ^PV hv(«(p),Mib),...,Wfc(p)),

Зи Є U Vp Є Р "V |= Ч>Ыр),щ(р),...,u_fc(p)).

Доказательство. Для каждой точки р Є Р обозначим символом и_р произвольный элемент {/, для которого PV \= >(и_р(р), щ(р),..., Uk(p)). Множество {Qp = \\<р(и_р,щ,...,и_к)\\:рР} является открыто-замкнутым покрытием компакта Р. Выберем из него

КОНеЧНОе ПОДПОКрЫТИе Qp,,...,Qp_n, П N, И ПОЛОЖИМ Vi = «p., t =

1,...,п. По принципу исчерпывания найдется такое дизъюнктное открыто-замкнутое покрытие Q[,...,Q'_n компакта Р, что Q\ С Q_Pi для всех і = 1,..., п. Положим Q'₀ = Q\ (J"=i Qi ^и возьмем произвольное се чение Vo Є U. Обозначим через « перемешивание сечений v,- с весами Q'^ і = 0,...,п. Так как множество U конечно-циклическое, сечение ипринадлежит U и является искомым.

Следствие 4.2.5. Пусть Е С Coo(Q) — конечно-циклическое множество функций, щ,...,иіс Є C(Q,^V), Р — непустое замкнутое подмножество Q и (p(t, 11,..., tk) — произвольная формула теории множеств. Если верно утверждение VpP3eE'V|=_V>Ce(|i),«₁(p),...,tt_fc(p)),

ЗеЄЕУрЄРРУ^ ч>{Чр), Мр), , Мр))-

Теорема 4.2.6. Множество Е С C<»(Q) является конечно-циклическим тогда и только тогда, когда Е = sty для некоторого з Є C(3t).

Доказательство. Очевидно, для любого s Є С(Я) множество sty является конечно-циклическим.

Пусть теперь множество Е С Coo(Q) является конечно-циклическим. Для каждой точки q Є Q положим s(q) = {*e(g) : є .}. Очевидно, что s Є C(Dl). Кроме того,

4 = {« Є Я|: Vg Є Q «(g) s(g)} = {« Є ЗЦ.: Vg Є Q Зе Є Я «(g) = 'e(q)} = {u Є ЯІ: Эе Є EWqeQ u(q) = *e(g)} (по следствию 4.2.5) = {иЄЗЦ,:ЗеЄ Е и = *е] = {"е : є Є 1}, т.е. sty = Е. О

Ясно, что для любого конечно-циклического множества Е С C^Q) непрерывное внешнее подмножество а Є С (Л), фигурирующее в формулировке теоремы 4.2.6, единственно. Условимся обозначать это внешнее подмножество символом .Eft. Очевидно, для любого конечно-циклического множества Е С Coo(Q) имеет место равенство Е = i?fHJ-.

Следующее утверждение является прямым следствием лемм 4.1.4 и 4.2.1.

Предложение 4.2.7. Для конечно-циклических подмножеств Е% и Ег пространства Coo(Q) следующие утверждения эквивалентны: (а) Е_х С Е₂; (б) E!it(q) С Е₂Ца) для всех q Q; (в) E_tU С EiU-

Напомним, что для произвольной точки q Є Q множество 'Rj, является (вообще говоря, неархимедовой) векторной решеткой.

Лемма 4.2.8. Пусть q Є Q и Г С «R| — идеал ^ЧЩ. Тогда либо I С о(⁹Ш), либо 0(«R) С /.

Доказательство. Достаточно заметить, что если идеал 'RJ. содержит не бесконечно малое число, то он содержит все ограниченные числа.

Теорема 4.2.9. Конечно-циклическое множество Е С CooiQ) является идеалом Coo(Q) в том и только том случае, когда для любой точки q Є Q множество Eft(q) является идеалом ^eR4-

Доказательство. Положим s = Eft.

Если Е — идеал C<»(Q), то по теореме 4.1.6 множество з\. является идеалом ЗЦ.. Докажем, что в этом случае s(q) — идеал 'R4- для любой точки q Q. Согласно лемме 4.2.1 для произвольных элементов аг, У Є s(q) найдутся сечения u,v Є s\. такие, что u(q) = ar, v(q) = у. Для любых чисел а, в Є R сечение аи + Bv принадлежит з\, и, следовательно, ах + ву Є. s(q). Таким образом, s(q) — векторное подпространство ^?RJ~ Аналогично устанавливается, что s(q) является также и векторной подрешеткой 'R|. Далее, пусть х Є «(g), У Є 'R4- и |у| ^ |х|. Существуют сечения и Є «і и v Є Лі, для которых «(g) = х и v(g) = у. Ясно, что сечение w = \и\ Л |и| принадлежит «4-» а значит, у Є s(q), так как |у| = w(q). Итак, «(g) — идеал 'R4-.

Теперь докажем обратное утверждение. Для произвольных сечений и,и Є s\, и чисел a,j3 Є R справедливо соотношение (аи + 6v)(q) = au(q)+flv(q) Є «(g), для всех q Є Q, а значит, au+^u Є «4- Аналогичным образом если и Є «4-, v Є ЗЦ и |і?| ^ |«|, то v Є s\.. Таким образом, s\. —идеал #4-, а следовательно, Е — идеал Coo(Q)- П

Заметим, что любой идеал векторной решетки является конечно-циклическим множеством.

Теорема 4.2.10. Идеал Е С C(Q) является фундаментом C<»(Q) в том и только том случае, когда множество {Eft ф 0} всюду плотно eQ.

Доказательство. Положим s = Eft. Пусть множество {s ф 0} всюду плотно в Q. Возьмем произвольное ненулевое сечение ы Є ЗЦ. Множество || и ф 01| непусто, а значит, непусто и множество {q Є Q : «(g) ф 0^Л}П{з ф 0}. Следовательно, и ф з4^х. Таким образом, s^"¹" = {0}, откуда вытекает, что s\. — фундамент 0LJ-. (Множество s\. является идеалом ЗЦ. по теореме 4.1.6.)

Обратное утверждение очевидно.

Следствие 4.2.11. Конечно-циклическое множество Е С Coo(Q) является фундаментом Ccx>{Q) в том и только том случае, когда для любой точки q Є Q множество Eft(q) является идеалом ^ЧИЦ, и множество {Eft ф 0} всюду плотно в Q.

Теорема 4.2.12. Пусть Е — конечно-циклическая векторная подре-шетка Coo(Q)' В Е есть слабая порядковая единица тогда и только тогда, когда множество {Eft ф 0} замкнуто (а значит, открыто-замкнуто согласно лемме 4-2.2).

