Содержание к диссертации
Введение
Глава I. О псевдокомпактных отображениях . 27-63
п.1. Об о-псевдокомпактных отображениях. 27
п.2. Соотношения между свойствами, входящими в одну о-группу . 29
п.З. Связь между о-группами свойств. 30
п.4. Вторая серия определений. 34
п.5. Третья серия определений. 37
п.6. Эквивалентность второй и третьей серий определений для отображения f-.x->Y. 41
п.7. Совпадение первой и третьей серий определений для отображений вполне регулярных пространств. 44
п.8. Эквивалентность сформулированных определений псевдокомпактности в случае, когда пространство Y вполне регулярно . 45
п.9. Эквивалентность определений псевдоком пактности отображений в случае их z-замкнутости. 47
п. 10. Свойства о-псевдокомпактных и псевдокомпактных отображений. 51
п.11. о-псевдокомпактность произведения замкнутого о-псевдокомпактного и бикомпактного открытого отображения 56
п. 12. Примеры псевдокомпактных отображений. 57
п. 12.1. Проекции произведений параллельно псевдокомпактным пространствам. 58
п. 12.2. Канонические отображения пространств с действием псевдокомпактных групп на пространства орбит. 61
Глава II. О счетно компактных отображениях . 65-84
п. 13. Счетно компактные отображения. 65
п. 14. Соотношения между определениями счетной компактности отображения. 67
п. 15. Критерии счетной компактности отображения . 71
п. 16. Свойства счетно компактного отображения 78
п. 17. Некоторые случаи счетной компактности отображений. 79
п. 18. Связь счетной компактности и псевдо компактности отображений. 81
Глава III. О т-псевдокомпактных отображениях 85-104
п.1. т-псевдокомпактные и т-компактные отображения 85
п.2. Относительно т-псевдокомпактные отображения. 86
п.З. с-т-ограниченные отображения 88
п.4. Мультипликативность с-т-ограниченности отображений 91
п.5. Решетки непрерывных морфизмов на отображениях 91
п.6 Теоремы о мультипликативности относительно х-псевдокомпактных отображений 93
п.7. Следствия теоремы о мультипликативности х-псевдокомпактности для пространств 99
п.7.1. с-х-ограниченные пространства 99
п.7.2. с-ю-ограниченные пространства 101
Литература. 105-108
- Соотношения между свойствами, входящими в одну о-группу
- Эквивалентность сформулированных определений псевдокомпактности в случае, когда пространство Y вполне регулярно
- Критерии счетной компактности отображения
- Мультипликативность с-т-ограниченности отображений
Введение к работе
Непрерывные отображения топологических пространств можно естественным образом рассматривать как обобщение понятия топологического пространства, отождествляя топологическое пространство х с постоянным отображением с.х - {•}.
Многие понятия и результаты, определенные и верные в классе топологических пространств, имеют аналоги в классе непрерывных отображений. На класс непрерывных отображений был распространены аксиомы отделимости [6], определено понятие базы отображения [6], веса отображения [6]; различным образом определялась также размерность отображения [1,6] и т.д. [3,5,6]
Возникают задачи распространения теории топологических пространств на отображения.
Существует класс отображений, выполняющих во многих случаях роль бикомпактов в классе непрерывных отображений - это совершенные отображения.
В данной работе рассмотрено обобщение на случай отображений класса псевдокомпактных пространств и связанных с ними свойств пространств.
Данная работа состоит из 3 глав и посвящена распространению на непрерывные отображения связанных с псевдокомпактностью свойств топологических пространств.
В первой главе рассмотрены варианты определения псевдокомпактности отображения f:X- Y. 1.0. Первая о-группа определений. (0.1.1.) Для любого открытого в Y множества о и любой точки уеО Существует ОКреСТНОСТЬ Оу ТОЧКИ у Такая, ЧТО OyczO VI для лю бой локально конечной и открытой в [/ 0у] , системы я имеем Я со . (0.1.2.) Для любого открытого в Y множества о и любой точки уєО существует окрестность Оу этой точки такая, что ОусО и для любой локально конечной и открытой в /чо системы я имеем \Sttf-lOy,X)\ a . (0.1.3.) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уєО и любой локально конечной и открытой в /_10 системы я существует окрестность Оу точки jv такая, что Oy zO и 1st{f lOy,X) «. 2.0. Вторая о-группа определений. Эта группа определений аналогична первой группе с заменой о на Y. (0.2.1.) Для любой точки УеУ существует ее окрестность Оу такая, что для любой локально конечной и открытой в [f xOy] „ сие л. темы я имеем \Я\ 0). (0.2.2.) Для любой точки yeY существует ее окрестность Оу такая, что для любой локально конечной и открытой в х системы я имеем St{f xOy,X) \ со. (0.2.3.) Для любой точки у &Y и любой локально конечной и открытой в х системы X существует окрестность Оу точки у такая, что \&{Г Оу,Я)\ со. З.о. Третья о-группа определений. (Она получается из первой группы заменой о на у, Оу на Г1 у). (0.3.1.) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО Существует ОКреСТНОСТЬ Оу ТОЧКИ у Такая, ЧТО Oy zO и для любой локально конечной и открытой в [/" см , системы я имеем \St{f-xy,X)\ co. (0.3.2.) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО \л любой локально конечной и открытой в flo системы я имеем \St(fxy,X)\«o. (0.3.3)=(0.3.2). 4.0. Четвертая о-группа определений. (Она получается из первой группы заменой о на Y, Оу на Г1 у). (0.4.1.) ДЛЯ ЛЮбОЙ ТОЧКИ yeY Существует ЄЄ 0фЄСТН0СТЬ Оу такая, что для любой локально конечной и открытой в [f lOy]x системы Я ИМееМ \St{f xy )\ 0). (0.4.2.) Для любой точки у eY и любой локально конечной и открытой В X СИСТеМЫ Я Имеем \St{J xytX)\ eo. (0.4.3) = (0.4.2). Определение 1. Непрерывное отображение f-.x-+ Y назовем о-псевдокомпактным, если оно удовлетворяет условию (0.1.3.). Рассмотрена также взаимосвязь между различными определениями о-псевдокомпактности отображения. Связи между различными определениями отражены в следующей диаграмме: f\X- Y Y - регулярно Рис. 1 Б.А. Пасынковым было предложено заменить в определениях пункта 1 открытые локально конечные системы на функционально открытые локально конечные системы. В результате была получена вторая серия определений и в пункте 4 главы 1 рассмотрены связи между fo-псевдокомпактными (=псевдокомпактными) отображениями (аналогичные отображенным на рис. 1).
В пункте 5 главы 1 рассмотрены варианты определений, связанные с непрерывными функциями на трубках, - , f-псевдокомпактные отображения.
Далее рассмотрена взаимосвязь между о-псевдокомпактными, псевдокомпактными и f-псевдокомпактными отображениями: в частности, •псевдокомпактность и fo-псевдокомпактность отображения f-.x- Y совпадают, • если пространство х вполне регулярно, то псевдокомпактность и о-псевдокомпактность отображения f-.x- Y совпадают.
