Содержание к диссертации
Стр.
Введение 3
Основные обозначения 24
Глава I. (^-свойства. 28
I. Наличие (F) -свойства в пространствах [\ СФ) 28
2. Умножение 48
3. Примеры отсутствия (р)-свойства .... 52
Глава П. Модули гладких вплоть до границы аналитических
функций 63
I. Пространство Л 64
р
2. Внешние функции из Ни '6
3. Пространства Л Z 109
4. Теоремы вложения типа теоремы В.П.Хавина - Ф.А.Ша-
мояна тзз
Глава Ш. Нули и их кратности 148
I. Нули функций из Л^ 148
2. Кратность граничного нуля функций из некоторых
подклассов 158
Глава ІУ. Замкнутые идеалы пространств XD„(o),f) .. 185
I. Эквивалентная норма в X (ьо,0 187
ОД it
2, Специальная аппроксимация в X (u), t) Ко
Литература 215
Введение к работе
І. Эта работа посвящена, в основном, неванлинновской факторизации классов функций, аналитических в открытом единичном круге D и гладких - в том или ином смысле х' - вплоть до его границы ЭО . Различные способы факторизации (т.е., попросту говоря, разложения функции на "простейшие" множители) играли и продолжают играть важнейшую роль в комплексном анализе. Канонические произведения в теории целых функций, произведения Бляшке, внутренние и внешние функции стали неотъемлемой частью современного аналитического арсенала. И в наше время он пополняется новыми средствами -укажем, например, на развитие факторизационной техники в обширной серии работ М.М.Дкрбашяна [40] , или на факторизацию целых функций, предложенную Рубелем [42], или на произведения Горовица [43], Интерес к различным методам факторизации аналитических функций вызван самыми насущными вопросами комплексного анализа - и, прежде всего, необходимостью исследования свойств единственности и распределения значений, составляющих самую его суть. Факторизационный аппарат широко используется при исследовании идеалов в алгебрах аналитических функций, в задачах спектрального анализа и синтеза; его векторные и операторные аналоги играют существенную роль в современной спектральной теории операторов.
Мы будем здесь заниматься едва ли не наиболее хорошо известной и распространенной факторизацией, а именно, неванлинновской -или как теперь принято говорить - внешне-внутренней. Разработанная Р.Неванлинной, Г.Сеге и В.И.Смирновым, эта факторизация была изу- л; їакого рода функции мы будем иногда ради краткости называть гладкими аналитическими функциями, подразумевая гладкость граничных значений. чена, что называется, "вдоль и поперек" уже в 20-х - 30-х годах, й, тем не менее, исследования последних лет принесли принципиально новые сведения, обнаружив феномен, который можно приблизительно описать так: внешне-внутренняя факторизация приспособлена не только к пространствам типа классов Харди, но и - неожиданным образом - к пространствам, состоящим из функций, гладких вплоть до границы.
Напомним некоторые определения и факты (подробности можно найти в'[44]| ,|45 ]).