Доказательство. Положим з = Eft.

Пусть в з\. есть слабая порядковая единица и. Очевидно, ||и ф 0|| С {з ф 0}. Для доказательства замкнутости множества {s ф 0} достаточно установить равенство ||« ф 0|| = {s ф 0}. Предположим вопреки доказываемому, что разность {з ф 0}\||и ф 0|| содержит некоторую точку q. Тогда найдется сечение v s\., для которого v(q) ф 0 и ||г> ф 01| П \\и ф 0|| = 0. Последнее противоречит тому, что и является слабой порядковой единицей з±.

Обратно, пусть множество {з ф 0} замкнуто. Для любой точки q Є {з ф 0} найдется сечение и_я Є зХ такое, что u(q) ф 0. По предложению 4.2.4 существует сечение и Є -si удовлетворяющее неравенству u(q) ф 0 для всех q Є {s ф 0}. Ясно, что сечение и является в з\. слабой порядко вой единицей. П

Лемма 4.2.13. Пусть з Є C(JV). Сечение и Є Щ- принадлежит s\.^LX тогда и только тогда, когда \\и ф 0|| С cl{s ф 0}.

Доказательство. Пусть и Є $4-^- Если u(q) ф 0 для некоторой точки q Q\cl{s ф 0}, то найдется множество Р Є C\op(q) такое, что Р С {з — 0} П ||« ф 0||. Тогда Р С ||t> = 0|| для любого сечения v Є «4-Следовательно, Р С \\v = 0|| для всех t; Є s\.^±x, а значит, u(q) = 0. Противоречие.

Пусть теперь ||и ф 0|| С cl{s ф 0}. Рассмотрим произвольное сечение v Є s4-^X- Предположим вопреки доказываемому, что множество Р — \иф

0|f П \\v ф 01| не пусто. Очевидно, Р Є Clop(Q). Кроме того, Р С {s = 0} и Р С cl{s ф 0}. Противоречие.

Теорема 4.2.14. Идеал Е пространства Coo(Q) является его полосой тогда и только тогда, когда множество {Eft ф 0} замкнуто и для каждой точки q Q верно Eft(q) = {'0} или Eft(q) = ⁹Щ..

Доказательство. Положим з = Eft.

Пусть s\, — полоса 0Ц.. Зафиксируем произвольную точку q Є {з ф 0} и покажем, что s(q) = 'ВЦ.. Найдется сечение и Є «4- такое, что u(q) ф 0. Пусть у — произвольный элемент 'R4- и и Є Л| — такое сечение, что v(q) — у. Определим сечение го Є ЗЦ. следующим образом: w(p) = v(p) при р Є || м ^ 0|| и tu(p) = 0 в противном случае. Ясно, что w Є si"¹"¹" = s\. и гу(д) = у Є s(g). Таким образом, «(g) = 'R4- Замкнутость множества {s ф 0} вытекает из теоремы 4.2.12.

Обратно, пусть s(q) = ⁹Ж\- ДД^Я всех ХЛ~ С «4- Пусть и Є s4-^XX и q Є Q. Если u(g) = '0, то, очевидно, u(q) Є s(q). Если же и(^) ф ^ч0, то s(^) ^ {'0} согласно лемме 4.2.13, а значит, s(q) = 'ЕЦ. Э u(q).

Предложение 4.2.15. Если идеал Е пространства Coo(Q) имеет сильную порядковую единицу, то множество {Eft ф 0} замкнуто и Eft(q) является главным идеалом *1Ц. для всех q Є Q.

Доказательство. Положим s = Eft. Пусть и Є si ~~ сильная поряд ковая единица пространства «4- Поскольку и является также и слабой порядковой единицей «4ч множество {s ф 0} замкнуто в силу теоремы 4.2.12. Осталось заметить, что для каждой точки q Є Q множество s(q)является главным идеалом 'ВЦ., порожденным u(q). D

Из приведенной ниже теоремы 4.3.3 вытекает, что обратное утверждение не верно.

Предложение 4.2.16. Пусть Е — идеал Coo\Q). Элемент є Є Е является сильной порядковой единицей в Е тогда и только тогда, когда "е является поточечной сильной порядковой единицей в Е^\., т.е. ^me(q) — сильная порядковая единица в Eft(q) для всех q Є Q.

Доказательство. Положим s = Eft. Очевидно, сильная порядковая единица в s\. является также и поточечной сильной порядковой единицей.

Покажем обратное. Пусть и 4 ~ поточечная сильная порядко вая единица. Для произвольного сечения v Є s\. и любой точки q Є Qнайдется число n_q N, такое, что \v(q)\ ^ n_gJu(g)|. Множество {|||u| ^ n,|u||| : q Є Q} является открытым покрытием компакта Q. Выберем из него конечное подпокрытие {|||и| ^ n_gi|u|||,...,|||t;| ^ гс<цк|и|||}» к Є N, и положим п = max{n„,...,n_?ik}. Очевидно, |и| ^ п\и\. П

4.3 Поточечные критерии

Установленные в предыдущих параграфах результаты позволяют упрощать доказательства многих утверждений о /^-пространствах с помощью перехода к их «поточечным» аналогам. Рассмотрим подробнее, в каких случаях это возможно.

Пусть множества и Ф — произвольные множества конечно-циклических подмножеств пространства Coo(Q). Будем говорить, что на множестве есть поточечный критерий принадлежности множеству Ф, если найдется семейство множеств ip_q С СР(*К4), q Є Q, удовлетворяющее следующему условию: VE Є (Е Є Ф ^ V? Є Q Eit(q) Є q). (2)

Условие 2 будем называть поточечным критерием принадлежности Ф, а семейство {fq)₉eQ — реализацией этого критерия.

Замечание 4.3.1. Пусть множества , со и Ф — некоторые множества конечно-циклических подмножеств пространства Coo(Q), причем о С . Тогда если на множестве есть поточечный критерий принадлежности Ф, то тот же критерий будет и поточечным критерием принадлежности Ф на множестве о.

Лемма 4.3.2. Не существует последовательности (P_n)neN открыто-замкнутых подмножеств Q такой, что в пересечении f)_njqPn есть ровно одна не а-изолированная точка.

Доказательство. Пусть есть такая последовательность (-Pn)neN» и пусть q — единственная не а-изолированная точка множества DneN^"- ^о- гда имеется строго убывающая последовательность открыто-замкнутых множеств (W„)_nN такая, что HneN W» ⁼ іч} ^и Wn С Р_п для всех п Є N. Далее, найдется функция / Є C(Q) такая, что f\w_3k\w_2k._t = 0 и /lwa*+i\Wa» = 1 для всех к N. Как легко видеть, q Є cl\J_k^(W₂k\W₂k-i)и q Є cHJ_JteN(W2fc+i\H^2jfe), что противоречит существованию предела функции / в точке q.