В пункте 9 главы 1 сформулирована следующая теорема:
Теорема 1. Пусть f-.x -Y - отображение вполне регулярных пространств х v\ Y. Тогда следующие условия эквивалентны.
а) отображение f-.x- Y псевдокомпактно (f.1.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО \л любой непрерывной функции p:flo R существует окрестность Oy zO точки у такая, что функция 9».,_ ограничена.
/ °у
в) отображение f-.x-±Y о-псевдокомпактно (о. 1.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО \л любой локально конечной и открытой в /- о системы я существует окрестность Оу ТОЧКИ у такая, ЧТО Оу с О И \St(f ]Oy,A)\ co.
c) отображение f-.x -Y удовлетворяет условию (f.2.3): для любой точки yeY и любой непрерывной функции p-.x-+R сущест- вует окрестность Оу точки у такая, что функция q \ , ограничена. / °У
d) отображение f-.x- Y удовлетворяет условию (о.2.3): для любой точки yeY \л любой локально конечной и открытой в х системы Я Существует ОКреСТНОСТЬ Оу ТОЧКИ у Такая, ЧТО &(/ 0у,А) й .
Более того, если отображение f-.x-+Y z-замкнуто, то эквивалентны следующие условия:
а) отображение f:X- Y псевдокомпактно;
e) отображение f-.x- Y удовлетворяет условию (f.3.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО любая непрерывная на /- о функция ограничена на f xy.
f) отображение f-.x- Y удовлетворяет условию (о.3.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой локально конечной и открытой в /_1о системы л имеем -и фГя ®бРажение f:X- Y удовлетворяет условию (f.4.3): для любой точки y&Y любая непрерывная на х функция ограничена на
п) отображение f-.x- Y удовлетворяет условию (0.4.3): для любой точки yeY \л любой локально конечной и открытой в х системы Л Имеем St(f ly,A) со .
В пункте 10 главы 1 рассматриваются некоторые свойства псевдокомпактных и о-псевдокомпактных отображений, аналогичные соответствующим свойствам псевдокомпактных пространств.
Предложение 1. Бикомпактное отображение о-псевдокомпактно.
Следствиеі. В случае вполне регулярного х бикомпактное отображение /:Х- 7 является псевдокомпактным.
Определение 1. ( Б.А. Пасынков). Отображение f-.x Y (функционально) паракомпактно, если для любого открытого в Y множества о, любой точки у є о и любого (функционально) открытого покрытия л трубки /_1о существует окрестность Оу точки у такая, что в покрытие л можно вписать (функционально) открытое локально конечное покрытие трубки f ]Oy.
Теорема 1. о-псевдокомпактное замкнутое паракомпактное отображение бикомпактно.
Предложение 1. Псевдокомпактное замкнутое функционально паракомпактное отображение бикомпактно.
Теорема 2. Непрерывный образ о-псевдокомпактного отображения о-псевдокомпактен.
Предложение 2. Непрерывный образ псевдокомпактного отображения псевдокомпактен.
Теорема 3. Пусть отображение f-.x- Y о-псевдокомпактно, и для некоторого открытого в Y множества о множество в канонически замкнуто в трубке /_,о. Тогда отображение fB=j\B:B- Y о псевдокомпактно.
Следствие. В случае, когда пространство х вполне регулярно, теорема 3 верна для псевдокомпактного отображения f-.x-+ Y.
Теорема 4. Пусть множество s конечно. Комбинация v fs-.x=©xs - Y, где ft-.xg -+Y,seS, o-псевдокомпактна тогда и толь seS ко тогда, когда все отображения fg-.x, - г о-псевдокомпактны. Предложение 4. Пусть множество s конечно. Комбинация v fs-.x=@xs - Y, где ft-.xt - Y,S eS, псевдокомпактна тогда и только seS тогда, когда все отображения fs-.xs - г псевдокомпактны.
В пункте 11 рассматривается еще одно интересное свойство о-псевдокомпактного отображения:
Теорема 1. Послойное произведение замкнутого о-псевдокомпактного отображения f-.x- Y и открытого бикомпактного отображения g:Z-»r о-псевдокомпактно.
Пункт 12 посвящен рассмотрению случаев, когда произведение псевдокомпактных отображений псевдокомпактно.
Получены следующие результаты для тихоновских пространств:
Теорема 1. Если пространство х псевдокомпактно, а проекция p:XxY-+Y является z-замкнутой, то она псевдокомпактна.
Следствие 1. Если пространство х псевдокомпактно, а г есть k-пространство, то проекция p-.XxY Y псевдокомпактна.
Следствие 2. Если произведение XxY псевдокомпактно, то
ПроеКЦИИ p:XxY X И q:XxY Y ПСевДОКОМПЭКТНЫ.
Следствие 3. Для любой системы псевдокомпактных топологических групп xs,seS, и любого представления множества s в виде объединения двух непустых дизъюнктных подмножеств s, и s2 проекции pr .HiX.iseSy- lliX .seS И pr2:Y[{Xs:seS} y[{Xs:SeS2} псевдокомпактны.
Следствие 4. Пусть х - псевдокомпактное пространство, Y -псевдокомпактное k-пространство. Тогда проекции prx-.XxY- x и pr2:X Y-+Y псевдокомпактны.
Следствие 5. Пусть пространство х псевдокомпактно, a Y есть сильно псевдокомпактное пространство. Тогда проекции
prx:XxY- X И pr2:XxY- Y ПСевДОКОМПЭКТНЫ.
Напомним, что отображение f-.x- Y называется d-открытым, если для любого открытого множества ОаХ существует открытое в
Y МНОЖеСТВО V Такое, ЧТО /ОсКс[/0].
Следствие 6. Если псевдокомпактное пространство X обладает счетно направленной решеткой d-открытых отображений на полные по Дьедонне пространства, а пространство Y псевдокомпактно, ТО ПроеКЦИИ pr .XxY- X И pr2:XxY- Y ПСевДОКОМПЭКТНЫ.
Следствие 7. Пусть Х есть псевдокомпактная группа, Y есть псевдокомпактное пространство. Тогда проекции prt:XxY- x и pr2:X Y-+Y псевдокомпактны.
Замечание. В главе 2 рассматривается класс пространств с решетками d-открытых отображений на более общие, чем полные по Дьедонне (а именно, с-со-ограниченные), пространства. Все определения можно прочитать в гл. 3.
Имеет место
Следствие 8. Если псевдокомпактное пространство х обладает счетно направленной решеткой d-открытых отображений на с-со-ограниченные пространства, а пространство Y псевдокомпактно, то проекции pr}:XxY- x и pr2-.XxY- Y псевдокомпактны.
Далее рассматриваются канонические отображения пространств с действием псевдокомпактных групп на пространства орбит.
Лемма! Пусть Е -топологическое пространство, G- топологическая группа, действующая непрерывно в Е, к - подмножество группы G. Если проекция рг2:КхЕ- Е является z-замкнутой (замкнутой, совершенной), то отображение p:(s,x)-+sx произведения КхЕ в Е z-замкнуто (замкнуто, совершенно).
