Введение к работе
Актуальность темы исследования. Дифференциальные включения - один из наиболее интенсивно развиваемых в настоящее время разделов теории дифференциальных уравнений. В форме дифференциальных включений можно представить дифференциальные неравенства, неявные дифференциальные уравнения, задачи теории управления, дифференциальных игр, математической экономики.
Дифференциальные включения можно рассматривать как обобщение дифференциальных уравнений на случай, когда правая часть многозначна. Если же производную в точке заменить на оператор дифференцирования, а правую часть дифференциального включения заменить оператором Немыцкого, порожденным этой правой частью или другим оператором, действующим в пространство суммируемых функций, то от обыкновенного дифференциального включения перейдем к функционально-дифференциальному включению. К функционально-дифференциальным включениям сводятся многие задачи теории управления и теории игр, если учитывать, например, что скорость воздействия на объект регулирования является не мгновенной, а происходит с запаздыванием1. Отметим, что значения оператора Немыцкого обладают свойством выпуклости по переключению значений (разложимостью) в пространстве суммируемых функций.
Если отказаться от требования выпуклости по переключению значений многозначного отображения, то все существующие в настоящее время методы исследований многозначных отображений нельзя применить даже для изучения вопроса разрешимости включения. Кроме того, в этом случае нарушится равенство между множествами квазирешений включения и "овыпукленного" включения, впервые установленное Т. Важевским для обыкновенных дифференциальных включений2. Вследствие этого не будут выполняться фундаментальные свойства множеств решений: прин-
1 Kamenskii М. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii and P. Zecca. — De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl. 7, Berlin-New York, 2001. - 233 с
1 Финогенко И.А. О скользящих режимах регулируемых разрывных систем с последействием /И.А. Финогенко // Известия РАН. Серия: Теория и системы управления. — 2004. - № 4. - С. 19-26.
2Wa,zevj.ski A. Sur une generalisation de la notion des solutions d'une equation au contingent / A. Wazewski// Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Math., Astr., Phys.. - 1962. -V.10. - №1. - P.ll-15.
цип плотности и "бэнг-бэнг" принцип (см., например, работы А.И. Булгакова3, A. Bressan4). Выходом из этой ситуации, как показано в диссертации, служит введение понятия обобщенного решения функционально-дифференциального включения.
В случае, когда физические законы выражаются разрывными функциями (разрывная зависимость силы трения от скорости в случае сухого трения5, модель Прагера - Ишлинского упруго-пластического элемента6) или, когда в связи с отказом тех или иных приборов и устройств объекты мгновенно "перескакивают" с одной фазовой траектории на другую, в качестве математической модели можно использовать функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями нашли приложения в теории автоматического управления7, в теории автоколебательных систем, в экономических моделях долгосрочного прогнозирования, в задачах биологии, медицины, социологии, во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно увеличивается.
В диссертации рассматривается задача Коши для функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями в наиболее сложной для исследования ситуации, когда многозначное отображение не обладает свойством выпуклости по переключению значений. В связи с многочисленными приложениями и важным теоретическим значением, изучение разрешимости, исследование свойств множества решений данной задачи Коши является актуальным.
Работа выполнена в рамках проектов Na 09-01-97503, Na 11-01-00645 Российского фонда фундаментаьлных исследований, а также в рамках проек-
3Булгаков AM. Функционально-дифференциальные включения с невыпуклой правой частью/А. И. Булгаков //Дифференциальные уравнения. —1990— Т. 26 — №11.-С. 1872-1878.
^Bressan A. On a bang-bang principle for nonlinear systems / A. Bressan// Boll. Unione Math. Italiana, suppl..- 1980.- V. 1. - P. 53-59.
5 Железцов H.A. Метод точечного преобразования и задача о вынужденных коле
баниях осциллятора с "комбинированным"трением. / Н.А. Железцов// ПММ. — 1949.—
Т. 13. - № 1. - С. 3-40.
6 Забрейко П.П. Осциллятор на упруго-пластическом элементе. / П.П. Забрейко,
М.А. Красносельский, Е.Л. Лифшиц// ДАН СССР. - 1970. - Т. 190. - № 2. - С. 266-268.
7Завалищин С. Т. Импульсные процессы. Модели и приложения. / СТ. Завалищин, А. Н. Сесекин. - М.: Наука, 1991. - 255 с.