Теорема 4.3.3. Пусть экстремально несвязный компакт Q бесконечен. Тогда на множестве фундаментов Coo{Q) ист поточечного критерия существования сильной порядковой единицы.

Доказательство. Допустим, что на множестве фундаментов C(Q) есть поточечный критерий существования сильной порядковой единицы, и (geQ ~ его реализация, т.е. для произвольного фундамента Е С Coo(Q) в Е есть сильная порядковая единица тогда и только тогда, когда Eft(q) Є tp_q для всех q Є Q.

Определим .Si Є С(Я), полагая Si(tf) = 0(*R), q Є Q. Тогда s_xfy = C(Q) — фундамент Coo(Q)» имеющий сильную порядковую единицу. Нетрудно проверить, что из бесконечности компакта Q следует суще- ствование в нем по крайней мере одной не ^-изолированной точки <#> По предположению O^R) Є V-

Пусть и Є 5Ц. — ненулевое в каждой точке сечение такое, что «(дь) — бесконечно большое число. Для каждой точки q Є Q положим внешнее сечение 5 2 в точке q равным главному идеалу *R4-> порожденному внутренним числом u(q). Ясно, что «2 С(Л) и «2-U- ^— фундамент C^Q) (см. следствие 4.2.11). По предложению 4.2.16 в Зг-Ц- есть сильная порядковая единица — функция "и. Следовательно, зг(д) Є q для всех q Є ? Обозначим через / множество тех точек q Є Q, в которых внутреннее число u(q) бесконечно большое. По построению qo Є Pq.

Положим s(qo) = Si(qo) — 0(**R) и s(q) = «2(9) при q ф q₀. Ясно, что s С (Я) и sJJ- — фундамент C{Q) в силу следствия 4.2.11. По построению s(q) Є <р_я для всех g Є Q, а следовательно, в s-Ц. есть сильная порядковая единица /. Для всех q Є -Ро\{ф)} внутреннее число *f(q) бесконечно большое. Более того, множество тех точек q Є Q, в которых внутреннее число */(?0R), найдется число fc Є N такое, что */(ф)) < ⁹⁰&- Тогда PlneN (II^й > ^nAll ^п ІГ/ < ^^А11) ⁼ {*>}» ч противоречит лемме 4.3.2. П

Следующее утверждение вытекает из теоремы 4.3.3 с учетом замечания 4.3.1.

Следствие 4.3.4. Пусть экстремально несвязный компакт Q бесконечен. Тогда на множестве идеалов Coa(Q) нет поточечного критерия существования сильной порядковой единицы.

Теорема 4.3.5. (а) На множестве фундаментов Coo(Q) есть поточечный критерий существования слабой единицы: в фундаменте Е С Coo{Q) есть слабая порядковая единица тогда и только тогда, когда Eif(q) ф {'О} для всех q Є Q {т.е. поточечный критерий реализуется семейством множеств <р_я = У(^ч:КЦ)\{{⁴^}}> Я Є Q). (б) Если экстремально несвязный компакт Q бесконечен, то на множестве идеалов Coo(Q) нет поточечного критерия существования слабой порядковой единицы.

Доказательство, (а) Очевидное следствие теорем 4.2.10 и 4.2.12. (б) Пусть, вопреки доказываемому, упомянутый критерий существу ет, и (9Щ. и &2(q) — {*0}- Очевидно, Зі,зг Є С{%) и ві^,«2^ — идеалы Coo(Q), в каждом из которых есть слабая порядковая единица. Следо вательно, S\(q),52(g) <р_ч для всех q Є Q. Легко проверить, что из бес конечности компакта Q следует существование в нем по крайней мере одной не изолированной точки qo. Положим s(q₀) = 2(90) и s(q) = Si(q)при q Є Q\{qo}- Поскольку s(q) Є <р_я для всех q Q, в пространстве s$ есть слабая порядковая единица е. Тогда *e(g₀) = 0 и, следовательно, найдется окрестность Р точки qo такая, что *e(q) — 0 для всех q Є P.С другой стороны, Р ф (}) а. значит, имеется сечение v Є a J.» для кото рого ||и -ф 0|| П Р ф 0. Противоречие.

Теорема 4.3.6. На множестве идеалов CoaiQ) есть поточечный критерий принадлежности множеству фундаментов в том и только том случае, когда множество изолированных точек компакта Q всюду плотно в Q. Критерий следующий: идеал Е С Coo(Q) является фундаментом тогда и только тогда, когда Eft(q) Є Ц>_ч для всех q Є Q, где g = {'Щ}, если точка q изолирована, и (р_я = O^'RJ.) в противном случае.

Доказательство. Напомним, что в слоях 'V, соответствующих <г-изоли-рованным точкам Q нет нестандартных (в частности, бесконечно больших) внутренних чисел. Таким образом, если точка q сг-изолирована, то в силу леммы 4.2.8 любой идеал векторной решетки *R| либо совпадает с «Щ, либо равен {«0}.

Пусть множество изолированных точек Q всюду плотно в Q. Очевидно, если Е — фундамент Coo{Q), то для любой изолированной точки q Є Q верно E$(q) ф {⁷0}, и, следовательно, E$(q) = ^дЩ.. Обратно, пусть Е — идеал Coo{Q) и Eft(q) = 'Щ. для каждой изолированной точки q Є Q. Поскольку множество изолированных точек всюду плотно в Q, для произвольного ненулевого сечения и Є 9Ц. найдется изолированная точка q Є \\и ф 0||, а значит существует сечение v Є Eft\. такое, что v(q) ф 0 и, следовательно, v JL и.

Предположим теперь, что имеется непустое множество Р Є Clop(Q), в котором нет изолированных точек, и на множестве идеалов Coo(Q) есть поточечный критерий принадлежности множеству фундаментов Coo(Q), реализуемый семейством (<р_я)_яеЯ' Для каждой точки р Є Р положим ^sp(p) = {^р0} и s_p(q) = чЩ при q Є Q\{p}. Ясно, что s_p Є С(Х) и s_pty —фундамент Coo(Q) Для всех р Р. Следовательно, з_р(р) Є у?_р для каждой точки р Є Р. Кроме того, очевидно, 'RJ. Є <р_д для всех q Q. Положим s(p) = s_p(p) = {"0} при р Є Р и s(g) = «Rj при g Є Q\P. Как легко видеть, а Є С(#) иі|- идеал C_TO(Q), не являющийся фундаментом. С другой стороны, s(q) Є у>« Для всех g Є Q. О

Теорема 4.3.7. Если экстремально несвязный компакт Q бесконечен, то на множестве идеалов Coo(Q) нет поточечного критерия принадлежности множеству полос Coo(Q).

