Некоторые структурные свойства сопряженных функций многих переменных Окулов, Валерий Александрович

Введение к работе

Актуальность темы. В диссертации, исследуются некоторые структурные свойства сопряженных в смысле Чезари функций многих переменных в зависимости от частных модулей непрерывности исходной функции.

Пусть М обозначает множество чисел {1,2,..., N}, В — непустое подмножество множества М и \В\ — количество элементов в множестве В. Далее, символом Хд , будем обозначать те точки из НЛ, у которых от нуля могут быть отличны лишь координаты с индексами из множества В, а символом Т — отрезок [—тг, ж].

Если / Є L(T^N), то В-сопряженная функция определяется выражением

^{7в(х) =} ("2^)'^В| / ^{/(Х + 5в)} (Д ^Ctgf^dS}) ' ⁽¹⁾

где интеграл (1) определяется как несобственный в смысле Прин-гсхейма.

Исторически сложилось так, что сначала были получены результаты о свойствах частных модулей непрерывности сопряженных функций многих переменных в пространстве C(T^N). Так Л. Чезари в работе *, в частности, доказал, что если /(х) Є Ыр(а.Т²), О < а < 1, то для В С {1,2} функция J_B(x) Є Ltp(/?,T²) при О < в < а-. Позднее И. Е. Жак ² установил существенность требования 0 < /3 < а в результате Л. Чезари и этим показал, что известная одномерная теорема И. И. Привалова"^3> об инвариантности класса Lip(a, Т) относительно оператора сопряжения уже для случая двух переменных не имеет места?

¹ Cesari 1. SuIIe serie di Fourier deila funzioni Lipshitziani di piu variabili // Ann. Scula Norm.
Sup. di Piza. 1938. V. 7. P. 279-295.

² Жак И.Е. По поводу одной теореыы Л. Чеэаро о сопряженных функциях двух переменных
// ДАН СССР. 1952. Т. 87. 6. С. 877 - 880.

³PrivahffI. Sur les fonctions conjuguees // Bull. Soc. Math. Fr. 1916. V. 44. P. 100 -103.

М. М. Лекишвили⁴ получил окончательные оценки, выясняющие характер нарушения инвариантности класса

. Lip{a,T^N)(0

относительно действия многомерного оператора сопряжения в прот странстве C(T^N).

Б. И. Мусаев и В. В. Салаев ⁵ изучали действие двумерного оператора сопряжения при В = М и, в частности, обобщили результат М. М. Лекишвили для случая функций двух переменных.

ТЕОРЕМА. (Б. И. Мусаев и В. В. Салаев) Пусть N = 2, В = М и класс Ф составляют функции <р(6) определенные на (0, тг] и удовлетворяющие следующим условиям:

1. <р(6) монотонно возрастает;

2. tp{6) -* 0 при 8 -» 0;

3. b~~^l монотонно убывает.

Если фх^гіФіг 2 Є Ф, то для того чтобы оператор J действовал из Н((рі,і Є М. Г²) в Н(Щ,1 Є М,Т²) необходимо и достаточно, чтобы

Z(min(v?i,0(Щ (<5)) Z(min(p_b (р₂)_; х_}6) = 0{тр₂{8)),

2(ш(6,т]);6,т)) =

Jo ]о *"^1г'«(*'*><***< + 6 J' в^_2Г^(e, t)dsdt+

*Лехишвлл* Hf.M. О сопряженных функциях многих переменных в классе Ыра // Матем. заметки 1978. Т. 23. 3. С. 261 - 272

^ЪБ. И. Мусаев, В. В. Салаев О сопряженных функциях многих переменных I // Уч. записки MB и ССО Аз. ССР. Серия физико-матем. наук. 1978. 4.

Б. И. Мусаев, В. В. Салаев О сопряженных функциях многих переменных II // Уч. записки MB и ССО Аз. ССР. Серия фиэии>-матен. наук. 1979. 4. С. 68-80. *

rjf Гs~^lt~²u()i,t)dsdt + r}6 Г l s~²r²u)(s,t)dsdt.

JQ jt] Jb Ji)

Следует отметить, что при доказательстве этой теоремы Б. И. Му-саев и В. В. Салаев существенно использовали двумерность рассматриваемой ситуации, особенно при выводе необходимости. Кроме того, рассматривался только случай сопряжения по обеим переменным, из-за чего не нашел отражения тот факт, что гладкость В-сопряженной функции при действии оператора f_B изменяется по-разному, в зависимости от^ того входил ли индекс переменой в множество В или нет.

Автором получены точные оценки частных модулей непрерывности В-сопряженной функции, обобщающие результаты М. М. Леки-швили, Б. И. Мусаева и В. В. Салаева.

Хорошо известно, что уже в одномерном случае сопряженная к непрерывной функция может оказаться разрывной. Л. К. Панджи-кидзе ^б доказал критерий непрерывности сопряженных функций многих переменных в терминах смешанных модулей непрерывности. Отметим, что ранее теорема Л. К. Панджикидзе была доказана Л. В. Жижиашвили ⁷ при некоторых дополнительных условиях регулярности, наложенных на из в-

Теорема. (Л. К. Панджикидзе) Пусть В = (гі,...,г*) С М, ^wfl(<5r,, - ,<5_Г4) — модуль непрерывности смешанного типа. Тогда для того чтобы для любой функции f Є H(u}g,T^N) сопря- ' женная функция f_B Є C(T^N) необходимо, и достаточно, чтобы

и_в(5_и...,6_к) П -г- < со.
[o,i]^|s| >^{=1 j}

⁶Панджъкъдзе Л. К. Сходимость кратных сопряжённых тригонометрических рядов в пространстве С(№) и непрерывность сопряжённых функций многих переменных // Сообщ. АН ГССР. 1988. Т. 132. 3. С. 481 - 483.