Предложение 1. Пусть Е - топологическое пространство, G-топологическая группа, действующая непрерывно в Е, К - псевдокомпактное множество в G. Если проекция рг2:КхЕ-+Е является Z ЗЭМКНуТОЙ, ТО Отображение p:(s,x)-+sx Произведения КхЕ в Е леев- докомпактно.
Из предложения 1 вытекают следующие случаи псевдокомпактности отображения:
Следствие 1. Пусть Е есть к-пространство, G - топологическая группа, действующая непрерывно в Е, К - псевдокомпактное множество в G. Тогда отображение p-.(s,x) sx произведения КхЕ В Е псевдокомпактно.
Следствие 2. Пусть Е есть псевдокомпактное пространство, G -топологическая группа, действующая непрерывно в Е, к - псевдокомпактное множество в G. Тогда отображение p-.(s,x)-+sx произведения КхЕ в Е псевдокомпактно.
Предложение 2. Пусть Е - топологическое пространство, к -топологическая группа, действующая непрерывно в Е, и проекция рг2:КхЕ-+Е является z-замкнутой. Тогда каноническое отображение р-.Е-+Е1К является z-замкнутым.
Из предложения 2 следует несколько утверждений:
Следствие 3. Пусть Е есть k-пространство, а к есть псевдо-компактная группа, действующая непрерывно в Е. Тогда каноническое отображение р:Е-+Е/к псевдокомпактно.
Следствие 4. Пусть Е есть псевдокомпактное пространство, к - псевдокомпактная группа, действующая непрерывно в Е. Тогда каноническое отображение р-.Е Еік псевдокомпактно.
Следствие 5. Пусть Е - топологическая группа, к - псевдокомпактная подгруппа группы Е, и проекция рг2-.КхЕ-+Е является Z-замкнутой. Тогда каноническое отображение p-.Е Еік псевдокомпактно.
Следствие 7. Пусть к - псевдокомпактная подгруппа псевдокомпактной группы Е. Тогда каноническое отображение р-.Е- Е1К псевдокомпактно.
Следствие 8. Пусть к - псевдокомпактная подгруппа группы Е, пространство которой есть k-пространство. Тогда каноническое отображение р:Е- Е/к псевдокомпактно.
Таким образом, в главе 1 подробно рассматриваются свойства различных модификаций псевдокомпактности непрерывных отображений.
Глава 2 посвящена счетно компактным отображениям и их свойствам.
В пунктах 13 и 14 рассматриваются различные определения счетной компактности отображения и их взаимосвязь. В пункте 15 рассмотрены критерии счетной компактности отображения:
Предложение 1. Для произвольного отображения f-.x- Y следующие условия эквивалентны:
1. Отображение f-.x- Y счетно компактно.
2. Для любого открытого в Y множества о, любой ТОЧКИ yeO v\ любого счетного семейства D = {F } . такого, что (Fa n...nFa)nf-{Oy 0 для любой окрестности Оу ТОЧКИ у, если S конечно, состоящего из замкнутых в f xo множеств, существует ОКреСТНОСТЬ Оу ТОЧКИ у Такая, ЧТО Оу с О И /_10уп(пФ) 0. 3. ДЛЯ ЛЮбОГО ОТКРЫТОГО В Y МНОЖеСТВа О, ЛЮбОЙ ТОЧКИ уеО\Л любой убывающей последовательности F] F2 ... пересекающихся с любой трубкой f xOy над любой окрестностью Оу точки у замкнутых в f lo множеств существует окрестность Оу точки у такая, что да /" Оуп(Р ) 0И OyczO. 1-1
Предложение 2. Для отображения f-.x Y следующие условия эквивалентны:
1) Отображение f:X- Y счетно компактно.
2) Для любого открытого в Y множества а, любой точки уеО \л любой локально конечной в /- о системы я существует окрестность
Оу ТОЧКИ у такая, ЧТО OyczO \Л \ St{f xOy,X)\ со.
3) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО W любой локально конечной в / 1о системы я, состоящей из одноточечных множеств, существует окрестность Оу точки у такая, что
ОусО \Л St{f xOy,X) со .
4) Для любого открытого в Y множества о, любой точки у еО и любого бесконечного подмножества у. пространства /_1о такого, что \fxOyn/u\ co для любой окрестности Оу точки у, множество /л имеет в трубке f- о строгую предельную точку.
5) Для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любого счетного бесконечного подмножества ц пространства /_1о такого, что \f%Oynju\ co для любой окрестности Оу точки у, множество /л имеет в трубке fxo строгую предельную точку.
Далее рассматриваются свойства счетно компактных отображений, аналогичные свойствам псевдокомпактных отображений:
Теорема 1. Счетно компактное отображение о-псевдокомпактно.
Следствие 1. Счетно компактное отображение псевдокомпакт-но.
Теорема 2. Счетно компактное замкнутое паракомпактное отображение бикомпактно.
Следствие2. Если отображение f-.x- Y паракомпактно и замкнуто, то о-псевдокомпактность, бикомпактность и счетная компактность отображения f:X-+ Y совпадают.
Теорема 3. Непрерывный образ счетно компактного отображения счетно компактен.
Теорема 4. Пусть множество s конечно. Комбинация v / :Х = ФХ -+Y, где / :Х -+Y,seS, счетно компактна тогда и толь 5
S S So
ко тогда, когда все отображения / :х - Y счетно компактны .
Теорема 5. Пусть отображение f:X-+Y счетно компактно, и для некоторого открытого в Y множества о множество в замкнуто в трубке /_1о. Тогда отображение fB =J}B-.B- Y счетно компактно.
И, наконец, в пункте 17 главы 2 рассматриваются случаи счетной компактности непрерывного отображения:
Пусть х, Y -тихоновские пространства.
Теорема 1. Если пространство х счетно компактно, а проекция p-.XxY- Y замкнута, то она счетно компактна.
Следствие 1. Пусть х - счетно компактное пространство, у -секвенциальное пространство (в частности, пространство с первой аксиомой счетности). Тогда проекция p-.XxY Y счетно компактна.
Предложение 1. Пусть Е- топологическое пространство, G -топологическая группа, действующая непрерывно в Е, к - замкнутое СЧеТНО КОМПаКТНОе МНОЖеСТВО В G. ЕСЛИ ПроеКЦИЯ р:КхЕ-+Е является замкнутой, то отображение p:(s,x)-+sx произведения КхЕ в Е счетно компактно.
Следствие 2. Пусть Е есть секвенциальное пространство, G -топологическая группа, действующая непрерывно в Е, К - замкнутое счетно компактное множество в с Тогда отображение p:(s,x) sx ПрОИЗВЄДЄНИЯ КхЕ В E СЧЄТНО КОМПЭКТНО.
Предложение 2. Пусть Е - топологическое пространство, к -счетно компактная группа, действующая непрерывно в Е, и проек
ция р:КхЕ-+Е замкнута. Тогда каноническое отображение Е на Е/к счетно компактно.