Доказательство. Предположим, что такой критерий есть и (у?₉)₉є<3 — его реализация. Очевидно, {'0} Є q для всех q Є Q. Из бесконечности компакта Q следует существование открытого множества Р C.Q такого, что с\Р ф Р. Положим Si(q) = 'Щ для всех точек q clP я Si(q) = {'0} в остальных точках. Ясно, что «і Є С(3і) и по теореме 4.2.14, sity — полоса Coo(Q). Следовательно, s_t(q) Є <р_я для всех q Q. Положим s(q) — si(q) = ⁹RJ. при q Є Р и «(g) = {⁹0} в остальных точках. Очевидно, з Є C(3l), {s ф 0} = P ф cl P = cl{s ф 0}, и по теореме 4.2.14 множество sty не является полосой пространства Coo(Q). С другой стороны, s(q) Є qдля всех q Q.

4.4 Таблица существования поточечных критериев

В заключение, приведем таблицу условий существования поточечных критериев для рассмотренных нами множеств и свойств.

Публикации автора по теме диссертации [1] Гутман А.Е., Рябко Д.Б. Нестандартная оболочка нормированного пространства в булевозначном универсуме // Мат. труды, 2001 — V. 4 N'-2- С. 42-52 [2] Гутман А.Е., Рябко Д.Б. Критерий полноты нестандартной оболочки нормированного пространства в булевозначном универсуме // Доклады Академии Наук, 2002— V. 384— №2.— С. 153-155. [3] Гутман А.Е., Рябко Д.Б. Функциональное представление пространств Канторовича в булевозначных моделях. // Владикавказский мат. журнал., 2002. — V. 4 Вып. 1 С. 34-49 [4] Рябко Д.Б. Применение синтеза инфинитезимального и булевознач-ного анализа в теории нормированных пространств // Тезисы XXIII Конференция молодых ученых мехмата МГУ, 2001, С. 42-52. [5] Рябко Д.Б. Полнота нестандартной оболочки нормированного пространства в булевозначном универсуме // Материалы XXXVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», 2000 Изд-во Новосибирского Гос. Университета, Новосибирск. [6] Gutman А.Е., Ryabko D.B. Nonstandard hull of a normed space in a Boolean valued universe // Siberian Advances in Mathematics, 2002, vol. »l2,V2,c-3B-4X [7] Gutman A., Riabko D. Functional representation of a Dedekind-complete Reisz space in a Boolean valued universe. // Proceedings of 4th Conference on Function Spaces at SIUE, USA, 2002

