Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Исследование функции грина уравнения штурма-лиувилля с нормальным операторным коэффициентом на полуоси и на конечном отрезке 16
1 Постановка задачи и основные обозначения 16
2 Интегральное уравнение для операторной функции Грина 19
3 Первая производная функции Грина 31
4 Вторая производная функции Грина 44
5 Дальнейшие свойства функции Грина 47
6 О резольвенте операторного уравнения Штурма-Лиувилля на конечном отрезке 49
ГЛАВА II. Асимптотика числа собственных значений двучленного операторного уравнения с частными производными высокого порядка 60
1. Постановка задачи и метод ее решения 60
2 Оценки для оператор-функции 64
3 Оценки повторных ядер 70
4 Асимптотика функции Грина 79
5 О дискретности спектра и асимптотике числа собственных значений 83
ГЛАВА III. Асимптотические формулы для сумм степеней отрицательных собственных значений операторного уравнения штурма-лиувилля на полуоси 89
1. Постановка задачи и некоторые неравенства, связанные с собственными значениями оператора Штурма-Лиувилля 89
2. Асимптотические формулы, связанные с отрицательными собственными значениями 113
Литература 128
- Интегральное уравнение для операторной функции Грина
- О резольвенте операторного уравнения Штурма-Лиувилля на конечном отрезке
- О дискретности спектра и асимптотике числа собственных значений
- Постановка задачи и некоторые неравенства, связанные с собственными значениями оператора Штурма-Лиувилля
Введение к работе
Начало изучения спектральных свойств операторно-дифферен-циальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами заложено в работе А.Г.Костюченко и Б.М.Левитана fl8j. В этой работе рассмотрен дифференциальный оператор Штурма-Лиувилля, заданный на всей оси, потенциал которого является обратным к вполне непрерывному самосопряженному оператору. В ней установлена дискретность спектра и получена асимптотическая формула для числа собственных значений рассматриваемого оператора. Далее, этой теме посвящены многочисленные исследования как отечественных, так и зарубежных авторов. Ниже мы укажем некоторые из этих работ.
Настоящая диссертационная работа также посвящена изучению некоторых спектральных свойств дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами. Она состоит из трех глав.
Первая глава посвящена изучению функции Грина оператора, порожденного выражением Штурма-Лиувилля на полуоси, потенциал которого является неограниченным нормальным оператором и граничным условием в нуле, содержащим неограниченный самосопряженный оператор.
В этой главе так же исследовано свойство функции Грина оператора, порожденного выражением Штурма-Лиувилля, на конечном отрезке с самосопряженным операторным коэффициентом.
Функция Грина уравнения Штурма-Лиувилля, заданного на всей оси с самосопряженным неограниченным операторным потенциалом, впервые исследована в работе Б.М.Левитана 25]. В дальнейшем исследованию функции Грина и асимптотике спектра различных one-
раторно-дифференциальных выражений посвящены работы Б.М.Левитана и Г.А.Суворченковой/2б], В.П.Маслова/29], М.Байрамоглы/VJ, Э.А.Абдукадырова/lJ, Г.И.Асланова/б], М.0телбаева/32] , К.Х. Бойматова[ю], В.А.Михайлеца/зо], WJAfcER [зэ], Г.Н.Лаптева [24], Е.А.Беговатова/8^ В.И.Горбачук и М.Л.Горбачука/"l3,I4j , Г.А.Мишнаевского^Зі"], М.Ш.Бирмана и М.З.Саломяка/9^ , А.Н.Кочубея /22], Е.Г.КлейманаJtt], Ф.Г.Максудова и В.Г.Гусейнова [2в], И.В.Алиева /б], Б.И.Алиева и М.Байрамоглы /4], А.А.Абудова [2] и др. Подробная библиография работ, посвященных этой теме, имеется в книге А.Г.Костюченко и И.С.Саргсяна/2і] .
В работе/17 J исследована функция Грина операторного уравнения Штурма-Лиувилля на всей оси с нормальным операторным потенциалом. В работе/28J , предполагая, что потенциал является самосопряженным оператором, изучена функция Грина уравнения второго порядка на полуоси с граничным условием в нуле, содержащим самосопряженный оператор. Мы изучаем оператор, рассмотренный в 28j, потенциал которого является нормальным оператором. Заметим, что, рассматривая более общий операторный потенциал, чем bJ28j , мы одновременно и снимаем условие "на рост" на бесконечности, которое сопровождало работыJI7J и/28_/ .
