Содержание к диссертации
Стр.
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА I. О ВЫШГКЯЫХ ФУНКЦИОНАЛАХ, ЗАДАННЫХ В
ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА ................. 16
1«1 Обозначения и постановка задачи 16
1.2 Связь, между F* -и F* 19
1.3 О субдифференцируемости интегральных
функционалов 31
1.4 О. двойственности терминального функ
ционала ... 35
1.5 Об обобщенной задаче Больца 37
1.6 О необходимых и достаточных условиях ми
нимума для дифференциальных включений.. 48
ГЛАВА П. ВЫПУКЛАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ
ЗАДАЛА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 58
2.1 О сопряженных отображениях 58
2.2 Выпуклая.динамическая экстремальная
задача 67
2.3 0 некоторых-необходимых условиях минимума для дифференциальных включений... 77
ГЛАВА Ш. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
ЭКСТРЕМУМА ДЛЯ.НЕГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ И ЕЕ
ПРИЛОЖВНИЯ 84
3.1 Об одном.обобщении.понятия.субдифферен
циала ... 84
3.2 Необходимые и. достаточные условия экстре
мума для негладких функций 96
3.3 В невыпуклом случае о необходимых и дос
таточных, условиях минимума. для. дифферен
циальных включений 100
3.4 Задачи с бесконечным временем 104
ЛИТЕРАТУРА
Введение к работе
Побудительной причиной современного развития общей теории необходимых условий экстремума было создание математической теории оптимального управления, нашедшее свое первое законченное изложение в монографии ее создателей Л.С.Понтрягина, В.Г.Болтянского, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко [47].
В настоящее время получено много общих схем получения необходимых условий экстремума. Различные общие схемы получения необходимых условий экстремума были развиты В.Г.Болтянским [в], Р.В.Гамкрелидзе и Л.В.Харатишвили[ю], А.Я.Дубовицким и А.А.Милютиным [20], Л.Нойштадтом [4б] и др.
В этой работе исследуется двойственность и субдифференци-руемость выпуклого функционала, заданного на пространстве Соболева, изучаются некоторые свойства выпуклых многозначных отображений, получены необходимые и достаточные условия экстремума для негладких функций. Полученные результаты применяются в экстремальных задачах для дифференциальных включений.
Экстремальные задачи для дифференциальных включений позволяют охватить многие из рассмотренных задач оптимального управления. Для этих задач получены глубокие результаты Б.Н.Пшеничным [51,53] и Ф.Кларком [28,31] .Эти задачи также рассмотрены в работах В.В.Вереснева [4], В.И.Благодатских[5,б] , В.Г.Болтянского [в] , Р.П.Федоренко [бв] и др.
Основания общей теории выпуклых множеств и функций были заложены в начале века главным образом Минковским [41,42]. Теория выпуклых функций и множеств подробно описана в многочисленных публикациях. Сошлемся на книги Е.Г.Гольштейна[і2], А.Д.Йоффе и
В.М.Тихомирова[2б], Р.Т.Рокафеллара[57], Б.Н.Пшеничного[53] .
Пусть X - вещественное локально-выпуклое отделимое про странство, X - топологическое сопряженное пространство и выпуклая функция на X с0 значениями в (т.е. ве- щественная прямая с присоединенной точкой + ).
Преобразованием Юнга-Фенхеля функции -Г или функцией сопряженной с X. , называется функция на X t определенная равенством
Понятие выпуклой сопряженной функции восходит к Фенхелю [б9,70] . Первоначально Фенхель изучал лишь конечные функции, определенные на подмножествах. Моро стал изучать функции, принимающие бесконечные значения и определенные на всем пространстве.