2. Аналитическая в D ограниченная функция I называется внутренней, если fcfn | 1(Ъ)1=/1 при почти всех Z^dD
Приведем примеры внутренних функций. а) Пусть {сС^} - последовательность точек множества D\ { 0} (конечная или нет), удовлетворяющая условию LO-uKi) Тогда произведение и — II . _ - сходится в У к 1^к' 1 \% к некоторой внутренней функции, обращающейся в нуль в точках du т к и только в них. Функция вида Ъ о , где УАЄ- Ж , называ- ется произведением Бляшке. б) Пусть ft - неотрицательная борелевская мера на окружности 3D » сингулярная относительно лебеговой меры на ЭЮ . функция \Ы=^Ы 1^4мф 1*Ъ СО) - внутренняя. Она не обращается в нуль в D . Ее называют сингулярной внутренней функцией (отвечающей мере jM' ). Этими двумя примерами можно ограничиться, так как любая внутренняя функция I единственным образом представляется в виде I =CBS , (I) где С&ЭЮ , 8 - произведение Бляшке, a S - сингулярная внутренняя функция. Для дальнейшего важно заметить, что, как правило, функция (I) не обладает никакой гладкостью на границе круга D : если I равномерно непрерывна в D , то S =Н , а функция В рациональна. в) Внешние функции. Пусть . Если к тому же можно связать функцию ЗІ ів Эту функцию называют внешней (отвечающей функции \М ). Она регулярна в D , не обращается в нуль, и при почти всех Z Е1 с* D г) Класс N . Говорят, что функция | , регулярная в D , принадлежит классу N (классу Неванлинны), если 6уЩ) j tof If (ге )1^0 « + „ їв . і Этот класс играет важнуд роль в анализе. Классы функций, аналити- ческих в D , поставляемые гармоническим анализом, теорией операторов, теорией вероятностей, чаще всего содержатся в N . Отправной точкой неванлинновской факторизационной теории служит следующая Теорема. Любое произведение вида ^=Ce^BS> ' (2) где С = oonsl , 1С 1=1 , В - произведение Бляшке, Sn функция вида (0), JH- - вещественная сингулярная (не обязательно неотрицательная!) борелевская мера на ЭЮ , a erv - внешняя функция, принадлежит классу N ; любая функция | класса N единственным образом представима в виде (2). Условимся записывать равенство (2) в виде где I^=cBS^ , с = сф , J = Доказательство аналогично доказательству леммы 1.4. 1.2. Влияние внутреннего множителя. Лемма 1.6. Пусть Zc3D ,1 - внутренняя функция, Ц|< і , d = dlst (z,specl)>0 , аНҐ(2)| . Тогда при 1^-zU-g-cl справедливы неравенства -CjO-mja IT/ ., -с2(н*))а е «IItt)Ue , iU1, e Тогда при \%~2\ 4б , У= 4,2,... справедливы оценки (1/if«)Uc/\ Доказательство см. [jf]. Лемма 1.8. Пусть функция ІєіЛ^СФ), irW-rU)kco(^(E2)H2)||Hrz2l) , 2f,z2eD ,нИ; 0<<*<^, 100и«А<й . р=Аб; 2G3D, 2,Щ-р)г; Пусть sc = cc = -таос ||о;)| , Тогда х<2А^ + Сфр^(|$<^)|р), (1.2.1) l|«)kaH2n!Aj(^-^—J+C^z|+p) p r/> (1.2.2) Доказательство, По неравенствам Коши (V) yl l| (z0)U^-b V~*,...,H. Далее, для точки ^0Є1^ , для которой имеем ^ 1(0-1(^1^(^+5.)