Пусть 1—1 - абстрактное сепарабельное пространство Гильберта со скалярным произведением (; / и нормой // * // . Обозначим через Lo(a>$>H) (-оа*.эс^±<^) множество сильно измеримых функций -f(x) со значениями из /-j таких,
ЧТО
Скалярное произведение элементов (х) и Q(x) , входящих в L (<%>,$; Н ) » определяется равенством
Пусть QCoc) (0Х^<*>) - семейство операторов в f-J с общей областью определения ty . В пространстве /,, (0} о&; /-/) рассмотрим оператор ц , порожденный дифференциальным выражением
на функциях Ц(оа) со значениями в 0 , и имеющих вторую сильную производную и удовлетворяющих граничному условию
if'lO)-ky (0)=0,
здесь
Перечислим основные условия на операторы Q(X) и уь , при которых изучаем функцию Грина оператора д,
1) Для почти всех Хг>0 операторы Q(x) являются нормаль
ными операторами в /-/ , причем для почти всех X ^0 ,
3 общее всюду плотное множество СО в /-/ , на котором операторы Q(%) определены и С[Сэс)4 непрерывны при любом f (J) .
2) Оператор Q(x) для почти всех .> <9 является обрат
ным к вполне непрерывному оператору, причем его собст
венные значения лежат в комплексной плоскости вне сек
тора
o-JA : I №$ A-Jl^of ? 0*fr$Z- постоянное число 3) Мя\Х-}\±і
11 И J. -і
ПаЪаЧщ^с, \\Q*(})a*<*>ihc,
где 0^- a * -4 и С) /\т^О - постоянные числа. Обозначим через /< (х) j 4 Цд(х)/ /dnixj/^---абсолютные величины собственных значений оператора Qtfx) относительно которых будем предполагать, что они измеримые функции. (Не нарушая общности, можно считать, что
U, Сое) I * і ).
о=>
4) Ряд /, —- ~т/л сходится для почти всех Х?0 и
его сумма Fix) - функция класса ^^(о^) t т.е.
I Fix) dc
п ' '.ОС, ^ <^>
о 5) Для всех Х7/0 выполняются неравенства*' :
і-/
а) 11(М+кГ'11*С,
б) // Ш+к)~*м !!*>
х' Буквой С мы обозначаем на протяжении всей работы постоянную величину, не обязательно одну и ту же.
„ -HOC -1 ЖХ/f. л
Здесь №-(&L*hjiEj и li^O , В - единичный оператор в f-j .
В 1-5 этой главы доказана основная
ТЕОРЕМА 1,1.1. Если выполнены условия 1)-5), то для дос-таточно больших J*-?О существует обратный оператор =(/,+/*>) являющийся интегральным оператором с ядром (г(х^2;л) » которое будем называть (операторной) функцией Грина оператора /, Q-(X, 1, /1) есть операторная функция в А/ , которая зависит от двух переменных SC и 2 ( О 5С , р^. о ) , параметра ja и удовлетворяет условиям:
а) CrC^i^J/1) сильно непрерывна по переменным (<%32);
б) существует сильная производная -—- , причем
1(Х,&0;/4) ^ J(х, Х-0;и) ~_
(смысл этого равенства проясняется в 3);
В 6 этой же главы рассмотрен оператор Ь0 в пространст-ве L (0,91' /-/) t порожденный дифференциальным выражением
ч"+ 0.ШЧ.
и граничными условиями
j/M=tf
(STJ = о*
Здесь предполагается, что Q(x) удовлетворяет следующим условиям:
При всяком фиксированном ХЬ [OjSl]* Q(x) есть самосопряженный оператор, ограниченный снизу единичным оператором, и Q (х) вполне непрерывные в /-/ .
Пусть JtiW^tl {х) ± < ±о1л (х)± " - собственные значения оператора Q(x) в //> и при всяком фиксирован-ном XeLO>JtJ сходится ряд JT^. (х) и его сумма непрерывна на о, JlJ. d"s '
Операторная функция Q (х) слабо измерима, т.е. для любых -f , # // функция (Q. (x)f}Q) измерима в смысле Лебега.