Субдифференциалом функции -С в точке XVA называется множество
Начиная с работ МороГ43,44І и ДЗубовицкого-Милютина [20J, в которых субдифференциалы впервые стали объектом систематического изучения, эта тематика интенсивно разрабатывалась многими авторами. Многие работы Рокафеллара (см.напр.[54,55,58]) посвящены субдифференцируемости выпуклых функций. Субдифференциру-емость и двойственность выпуклых функций хорошо отражены в монографиях Р.Т.Рокафеллара[57], А.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова[2б] , И.Экланда и Р.Темама[2Г], Б.Н.Пшеничного[53] . О субдифференци- руемости выпуклых функций и операторов посвящены также работы [22,23, 34-37] и др.
Субдифференциалы играют важную роль в теории экстремальных задач; с их помощью наиболее естественно формулируются необходимые условия экстремума (Дубовицкий и Милютин[20j, Пшеничный [48] и др.). Различные вопросы выпуклого программирования, в частности необходимые условия экстремума, содержатся в книгах В.М.Алексеева, В.М.Тихомирова и С.В.Фомина[і], И.В.Гирсанова[іі] Е.Г.Гольштейна[і2], В.Ф.Демьянова и Л.В.Васильева[іб], А.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова[2б], Б.Н.Пшеничного[5з], Р.Т.Рокафеллара[57] и др. Много места проблемам двойственности в выпуклом программировании уделено в книгах: Е.Г.Гольштейна[і2], Р.Т.Рокафеллара[57] и в статье А.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова[25] .
Интенсивному исследованию были подвергнуты интегральные выпуклые функционалы, часто встречающиеся в бесконечномерных экстремальных задачах, в частности, в стохастических. Интегральный выпуклый функционал в пространстве исследован в статье Рокафеллара[55,58,59] и в статье А.Д.Иоффе и В.Л.Левина[24], также в книгах И.Экланд и Р.Темана[2і], А.Д. Иоффе: и В.М.Тихомирова[2б] и др.
Известно, что пространства Соболева \)СрД0Л*] (см.[бз]) представляют более теоретический интерес. В І.2-І.4 изучены двойственности и субдифференцируемости выпуклых функционалов в пространстве \{/ Го,Т).
Пусть F-^[o,T]—»R и E=fl/omF=|x^[o,T]:F(x><*~^0.
Естественным образом определим сопряженную функцию F (Я*) на , положив - 6.- и определим функцию на /_, [о,ТІ следующим образом F*(uoi) -ьиРІ J(ac(o|^(t))fl(t -F(oc)\ 'г- О ' эсеЕ
В 1.2 установлена связь между \- та. Fo . В 1.3 изучена субдифференцируемость интегрального функционала заданного на пространстве ^[о,Т] , где - выпуклый ин-тегрант на [ОД] X R\
В 1.4 в пространстве V^^O^T] рассматривается функционал вида 3(#) = ^(W)7#(t)), где W - выпуклая функция на R^xR*1 и доказывается, что когда 3(#*) конечен*
В Г.5 рассматривается задача минимизации функционала 1 о в классе абсолютно непрерывных функций X:[o,TJ—>R , т.е.
0СПЩ*[о,Т], где »
Эта задача называется обобщенной задачей Больна[31,56] .
Эта задача, когда (Р и і - выпуклы, рассмотрены Рокфеллером (см.напр.[5б]). Невыпуклый случай рассмотрен Кларком (см. напр.[зі]).
В 1.5 рассматривается выпуклый случай. В отличии от названных авторов в данной работе рассматривается возмущенная задача. Возмущенные задачи в общем виде рассмотрены в книгах Эк-ланда и Темама[2і], Иоффе и Тихомирова [2б] и др.
В других предположениях 1.5 получены необходимые и достаточные условия для выпуклой обобщенной задачи Больца в виде принципа максимума. Для доказательства существенно используются результаты, полученные в 1.3 и 1.4.
В книге И.Экланда и Р.Темама[2і] приводится интересная теорема 1.6.2, при помощи которой удается охарактеризовать точки, близкие к экстремальным. В 1.5 эта теорема применяется к обобщенной задаче Больца.
В 1.6 результаты 1.5 применяются к следующей задаче.