&-t) (|(t)-I w)dt, *<»- (А+2^СФд/Чіф«^ 2А» + СфвП/о)(|Ф(^)|р) по лемме 1,3 и в силу А^ Wn. Формула Тейлора в точках Z и Z0 , примененная к (функции | , и лемма 1.3 дадут і л^ і і А н-v , _. ч || (z)U^tt!^T^+C р a)(|(Z0)|p), Формула Тейлора в точках , ZgSD , (1.2.3и лемма 1.3 дадут (1.2.I) и (1.2.2). Лемма 1.9. Пусть в обозначениях леммы 1.8 Z ЄХ , Ц* -произвольное число. Тогда М Ц[*н2п!АУ<^^иН?) igi-l^k 2П+20 Qtb+i fvH 4Іо%[Спо'ШІ 2 (зс + А tj,+Up Л при любом выборе ОС, 11 , A , U , О , 2. Доказательство. См. лемму 5 в [Ъз]. Лемма I.10. Пусть С взято из леммы 1.6, число С взято из леммы 1,9 Qn+20 число А - корень уравнения С„А Є =8 * Пусть, далее, ІєЛ^СФ), ИИ , 1| ЦН (H2)Ua)(|$(i )||zrz2l), 2,D, Z1>22 точка zeSD , I - внутренняя функция, |Ц<1 , J/t^C, = ctat(z,specl)>0, a= ІҐ(2)І> qp - cUf ., Тогда при є;Ю , |~ZI<6 — /a справедливо If C«)U С ,,,^0)(1^((^)2)1^) , » = 0,1,..., П (1.2.4) Доказательство. Положим 0 == Ad , 2=(/1_р)н ис точк Z, Z0 числами 6, 0 , А (заметим, что Аб < "її t ) и функцией - 39 -I свяжем дугу % , окружность І , числа Х — Хх tU~Uv » как в лемме 1.8, и пусть Z є У такова, что i|(z)l = ty Пусть г - внешняя часть J , ^ :== ^yJZ"! - По лемме 1.6 -c2a(Mz0 -^-2 ^IF(z)III(z)klF(z)klF(z)le <е -IF(z)|. (1.2.5) Леммы 1.8 и 1.9 дадут 1-I2T - и, ,„. -,,, ^Jt Qt\+20 2П.+І 4%[C^2a!-2 (х+А^+С№,р"о)(|$(2о)|р))], (I>2>6) и (1.2.5) и (1.2.6) дают #«С„е (х + А ^ + CMpco(l$(z0)l|))), 4 . -I flST* х+ї^ + с^я^Оф^)ір)), 7А ' (1.2.7) Теперь (1.2.7) и лемма 1.8 влекут (учтем, что AM ): И, наконец, из (1.2.8) и леммы 1.3 находим х<С^бпсо(ШЫ%)\<1). (1.2.9) Соотношение (1.2.9) есть требуемая оценка (1.2.4) при )}~0 . Применяя теперь формулу Тейлора с центром в ZQ к точке Z , с учетом неравенств Коши, леммы 1.8 и (1.2.7), получим оставшиеся оценки (1.2.4) при V=H,...,m, . Определение. Пусть 1= В5 ~ внутренняя функция, не являющаяся произведением Бляшке с не более чем И нулями. Положим 0, Л ф. spec I кратность нуля d , к(н)=а.(11(2)ЙЦ|5>о : Ц V (Л)> ИИ } ; 1 dtespeel ' J пусть Е с: D - замкнутое множество. Тогда положим H v izi^i2 + о Г ^^ o(,espeCl Замечание, а) Если f ^Л^Ф) , l/l еСд , НЄ5рЄСІП9Ю, то Z- нуль функции J. кратности И+1 [53], стр.427. в) Во всем дальнейшем считаем, что внутренняя функция не есть произведение Бляшке не более чем с У1 нулями, т.к. в противном случае можно воспользоваться леммой 1.8. Лемма І.ІІ. Пусть функция ІЄіЛооСЧ?) удовлетворяет (I), I - внутренняя функция, 111 < 1 , | ] j Є С. ,ИЄ(Ш, i№(z)=dtvJ(z)>0 » a^(z)-aM(z) . тогда (уі) (z)|4 jHy , у>«0,1,...,п, (1.2.io) I I (2)1^^, ^=0,^,...,1^, (1.2,11) где Л-^Йс2)Ч1^Л^2)144^со(|^^)|^[]_ 1.3. Доказательство леммы І.