¹ Жижиашвили Л. В. Интегрируемость и непрерывность сопряжённых функций многих переменных // Сообщ. АН ГССР. 1980. Т. 97. 1. С. 17 - 20.

Автор получил критерий непрерывности сопряженных функций многих переменных в терминах частных модулей непрерывности.

Л. В. Жижиашвили ⁸ установил результаты окончательного характера об интегрируемости В-сопряженной функции.

Л. К. Панджикидзе ⁹ доказал критерий интегрируемости сопряженных функций многих переменных в терминах смешанных модулей непрерывности.

М. М. Лекишвили ^{10 1!} исследовал вопрос о зависимости интегральных модулей непрерывности функции / и сопряженных с ней функций в весовых пространствах Лебега.

В пространствах Ь_Р(Т^) при р > 1 зависимость между интегральными модулями непрерывности характеризуется многомерным аналогом теоремы М. Рисса, доказанным К.'Сокол-Соколовс-ким ":

ТЕОРЕМА (К. Сокол-Соколовски). Если функция /(х) Є L_P(T^N) при 1 < р < со, то

117в(х)||_Р<А_р,_|в|||/(х)||_р.

Некоторые свои результаты в пространстве непрерывных функций автор перенес на пространство интегрируемых функций.

Цель работы — исследование структурных свойств сопряженных в смысле Чезари функций многих переменных" в зависимости от частных модулей непрерывности исходной функции.

^s Жижиашвили. Л. В. О некоторых вопросах из теории простых кратных тригонометрических и ортогональных рядов // УМН. 1973. Т.28. 2. С. 65-119.

⁹Панджикидзе Л. К. О сходимости кратных тригонометрических рядов в метрике ЦД¹) и об интегрируемости сопряжённых функция многих переменных // Сообщ. АН ГССР. 1989. Т. 133. 2. С. 265 - 267.

¹⁰ Лекишвили ММ. О сопряженных функциях многих переменных // Сообщ. АН ГССР.
1972. Т. 68. 2. С. 33 - 34.

¹¹ Лехишечли ММ. Обобщенные интегральные модули непрерывности и сопряженные функ
ции многих переменных // Сообщ. All ГССР. 1972. Т. 68. 2. С. 277 - 280.

¹²Sohol-Sbkolowsti К. On trigonometric series conjugate to Fourier series of two variables // Fund. math. 1947. V. 34. P. 166 - 182.

\

Методы исследования. В диссертации используются методы теории функций действительного переменного и многомерного гармонического анализа.

Научная новизна.

4. Доказан критерий непрерывности сопряжённых функций в терминах частных модулей непрерывности исходной функции.

5. В пространстве непрерывных 2тг-периодических функций установлена связь между частными модулями непрерывности исходной функции и её сопряжённых в общем случае. Соответствующими примерами показана точность полученных оценок.

6. Установлены необходимые и достаточные условия для того чтобы характер нарушения инвариантности класса функций с определённым полным модулем непрерывности в пространстве C(T^N) был таким же, как у функций из класса Lip{ct,T^N){Q

7. Приведены оценки частных интегральных модулей непрерывности сопряжённой функции многих переменных. Соответствующими примерами показана точность полученных оценок для сопряжённой функции, частные модули непрерывности которой удовлетворяют условию Липшица.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и может представлять интерес для специалистов в области многомерного гармонического анализа и теории приближений функций многих переменных.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на XXV конференции молодых учёных МГУ в 1993, на 7-ой зимней математической школе по теории функций и приближений в Саратове в 1994 году, на семинаре "Теория ортогональных и тригонометрических рядов" под руководством члена-корреспондента РАН П.Л. Ульянова, проф. М.К. Потапова, проф. М.И. Дьяченко.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертация. Диссертация состоит из трёх глав, включающих в себя 8 параграфов, и списка литературы, содержащего 44 наименования.

Общий объём работы 73 страниц,

Похожие диссертации на Некоторые структурные свойства сопряженных функций многих переменных

Модифицированные характеристики структурных свойств функций и точность аппроксимации Пуеров Георгий Юрьевич

Геометрические свойства функций многих комплексных переменных, голоморфных в областях РейнхартаСултыгов, Магомет Джабраилович

Свойства функций, заданных значениями их линейных функционаловОсколков, Владимир Александрович

Асимптотические свойства функций, заданных рядами экспонентГайсин, Ахтяр Магазович

Свойство локализации функций с классов типа S' и W'Готинчан, Татьяна Ивановна

О граничных свойствах гармонических функцийЛогунов Александр Андреевич

Некоторые свойства соболевских функций на винеровском пространстве и их приложенияШапошников Александр Валерьевич

Мультипликативные свойства аналитических функций, гладких вплоть до границы Широков Николай Алексеевич

Некоторые свойства голоморфных функций счетного множества переменныхЛепский, Александр Евгеньевич

Асимптотические свойства аналитических функций, представленных степенными рядами и рядами ДирихлеСкаскив, Олег Богданович