В этом параграфе доказана следующая
ТЕОРЕМА I.6.I. Резольвента оператора р0 является интегральным оператором типа Гильберта-Шмидта.
Пусть с, - трехмерное евклидово пространство. Обозначим через Ц<*(,, /^множество всех функций -f-(X) (:X-=(^lJXjU}X3)) со значениями из /-/ таких, что S /I (&// dx!^0- L (3 /~/J является сепарабельным гильбертовым пространством относительно скалярного произведения
Вторая глава посвящена изучению асимптотического поведения числа собственных значений оператора /, , порожденного диффе-
ренциальным выражением
(-і)",Ап+й(х.)
в пространстве L^( 3///). Заметим, что случай Ґ1~ і рассмотрен в работе В.Г.Гусейнова/Ї57 . Мы решаем эту задачу при /2-^ и применяя модифицированный вариант метода Э.Э.Леви, снимаем условие "на рост" на бесконечности для потенциала Q(X) » которое имело место в работе /і 5/ и др. Условие "на рост" в скалярном случае для уравнения Штурма-Лиувилля снято впервые М.Отелба-евым в работе /32_у, а для общих самосопряженных эллиптических уравнений в работе К.Х.Бойматова и А.Г.Костюченко/II1.
В этой главе предполагается, что Q(sc) при каждом Х 2 является самосопряженным оператором в /-/ и удовлетворяет следующим условиям:
Области определения операторов Q(x) имеют общее всюду плотное пересечение 2с // , (2(Х)*ъ СГ (Я) является вполне непрерывным оператором в /-/ при каждом Х Е,
При /X-jUf
-а.
3) При некотором с у 0 ( с может быть достаточно большим) Ct(x)^ осе Е3 f/IQW/ldx^o-
4) При/x-fl^i
- II -
иш%-ишасх\
для всех С>0,ЬО (Ш?о).
5) При любом М>о
г -MiQ(x), (. -taw,
J5P сСх.= OOJjSPe сіх.
3 Є3
6) Пусть olj М 4: оїд (%) & — o^Cxfe— собственные зна-
чения оператора Q(x) Предполагаем также измеримость
функций olfi^^eLiOC), '"у d^W, '"
Обозначим через Р(Я) следующую функцию
Будем предполагать, что при больших значениях Я У О
а/(л)*<Ъ/(я),
где СС0 - некоторое положительное число. Основным результатом второй главы является следующая ТЕОРЕМА 2.5.2.. Если оператор-функция Q(x) удовлетворяет условиям 1)-6), то для числа собственных значений оператора /jP меньших Я [Я у О ) » т»е» Для Л/(Я)справедлива асимптотическая формула при Я -> оо
Гір L 4(xM
где ь
, -з r ;W J де=(лю J e ctf-
Третья глава посвящена изучению асимптотических формул, связанных суммами степеней отрицательных собственных значений оператора Л, , порожденного дифференциальным выражением
-/- Q(x)y
и граничным условием U(o)~ О .
Здесь Gi(0C)-Q(x) и является вполне непрерывным оператором в /-/ при каждом ХЄІР; <>=>). Условия на Q(x) , обеспечивающие конечность и дискретность отрицательного спектра J_> у впервые найдены в работе М.Г.Гасымова, В.В.Жикова и Б.М.Левитана [12J , Дальнейшие обобщения и уточнения результатов из 12J проделаны Д.Р.Яфаевым [Зз] и А.Н.Кочубейем /22у .
В работе А.А.Адыгезалова /зJ найдена асимптотическая формула для числа отрицательных собственных значений оператора Ц . Как увидим ниже, из результатов этой главы, в частности, следуют результаты работы [з\.
Обозначим через J, (ос) ^ olz(oc) ?, " >у oln (0с)7, '' собственные значения оператора Q(x). Чтобы сформулировать результаты этой главы введем следующие обозначения:
- ІЗ -
Ш&п \J1-
p. (h*J=W*'y Щ , j= іл-> і 70>djMtt&o.
Основными результатами этой главы являются.