Следствие 3. Пусть Е есть секвенциальное пространство, к -счетно компактная группа, действующая непрерывно в Е. Тогда каноническое отображение Е на Е/К счетно компактно.
Следствие 4. Пусть Е есть секвенциальная топологическая группа, к - счетно компактная подгруппа группы Е. Тогда каноническое отображение f .E- Еік счетно компактно.
В пункте 18 главы 2 рассматривается связь счетной компактности и псевдокомпактности непрерывного отображения.
Определение 1. [6] Для отображения f-.x-+ Y множества А И В из х называются f-отделимыми окрестностями (f-функционально отделимыми), если любая точка yeY обладает окрестностью Оу, в прообразе fxOy которой множества А и в отделимы окрестностями (функционально отделимы).
Определение 2. [6] Отображение f:X-±Y называется (функционально) преднормальным, если любые два дизъюнктные замкнутые в х множества f-отделимы окрестностями (f-функционально отделимы).
Определение 3. (Б.А. Пасынков) Отображение f-.x-»Y называется (функционально) нормальным, если для любого открытого в Y множества о отображение f.f-]o-+o является (функционально) преднормальным.
Теорема 1. Если отображение f-.x- Y нормально, то о-псевдокомпактность и счетная компактность отображения f-.X- Y совпадают.
Следствие 1. Если f-.x- Y - нормальное отображение вполне регулярных пространств, то псевдокомпактность и счетная компактность отображения /:JT- Y совпадают.
Теорема 2. Если отображение f:X- Y функционально нормально, то псевдокомпактность и счетная компактность отображения f-.x- Y совпадают.
Таким образом, главы 1 и 2 данной работы посвящены введению понятий псевдокомпактности и счетной компактности отображений. Рассмотрены их взаимосвязь и основные свойства, аналогичные свойствам псевдокомпактных и счетно компактных пространств.
Третья глава данной работы посвящена мультипликативности псевдокомпактности.
Известно [16], что произведение псевдокомпактных пространств не обязано быть псевдокомпактным. Однако при некоторых условиях псевдокомпактность произведения сохраняется. Так, Комфорт и Росс доказали [16], что произведение псевдокомпактных топологических групп является псевдокомпактной топологической группой, а М.Г. Ткаченко и В.В. Успенский обобщили этот результат на d-nространства и относительно псевдокомпактные пространства. ], [9], [Ю], [23], [24], [25]) Б.А. Пасынковым была поставлена задача дальнейшего обобщения этих утверждений. Получены следующие результаты. Назовем систему л т-локальной в х, если для любой точки хеХ существует ее окрестность Ох такая, что \st(x,Ox)\ г. Определение 3.1. Непрерывное отображение f.x- Y назовем т-псевдокомпактным, если для любого открытого в Y множества о, любой точки yeO v\ любой т-локальной открытой в у1 о системы л существует окрестность Оу точки у такая, ЧТО Oy zO и \st(x,f-xOy\ r.
При т = со т-псевдокомпактность отображения совпадает с его псевдокомпактностью.
Свойство 3.1. Пусть отображения f1:Xl -+Y,f2:X2 -+Y,g:Xx - х2
непрерывны, отображение g сюръективно и fx=f2°g. Тогда из т-псевдокомпактности отображения у; следует т-псевдокомпактность отображения /2.
Определение. Пусть дано непрерывное отображение Д- У,І,СІ Подотображение g = f v :Х,- г отображения / на -л 1
зывается относительно т-псевдокомпактным в /, если для любого открытого в Y множества о, любой точки уєО и любой открытой Т-локальной в fxo системы я существует окрестность Оу точки у такая, ЧТО ОусО И \St{g xOy,X\ r.
Свойство 3.1. Непрерывный образ относительно т-псевдокомпактного отображения относительно т-псевдокомпактен. Свойство 3.2. Пусть отображение f-.xl -+ Y,xx сі относительно т-псевдокомпактно в f-.x-+Y,fx=f v ,и ici. Тогда отображение Л- і f2=fv :Х2- У относительно т-псевдокомпактно в /. :X2 Y, X, x-.xx- Y. Тогда Свойство 3.3. Пусть x2aXx zX, отображение f2=f где f-.x- Y относительно т-псевдокомпактно в /=/ /2 относительно т-псевдокомпактно в /.
Далее рассматриваются с-т-ограниченные отображения и конкретные примеры этих отображений. Определение 3.1. Непрерывное отображение f-.X- Y называется с-т-ограниченным, если любое его замкнутое относительно т псевдокомпактное подотображение g = f „ , где хх замкнуто в х, является совершенным отображением. Примерами с-ю-ограниченного отображения являются трубчато-полное по Дьедонне отображение [3], R-полное отображение [5], а также их обобщение -обобщенно-полное по Дьедонне отображение.
Определение 3.2. Тихоновское отображение f-.X Y называется обобщенно полным по Дьедонне, если для любой ТОЧКИ х ej3fX существует окрестность и точки (ffi)x в г и такое открытое локально КОНеЧНОе В f lU ПОКрЫТИе Л Трубки f lU, ЧТО хйфУо-г у.
Лемма 3.1. Обобщенно полное по Дьедонне отображение f-.x- Y, где Y есть -пространство, является с-со-ограниченным отображением. Известно, [14], что пространство х бикомпактно тогда и только тогда, когда оно псевдокомпактно и R-полно.
Обобщая этот факт на отображения, получим.
Теорема 3.2. Отображение f-.x-» г совершенно тогда и только тогда, когда оно псевдокомпактно, с-со-ограничено и замкнуто.
Далее рассматривается мультипликативность с-т ограниченных отображений.
Предложение 3.1. Пусть отображения fa:Xa - Y замкнуты и с-т ограничены для любого аеА. Тогда их послойное произведение /:Х- Y также с-т-ограничено.
Используя это свойство и другие вспомогательные утверждения, доказывается теорема о мультипликативности, являющаяся основным результатом данной главы:
Теорема. Пусть отображения f-.x - г замкнуты и на них имеются х-направленные решетки L =\ a{s B{s]a{s A s%s s d открытых морфизмов на с-т-ограниченные отображения S » І fa(Syfa(s)= Pa{s)°fS SeS a A - ПуСТЬ отобРажения / = / f :Xsx Y, где х? замкнуты в Xs, замкнуты и относительно х-псевдокомпактны в fs,s&s. Тогда произведение fx = Y[AS относи s є5 тельно х-псевдокомпактно в /= Y\fs s eS
Как следствие этой теоремы при т = а мы получаем следующее утверждение.