7Arutyunov A.V. On constrained impulsive control problems/ A.V. Arutyunov, D.Y. Ka-ramzin,F.L.Pereira// Journal of Mathematical Sciences. - 2010. - T. 165. - №6. - С 654-688.
тов Минобрнауки РФ: АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)" (проект № 2.1.1/9359), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы" (ГК Na П688).
Объект исследования. В диссертации исследуется задача Коши для функционально-дифференциального включения с вольтерровым по А.Н. Тихонову многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений в пространстве суммируемых функций, и с импульсными воздействиями.
Цель диссертационной работы состоит в разработке методов и получении результатов общей теории функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями и многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений в пространстве суммируемых функций. Основные задачи состоят в нахождении условий разрешимости данных включений, построении оценок обобщенных решений и применении полученных результатов к исследованию системы управления с фазовыми ограничениями по управлению, запаздыванием и импульсными воздействиями.
Методика исследования. Основным инструментом исследования являются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и включений, теории функционально-дифференциальных уравнений, функционального анализа, математической теории управления.
Научная новизна. Результаты работы являются новыми и состоят в следующем:
-
для задачи Коши функционально-дифференциального включения с вольтерровым по А.Н. Тихонову многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений, и с импульсными воздействиями введено понятие обобщенного решения; изучены вопросы существования и продолжаемости обобщенных решений;
-
введены понятия почти реализации и реализации множеством обобщенных решений задачи Коши расстояния до произвольной суммируемой функции; доказано, что если множество всех локальных обобщенных решений априорно ограничено, то оно почти реализует, а в случае выпуклознач-ной правой части - реализует расстояние до любой суммируемой функции;
-
с помощью свойства почти реализации и реализации множеством обобщенных решений расстояния до произвольной суммируемой функции найдены новые оценки обобщенных решений задачи Коши импульсного
функционально-дифференциального включения;
-
доказан обобщенный принцип плотности для функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями, правая часть которого не обладает свойством выпуклости по переключению значений;
-
на основании полученных результатов исследования импульсного функционально-дифференциального включения с невыпуклой по переключению правой частью изучена управляемая импульсная система с запаздыванием, имеющая фазовые ограничения по управлению и содержащая параметр; для такой управляемой системы:
а) доказано, что если в заданной точке параметра система априорно
ограничена, то она априорно ограничена при всех значениях параметра
из некоторой окрестности этой точки;
б) получены оценки фазовых траекторий;
в) установлена непрерывная зависимость фазовых траекторий от
параметров и начальных условий.
Теоретическая и практическая значимость. Предложенные в диссертации понятия и разработанные методы применяются в исследованиях задач управления, краевых задач, проблем устойчивости для различных типов функционально-дифференциальных включений. Полученные результаты могут использоваться для анализа конкретных систем оптимального управления, решения задач управления гибридными системами.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научной конференции-семинаре "Теория управления и математическое моделирование", посвященной памяти Н.В. Азбелева (Ижевск, 2008г.), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина "Дифференциальные уравнения и топология" (Москва, 2008г.), на международной конференции, посвященной 70-летию В.А. Садовничего "Современные проблемы математики, механики и их приложения" (Москва, 2009г.), на XI и XII международных конференциях "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"имени Пятницкого (Москва, 2010г., 2012г.), на 46 и 47 школах-конференциях "Современные проблемы математики" (Екатеринбург, 2011г., 2012г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 110-летию И.Г. Петровского (Москва, 2011г.), на международной конференции "ISAAC 2011" (Москва, 2011г.), на Всероссийской конференции "Математическая теория управления и математиче-
ское моделирование" (Ижевск, 2012г.), на V международной конференции "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования" (Воронеж;, 2012г.), на международной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения-Ш" (Ростов-на-Дону, 2013г.), на международных конференциях "Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения" (Тамбов, 2007, 2009, 2011, 2013гг.), на конференциях "Державинские чтения" (Тамбов, 2007-2013гг.), на семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям и включениям
под руководством профессора А.И. Булгакова (Тамбов, 2007-2013гг.), на
семинаре по нелинейному анализу под руководством профессора В.В. Обу-ховского и доцента Б.Д. Гельмана (Воронеж;, 2013г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12]. Работы [1-6, 8, 9, 12] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Ми-нобрнауки РФ. Из совместных работ [1, 2, 4-6] в диссертацию включены результаты принадлежащие лично автору.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, двух глав, разбитых на параграфы и списка литературы, содержащего 102 наименования. Объем работы составляет 130 страниц.