ТЕОРЕМА 3.2.1. Пусть оператор-функция Q^монотонно убывает и О.(0)б^т ( ГУ1 - некоторое положительное число). Если функции oL (х)-&1- %щ где 1С у О , L?, / , при больших значениях ОС неотрицательны, монотонно не возрастают и -fo*t об (х)= О » то при ,-* О имеет место асимптотическая
формула _g _{
^i __ torn)^ \4
ТЕОРЕМА 3.2.2. Пусть оператор-функция 6?^/монотонно убывает и функция dj (х) удовлетворяет условию
при любом ? ?0 » где 1С0 - некоторое число, удовлетворяющее неравенству
Если d(o)e&t * где - некоторое число, удовлетворяющее неравенству
^ U-tCo)(!L-JCo-lJQ>S)_
)
то при ,-9-0 имеет место асимптотическая формула
__;? = л±й*2 211Ж Н а,х) dx>
где ^3 - некоторое положительное число.
Из этих формул при S= 0 следуют результаты работы JJ3J. В настоящей диссертации получены следующие новые результаты:
изучены свойства резольвенты оператора второго порядка на полуоси с нормальным операторным потенциалом и граничным условием в нуле, содержащим самосопряженный оператор;
установлен класс принадлежности ядра резольвенты операторного уравнения Штурма-Лиувилля на конечном отрезке;
вычислена асимптотика числа собственных значений двучленного операторного уравнения с частными производными высокого порядка;
найдены асимптотические формулы, связанные с суммами степеней отрицательных собственных значений операторного уравнения второго порядка.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах r40-44J и доложены на семинарах отдела спектральной теории дифференциальных операторов ИММ АН Азерб.ССР, на общеинститутском семинаре ИММ АН Азерб.ССР, руководимым акад.АН Азерб.ССР Ф.Г. Максудовым, на семинаре кафедры "Прикладного анализа" (зав.каф. проф.Отелбаев М.) Каз.ГУ им.С.М.Кирова, а также на семинарах
кафедры высшей математики АзИНЕФТЕХИМа им.М.Азизбекова.
В заключение выражаю глубокую благодарность акад.АН Азерб. ССР Ф.Г.Максудову и старшему научному сотруднику М.Байрамоглы, под руководством которых выполнена настоящая работа.
Интегральное уравнение для операторной функции Грина
Начало изучения спектральных свойств операторно-дифферен-циальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами заложено в работе А.Г.Костюченко и Б.М.Левитана fl8j. В этой работе рассмотрен дифференциальный оператор Штурма-Лиувилля, заданный на всей оси, потенциал которого является обратным к вполне непрерывному самосопряженному оператору. В ней установлена дискретность спектра и получена асимптотическая формула для числа собственных значений рассматриваемого оператора. Далее, этой теме посвящены многочисленные исследования как отечественных, так и зарубежных авторов. Ниже мы укажем некоторые из этих работ.
Настоящая диссертационная работа также посвящена изучению некоторых спектральных свойств дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами. Она состоит из трех глав.
Первая глава посвящена изучению функции Грина оператора, порожденного выражением Штурма-Лиувилля на полуоси, потенциал которого является неограниченным нормальным оператором и граничным условием в нуле, содержащим неограниченный самосопряженный оператор.
В этой главе так же исследовано свойство функции Грина оператора, порожденного выражением Штурма-Лиувилля, на конечном отрезке с самосопряженным операторным коэффициентом.
Функция Грина уравнения Штурма-Лиувилля, заданного на всей оси с самосопряженным неограниченным операторным потенциалом, впервые исследована в работе Б.М.Левитана 25]. В дальнейшем исследованию функции Грина и асимптотике спектра различных one - 5 раторно-дифференциальных выражений посвящены работы Б.М.Левитана и Г.А.Суворченковой/2б], В.П.Маслова/29], М.Байрамоглы/VJ, Э.А.Абдукадырова/lJ, Г.И.Асланова/б], М.0телбаева/32] , К.Х. Бойматова[ю], В.А.Михайлеца/зо], WJAfcER [зэ], Г.Н.Лаптева [24], Е.А.Беговатова/8 В.И.Горбачук и М.Л.Горбачука/"l3,I4j , Г.А.Мишнаевского Зі"], М.Ш.Бирмана и М.З.Саломяка/9 , А.Н.Кочубея /22], Е.Г.КлейманаJTT], Ф.Г.Максудова и В.Г.Гусейнова [2в], И.В.Алиева /б], Б.И.Алиева и М.Байрамоглы /4], А.А.Абудова [2] и др. Подробная библиография работ, посвященных этой теме, имеется в книге А.Г.Костюченко и И.С.Саргсяна/2і] .