Теорема 3.3. Пусть на замкнутых отображениях fs-.xs - Y имеются счетнонаправленные решетки d-открытых морфизмов на обобщенно полные по Дьедонне отображения (в частности, на полные по Дьедонне или R-полные отображения), отображения f : х -» Y,X[ с x\f = Г v относительно псевдокомпактные в fs,seS. Тогда их произведение fx = Y[ff относительно псевдоком seS пактно в /= Y[fs • s =S Далее рассматриваются следствия теоремы о мультипликативности х-псевдокомпактности для пространств. Так как любое пространство х можно рассматривать как непрерывное отображение f-.x-+Y в точку, причем наше отображение замкнуто и пространство Y = {y} локально бикомпактно, то теорема о мультипликативности легко переносится на случай пространств. Определение. Множество ВаХ называется относительно х-псевдокомпактным в х, если для любой т-локальной открытой в х системы л имеем \St(A,B] r.
При т = о) относительная х-псевдокомпактность множества в в тихоновском пространстве х равносильна его ограниченности, или относительной псевдокомпактности, т.е. ограниченности на в любой Непрерывной фуНКЦИИ (р:Х -» R.
Свойство 4.1. Если отображение /:Х- Y непрерывно и множество в относительно т-псевдокомпактно в х, то образ /(в) относительно т-псевдокомпактен в Y.
Свойство 4.2. Если множество в относительно х-псевдокомпактно в I, то его замыкание [в] относительно х-псевдокомпактно в х.
Свойство 4.3. Если в является относительно х-псевдокомпактным подмножеством подпространства Y пространства х, то в является относительно т-псевдокомпактным в х.
Определение. Пространство х называется с-х-ограниченным, если замыкание любого его относительно х-псевдокомпактного подмножества бикомпактно.
Предложение 4.1. Класс с-х-ограниченных пространств мультипликативен.
Далее рассматриваются некоторые классы с-со-ограниченных пространств.
Определение. (Б.А. Пасынков). Тихоновское пространство х называется обобщенно полным по Дьедонне пространством, если для любой точки хе/зх\х существует открытое локально конечное покрытие ю пространства х со свойством: xg(J[ yW -[]1о]вх ОеС0\
Предложение 4.2. Обобщенно полное по Дьедонне пространство с-со-ограничено. с-со-ограниченными пространствами являются также нормальное изокомпактное пространство, замкнутое подпространство произведения нормальных изокомпактных пространств, пространства, уплотняемые на метризуемые пространства [8].
Если н -допустимая подгруппа топологической группы G, то пространство G/н также с-со-ограничено.
В работе [15] Архангельского дается определение ц-пространства, которое совпадает с определением с-со-ограниченности пространства, и рассматриваются свойства таких пространств.
Таким образом, существует большое количество примеров с-со-ограниченных пространств. Теорема о мультипликативности для пространств приобретает следующий вид:
Теорема 4.1. Если на пространствах x,seS имеются х направленные решетки d-открытых отображений на с-х-ограниченные пространства, множества с относительно х псевдокомпактны в x,seS, то множество c = J}{c :ses} относительно х-псевдокомпактно В = ( : є s\ ([ЗО]).
Теорема 4.2. Если на топологических пространствах х ,s eS имеются счетнонаправленные решетки с/-открытых отображений на с-со-ограниченные пространства, в частности, на
1. обобщенно полные по Дьедонне пространства;
2. полные по Дьедонне пространства;
3. нормальные изокомпактные пространства;
4. замкнутые подпространства нормальных изокомпактных пространств;
5. замкнутые подпространства нормальных слабо паракомпактных пространств;
6. пространства, уплотняемые на метризуемые пространства;
7. фактор-пространства топологических групп по допустимым подгруппам этих групп;
8. свободные топологические группы над fi-пространствами; множества с относительно псевдокомпактны в x,seS, то множество c = J [(c :s =s\ относительно псевдокомпактно в
Следствие 4.1. ([16] Комфорт, Росс).
Произведение псевдокомпактных топологических групп является псевдокомпактной топологической группой.
Напомним (Успенский) [10], что топологическое пространство X называется d-пространством (соответственно, od-пространством), если существует проективная система \х ,р ,а,/з&л\ топологических пространств и когерентное семейство {р -.ссєл) непрерывных отображений {ра-.х х ] такие, что
1) все р с/-открыты (соответственно, открыты)
2) А полная решетка
3) ЄСЛИ J3cA,fi = supВ,х,уеХ, И р (х) = р (у) ДЛЯ ВСЄХ аеВ, ТО
4) топология пространства х инициальна ([10]) относительно семейства р :аеА , ГДЄ А - МНОЖЄСТВО ТЄХ ИНДЄКСОВ а є А, ДЛЯ KO торых пространство х субметризуемо.
Следствие 4.2. ([10] В. В. Успенский) Произведение относительно псевдокомпактных подмножеств d-пространств относительно псевдокомпактно в произведении.
Замечание. Пункт 2 теоремы 2 был доказан М.Г. Ткаченко ([9]).
Таким образом, в работе проведен подробный анализ некоторых свойств непрерывных отображений: распространены на отображения такие важные свойства, как псевдокомпактность и счетная компактность (этому посвящены главы 1 и 2 данной работы); а также такое обобщение псевдокомпактности, как т-псевдокомпактность (этот аспект рассматривается в главе 3), ее мультипликативность и другие интересные свойства.
Соотношения между свойствами, входящими в одну о-группу
Вместо локально конечных систем в утверждениях (o.i.j), i=1 ,...,4, j=1,...,3, мы можем использовать локально конечные покрытия соответствующих пространств, поскольку любую локально конечную открытую систему можно добавлением всего соответствующего пространства в качестве элемента дополнить до открытого локально конечного покрытия. Замечание 2.Так как для открытого множества Осі и произвольного множества VczX условия Onv = 0 и On[V]=0 эквивалентны, то в определениях /.7,/ = 1,...,4,7 = 1,...,3 открытые системы множеств можно заменить на системы множеств, состоящие из канонически замкнутых множеств, и получить эквивалентные определения. Определение 1. Непрерывное отображение f-.x Y назовем о-псевдокомпактным, если оно удовлетворяет условию (О.1.З.). Лемма 1. Имеет место следование (о. 1.1) = (о. 1.2). Доказательство. Пусть множество о открыто в Y И уєО. Возьмем окрестность Оу точки у такую, что ОусО v\ для любой локально конечной и открытой в [f lOy] , системы Л имеем \Л\ й). Рассмотрим произвольную открытую и локально конечную в /_о систему . Тогда система v = A[/_,Qy] , локально конечна и открыта в [f lQy]f-\n- Следовательно, \v\ a . Значит, \St([f-lOy]f_io,t)\«D. Тогда \st(f Лемма 2. Имеет место следование (о. 1.2) = (о. 1.3). Доказательство. Пусть множество о открыто в Y и уєО. Возьмем окрестность Оу точки у такую, что OjcO и для любой локально КОНеЧНОЙ И ОТКРЫТОЙ В /" О СИСТемЫ Я Имеем \St(f-lOy,A)\ 0). Тогда для произвольной локально конечной и открытой в / 1о системы Аналогичные соотношения справедливы для остальных групп определений. Таким образом, мы получаем следующую диаграмму: Имеют место следования (o.1.j)= (o.3.j) и (o.2.j) (o.4.j),j=1,2,3. Доказательство. Докажем следование (о. 1.1) = (о.3.1). Рассмотрим множество ОсГ и точку у є о.