Список литературы [1] Акилов Г.П., Кутателадзе С.С. Упорядоченные векторные пространства.— Новосибирск: Наука, 1978.—368 с. [2] Альбеверио С, Фейнстад Й., Хёэг-Крон Р., Линдстрём Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике.— М.: Мир, 1990. [3] Архангельский А.В., Пономарёв В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях.— М.: Наука, 1974. [4] Бурбаки Н. Общая топология.— М.: Наука, 1968. [5] Владимиров Д.А. Булевы алгебры.—М.: Наука, 1969.— 318 с. [6] Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. — М.: Физматгиз 1961.—408 с. [7] Гордон Е.И. Вещественные числа в булевозначных моделях теории множеств и /^-пространства. // Докл. АН СССР.— 1977.— Т. 237, №4.- С. 773-775 [8] Гордон Е.И. АГ-пространства в булевозначных моделях теории множеств. // Докл. АН СССР.- 1981.- Т. 258, №4.- С. 777-780 [9] Гордон Е.И., Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Инфинитезимальный анализ, часть I. Новосибирск, 2001. Изд-во Института математики. [10] Гутман А.Е. Линейные операторы, согласованные с порядком // Труды института математики, 1995 — V. 29— Р. 63-211 [11] Гутман А.Е., Емельянов Э.Ю., Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Нестандартный анализ и векторные решетки. Новосибирск, Изд-во Института математики, 1999. [12] Гутман А.Е., Лосенков Г.А. Функциональное представление буле-возначного универсума // Математические труды, 1998 Т. 1 Jf«l С. [13] Емельянов Э.Ю. Порядковые и регулярные оболочки векторных решеток // Сиб. мат. журн.- 1994. Т. 35 tf*6.- С 1243-1252 [14] Емельянов Э.Ю. Инфинитезимальный подход к представлению векторных решеток пространствами непрерывных функций на компакте // Докл. РАН.- 1995.- Т. 344, №1/- С. 9-11 [15] Емельянов Э.Ю. Инвариантные гомоморфизмы нестандартных расширений булевых алгебр и векторных решеток // Сиб. мат. журн. -1997. - Т.38 №2 С. 286-296. [16] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.— М.: Наука, 1984- 752 с. [17] Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. —М.-Л.: Гостехиздат, 1950.- 548 с. [18] Кусраев А.Г. Числовые системы в булевозначных моделях теории множеств // VIII Всесоюз. конф. по мат. логике.— М.: 1986.— С. 99 [19] Кусраев А.Г. Векторная двойственность и ее приложения.— Новосибирск: Наука, 1985.— 256 с. [20] Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Булевозначный анализ.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1999. [21] Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Нерешенные нестандартные задачи.— Новосибирск, 2000. Препринт/ Изд-во Института математики. [22] Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Нестандартные методы анализа.— Новосибирск, 1990, Наука, Новосибирское отд-ние. [23] Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. О комбинировании нестандартных методов // Сиб. мат. журнал- 1990.— Т.31 №5. — С. 111-119 [24] Кусраев А.Г., Малюгин С.А. Некоторые вопросы теории векторных мер. — Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1988.— 190 с. [25] Кутателадзе С.С. Циклические монады и их применение // Сиб. мат. журн. 1986.- Т.27.- №1 С. 100-110. [26] Кутателадзе С.С. Монады проультрафильтров и экстенсиональных фильтров // Сиб. мат. журн. 1989.- Т.ЗО, JM. —С. 129-133. [27] Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа.— Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 2000.— 336 с. [28] Сикорский Р. Булевы алгебры.— М.: Мир— 1969 [29] Любецкий В.А., Гордон Е.И. Булевы расширения равномерных структур // Исследования по неклассическим логикам и формальным системам,— М.: Наука, 1983 —С. 82-153. [30] Aliprantis CD. and Burkinsaw О. Positive operators. —New York: Academic Press, 1985.— 367 pp. [31] Bell J. L. Boolean-Valued models and Independence Proofs in Set Theory.— New York etc.:Clarendon Press, 1985.— xx+165 pp. [32] Cozart D. and Moore L.C. The nonstandard hull of a normed Riesz space /I Duke Math. J. - 1974.-No. 41 P. 263-375 [33] Cutland N. Nonstandard measure theory and its applications // Proc. London Math. Soc. - 1983. V.15, No. 6. - P. 530-589. [34] Halmos P.R. Lectures on Boolean Algebras.— Toronto, New York and Lo ndon: Van Nostrand, 1963.— 147 pp. [35] Heinrich S. Ultraproducts in Banach Space theory // J. Reine Angem. Math.- 1980. - V. 313. - P. 72-104 [36] Henson C.W. Infinitesimals in functional analysis // Nonstandard analysis and its applications.— Cambridge etc.: Cambridge Univ. Press, 1988. - P. 140-181 [37] Henson C.W. and Moore L. C. Jr. Nonstandard hulls of the classical Banach spaces // Duke Math. J. - 1974. - V. 41. No.2. - P. 277-284 [38] Hrbacek K. Axiomatic foundations for nonstandard analysis // Fund. Math.-1978.-V. 98Д«1.-Р.1-24. [39] Hurd A.E., Loeb P.A. An introduction to nonstandard real analysis.— 1985.— Orlando etc.: Academic Press, Inc. [40] Jech T.J. Abstract theory of abelian operator algebras: an application of forcing II Trans. Amer. Math. Soc- 1985. V. 289. -No. 1.- P. 133-162 [41] Jech T.J. Boolean-linear spaces // Adv. in Math. 1990. V. 81. —No. 2.-P. 117-197 [42] Johnstone P.T. Stone Spaces.— Cambridge and New York: Camprige University Press, 1982. —xxii+370 pp. [43] Monk J.D. and Bonnet R. (eds.), Handbook of Boolean Algebras. Vol. 1-3.— Amsterdam etc.: North-Holland, 1989 [44] Kawai T. Axiom systems of nonstandard set theory // Logic Symposia, Hakone 1979, 1980-Berlin etc.: Spriger-Verlag, 1981.-P. 57-65 [45] Kusraev A.G. and Kutateladze S.S. Nonstandard methods for Kan-torovich spaces // Siberian Adv. Math.— 1992.— V.2, No. 2. — P. 114- [46] Luxemburg W.A.J, and Zaanen A.C. Riesz Spaces. Vol 1.— Amsterdam and London: North-Holland, 1971.— 514 pp. [47] Luxemburg W. A. J. A general theory of monads // Applications of Model Theory to Algebra, Analysis and Probability.— New York: Holt, Rinehart and Minston.— P. 18-86. [48] Nelson E. Internal set theory. A new approach to nonstandard analysis // Bull. Amer. Math. Soc.-1977.-V. 83Д*6.-Р.1165-1198 [49] Nelson E. The syntax of nonstandard analysis // Ann. Pure Appl. Logic- 1998.- V. 38Д'2. P. 123-134. [50] Ogasawara T. Theory of vector lattices // J. Sci. Hirosima Univ., Ser. A. 1942- Vol. 12 - P. 37-100 [51] Ozawa M. A Boolean valued interpretation of Hilbert space theory // J. Math. Soc. Japan- 1983.- V. 35, No. 4. — P. 609-627 [52] Ozawa M. A classification of type I A W-algebras and Boolean valued analysis // J. Math. Soc. Japan - 1984.- V. 36, No. 4. - P. 141-148 [53] Robinson A. Non-Standard Analysis, Proc. Koninkl. ned. akad. wet. A, 1961,- V. 64, P. 432-440 [54] Robinson A. Non-Standard Analysis.— Princeton: Princeton University Press, 1966. [55] Rosser J. B. Simplified independence proofs: Boolean valued models of set theory. —New York : Academic , 1969— 217 pp [56] Schaefer H.H. Banach Lattices and Positive Operators.— Berlin etc.: Springer-Verlag, 1974. [57] Schwarz H.-U. Banach Lattices and Operators.— Leipzing: Teubner, 1984. -208 pp. [58] Stone M.H. Application of theory of Boolean rings to general topology// Trans. Amer. Math. Soc. 1937 - Vol. 41- P. 309-375 [59] Solovay R.M. A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue measurable // Ann. Math— 1970 — V- 92, №2. — P. 1-56. [60] Takeuti G. and Zaring W.M. Axiomatic set theory.— New York: Springer-Verlag, 1973.- 238 pp.

Булевы алгебры

О булевых алгебрах см. монографии [5, 28, 34, 42]. В произвольной булевой алгебре символ _L обозначает отношение дизъюнктности: а±.Ь о а Л Ь = 0. Семейство элементов булевой алгебры называется дизъюнктным, если любые два его элемента попарно дизъюнктны. Следующее теорема носит название принципа исчерпывания. Теорема. Пусть В — полная булева алгебра. Тогда для всякого семейства (a fgs элементов В существует такое дизъюнктное семейство ( ) Е что Ь{ а$ для всех Є Н и sup e2a = 8\ip(Sb . Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [28], теорема 20.2. Следующая теорема была доказана Стоуном и Огасаварой [50, 58]. Теорема. Пусть В — полная булева алгебра и Q — совокупность всех ультрафильтров в В. Для каждого элемента Ь Є В обозначим мно-жество {q Є Q : b q} через b. Множество {b : b Є В} является базой некоторой топологии на Q, относительно которой Q является А экстремально несвязным компактом. Кроме того, отображение Ь н b осуществляет булев изоморфизм между алгебрами В и Clop(Q) Компакт Q, построенный в формулировке последней теоремы, называется стоуновским компактом булевой алгебры В. Теория векторных решеток и АГ-пространств изложена во многих монографиях, см. например [1,16,17, б, 30, 46, 56, 57]. Всюду ниже под векторной решеткой мы понимаем решеточно упорядоченное векторное пространство. При этом, если явно не оговорено противное, все рассматриваемые векторные решетки предполагаются архимедовыми. В векторной решетке Е элементы ей/ называются дизъюнктными, если еЛ / = 0. Дизъюнктное дополнение {е Е : е±/ для всех / Є F} множества F С Е обозначается через Fx. Подмножество векторной решетки, имеющее вид Fxl- для некоторого F С Е, называется полосой. Подмножество F С. Е является полосой тогда и только тогда, когда Flx = F. Полосы вида {е}хх, где є Є Е, называются главными. Полосы векторной решетки образуют полную булеву алгебру. Элемент 1 Є Е называется слабой порядковой единицей, если 1 0 и {1}1х = Е, и сильной порядковой единицей, если для каждого элемента є Є Е существует число Л R такое, что е А1. Линейный оператор п : Е — Е называется порядковым проектором, если 7г2 = 7ги0 я-е е для всех положительных элементов е Е. Множество всех порядковых проекторов векторной решетки Е обозначается символом Рг(Е).