В работе/17 J исследована функция Грина операторного уравнения Штурма-Лиувилля на всей оси с нормальным операторным потенциалом. В работе/28J , предполагая, что потенциал является самосопряженным оператором, изучена функция Грина уравнения второго порядка на полуоси с граничным условием в нуле, содержащим самосопряженный оператор. Мы изучаем оператор, рассмотренный в 28j, потенциал которого является нормальным оператором. Заметим, что, рассматривая более общий операторный потенциал, чем BJ28J , мы одновременно и снимаем условие "на рост" на бесконечности, которое сопровождало работыJI7J и/28_/ .
Пусть 1—1 - абстрактное сепарабельное пространство Гильберта со скалярным произведением (; / и нормой // // . Обозначим через Lo(a $ H) (-оа .эс ± ) множество сильно измеримых функций -f(x) со значениями из /-j таких. Скалярное произведение элементов (х) и Q(x) , входящих в L ( % ,$; Н ) » определяется равенством
Пусть QCoc) (0Х ) - семейство операторов в f-J с общей областью определения ty . В пространстве /,, (0} о&; /-/) рассмотрим оператор ц , порожденный дифференциальным выражением на функциях Ц(оа) со значениями в 0 , и имеющих вторую сильную производную и удовлетворяющих граничному условию здесь Перечислим основные условия на операторы Q(X) и уь , при которых изучаем функцию Грина оператора д, 1) Для почти всех Хг 0 операторы Q(x) являются нормаль ными операторами в /-/ , причем для почти всех X 0 , 3 общее всюду плотное множество СО в /-/ , на котором операторы Q(%) определены и С[Сэс)4 непрерывны при любом f (J) . 2) Оператор Q(x) для почти всех . 9 является обратным к вполне непрерывному оператору, причем его собственные значения лежат в комплексной плоскости вне сектора.
О резольвенте операторного уравнения Штурма-Лиувилля на конечном отрезке
Из этих формул при S= 0 следуют результаты работы JJ3J. В настоящей диссертации получены следующие новые результаты: - изучены свойства резольвенты оператора второго порядка на полуоси с нормальным операторным потенциалом и граничным условием в нуле, содержащим самосопряженный оператор; - установлен класс принадлежности ядра резольвенты операторного уравнения Штурма-Лиувилля на конечном отрезке; - вычислена асимптотика числа собственных значений двучленного операторного уравнения с частными производными высокого порядка; - найдены асимптотические формулы, связанные с суммами степеней отрицательных собственных значений операторного уравнения второго порядка. Основные результаты диссертации опубликованы в работах r40-44J и доложены на семинарах отдела спектральной теории дифференциальных операторов ИММ АН Азерб.ССР, на общеинститутском семинаре ИММ АН Азерб.ССР, руководимым акад.АН Азерб.ССР Ф.Г. Максудовым, на семинаре кафедры "Прикладного анализа" (зав.каф. проф.Отелбаев М.) Каз.ГУ им.С.М.Кирова, а также на семинарах кафедры высшей математики АзИНЕФТЕХИМа им.М.Азизбекова. В заключение выражаю глубокую благодарность акад.АН Азерб. ССР Ф.Г.Максудову и старшему научному сотруднику М.Байрамоглы, под руководством которых выполнена настоящая работа. Здесь - вообще говоря, неограниченный самосопряженный оператор в /-/ такой, что с (k). В этой главе изучается функция Грина задачи (1.1.1)-(1.1.2);. Заметим, что функция Грина самосопряженного уравнения Штурма-Лиувилля с неограниченным операторным коэффициентом впервые изучена в работе [25J Б.М.Левитана. В дальнейшем этой теме посвящены многочисленные исследования. Перечислим основные ограничения на операторную функцию Q(x) и оператор 1%, , при которых нами изучается функция Грина оператора L I); Для почти всех ?,о операторы Q(x) являются нормальными операторами в f-j , причем для почти всех ХъО 3 общее всюду плотное множество СІ в /-/ , на котором операторы Q(X) определены и нормальны. 2) Оператор Q(X) для почти всех X 0 является обратным к вполне непрерывному оператору, причем его собственные значения лежат в комплексной плоскости вне сектора где 0 - CL -4- и A 7 О - постоянные числа. Обозначим через /Ц(х)\ jU Mj / Ml z абсолютные величины собственных значений оператора Q.(x) относительно которых будем предполагать, что они измеримые функции. сходится для почти всех Х О и его сумма Р(ос) - функция класса (о о= Ь т.е. 5) Для всех ХъО выполняются неравенства : х) Буквой С мы обозначаем на протяжении всей работы постоянную величину, не обязательно одну и ту же. Некоторые другие ограничения на Ufa) будут указаны в дальнейших параграфах по мере того, как они понадобятся.