ІІ. По определению d (z) в областиІ1={г:єЮ:|г:-2ксІ^(г)} содержится не менее W Н точки из spec I . Применяя к -Q лемму 1.4, получим (У) ft-V If (Z)]4 4 (2)0)(|Ф(аЛ(2))2)І4Й > V^ = 0;. . .,И. (I.3.I) Ф,и> Теперь, если й^(Н)4 Т7г) > число—Ат ззято из леммы 1.10, то _ 4? - требуемая оценка (1.2.II) следует из (1.3.I). Если же &У0)>Г&)> то (1.2.4) дают (1.2.II). Перейдем к доказательству (1.2.10); А имеет то же значение, что и выше. Рассмотрим два случая. . В области а^(Е) 4АI. (1^(2) > і , , . Положим б- "Н-4 _Q = {eD- имеется не более И точек из 5рЄСІ по определению числа CL, (z) Следовательно, существует k , нет точек из spec I . Для такого к по- О. = { eD*. l-Z|< й^2 + Щ+2)) . Положим г\ ( ~~ кб 1 4 к < И + 4 » такое, что в области 12^ = }^Є D ~^ < ЛОЖИМ есть произведе- 3=I|specI\> Тогда I«36 , Ь(&) ниє Бляшке не более чем из tV множителей. Пусть J- = jyq Применяя лемму 1.7 и лемму 1.10, с учетом равенства I =ICJ ^) (1.3.2) и рассматриваемого случая, получим | ()|4 С* 0)(|$(G-6)z)|tf) , У=0,...,П. (1.3.2) 0 ,И> Д&лее, возьмем произвольные ТОЧКИ \ , ^gC-Q. . ЙМЄЄМ , CFV) (И) . ^1 v - оо М n/\<-"'V) + +1Ы (u-V) Ov-v) _ си) (ft) ,j + ,лМ \\J_ _jl +IJ (адІЩ"5«5І- (I-3-3) Теперь, при 04V4 tvH , лемма 1.7, (1.3.2) и теорема о среднем дадут (У) Л09 *-vM II &Н0Ь)І4<* Ч^І'^ (1.3./) /г) (д-(/э) а2)146 -і^і, (і.з.з;/) \Ш C^U* , (1-3.3) где O)=co(|f((1-6)Z)|6) , и потому в (1.3.3) будет, в силу леммы 1.3, 1^Ц|$^)||^|). Если же У=И , то по (1.2.II) и (I) іГ(?,)-Га2)і««>0Ф(і ,)H?,-fci). (1-3.4) h1,h2 і|(№)(дисо(іФ(а-б)г)к), (І.з.5) и в результате из Ц.З.з') - (1.3.5) получим 1|0 (Х)Л (2)Uco(№(z )11^,1, ?,ЛєЛ, (1.3.6) \1%)Ыб^<а(}ф(1Ц-6)г)\б), У=0,...,п,гєП. (i.s.v) К области Q , функции J-ft и конечному произведению Бляшке о можно применить лемму 1.5. Это дает |/g єЛ^ (Ф'> jQ) (#) . Но h/fy == 71=== Применяя к г формулу Коши в точке ^О"" n+2/Z ' получим F (^)=ШЙ (7Ї7Н ^ і 6(0 (-) ' (1.3.8) w да Область 1 выбрана так, что при Д&лее, \Z~Z0\^d , %Є.д1 , потому (1.3.4) и (1.3.7) влекут (V) fv-V lF(z0)Ud a)(|$(z,,)leO , » = 0,...,ft-. (І.з.9) Теперь (#) и (1.3.9) дадут (и-) (и) (rv) (к-) , _ . IF (z)klF (z„)|+IF (z)-F (^)ka)(|$^|d) , (і.з.ю) IF (Sl< І -7Ґ"1^І +^ (z-t) (Ґ Ш-F cy)it oo , »? 1F (zjl к j z. н-^ (M;) си) 4^ "со(|ф(2в)|б), ї>=0, ...,n-4. (І.З.П) Неравенства (I.ЗЛО) и (І.ЗЛІ) завершают рассмотрение случая I. 4А 4 j 2. 0-^(2)4 J /2) Положим 6=7j"^(2) и» проводим буквально те же рассмотрения, что и в случае I, используя после выбора области XI леммы 1.5 и 1.7 вместо лемм 1.7 и 1.9* после чего опять проводим рассуждения в точности, как в случае I, и завершаем доказательство леммы. 