Требуется найти необходимые и достаточные условия для решения включения ХШ Oi(t,X(t)) , где Оі^О^х^1—*Z которое среди всех решений включения ЭС(t)#(-?#()) » удовлетворяющих условию Х(о) JU , минимизирует функционал
1 -f (t,*6t))fl/t + lf(x(T)) -
В 1.6 получены некоторые результаты, относящиеся к самому дифференциальному включению.
Многозначные отображения стали в последние годы предметом интенсивного изучения. Различные аналитические свойства многозначных отображений и их связь с теорией оптимизации рассмотрены в книгах Дж.Варга[9], А.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова[2б], Б.Н. Пшеничного[53]. Там же имеются ссылки на многочисленные работы французских математиков, посвященные этим вопросам, в частности, на работы Валадье и Кастена. В связи с теорией экономических моделей многозначные отображения и связанные с ними экстремальные задачи исследовались в книгах В.Л.Макарова и А.М.Рубинова[39], А.М.Рубинова[бі] . В статье А.М.Рубинова[бо] рассмотрена связь многозначных отображений с различными вопросами функционального анализа.
Рассмотрим банаховы пространства У и X? и К0НУС *~ (т.е. коническое выпуклое множество), лежащие в декартовом произведении X х X Пусть К и |^ - конусы в пространствах. X, и X?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.I.I. Конус X . лежащий в произведении Х/Хг назовем двойственным к X (по отношению к паре конусов К4 К,) —~*Z - многозначное суперлинейное отображение, т.е. графиком^которого является конус Z , то отображение OL : д —> 2 i графиком которого является /, , называется двойственным к 0L (по отношению к паре Ц Ц. }, обратное к (X отображение (Л ) называется сопряженным к PL ж обозначается символом ОС
В случае, когда Ы={о} К={4 то получаем определение сопряженного отображения данное в книге Пшеничного[бз].
В книге Рубинова[б1 ] двойственный к % конус 2 (по отношению к паре К К ) определяется следующим образом
Для наших целей определение 2.I.I более удобно. Несколько другим образом определено отображение, сопряжен- ное к суперлинейному отображению в конечномерных пространствах, для случая, когда конусы f{ и |«( состоят лишь из нуля и подробно изучено Рокафелларом в [57].
Локальный вариант двойственности многозначных отображений, ориентированный на применение к теории экстремальных задач, в весьма общей ситуации изучался В.В.Бересневым[з] и Б.Н.Пшенич-ным [50,53] .
Из определения 2.1.1 сопряженного отображения следует, что справедливы следующие соотношения: sitpjf (ж) :xta1[3))*inf {?(«): jea'(f)} (f *К* ,9^й(Х4))-
В 2.1 доказано, когда здесь удовлетворяется равенство. Доказаны также леммы о сопряженности и двойственности композиции многозначных суперлинейных отображений. Далее, в 2.1 определено и изучено локально сопряженное отображение в точке к вогнутому отображению 0L (т.е. йгОі - выпукло) относительно пары конусов (/"ц К А .
В книге А.М.Рубинова[бі] определены динамические семейства отображений (д.с.о.), с помощью которых изучалась выщгклая динамическая экстремальная задача с терминальным линейным целевым функционалом.
Сформулируем некоторые факты данных этой книги.
Пусть задано множество fc вещественных чисел, содержащее свой наименьший элемент, равный нулю, и наибольший элемент Т>0-Рассмотрим семейство л.в.п. (Xt).&p и семейство отображений ^rt)(t±E t>±) * где ^tt'^t—*^ * В дальнейшем вместо (aTt)(Tt^Ft>tY BPaTK00TZ РВД"» будем писать (^Т{)Е .
Семейство (Ят^.)_ называется динамическим семейством отображений (д.с.о.), если ^0T-^o+^tT Для всех: e^t^teE D>t>t-Семейство Х=(^+ ). , ^называется траекторией д.с,о. (&~Лг-, если Xr
В 2.2 рассматривается следующая задача.