Существует окре стность Оу точки у такая, что OyczO \л для любой локально конечной и открытой в [f xOy] , системы я имеем \л\ а . Но тогда и \St(f-xOy,X)\ a . Следование доказано. Докажем следование (0.1.2) = (о.3.2). Пусть множество о открыто в г и уеО. Рассмотрим открытую и локально конечную в / о систему я. Существует окрестность Оу точки у такая, что ОусО и \st(f-xOy,A)\«o. Так как уеОу, то Г1усГхОу. Следовательно, \st(j"ly,X)\ a). Следование доказано. Докажем следование (о.1.3) = (о.З.З). Пусть множество о открыто в Y v\ уеО. Рассмотрим открытую и локально конечную в /_о систему я. Существует окрестность Оу точки у такая, что OyczO v\ \st(f]Oy,A)\ co. Так как f xy f xOy, то имеем st{fxy,X) со. Следование доказано. Остальные утверждения леммы 1 доказываются аналогично. Лемма 3. Пусть отображение f-.X- Y непрерывно, пространство Y регулярно. Тогда для любого открытого множества OaY, любой точки уеО \л любой локально конечной открытой в / хо системы я существует открытое множество о, такое, ЧТО у є О, с [О,] с О и система Дл flo{ открыта и локально конечна в х. Доказательство. Фиксируем открытое в Y множество о. Рассмотрим точку уеО\л локально конечную и открытую в / хо систему я. Тогда система я открыта в х. Рассмотрим окрестность Оу точки у такую, что [0у]сО. Система Ял/ ]Оу открыта и локально конечна в х. Действительно, (в силу локальной конечности я в / 0) для любой точки xef l[Oy] существует ее окрестность atc/ o такая, что \st{Ox,xлf-xOy)№St(Ox,A)\ o. Для любой точки хєx\f-\Oy] существует ее окрестность Ox = x\f \Oy] такая, что \st{Ox,x f-xOy)\=o o). То есть система Ял/ 1Оу открыта и локально конечна в х. Следовательно, можно считать ох =Оу. Лемма доказана. Предложение 1.
Если пространство г регулярно, то имеем следование (о.2.3)= (о.1.3). Доказательство. Рассмотрим открытое в Y множество о, точку j/єОи локально конечную и открытую в /- о систему я. По лемме 3 существует открытое множество ох такое, что уеОх с[ 9,]с 9 и сис тема я л/" о, открыта и локально конечна в х. Тогда по (о.2.3) су ществует окрестность Оу точки у такая, что \st{fxOy,x f xOx)\ a . Предложение доказано. Предложение 2. Если пространство у регулярно, то имеем следование (о.4.3)о(о.3.3). Доказательство аналогично доказательству предложения 1 (используется лемма 3). Следствие 1. Если пространство Y регулярно, то имеем (0.2.3) (0.1.3). Следствие 2. Если пространство Y регулярно, то имеем (0.4.2)0(0.4.3)0(0.3.3)0(0.3.2) Таким образом, получаем следующую диаграмму: регулярно Б.А. Пасынковым было предложено заменить в определениях пункта 1 открытые локально конечные системы на функционально открытые локально конечные системы. 1.fo. Первая fo-группа определений. (fo.1.1.) Для любого открытого в Y множества о и любой точки у є о существует окрестность Оу точки у такая, что ОуаО и для любой локально конечной и функционально открытой в [/ 0у] , системы я имеем \Я\ со.
Эквивалентность сформулированных определений псевдокомпактности в случае, когда пространство Y вполне регулярно
Эта функция непрерывна. Действительно, она определена и непрерывна на двух замкнутых множествах /" [О,] и х\/_1о, и равна нулю на их пересечении. На множестве f i[01]\f 1ol мы имеем h(x) = o = h(x)-(p(x), следовательно, мы можем применить лемму о склейке ([1]). Лемма доказана. Предложение 1. (См. [27]). Пусть отображение f-.x- Y непрерывно и пространство г вполне регулярно. Тогда (f.2.3)= (f.1.3). Доказательство. Рассмотрим произвольное открытое множество OciY, точку у є О И Непрерывную фуНКЦИЮ р : f lO -» Л . По лемме 1 существует открытое множество OyczY такое, что yeOy [Oy] zO, и непрерывная функция (p :X R такая, что И/- [ф]Н/-«[см Тогда существует окрестность oiy Oy точки .у такая, что функция р ограничена на f xOy. Множество и = ОупО]у есть такая окрестность точки у, что ysUczO и функция р\ ,-XJJ = р\ ,-\и ограничена. Предложение доказано. Предложение 2. Если пространство г вполне регулярно, то (f.4.2)= (f.3.2). Доказательство аналогично доказательству предложения 1 (используется лемма 1). Следствие 1. Если пространство г вполне регулярно, то (f.1.3) = (f.2.3). Следствие 2. Если пространство Y вполне регулярно, то (f.4.3) (f.3.3)o(f.4.2)o(f.3.2). Таким образом, имеет место следующая диаграмма: Для z-замкнутых отображений имеют место свойства, аналогичные свойствам замкнутых отображений (т. 1.4.12, т. 1.4.13, [14]). Лемма 1. Эквивалентны следующие три утверждения: a) отображение f-.x- Y z-замкнуто; b) для каждой точки y&Y и для каждого функционально открытого множества u zX, содержащего f ly, в Y существует такая окрестность v точки у, что /"Усі/; c) для любого 5сУ и любого функционально открытого множества АсХ, содержащего / я, существует открытое множество с с г, содержащее в и такое, что /_,Сс А. Доказательство. Аналогично доказательству теорем 1.4.12 и 1.4.13 [14] для замкнутых отображений. Предложение 1. Для z-замкнутого отображения f-.x- Y имеем следование (f.4.3)= (f.2.3). Доказательство. Пусть yeY, функция g-.x- R непрерывна. Тогда g ограничена на слое f]y, то есть существует к є R такое, что \g(x)\ k ДЛЯ ВСЄХ хє/ V ПуСТЬ h(x) = mm(\g(x)\/k,l)-l, хеХ. ФуНКЦИЯ h:х-»[-1,0] ограничена, непрерывна и ад о для всех xef xy. Пусть A = {xtX:h(x) Q}. Множество А функционально открыто В X И / 1уеА. По лемме 1 пункта 9, так как отображение / z-замкнуто, то Существует ОТКрЫТОе МНОЖеСТВО OyeY Такое, ЧТО уеОу И f OyczA. Следовательно, И(х) о для всех xef }Oy, то есть \g(x)\ k на трубке ҐОу. Предложение доказано. Предложение 2.