1.4. Доказательство теоремы I. Пусть | Є Л^ (Ф) удовлетворяет соотнршению (I), I внутренняя функция, 11 і 4 \ , F = уІ є С а . Используя тео-рему А, мы получим, что f Л^ (Ф) , если проверим, что IF 0O-F (Z2)l4a)(|<>(z B)IIV^)» 2,,Z23D. (I.4.I) Случай I. 1^^2^^^4^4^^^^2)),^(2)=4,1^-Тогда по лемме I.II имеем I F(№(Zj) 14 a;(|$(0-4(2j))Zj)l 4()) 4 « 0)(^(^)112,-1)» j = -1,2, lF(%)-FC,tU)N соОФ^Ждг^) Случай 2. Ц-^К^ІЛХ^сІ^г,), zjrclH(H2)). Пусть дія определенности 0-^(2,) > &n(Z2). Рассмотрим два подслучая. 2.1. lV^>*"^(j^fl^*^o^r)- Вновь по лемме I.II + со(1Ф(0-5ййг)Чг)1-а^) ^ соОФ^АЛіг,-^і) ^o^aH(zp ioona„cz2)y 2.2. IzA~ z01 < nvacc U^T^Y Кроме того, iH^HgKTj-d^Z,) , 4v(Z2)«d*(Z<) Из геометрических соображений следует, что и^^Уу-цц,^^)t Поскольку в областях l^\Z^- D : \t~^\ П2={ГеЮ". U-22| Положим 6 = nwi\ ч4 (и+2) wo Сл2-м(п+2)алед Тогда (П+2)& ^ -ц&п(^) . В области -Q = = {є:Ю: l-2,jK 12,,-221 + (1^+2)6} содержится не более чем п точек из Spec I . Поэтому в одной из областей ^={X^D'\2f22\+k6<\^-z1H\zrz2\+(kH)d}}k^0}...}n, не содержится точек из Sped . Для такого к полагаем jQ={CeD:lf-z(KlHrz2|+(k+|-)d} . Из определения числа б и специфики рассматриваемого подслучая 2.2 следует, что - 47 -Положим ^ = IlsPeci\a' = 7' По построению XI функция Ь есть конечное произведение Бляшке, состоящее не более чем из И множителей. Пусть |0 = у ^ . Из леммы 1.7, (1.4.2) и (1.4.3) получим (У) . „у (j)(0|<6~ , ^=0,...,И+4 , ?efl. (1.4.4) Применяя к jf формулу Тейлора в точке 2^ и применяя неравенства (1.2.II), получим 09 n-v II (OK* ^$(0-6)^)16), y=0;...,tb jl). (1.4.5) Поступая с неравенствами (1.4.4) и (1,4.5) в точности так как мы обращались с (1,3.3) и (1.2.II), найдем, что (и) (") IJ, (?Н (Ш 0)(|Ф(Н )11^-2,1), Г,, 2еП . (1.4.6) Ддлее, J0k =7 j — г . Поскольку функция jf удовлетворяет (1.4.6), а всякий сомножитель, входящий в D , удовлетворяет ус- ловиям леммы 1.5, получим І/й є Л^ (Ф з Л) , и, поскольку И- Ф 2, , Z8 Є Л , получим I Ґ ;(z4)- F (н2)| 4 Сла)(іФ(іг)2М lzrz2|) , чем и завершается доказательство теоремы I. - 48 - 2. Умножение В этом параграфе мы изучаем вопрос, можно ли при умножении функции на имеющийся в ее факторизации внутренний сомножитель остаться в рассматриваемом классе, иногда это возможно (теорема 2), иногда нет (теорема 3). В случае гладкости, не превосходящей I, умножение всегда оставляет в рассматриваемом классе (теорема 2). Теорема 2. Пусть ІєЛ^СФ) ,1 - внутренняя функция, 111 4 \ , J/I є Сд , причем кратность нуля d Є Spec І П D функции I не меньше И И . Тогда |І Л^ ($) Доказательство. Пусть p(Z) = (i т(2) .