ЗАДАЧА А. Пусть (^tt)c "* ДвС»« причем отображения Of, 'X — 2 т вогнуты. Пусть, далее IP: Х«Г""» R выпуклый функ-.Zjt t I т - пионал, множество "JС л0 и выпукло. Требуется найти необходимые и достаточные условия для траектории Х-(яЛ семейства (а \ которая среди всех траекторий (#t\ .р , удовлетворяющих условию
ЭСС~| минимизирует величину tP(0CTV
Для решения этой задачи используются следующие определения характеристик.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2.1. Пусть X=(#t) - траектория д.с.о. (^r-fcV * Семейство Ф-(-(<.) гдеГ^Х называется харак- теристикой траектории (^.)tep» если при всех tjt^E , V >t ?XtzdomOL Ц^Оі (Х) выполняется неравенство
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2.3. Если |о^Л^ где К (Ф= Сом(^-) то семейство Ст+ )t-E 7&овлетворяющре условию определения 2.2.1, называется характеристикой траектории (^). 6Ротносительно множества "7 (далее для краткости назовем ~? - характеристикой) .
Виды изменений определения 2.2.1 имеются в книгах[39 , 6ІІ - II. -
Определение 2.2.3 новое.
В 2.2, используя понятие характеристики, приводятся необходимые и достаточные условия для выпуклых-динамических экстремальных задач.
Пусть X банахово пространство. Решением включения DC(t) &(і?Ж(і))назнвается сильно абсолютно непрерывная функция Я:[>Т1—*Х. сильная производная X(t) которой почти всюду на [)Т] удовлетворяет XC±)(:0i(tX(t% Термин "сильная производная" означает, что предел разностного отношения в определении производной берется в топологии пространства X .
В 2.3 рассматривается следующая задача.
ЗАДАЧА В. Требуется найти необходимые условия для траектории включения X(t)$(t?0C(t)) которая среди всех траекторий X(t) , удовлетворяющих условию ЭС(о)б~|, минимизирует где Q - выпуклая функция, 7 - выпуклое множество.
В 2.3, используя из 2.1 и 2.2,для задачи В получены необходимые условия в виде теоремы о характеристике. Показано также, что при некоторых предположениях условие экстремума, полученное в терминах характеристики, можно сформулировать в виде принципа максимума.
Недифференцируемые функции прочно вошли в обиход современного анализа и их свойства широко используются в необходимых условиях экстремума.
Проблема минимизации недифференцируемых функций привлекает исследователей тем, что большинство встречающихся в природе функций негладкие. Экстремальные задачи с недифференцируемыми функциями встречаются во множестве важных приложений, например, при решении задач игрового типа, надежности, управления запаса- ми, резервирования, в перспективном планировании экономических систем с учетом случайного разброса параметров.
Основная трудность при минимизации негладких функций связана с отсутствием градиентов функции цели и функций ограничений задачи, вследствие чего невозможно определить направление убывания функции.
Обзорная статья А.Г.Кусраева и С.С.Кутателадзе[зз] содержит большой список литературы, посвященной негладкому анализу.
Свойства негладких: функций применительно к экстремальным задачам изучались в работах А.М.Гупала[іЗ,І4І, В.Ф. Демьянова и Л.В.Васильева[іб], В.Ф.Демьянова и А.М.Рубинова[і9І, А.Я.Дубо-вицкого и А.А.Милютина[20], А.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова [261, Ф.Кларка[28-31], Е.С.Левитана, А.А.Милютина и Н.П.Осмоловского [38^, Б.Н.Пшеничного [49,52,5з] , Н.З.Шора[73,74] и др.
В книге Б.Н.Пшеничного[49^ определены квазидифференцируемые функции. Эта первая работа, в которой определена субдифференци-руемость для широкого класса функций, чем класс-выпуклые функции. Недавно это понятие удачно обобщено В.Ф.Демьяновым, Л.Н. Поляковой и А.М.Рубиновнм[і7 J .