Пусть пространство г вполне регулярно и отображение f-.X Y z-замкнуто. Тогда (f.3.3)= (f.1.3). Доказательство. Предложение 2 является следствием предложения 1 пункта 9 и предложений 1 и 2 пункта 8. Следствие 1. Если отображение f-.x- Y z-замкнуто, пространство Y вполне регулярно, то (f.1.3) = (f.3.3) и, более того, (f.1.3) (f.2.3)o(f.3.3) = (f.4.3). Таким образом, мы получаем следующую диаграмму Суммируя полученные соотношения между определениями псевдокомпактности, получаем следующую теорему: Теорема 1. Пусть f-.x Y - отображение вполне регулярных пространств х и Y. Тогда следующие условия эквивалентны. а) отображение f-.x- Y псевдокомпактно (f.1.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой Непрерывной фуНКЦИИ p:f-lO- R Существует ОКрвСТНОСТЬ ОуаО точки у такая, что функция Н/-1 Фаничена в) отображение f-.x- Y о-псевдокомпактно (о. 1.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уєО \л любой локально конечной и открытой в /_о системы я существует окрестность Оу точки у такая, что ОусО и st(f-lOy,X)\ со. c) отображение /:Х- 7 удовлетворяет условию (f.2.3): для ЛЮбОЙ ТОЧКИ yeY И ЛЮбОЙ непрерывной фуНКЦИИ q :X-+R существует окрестность Оу точки у такая, что функция р\ оу ограничена. d) отображение /:Х- 7 удовлетворяет условию (о.2.3): для любой точки yeY и любой локально конечной и открытой в X системы я существует окрестность Оу точки у такая, что \&{Г Оу,Я)\ а . Более того, если отображение f-.x Y z-замкнуто, то эквивалентны следующие условия: а) отображение f:X-+Y псевдокомпактно; e) отображение f-.x- Y удовлетворяет условию (f.3.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО любая непрерывная на /_1о функция ограничена на f xy. f) отображение f-.x- Y удовлетворяет условию (о.3.3): для любого открытого в Y множества о, любой точки уеО и любой локально конечной и открытой в / 1о системы я имеем 5/(/- лД) а . д) отображение f-.x- Y удовлетворяет условию (f.4.3): для
Критерии счетной компактности отображения
Для счетно компактного отображения справедливы критерии, аналогичные критериям счетной компактности пространства ([14], т. 3.10.2 ,т. 3.10.3, стр. 304). Предложение 1. Для произвольного отображения f-.x- Y следующие условия эквивалентны: 1) Отображение /:Х- У счетно компактно. 2) Для любого открытого в Y множества о, любой ТОЧКИ уєО и любого счетного семейства o = {F } Л такого, что (F n...nF )п/" Оу 0 ДЛЯ ЛЮбОЙ ОКреСТНОСТИ Оу ТОЧКИ у, ЄСЛИ s ссх ccs конечно, состоящего из замкнутых в /_1о множеств, существует окрестность Оу точки у такая, что OyczO и / Оуп(пФ) 0. 3) Для любого открытого в Y множества о, любой ТОЧКИ yeO v\ любой убывающей последовательности F,=3F23... пересекающихся с любой трубкой f xOy над любой окрестностью Оу точки у замкнутых в /- о множеств существует окрестность Оу точки у такая, что / 1Оуп( .)ф0 И OyczO. 1)= 2). Пусть множество о открыто в 7 и уєО. Пусть отобра жение f:X- Y счетно компактно. Рассмотрим счетное семейство o = {F } замкнутых в f lo множеств такое, что (F n...nF )rif 1Oy 0 для любой окрестности Оу ТОЧКИ у и КОНЄЧ-ного 5, и /_Оуп(пФ) = 0 для любой окрестности Оу ТОЧКИ у. Рассмотрим открытые в f xo множества и = f 1o\F . Так как ju = {f}o\[f ]y]} j{U } д - открытое счетное покрытие пространства /_1о. Следовательно, (так как отображение f-.x Y счетно компактно), существует окрестность Оу точки у такая, что ОусО и Но (р F )nf lOy 0 для любой окрестности Оу ТОЧКИ j/. i=lа Получили противоречие. Следовательно, существует окрестность Оу точки у такая, что /_,Оуп(пФ) 0. Следование доказано. 2)= 3). Рассмотрим открытое в Y множество о, точку уєО \л произвольную убывающую последовательность F,= F2r ... пересекающихся с любой трубкой гхОу над любой окрестностью Оу точки у замкнутых в f-xo множеств. Имеем ( n...nF )п/_1Оу 0 для лю бой окрестности Оу точки у, если s конечно. Следовательно, суще 00 СТВУЄТ ОКреСТНОСТЬ Оу ТОЧКИ у Такая, ЧТО ОусО И f ,Oyn(f]F.) 0. / = 1 l Следование доказано. 3)= 1). Пусть существует открытое множество o Y, точка уєО и счетное открытое покрытие 1 = {и.}. N пространства /- о такие, что для любой окрестности OyczO точки у из покрытия л = {и.}. N нельзя выделить конечное подпокрытие трубки f lOy. Построим счетную последовательность a = {F.}. N замкнутых в f-{o множеств следующим образом: Тогда FyZiF2z ..., и для любого ieN имеем f]OynF. Ф0. Дейст-вительно, пусть ieN, тогда F. =flo\(Ulu...uU.), f xOyctUxKj...Kju., так как из покрытия л = {/.}. N нельзя выделить конечное подпокрытие ТрубКИ f lOy. Напомним, [14], что х - строгая предельная точка для множества А, если в любой ее окрестности лежит бесконечное множество точек из А . Множество таких точек обозначается Ah. Предложение 2. Для отображения f-.x -»Y следующие условия эквивалентны: 1)
Отображение f-.x Y счетно компактно. 2) Для любого открытого в Y множества о, любой ТОЧКИ yeOV\ любой локально конечной в f lo системы я существует окрестность Оу точки у такая, что Оу о и \st(f-]Oy,X)\ a . 3) Для любого открытого в Y множества о, любой ТОЧКИ уеО и любой локально конечной в /-1о системы X, состоящей из одноточечных множеств, существует окрестность Оу точки у такая, что ОуаО И Л(/" СМ) ю. и любого бесконечного подмножества // пространства flo такого, что \гхОус\ц\ й для любой окрестности Оу точки у, множество ц имеет в трубке /- о строгую предельную точку. 5) Для любого открытого в Y множества о, любой ТОЧКИ уеО v\ любого счетного бесконечного подмножества ju пространства fxo такого, что \f Oyr\fi\ a для любой окрестности Оу точки у, множе ство /л имеет в трубке /_,о строгую предельную точку. 1)= 2). Предположим, что условие 2) не выполняется, то есть существуют открытое множество OczY, точка у є о и локально конечное семейство я = {А.}. N непустых в /_,о множеств такие, что \St(f-]Oy,X)\ 6 ДЛЯ ЛЮбОЙ ОКреСТНОСТИ ОусО ТОЧКИ у. В силу локальной конечности семейства х система F,,F2,..., где F. = (J [А.], есть убывающая последовательность непустых замкну-У тых в f lo множеств таких, что f]F. = Л,и...