В силу ус-ловия на кратности нулей функции I внутри круга D и замечания а) на стрЛі, имеем dist (z , spec Ip ) < Р(н) Далее, так же, как при доказательстве теоремы I, достаточно, сославшись на теорему А, установить соотношение e3D. (2.0) Теперь учтем, что для оценки произведения функции I применима лемма 1.7, в которой (A(Z) — йІ5и (z, Spec I) , а для оценки функции J- и ее производных, в силу условия j/j Є Са » w9m" менимо соотношение (1.2. II) леммы I, II, в котором величина Jit.; определяется с помощью величин d^j (Z)=p(H)^(i(Z) и &(z) = |I(Z)| , причем в силу | 1|д 1^1 и условия на кратности нулей оє± (0) Q,(Z)4CLn j (Z) . Теперь напишем формулу Лейбница (И.) » V (V) (К1-У) (ID -Lcj I и рассматриваем те же два основных случая, что и при доказательств - 49 -ве теоремы I. случай і. Іг4-н2І»іігах(^сІ(24),4-сІ(я2)). Применяем вышеизложенные варианты лемм 1.7 и I.II и формулу Лейбница для оценки | (|I) ()) + |(|I) (Z2)| , как это сделано в п.1.4 при доказательстве теоремы I. случай 2. lzrz2! По долучай 2.1. I Z, ~ Z„ I trvoo: ( ; —V 1 2 Vioonacz.,) wona(z2)J Действуем в точности, как в случае I или в случае 2.1 доказательства теоремы I (п.1.4). Подслучай 2.2. ІИ.-Zj < УіММЬІ— —> лпп п'Л * Теперь в обозначениях п. 1.4 полагаем -Q = _Q .С учетом вышеизложенного, для величины „_ . 1^1 < _\ где Ско взято из (1.4.2), имеем неравенства (у/) -\> II ()Кб , У«0,...,пН, %е.П, и применение этих неравенств в формуле Лейбница для \$±) дает требуемую оценку (2.0). Замечание. Применение соображений, связанных с теплицевыми операторами, как сообщил мне А.Л.Вольберг, также дает возможность доказать вариант теоремы 2 для случая Л , 0 < с < 1 Теорема 3. Пусть СО - фиксированный модуль непрерывности* - ьо - Существует функция І є А и произведение Бляшке В такие, что І/вєА , но |ВЛІ> ^ІІ^Л^ . Доказательство. Если |/g є А , то $ ===^|/В ~ внутренняя ограниченная функция. Если бы lIp^BJeA^ ; то по теореме I тогда и JB^A^ , т.е. для доказательства теоремы достаточно построить функцию j- и какое-нибудь произведение Бляшке В . (z-a) 4-ан Лемма 2.1. Пусть йє D , a^0 , ft(Z)= TTfi Тогда ^)-^)1=1^)1=2^1, Я(іш)і"Ч-іаі. (2.1) Определим теперь модуль вспомогательных внешних санкций0^,У=2,3,.... УіеГ +в Ц|^(Є )К ^фі #гё/ m^V-2 или wV> + 4 ; + [ V^ vF0 Тогда аналогично тому, как это сделано bQO, легко проверить, что (Jy Є А и, более того, И9v" *<С* ' ^ = 2,3,..., tv=H,2,..., CL не зависит от V , и (2,2) (J) ^ 2(j+2) -w I^WkCjdist feE^j-H.^.^A.-.E^Ule^2 }, (2.3) jti 3& — о 2v С* не зависит от V . Положим об =(4~ )е2" »о6 =6' где 6^ I 0 . Укажем требуемые функции. Пусть г-, ^К V2 ^wr ^Г2 k=2 к к К=2 к и окончательно полагаем | (2) -1^ (Z) By(zXZ-4) . (2.4) Ясно, что |(о6у) — 0 , V^2 , и тогда (2.2), (2.3) и то,что IBy (Д)| < Cj cUst (я, U {є } [к], дадут Л а тогда (2.5) Л y*2 А Л т.