В ряде работ (в частности, см. [29]) Ф.Кларк ввел понятие субдифференциала для локально липшицевой в банаховом пространстве X Функции (Х\ Согласно работам Кларка[29] для такой функции существует F0(3CO)X)= Urn hu^ —І lt-*o jUo Я и г^(^*«^) положительно-однородная, выпуклая, непрерывная по X в нуле функция. Множество 1F0(#<>^называется субдифференциалом - ІЗ -
Кларка функции -f(x) в точке Х0 .
Первые необходимые условия в оптимальном управлении без предположений дифференцируемости или выпуклости были получены Кларком [28І в его докторской диссертации в 1973г. Кларком получены также необходимые условия экстремума для негладких дифференциальных включений (см.напр.[3IJ).
В работе Б.Н.Пшеничного[2] введено понятие верхней выпуклой аппроксимации (в дальнейшем в.в.а): и весьма для широкого класса функций определена субдифференцируемость. Используя это, получены необходимые и достаточные условия экстремума для негладких функций и необходимое условие экстремума для негладких дифференциальных: включений. в[40] также введено понятие в.в.а., однако данное Пшеничным понятие в.в.а. более общее.
В 3.1 дано определение внутренней, главной внутренней, локально главной внутренней, внешней и главно внешней выпуклой аппроксимации. Определена также внутренняя и внешняя вогнутая аппроксимация. Используя эти понятия, определен внутренний и внешний с^бдифференциал (суперсубдифференциалЬ
В 3.2, используя эти определения, подучены необходимые и достаточные условия экстремума для негладких функций.
В 3.3 при помощи этих понятий получены необходимые и достаточные условия экстремума для невыпуклых дифференциальных включений.
В 3.4 рассмотрена бесконечная временная экстремальная задача для дифференциальных: включений.
В работе получены следующие новые результаты: - изучены свойства функционала, сопряженного к функциона- - 14 -лу, заданному на пространстве Соболева н4л,Т| ; - . . , 'v- - . -- - изучена субдифференцируемость интегрального функционала, заданного на пространстве W л [о Т] ; її / j получены необходимые и достаточные условия экстремума для обобщенной задачи Больца; получено необходимое и достаточное условие экстремума для вогнутых дифференциальных включений с критериями Больца в виде принципа максимума; исследована двойственность многозначных суперлинейных отображений; получены необходимые и достаточные условия для выпуклых динамических экстремальных задач; получены необходимые условия экстремума для вогнутых дифференциальных включений с терминальными критериями в виде теоремы о характеристике; сравнено экстремальное условие, полученное в виде принципа максимума и в виде характеристики для дифференциального включения; определена внутренняя и внешняя выпуклая аппроксимация; определен внутренний и внешний субдифференциал; получены необходимые и достаточные условия экстремума для негладких функций и невыпуклых дифференциальных включений; изучена бесконечная временная экстремальная задача для дифференциальных включений; получены некоторые результаты, относящиеся к самому дифференциальному включению.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [75-79] и докладывались на общеинститутском семинаре МММ АН Азерб.ССР, руководимом акад.АН Азерб.ССР Ф.Г.Максудовым, на семинарах отдела операторно-дифференциальных уравнений МММ АН Азерб.ССР, на семинарах отдела технико-экономических исследований СКБ при ИММ АН Азерб.ССР, на республиканской конференции молодых ученых по математике и механике, посвященной 60-летию образования СССР.
В заключение выражаю глубокую благодарность акад.АН Азерб. ССР Ф.Г.Максудову и старшему научному сотруднику А.М.Рубинову, под руководством которых выполнена настоящая работа.
![Синтез, строение и химические свойства соединений включения комплексов металлов в кукурбит[8]урил](/i/i/4590/294358.png "Синтез, строение и химические свойства соединений включения комплексов металлов в кукурбит[8]урил Митькина Татьяна Валентиновна")