иЛ , то есть .У (PF.)n/_1Oy 0 для конечного 5 и любой окрестности Оу ТОЧКИ у. i = l1 По предложению 1 отображение f:X-+Y не счетно компактно. Следование доказано. 2)= 3) очевидно. 3)= 4). Пусть выполняется условие 3), но не выполняется условие 4). Рассмотрим открытое в Y множество о, точку уєО и бесконечное МНОЖеСТВО Л = { ,,..., ,...} В f yO Такое, ЧТО \f ]OynA\ 0) для любой окрестности Оу точки у. Пусть А не имеет в f lo строгой предельной точки. Тогда для любой точки xef ]o существует ее окрестность Ox zf xo такая, что \ОхпА\ со, то есть система л = {х .х є А] локаль J .111 I п п 1 но конечна в трубке f lo. Но \st{f xOy,X)\ co для любой окрестности Оу точки у. Получено противоречие. Следование доказано. 4) 5) очевидно. 5)= 1). Пусть выполняется условие 5), но не выполняется 1). Тогда по предложению 1 существуют открытое в Y множество О, точка у є о и последовательность F,ZJF23... непустых замкнутых
Мультипликативность с-т-ограниченности отображений
Пусть отображения / :Х - Y замкнуты и с-т ограничены для любого а&А. Тогда их послойное произведение f-.x-+ Y также с-т-ограничено. Доказательство. Пусть fx-.xx-+Y есть относительно т-псевдокомпактное замкнутое подотображение отображения /, причем множество хх замкнуто в х0 cf far :а є л}. Докажем, что fx совершенно. екция, сюръективны и непрерывны для любого аеА, то отображения / х -Х\ - Y относительно т-псевдокомпактны в / для любо Так как множество хх замкнуто в х0 и хх= \\л х\» т0 множе ства я хх замкнуты в пространствах х для любого аеА ([14], с. 129). Следовательно, отображения / х замкнуты для любого Так как отображения / :Х - Y с-т-ограничены, то отображения / х :ХХ - Y СОВершеННЫ ДЛЯ ВСЄХ а є А . а m Решетки непрерывных морфизмов на отображениях Определение 1. Пусть даны отображения f1:Xl - Y и f2:X2 - г. Морфизм p:fx- f2 называется вложением, если непрерывное отображение (р-.хх - х2 есть вложение f/2 „ s/2J. Определение 2. Пусть дано непрерывное отображение f-.x-+Y. Назовем систему L = \cp ,(р_ ;ЛІ, состоящую из направлен ного множества А, непрерывных сюръективных морфизмов р отображения f-- pa f- fa где fa.xa-+Y,fa= paf,a =A, и непрерывных СЮръеКТИВНЫХ МОрфИЗМОВ р : р f-+(p о/ a,j3 eA,a /3, РЄШЄТКОЙ pot p cz непрерывных морфизмов на отображении f-.x Y, если выполнены следующие условия: Определение 3. Решетка L называется т-направленной, если множество А т-направлено, и d-открытой, если все морфизмы р d открыты. Замечание. Решетке L = \ p , р„ ;А\ непрерывных морфизмов на отображении f-.x-±Y соответствует решетка L0=\g , рR -,А\ непрерывных отображений пространства х, где р :Х-+х являются непрерывными сюръективными отображениями пространства х для всех аеА, отображения рв ;(pRx-+(p х являются отображениями образов пространства х при р ра,а,/зеА. Если решетка L т-направлена (d-открыта), то соответствующая ей решетка z0 также т-направлена (с/-открыта). Определение 4. Пусть дана система морфизмов \ р / - g аєА- Произведением морфизмов р= Y[ P Называется ся морфизм, переводящий произведение отображений /= Y[f в произведение отображений g= \\ga так, что f = g xp. п. 6 Теоремы о мультипликативности относительно т-псевдокомпактных отображений
Предложение 1. Пусть дано непрерывное отображение f-.x-»Y и имеется т-направленная решетка L = \ pa, pB ;А\ с/-открытых морфизмов на отображении /. Подотображение f]-.xi- Y,xiczX, относительно т-псевдокомпактно в / тогда и только тогда, когда его об раз р о_/;=/ относительно т-псевдокомпактен в / = р of для любого а є А. Доказательство. 1) Если отображение fl-.xl- Y относительно т псевдокомпактно в f-.x Y, то его образ fia=xia= P xt- Y относи тельно т-псевдокомпактен в / по свойству 1 (п.2). 2) Пусть для любого аеА отображение fxa -xia- Y относи тельно т-псевдокомпактно в / . Предположим, что отображение /, :ХХ - у не является относительно т-псевдокомпактным в /. Тогда существует открытое в Y множество о, точка уеО и т-локальная открытая в f-lo система \=\и \ , состоящая из элементов базы пространства х такие, что г т и (я Оу т для любой окрестности Оу точки у, лежащей в о. Из т-направленности решетки L0 следует, что VUreA 3WYdXa cpa{0)X:cp- )Wr=Uy. Получаем открытую систему v = \w 1 в пространстве ха (здесь а(о) є А есть такой индекс, что а(о) а(у) для любого у є Г ). Так как система v открыта в пространстве pa(0)(flo), отображение р cf-открыто и система Р Щ0)У = Я т-локальна в f xo, то, ([37]), система v т-локальна в ра{0){Г]о). Так как / = /ед.Ра(0) то ҐО = (/амоРа(о)Уо = р{0)(/а\о)0). То есть система v т-локальна в fa\o)- Так как отображение fa(ayxa(o)- Y относительно т-псевдокомпактно в / то для нашего уеО\л системы v существу ет окрестность Оу точки у такая, что OyczO и \5г(у,/ а\0)Оу\ т, следовательно, 5/(А,У;"1С!У] Г. Полученное противоречие доказывает предложение. Предложение доказано. Лемма 1. Пусть отображение /:Х- Y сУ-открыто, хх сі. Тогда подотображение fx=f\v-.x Y d-открыто. л\ Доказательство. Известно, ([8]), что отображение f-.x- Y cf-открыто тогда и только тогда, когда для любого открытого в г множества v выполняется условие [/ к] = /-,[к]. Рассмотрим открытое в г множество v. /ЛУ]Х, «г игиі =[ҐУ]Г)Х, =[/rv]Xi. Следовательно, отображение fl-.xl - Y о -открыто. Лемма доказана. Лемма 2. Пусть отображение f-.x- Y с-т-ограничено, хх замкнуто в х. Тогда подотображение fx =АХ -Хх -» Y с-т-ограничено. Доказательство. Пусть отображение f2-.x2 -» Y, где х2 замкнуто в хх, относительно т-псевдокомпактно в fx и замкнуто. Имеем /,=./ =./1 Так как х2 замкнуто ві,, хх замкнуто в х, то х2 замкнуто в х ([14]). Так как х2 сХ,, то, по свойству 3 п. 2, отображение f2.x2 - Y относительно т-псевдокомпактно в /. Так как отображение f-.x Y с-т-ограничено, то отображение f2:X2 - Y Совершенно. Лемма доказана. Теорема 1. Если отображения ff-.xf- Y замкнуты, с-т