Если выполнены условия 1)-5), то для достаточно больших /t?o существует обратный оператор являющийся интегральным оператором с операторным ядром (г(%,# / } которое будем называть (операторной функцией Грина оператора /, . (j- (х} j /f) - операторная функция в f-j , которая зависит от двух переменных ОС и н (О Х} ) и параметра yU- и удовлетворяет условиям: Для доказательства этой теоремы, следуя работе /25/, введем некоторые пространства. Обозначим через XJ X X у А о)и Xt- банаховы пространства операторных функций п(%;$) в /-J (O SCJ2 ) » нормы которых определяются соответст венно следующим образом.
О дискретности спектра и асимптотике числа собственных значений
Если выполнены условия 1)-5), то для дос-таточно больших J -?О существует обратный оператор =(/,+/ ) являющийся интегральным оператором с ядром (г(х 2;л) » которое будем называть (операторной) функцией Грина оператора /, Q-(X, 1, /1) есть операторная функция в А/ , которая зависит от двух переменных SC и 2 ( О 5С , р . о ) , параметра JA И удовлетворяет условиям: а) CrC i J/1) сильно непрерывна по переменным ( %32); б) существует сильная производная -—- , причем (смысл этого равенства проясняется в 3); В 6 этой же главы рассмотрен оператор Ь0 в пространст-ве L (0,91 /-/) t порожденный дифференциальным выражением. Здесь предполагается, что Q(x) удовлетворяет следующим условиям: 1) При всяком фиксированном ХЬ [OJSL] Q(x) есть самосопряженный оператор, ограниченный снизу единичным оператором, и Q (х) вполне непрерывные в /-/ . 2) Пусть JtiW tl {х) ± ±о1л (х)± " - собственные значения оператора Q(x) в // и при всяком фиксирован-ном XeLO JtJ сходится ряд JT . (х) и его сумма непрерывна на о, 3) Операторная функция Q (х) слабо измерима, т.е. для любых -f , # // функция (Q. (x)f}Q) измерима в смысле Лебега. В этом параграфе доказана следующая Пусть с, - трехмерное евклидово пространство. Обозначим через Ц (,, / множество всех функций -f-(X) (:X-=( lJXjU}X3)) со значениями из /-/ таких, что S /I (&// dx! 0- L (3 / /J является сепарабельным гильбертовым пространством относительно скалярного произведения Вторая глава посвящена изучению асимптотического поведения числа собственных значений оператора /, , порожденного дифференциальным выражением в пространстве L ( 3///). Заметим, что случай Ґ1 і рассмотрен в работе В.Г.Гусейнова/Ї57 . Мы решаем эту задачу при /2- и применяя модифицированный вариант метода Э.Э.Леви, снимаем условие "на рост" на бесконечности для потенциала Q(X) » которое имело место в работе /і 5/ и др. Условие "на рост" в скалярном случае для уравнения Штурма-Лиувилля снято впервые М.Отелба-евым в работе /32_у, а для общих самосопряженных эллиптических уравнений в работе К.Х.Бойматова и А.Г.Костюченко/II1.