е. + Є Л f и тогда по теореме І. [1 / / 0 Оценим теперь IT. = (JfBj(c^) ~ (J-В J (об^) . Имеем по определению fa и лемме 2.1: (|В)(^Г(|В)Ц)І = ІІ 7U^(z)B,(z)B(zXz-^ - (fcte)B„<38teXz-<*ii ] *= 2 (H-ot,) ' (с-л.) W(V7^+WW ^/(21^4)1-0.6,,) и постоянная С не зависит от Vfl . Выберем теперь {б^}у>2 так, чтобы выполнялось: (2.7) -> оо v у2а)(6у) у-^ (2.8) Тогда (2.6)-(2.8) дают Vе' у; <ЧЧ »0 I0J* ^ 1^(^)1 = Ц,со(6,), и, следовательно, В| Л^ > т.к. в противном случае мы бы ли I t/у | ^ L сО (6^) , L < . Теорема 3 доказана. # 3. Примеры отсутствия (F)-свойства Теорема 4. Пусть при некоторых (Х->0 , С>0 і 4 Ьп4С(пн) , ньо , J) = {Ьп}п>л ; Ш) u{k^L W:(L&J|(n)l )<* и |єН}, - 53 - P 4 4 p 400 , p=^2 . Тогда lA (pi) не обладает (F)-cboh- ctbom. Доказательство. Рассмотрим подробно лишь случай р>2 , и затем только вкратце укажем, чем отличается более простой случай Пусть 58 (z) Й ^( Г й{|єН : l/s, є Н } . Будет доказано существование функции б = ~оп~ , такой, что $/Sfi ^- Ь (Jo) » для чего в о за оо д силу теоремы Банаха достаточно построить последовательность функ ций ^єдСД)Л Ig , для которых l|JjP/ fN Ано 1+ /с. I р —> оо что и будет сделано. Замечание. То, что 00~з2^ > несущественно, т.к. случай произвольного Оо>0 отличается незначительно (см. к примеру, Сіз]). Лемма 3.1. Ез], гл.У. Пусть 0<)1<-ц , о6>0 ,N1*4 %W=L м в (зл) Тогда я jN(e)|ie«C, где постоянная С не зависит от N . Лемма 3.2. Пусть a>i , H^a , 0< j&< ц , ot>0 ; тогда при некотором С^>0 , не зависящем от О, и М , при &> й0 (dr,j№) выполняется %+ju. (3.1) Доказательство. Теорема о среднем дает 5/ч (n.+a) х 3/i* (я+а)* ч< а%^' Со не зависит от (Я. и М . Далее, % ,~~ Я гаи) -^ J л .з/, ,, ли*и, М ** і ї3/ч (t+l)**' 2a^ t* (И)** L сделаем замену /t+T ~ Vt ~ti , в та- В интеграле I, ком случае 2 где jeC [0,7] , 0(0)=0(0)-0 .Поэтому ІЇЧБ WW /2 (3.2) интегрируя 3g по частям, получим J 3*2 | ^ C3 & . В интеграле ^. сделаем замену ^а t/ = U , тогда 2М, »% _ 2д ^"о^ J 1-2ju ctu- = ^ ^ . (3.3) при a^a0(ju,,oO и при M^ft4 і ^ I ^c^ >0 , т.е. I d,Л Ъ С (X , Интегралы X и Т оцениваются подобно (3.2) и (3.3) и дают оценки I % I , 1121 ^ с6 & , что вместе с (3.2) доказывает лемму. # Лемма 3.3. Пусть 4^0п4Сп , И<И , (Х>0 , числа ctj, * 0 , А ^ 4 , Д^ , 0 «JH, < В , В И , А В б ct=Le6y>0, 6 = ft. , 2L = i" , ЬИ. JT- ^_>И| (3.4) И,-^оо ]Г L^J^/U Доказательство. Предположим, что (3.4) неверно, пусть при W^-tV0 выполняется J^MMLU- (3-5) просуммируем (3.5) от и = N-A-B до n=N+G-f-A+B д Получим N+Q+A+B в N+Q+A+B А n=N-A-B H=N-A-B У=0 KM N+QH N+Q+A+B JU4B n=N n=N+Q ^B H=N-A-B JU,4H~N+A+B jmN+Q+A+B-n-4 N--I n+GH N+Q+A+B ТЬперь (3.6) дает, в силу ctVtR„}0 : N+GH n+GH N4 N+Q+A+B 2ul Б шиї, &n+asuL (?пшиІ й 0.7) N N N-A-B N+Q N+GH NH N+Q+A+B N N-A-B N+Q при любых N*tt0 > (ЭИ . Пусть T=I . Тогда, по- ^л VA-B скольку р^И , имеем V0^ VQ+A+B I L<(th) І & гчяч положив в (3.8) Q = A+B, 2(A+B),..., &(A+B) H0n(A+B)H и Z. ~i. 6^ , найдем из (3.8), что І <(тн)(і -т ), ^+Хтн)^КтнЛ ь>А, ъ-i^ъ+Г^Т^ЛТН/ * W2. (3.9) Однако условие дает ne*c*+0(A+BH a Iw-I,= І &H < c0\+ B)[n0n(AtB)] . (3-I0> - э8 - Неравенства (3,9) и (ЗЛО) противоречивы, значит, наше предположение неверно, т.