Содержание к диссертации
Глава I. КОЛИЧЕСТВЕННАЯ МЕРА ІШ0РИСУБГАШОНИЧНОСТИ ПЛЮРИ-СУБГАШОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ I.I. Лапласиан и форма'Леви для плюрисубгармонических
функций 17
1.2. О классах функций РН ,н ,сн . . 29
1.3. Оператор Привалова. Критерий плюригармоничности
непрерывной функции ....... 33
1.4. Неравенство для одного класса плюрисубгармониче
ских функций 38
1.5. Количественная мера плюрисубгармоничности плюри
субгармонических функций 43
Глава И.ОБЬШНЫй КРИТЕРИЙ ГШОРИСУБГАБЮНИЧНОСТИ 5УНКЦИЙ
2.6. Плюригармоничность локально суммируемой функции 50
2.7. Объемный критерий плюрисубгармоничности функций 57
2.8. Оценки формы Леви от гармонической функции 66
2.9. О количественной мере плюрисубгармоничности плю
рисубгармонических функций 73
Глава III.ПЛЮРИГАРМОНИЧНОСТЬ СУшЫ ПОТЕНЦИАЛОВ ДВОЙНОГО И ПРОСТОГО СЛОЕВ 3.10.Плюригармоничность суммы потенциалов двойного и
простого слоев 75
3.II.Сумма потенциалов двойного и простого слоев как
оператор плюригармонического продолжения . . 82
ЛИТЕРАТУРА 87
Введение к работе
Теория плюрисубгармонических функций и их приложения в нас -тоящее время находятся в стадии интенсивного развития [17] ["30] . Тесно связанные с голоморфными функциями многих комплексных переменных ( знаменитая теорема Ока об эквивалентности понятий псевдовыпуклости и голоморфности областей [9] , 14] , теорема Бремермана о функциях Гартокса [і] ), плюрисубгармонические функции входят в класс субгармонических функций. Последние достаточно хорошо изучены [5] , J61, [8] , [її], [Зі] , поэтому возникает возможность применения методов теории субгармонических функций и теории потенциала в комплексном анализе. Однако здесь без отделения классов субгармонических и плюрисубгармонических функ -ций не обойтись. Следовательно, весьма актуальным представляется установление количественных и качественных связей между упомяну -тыми классами функций.Поскольку эта проблема является довольно обширной, мы сформулируем постановку лишь нескольких задач.
I. Установить количественную меру плюрисубгармоничности плюрисубгармонических функций.
Пусть есть форма Леви, заданная на пространстве дважды непрерывно диф ференцируемых функций в области . Для плюрисубгармон ических функций "U
Под количественной мерой плюрисубгармоничности плюрисубгар -монических функций класса CCQ) мы будем понимать сушест - вование такого линейного дифференциального оператора 2-го порядка ХГ і что D (оОСУ 5чР (гтиХ^6*})»""^* для всех плюрисубгармони-ческих функций Т4 класса v_ (^ъ <У
2) (Ргл)С^) ^ ^^PCH-U)C^>^)^^fn хотя бы для одной плгорисубгармонической дважды непрерывно дифференцируемой в пространстве (L функции IX
Аналогичную задачу ставим для произвольных плюрисубгармони -ческих функций.
2. Найти объемный критерий плюрисубгармоничности функций. Для локально суммируемой в (L функции г\ обозначим че рез Oat^O» Рї С*1*) ' соответственно среднее по сфере ^В(*>)=^К(ГП * 1І-ЇІ«] и среднее по шару g> ( - =ЧНС": 1*-21<}
Известно С см., например, Брело [6] ), что полунепрерывная сверху в области ъ 2 функция 1Аф — о субгармонична тогда и только тогда, когда для всех достаточно малых >о
Ставится задача о нахождении аналогичного критерия для плюрисуб -гармонических функций.
3. Определить условия плюригармоничности суммы потенциалов двойного и простого слоев.
Задачи поставлены автором данной работы самостоятельно, ка -ких либо упоминаний о них в математической литературе не обнару -жено.
В диссертации используются методы теории потенциала, много -мерного комплексного анализа. Все полученные результаты являются новыми. Перечислим наиболее важные из них.
I). Установлена количественная мера плюрисубгармоничности плгарисубгармонических функций.
2). Получены необходимые и достаточные условия, связывающие между собой плюригармонические, гармонические и кратногармонические функции.
3). С помощью верхнего и нижнего операторов Привалова дан критерий плюригармоничности непрерывной функции.
4). Даны объемные критерии плюригармоничности и плюрисубгармоничности функций. Как следствия их приведены два критерия плюригармоничности гармонической функции.
5). Установлены оценки формы Леви от гармонической функции. б). Найдены условия плюригармоничности суммы потенциалов двойного и простого слоев.
7). Показано, что сумма потенциалов двойного и простого слоев при некоторых ограничениях на область есть оператор плюригар -ионического продолжения.
По мере получения результаты диссертации обсуждались на се -минаре по теории функций многих комплексных переменных при МОПИ им. Н.К.Крупской, на семинаре профессора Долженко Е.П. ( МГУ им. Ломоносова ). Были сделаны доклады на Всесоюзном симпозиуме по теории аппроксимаций функций в комплексной области ( Уфа, 1980г), в Школе молодых ученых Сибири и Дальнего Востока при Институте математики СО АН СССР ( Новосибирск, 1983 г. ).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [45] - [46] .
Диссертация состоит из введения, 3-х глав. Главы разбиты на II параграфов. Все параграфы имеют двойной номер, из них первый показывает принадлежность параграфа к главе, а второй - порядок встречи его в основном тексте. Теоремы имеют точно такую же ну - мерациго. Диссертация изложена на 91 странице . Библиография содержит 48 наименований отечественной и зарубежной литературы.
Произведем обзор полученных результатов. Для этого введем необходимые обозначения. Q - область в пространстве (Е , П$-2 ; PSH(Q),P|-|(Q),CH(Q),H(Q)- «ответственно, классы плю- ри субгармонических, плюригармонических, кратногарілонических и гармонических функций.
Для локально суммируемой в пространстве ^- функции Ч. и для любого единичного вектора U5 vL : fciVn -^(^1()(7,10) ~ (hn)(^Ct>) - верхний оператор Привалова, fcm -^-(ku)(l>U>) ^(hu) (*>«>) ~ нижний оператор Привалова, (Ьтл)t"2>w) - (n*W) (ХЦ)-(MU/W> - оператор Привалова, liY*\ 4ш^(рД0С2) = (pu)(B) - верхний оператор Бляшке- .->о Є2* п
Привалова U'm Іії1І^.(3гі)С^)-/0"и)С2) - нижний оператор Бляшке- ^"^ ' Привалова, - оператор Бляшке-Привалову (&) І1) — Ч / ^ _ - оператор Лапласа.
Верхний и нижний операторы Бляшке-Привалова рассмотрены в книге Брело М. [б] . Операторы Привалова введены нами.
Содержание главы I составляет установление количественной меры плюрисубгармоничности плюрисубгармонических функций.