В этой главе предполагается, что Q(sc) при каждом Х 2 является самосопряженным оператором в /-/ и удовлетворяет следующим условиям: 1) Области определения операторов Q(x) имеют общее всюду плотное пересечение 2с // , (2(Х) ъ СГ (Я) является вполне непрерывным оператором в /-/ при каждом Х Е, где СС0 - некоторое положительное число. Основным результатом второй главы является следующая ТЕОРЕМА 2.5.2.. Если оператор-функция Q(x) удовлетворяет условиям 1)-6), то для числа собственных значений оператора /jP меньших Я [Я у О ) » т»е» Для Л/(Я)справедлива асимптотическая формула при Я - оо и граничным условием U(o) О . Здесь Gi(0C)-Q(x) и является вполне непрерывным оператором в /-/ при каждом ХЄІР; = ). Условия на Q(x) , обеспечивающие конечность и дискретность отрицательного спектра J_ у впервые найдены в работе М.Г.Гасымова, В.В.Жикова и Б.М.Левитана [12J , Дальнейшие обобщения и уточнения результатов из 12J проделаны Д.Р.Яфаевым [Зз] и А.Н.Кочубейем /22у .В работе А.А.Адыгезалова /зJ найдена асимптотическая формула для числа отрицательных собственных значений оператора Ц . Как увидим ниже, из результатов этой главы, в частности, следуют результаты работы [з\. Обозначим через J, (ос) olz(oc) , " у oln (0с)7, собственные значения оператора Q(x). Чтобы сформулировать результаты этой главы введем следующие обозначения:
Постановка задачи и некоторые неравенства, связанные с собственными значениями оператора Штурма-Лиувилля
Сейчас мы докажем одну простую лемму. Эта лемма нам понадобится на протяжении всей этой главы. ЛЕММ 3.1.1. Пусть два конечных множества отрицательных чисел и Ип ft . Предположим, что Если для любого ; то гДе 5? б? - произвольное число. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, что Пусть это не так, т.е. существует такое i0 (jezL0.H.) , что В этом случае мы будем иметь Таким образом, Полученное неравенство противоречит условию нашей леммы и поэтому -К Л. (i=i}il...)ltJ Отсюда получаем, что 1-і i-i 6=/ Лемма доказана. Известно /38J, что если выполняется условие Xti Ot- oo X то отрицательная часть спектра оператора /, дискретна. В этой главе на оператор-функцию ((Х) будем налагать такие условия, чтобы отрицательная часть спектра оператора /, состояла из бесконечного числа собственных значений с единственной предельной точкой в нуле. Пусть -ЯІ -/L " - отрицательные собственные значения оператора /, . В настоящей главе диссертации в различных случаях мы найдем асимптотику для При —? 4 О . , Пусть /\j(%) А/ Ш и Л/(Я) - числа собственных значений операторов /j , /, и /j соответственно, меньших /(, ( 2, - некоторое положительное число). Как известно [з], пересечение ілножества (-о -) со спектром оператора /,. пусто, кроме того, имеет место Отметим, что левая часть этого неравенства справедлива для всех - 93 ЯЄ( І О ) Доказательство правой части упомянутого неравенства использует только тот факт, что пересечение множества Лоо о) с0 спектром оператора l/f пусто. Следовательно, правая часть этого неравенства справедлива для всех -Я 6(- ,-], т.е. Здесь через / ylfrf (Е) J обозначена целая часть числа ]/$() . Пусть д- Хо -Х, -" Э (@ точки делений промежутка Обозначим через / - оператор, действующий в пространстве Aj LLЗО- х-7 /VJ » порожденный выражением и граничными условиями (3.1.3). Пусть -у/у -J i - " собственные значения (каждое собственное значение выписывается столько раз, какова его кратность) и ft.- (Я) - число собственных зна-чений оператора д - , меньших -/I СЯУО) . Для простоты везде вместо У1; () будем писать /z . Докажем следующую лемму. ЛЕММА 3.1.2. Справедливо следующее неравенство Так как оператор-функция монотонно убывает, то на интервале %\ Поэтому оператор J l не меньше оператора р , т.е./- Д К J (.3.1.14) Напомним, что / - - ft-() и Ai=/l (J Заметим, что функции Pj(tx) (см. (3.1.8);) при каждом /? ? монотонно убывают. С другой стороны, поскольку oj(x)?0 , fif[jX) r О , функ ции / ъ (xj;3 (,Х) также монотонно убывают.