Образ любого порядкового проектора является полосой. Каждый порядковый проектор однозначно определяется своим образом. Порядковые проекторы векторной решетки Е образуют булеву алгебру. В пространстве Coo(Q) для любого порядкового проектора 7Г найдется единственное множество Р Clop(Q) такое, что я-/ = %pf Для всех / Є Coo(Q), где ХР характеристическая функция множества Р. Соответствие ж і-» Р является изоморфизмом между булевыми алгебрами Pr(Coo(Q)) и Clop(Q). Множество F С Е назовем конечно-циклическим, если для любых элементов /і,..., /„ Є F и для любых попарно дизъюнктных порядковых проекторов ТГЇ, ..., 7гп Є Рг(.Е) элемент 7Гі/і + + irnfn принадлежит F. Тот факт, что сеть (eQ)aeA монотонно убывает и infaeA = е, коротко обозначают формулой еа\.е. Говорят, что сеть (ес,)аеА о-сходится к элементу є Є Е и пишут е = o-limogA еа, если в Е найдется сеть (/з)/?ев такая, что /# 4- 0 и V/? ЄВ 3 а Є A Va а еа — е /#. Если в роли сети (/з)/зев выступает последовательность (//n)neN для некоторого / 0, то говорят, что сеть (еа)аЄА г-сю ?«тсл к элементу є Є Е (с регулятором /) и пишут е = r-limegA ett Векторное подпространство F С. Е называют (порядковым) идеалом векторной решетки /?, если для любых /Є.РиеЄ2?изе / следует є Є F. Идеал F называют главным (порожденным элементом є Є F) если для любого элемента f Є F верно / п\е\ для некоторого числа п Є N. Идеал F называют фундаментом, если F -1- = Е. Пространством Канторовича или К-пространством называется векторная решетка, в которой любое ограниченное сверху (снизу) подмножество имеет точную верхнюю (нижнюю) границу. Расширенным К-пространством называется / -пространство, в котором любое дизъюнктное подмножество ограничено. Любое / -пространство является фундаментом некоторого (единственного с точностью до изоморфизма) расширенного / -пространства. Любое расширенное К-пространство изоморфно пространству Coo(Q), где Q — стоуновский компакт булевой

Булевозначные модели и непрерывный поливерсум

Подробные сведения о непрерывных расслоениях и непрерывном поли-версуме имеются в [12]. По булевозначному анализу см. монографии [20, 31, 55, 60]. Символом V мы обозначаем класс всех множеств и предполагаем, что V является моделью ZFC (а точнее, NBG; см., например, [20, 60]). На протяжении всего текста Q — экстремально несвязный компакт. Символом Clop(Q) обозначают совокупность всех открыто-замкнутых подмножеств Q, а символом Clop(q) — совокупность всех открыто-замкнутых подмножеств Q, содержащих точку q Є Q. Пусть Vя cQxV-класс-соответствие, на котором задана некоторая топология (см. [12]). Класс всех открыто-замкнутых подмножеств Vя обозначается через Clop(VQ). Для каждой точки q Є Q класс Vя П ({q} X V) = {(q,x) \ (q,x) Є Vе } обозначают символом Vя. Соответствие Vя называют непрерывным расслоением над Q, а класс Vя — слоем расслоения Vя в точке q. Функцию и : D — Vя называют сечением расслоения Vя над множеством D С Q, если u(q) Vя для всех q Є D. Под непрерывным сечением расслоения V понимается сечение, являющееся непрерывной функцией. Для любого подмножества D С Q символом C(D, Vе ) обозначается класс всех непрерывных сечений Vя над D. Как установлено в [12] (предложения 2.3 и 2.5), если выполнены условия то непрерывное расслоение Vе обладает следующими свойствами: (і) топология Vе хаусдорфова; (ii) для любых и Є C(Q, Vе ) и q Є Q множество {м(Л) А С1ор( ?)} является базой окрестностей точки u(g); (ііі) все элементы C(Q, Vе ) являются открытыми и замкнутыми отображениями; (iv) топология Vе экстремально несвязна. В дальнейшем мы предполагаем, что для каждой точки q Є Q класс Vя является алгебраической системой сигнатуры {є}. Для произвольной формулы p(ti,...уtn) сигнатуры теории множеств и сечений щ,...,ип расслоения Vе символом { р(щ,..,ип)} обозначают множество Для любого элемента х Є U, где U — алгебраическая система сигнатуры {б}, спуском х называется класс х\, := {у U U \= у Є х}. Если в системе U истинна аксиома экстенсиональности, то для всех i,y6U равенства х\. = т/4- и х = У равносильны. Далее нас в основном будет интересовать случай U = Vя. Для произвольного сечения « Є C(Q, Vе ) класс LLeo u(?)4- называется распаковкой сечения и и обозначатся символом L«_I.

Непрерывное расслоение Vе называется ( непрерывным) поливерсу-мом над Q, если в каждом слое Vя (q Є Q) истинны аксиомы экстенсиональности и регулярности и, кроме того, в дополнение к (1) и (2) выполнены следующие условия: Для произвольных сечений и, и Є C"(Q, V ) множества {м = и} и {и Є v} открыто-замкнуты (см. [12], 3.3), что позволяет ввести в рассмотрение две класс-функции полагая u = v\\ = {u = v} и \\u v = {u Є v}. Несложно убедиться в том, что тройка (C(Q, V), = » II" Є "II) представляет собой отделимую С1ор(ф)-значную алгебраическую систему. Как показывает следующая теорема ([12], 4.10), класс непрерывных сечений поливерсума представляет собой общий вид булевозначного универсума. Теорема. Пусть Q — стоуновский компакт полной булевой алгебры В. (а) Класс C(Q, Vе ) непрерывных сечений поливерсума V над Q яв ляется булевознанным универсумом над Clop(Q). (б) Для любого булевозначного универсума U над В существует по ливерсум Vе над Q, класс C(Q,VCi) непрерывных сечений которого изо морфен U. Всюду далее V — непрерывный поливерсум, а V — его слой в точке q Є Q, который мы также будем обозначать символом V. (Заметим, что V представляет собой модель ZFC.) Условимся обозначать символами R и N множества вещественных и натуральных чисел (0 . N), а символами % и Л — элементы C(Q, У), являющиеся в C(Q, У) множествами вещественных и натуральных чисел. Введем также обозначения R = R(q), N = N(g), и для числа а Є R символом 9а будем обозначать элемент ctA(q) Є V, где (-)A — каноническое вложение V в C(Q, V ) (см. [20], И.2.2.7). Кроме того, символом я0 обозначим элемент 0A(q) Є V. Если элемент X Є V является внутри V полем или упорядоченным множеством, то на Х\. можно естественным образом ввести операции поля или, соответственно, отношение порядка. Например, для а,(3 Є R4-сумма а + 0 определяется как такой элемент 7 Є R4, что V \= (у = а + (і). Легко проверить, что спуск поля является полем. Если элемент X Є V является внутри V векторным пространством над полем F Є V, то Х\. окажется векторным пространством над полем F\,. Лемма. Для любого числа а Є R элемент ча Є eV является числом внутри 9V, т.е. ча. Є Rj.. Функция () : R — R ішзектокена и сохраняет отношение порядка и операции сложения и умножения. Кроме того, NA(g) = Nu RA(g) С R внутри «V.