е. выполняется (3,4), Лемма доказана. Лемма 3,4. Цусть | у j - конечная последовательность, пусть Іи(г)ІвО(п:і) , r^oo , (ЗЛІ) и пусть а) Хп= 0 при П>= 4 N , N1= 0, 4 ,.. . , или о 2 %\[z в) Х^=0 при H = (2N-1) . Обозначим SW-g- -| (?)у С05-«— = Jo (Н) и положим в случае а) Л») = ^^^). n=/fN' N = 0>1-- и в случае в) НП) = і V|gW> ^teNH); Ф^))///льі iN24, nK2NH), N=12,..., r& i(№N-0)' и пусть У(2)= 2- X(tv)H , Ze Yl>sO Тогда Jfel ; 5,= 32-о Доказательство см. СдКВЭ» - t>9 - Доказательство теоремы. Пусть фиксировано р , 2<р<оо (случай р = оо проще). Возьмем 0 РМ' + тГ^Н , У = \J6(d+4u » зафиксируем, большое число &>\ ^ о, «W* -W/52 -РОИі) к которому применима лемма 3.2, и обозначим zL=2,.H / 2jft >2 (при &>СЦ ), и пусть nv = 2& ,^==0, . Определим после довательности оСу, foy, У так: ^ =—р>— > UV«w, (злі) ^=(-0КСу^, i>=Mk+>, hjkw, к=0,4,...,У, ^=0, Mk+w К последовательностям {d,v} и {6,,} применим лемму 3.3 и най дем последовательность {я, } , -и, —> со , для которой а МУ+w Lb ,?>>' TL Ь <*>„ . (ЗЛ2У) Разобъем натуральный ряд (f\| на две части: /\ = {h:I«-4N2|«2N] , IB=IN\/A . В какой-то из этих частей бесконечно много чисел {ttK} ; обозначим через JL ту из них, для которой это верно. Выберем те- перь Нк так, чтобы Нк>(2аУ>) и далее вместо Ик для краткости пишем tV . Нули функции J^ из леммы 2 лежат в В , нули функции h лежат в /А . Пусть | - та из функций |а ,|g нули которой лежат в . Положим и построим функции 1/(2") и ^(н) , как в лемме 3.4. Поскольку -У ItTOOl = 0(|*| ), К-^оо (ЗЛ2) это возможно. По лемме 3.4 %.!.?> (#) . Далее, для функции Jr в любом ее нуле | , ! ^ 4 , справедливо И'Ш1^> (3.13) и затем по вы* полнено бору Пм| при 1 Соотношения (3.12)-(3,14) дадут ШІ і ^С < оо (3.15) WW "^ тшщ ' ^ ^4 > (ЗЛ5„) ГИ"В р в Для функции S 00 ,-«»'*—* S (ew)-Ctf< L [ 4(vH)vr+OM/q)Je . (зле) Так как 00 4 4 .^/-f-J^N 5^'(У^*~Са j' Шг (3.17) то (3.1 ), (ЗЛІ ), (3.16) и (3.17) влекут (3.18) и поэтому из (3.12 ) и (3.18) и того, что by >/\ , получим /\ р а -2р/ц, а ItJ.SoJ ><«„,» =c,IS.„f(, > 2 ^ ^/y>C<L' С3-19) Наконец, (3.15), (#) и (3.19) дадут УЄІ5 П Ед (<*6) : но lh] іф и1'.\л ^"і'ф т.е. пространство L \&Ь) не имеет (р)-свойства, р>2 . В случае і < р < 2 лемма 3.1 не нужна, т.к. в силу 4v^ Д (^)С ^(ёбг'Ни вместо леммы 3.2 в той же конструкции используется следующее утверждение. Лемма 3.2 . Пусть -к < М, < 1 . Тогда I 55 7^^\>а > а>/2' Случай p=i рассматривается, как в [J>QJ. Теорема доказана.Похожие диссертации на Мультипликативные свойства аналитических функций, гладких вплоть до границы