Инфинитезимальный анализ на вещественной прямой в слоях поливерсума

В данном параграфе вводятся обозначения и доказываются основные факты инфинитезимального анализа на вещественной прямой в слоях поливерсума, ассоциированных с не (7-изолированными точками. Условимся называть элементы R4- внутренними числами. Внутреннее число А назовем стандартным, если существует такое число а R что а = А. Заметим, что с учетом принятого ранее соглашения (о включении R С Щ.) мы отождествляем стандартные числа и элементы R. Ограниченным числом назовем внутреннее число, модуль которого меньше некоторого стандартного числа, и обозначим символом Q(?R) множество всех ограниченных чисел. Числа, не являющиеся ограниченными, будем называть бесконечно большими. Внутреннее число А назовем бесконечно малым, если А а для любого стандартного числа а 0. Будем говорить, что два внутренних числа бесконечно близки, если их разность бесконечно мала. Отношение бесконечной близости обозначим символом РЙ. Это отношение является отношением эквивалентности на множестве внутренних чисел. Условимся обозначать символом [А] класс эквивалентности, содержащий внутреннее число А. Из ограниченности числа А вытекает, что А, В ф 0. Кроме того, A U В = R и а 0 для любых а Є А и 0 Є В. Положим 7 = sup Л = inf В. Если 7 А, то 7 Є Л и, следовательно, 7 А (поскольку в этом случае f является наибольшим стандартным числом, меньшим А). Случай 7 А рассматривается аналогично. Единственность. Если стандартные числа а и 0 таковы, что а ф 0 и а,0 яз А, то число а — 0\ отлично от нуля и бесконечно мало, что ротиворечит его стандартности. Следствие 3.2.2. Отображение а н [а] осуществляет биекцию R на ь 0( R)/«. Для любого ограниченного числа А бесконечно близкое к нему стан-дартное число назовем стандартной частью А и обозначим через А. Замечание 3.2.3. Легко проверить, что для любых а, 0 Є R « А, у, Є Rj. справедливо равенство (аА + 0ц) = а А + 0(t. Предложение 3.2.4. Пусть точка q Є Q не является о-изолированной. Предположим, что спуск элемента D V содержит множество {п Є N m п} для некоторого т Є N. Тогда существует бесконечно большое натуральное число М такое, что внутри V справедливо включение Доказательство. Достаточно рассмотреть отношение Р, заданное внутри V правилом

В данном параграфе, в рамках развитой теории, изучается нестандартная оболочка нормированного пространства в слоях поливерсума. Пусть X Є V — нормированное пространство над R внутри V. Элемент х Є Х\. назовем ограниченным, если его норма внутри V является ограниченным числом. Обозначим символом 0(Х) множество всех ограниченных элементов Х4 Элементы х, у XX будем называть бесконечно близкими и писать х и у, если норма их разности внутри V бесконечно мала. Отношение бесконечной близости является отношением эквивалентности на множе « стве Х\.. Класс эквивалентности, содержащий элемент х Є Х\., условимся обозначать через [х]. Обозначим фактор-множество 0(Х)/« символом X и положим для любых х, у Є X и А Є К, где х и у — произвольные представители классов х и у, и х — норма элемента х внутри 9V. Легко показать, что введенные операции определены корректно и превращают X в нормиро-ванное пространство над R, которое мы будем обозначать символом X и называть нестандартной оболочкой нормированного пространства X. Теорема 3.3.1. Пусть точка q Є Q не является а-изолированной и X Є V — нормированное пространство внутри V. Тогда нормирован-ное пространство X полно. Доказательство. Пусть (xn)„eiv — фундаментальная последователь-ность в пространстве X и хп Є х„ для всех п Є N. Тогда для любого Аг Є N найдется число п& Є N такое, что V \= \\хп — хт\\ 1/k для всех п,т га . Рассмотрим внутреннее продолжение (я»»)пЄ# Є V последовательности (x„)nN, понимаемой как функция из N в Х\. (такое продолжение существует в силу леммы 2). Можно считать, что V = N С N. Покажем, что найдется бесконечно большое число т Є NJ., принадлежащее N\. и удовлетворяющее внутри V неравенству а:п — х -Ц 1/k для всех fc,n Є N, n njfe. (Тем самым, мы установим, что элемент Хт Є Х\. является ограниченным и последовательность (х„)пк сходится к [хш].) Для каждого к Є N обозначим через Ей элемент V, удовлетворяющий внутри 9V соотношению Ек = {т Є N \\х{—Xj\\ 1/k для всех i, j Є iV таких, что n i,j m}. Заметим, что N С 4-, а следовательно, согласно предложению 4

Описание свойств Zff-пространств в терминах внешних сечений

В данном параграфе вводится понятие внешнего сечения, представляющего собой расслоение на компактом Q, слоями которого являются подмножества множеств R. В терминах внешних сечений описаны такие свойства векторных решеток как наличие сильной и слабой порядковых единиц, быть идеалом, фундаментом или полосой соответствующего расширенного / -пространства. Пусть D Є Clop(Q). Функцию з : D — V назовем внешним сечением, если s(q) С V для любой точки q Є D. Внешнее сечение s : Q - V назовем внешним подмножеством 01, если s(q) С ЧЩ. для всех q Є Q. Пусть s : D —ї V — внешнее сечение. Символом s± обозначим множество {и Є C(D, V) : u(q) Є s(q) для всех q 6 D}. Ясно, что если 5 — внешнее подмножество Л, то 4- С ОЦ.. Внешнее сечение s будем называть непрерывным в точке q Є doms, если для любого элемента х Є s(q) найдутся множество Р Є Clop(g) и сечение и &\Р1 такие, что u(q) = х. Внешнее подмножество 01 будем называть непрерывным, если оно непрерывно во всех точках компакта Q. Множество внешних подмножеств 01 условимся обозначать символом S (0l), а множество непрерывных внешних подмножеств 01 — символом С (01). Кроме того, обозначим через S(0t) множество всех внешних подмножеств 01, непустых в каждой точке компакта Q, а символом С(01) — множество Cs,(ft) П S(0l). Лемма 4.2.1. Внешнее подмножество з Є S(0V) непрерывно тогда и только тогда, когда для любых q Є Q и х Є s(q) найдется сечение и Є 4- такое, что u(q) = х. Доказательство. Пусть з непрерывно, q Є Q и х Є $(q). Положим хч = х и для каждой точки р Є Q\{q} выберем произвольный элемент хр Є з{р). Для каждой точки р Є Q найдутся множество Рр Є С1ор(р) и сечение ир Є s\ppX такие, что ир(р) = хр. Множество {Рр :р Є Q} представляет собой открытое покрытие компакта Q. Из этого покрытия выберем конечное подпокрытие {PPl,.. ,PPn}t которое, уменьшив при необходимости его элементы, превратим в разбиение единицы {.Р ,...,/ } в алгебре Clop(Q). Определим сечение v Є ОЦ. следующим образом: v(p) = uPi(p) для р Є Ррі, і = 1,..., п. Ясно, что v Є «4- и v(q) Для произвольного з Є С {К) положим sty- = {"и : и Є s\.}. Заметим, что sty С Coo(Q) по теореме 4.1.6. Для s Є C(3V) обозначим множество {q Є Q : s(q) = { О}} символом {s = 0}, а его дополнение — символом {з ф 0}. Аналогично обозначим через {з С о} множество {q Є Q : s(q) С o( R)}, а его дополнение — через {s ф. о}. Заметим, что Лемма 4.2.2. Длл любого s Є (7(31) множество {з ф 0} открыто. Доказательство. Пусть g Є {з 0}. Рассмотрим сечение и Є sj,, для ко торого u(q) ф 90.

Тогда открытая окрестность \\и ф 0Л точки q является подмножеством {з ф 0}. Лемма 4.2.3. Для любого з Є С{Л) множество {з (. о} открыто и всюду плотно в {з ф 0}. Доказательство. Сначала покажем, что множество {s f_ о) открыто. Пусть q Є {s f. о}. Рассмотрим сечение и Є з\., для которого u(q) ф 0 и число є Є R. такое, что u(g) 9є. Тогда множество u ел является открытой окрестностью точки q, содержащейся в {s . о}. Далее, покажем, что множество {s j о} всюду плотно в {з ф 0}. Пусть это не верно, т.е. существует непустое открытое множество Р С {s ф 0}\{s (f. о}. Любое сечение и s\. принимает на множестве Р только бесконечно малые значения. Используя предложение 4.1.2 и лем му 4.1.4, легко установить, что для любого сечения « ЗЦ. множество W = {q Є Q : u(q) ф 0 и u(q) — 0} замкнуто и нигде не плотно в Q. С другой стороны, для некоторой (и даже для любой) точки q Р найдется сечение и Є s\. такое, что u(q) ф 0. Тогда непустое открытое множество {р Є Р : и(р) ф 0} содержится в W, что невозможно. Множество сечений U С C(QJQV) назовем конечно-циклическим, если оно замкнуто относительно конечных перемешиваний. Предложение 4.2.4. Пусть U С C(Q,V) — конечно-циклическое множество сечений, иі,...,и Є C(Q,V), Р — непустое замкнутое подмножество Q и (p(t,ti,..., tk) — произвольная формула теории множеств. Если верно утверждение то Доказательство. Для каждой точки р Є Р обозначим символом ир произвольный элемент {/, для которого PV \= (ир(р), щ(р),..., Uk(p)). Множество является открыто-замкнутым покрытием компакта Р. Выберем из него КОНеЧНОе ПОДПОКрЫТИе Qp,,...,Qpn, П N, И ПОЛОЖИМ Vi = «p., t = 1,...,п. По принципу исчерпывания найдется такое дизъюнктное открыто-замкнутое покрытие Q[,...,Q n компакта Р, что Q\ С QPi для всех і = 1,..., п. Положим Q 0 = Q\ (J"=i Qi и возьмем произвольное се чение Vo Є U. Обозначим через « перемешивание сечений v,- с весами Q і = 0,...,п. Так как множество U конечно-циклическое, сечение и принадлежит U и является искомым. Следствие 4.2.5. Пусть Е С Coo(Q) — конечно-циклическое множество функций, щ,...,иіс Є C(Q, V), Р — непустое замкнутое подмножество Q и (p(t, 11,..., tk) — произвольная формула теории множеств. Если верно утверждение то Теорема 4.2.6. Множество Е С C »(Q) является конечно-циклическим тогда и только тогда, когда Е = sty для некоторого з Є C(3t). Доказательство. Очевидно, для любого s Є С(Я) множество sty является конечно-циклическим. Пусть теперь множество Е С Coo(Q) является конечно-циклическим. Для каждой точки q Є Q положим s(q) = { e(g) : є .}. Очевидно, что s Є C(Dl). Кроме того,

Похожие диссертации на О некоторых свойствах непрерывного поливерсума

О некоторых свойствах базисов в функциональных пространствах Комиссаров Андрей Алексеевич

Свойства оптимальных траекторий дифференциальных включений Садыгов Мисраддин Аллахверди Оглы

Спектральные свойства гомоморфизмов банаховых модулей над кольцом измеримых функций Подорожный Михаил Васильевич

Геометрические свойства пространственных квазиизометрических и квазиконформных отображений, близких к конформным Троценко Дмитрий Александрович

Свойства фуксовых групп сходящегося типа Кравцев Сергей Владимирович

Некоторые свойства плюригармонических и плюрисубгармонических функций Прудников Виталий Яковлевич

О некоторых спектральных свойствах двучленных операторно-дифференциальных уравнений Дишдуров Масим Гасум оглы

Мультипликативные свойства аналитических функций, гладких вплоть до границы Широков Николай Алексеевич

О некоторых финитных свойствах банаховых пространств Кадец Владимир Михайлович

Спектральные свойства краевых задач с параметром в краевом условии Копылов Виктор Иванович