Содержание к диссертации
Введение
1. К теореме Ефимова о дтр^юрентщалъшлх признаках гомеомор физма 16-24
1. Формулировка результатов 16
2. Доказательство теоремы 1.2 20
3. Доказательство теоремы 1.4 23
2. Вложение локально-евклидовых и кон<1юрмно-евклидовых мет рик 25-41
1. Определения и предварительные замечания 25
2. Вложения локально-евклидовых метрик 28
3. Вложения кон<1юрмно-евклидопых метрик 38
3. Пример одномерного жесткого множества на плоскости 42-53
1. Основной результат 43
2. Вспомогательные утверждения 45
4. Замечания к теореме Гейла — Никайдо — Ииада об инъективности отображений 54-58
1. Ввсдешю 54
2. Доказательство теоремы 4.2 55
3. Заключительные замечания 58
5. Замечания к гипотезе Сабитова о стационарности объема при бесконечно малом изгибании поверхности 59-72
1. Введеігае 60
2. O связи вариации объема и потока 61
3. Гипотеза Сабитова для многогранников 63
4. Гипотеза Сабитова для поверхностей вращения 69
6. Пример изгибаемого многогранника, не используїотіщй октаэдров Брикара 73-87
1. Введеігае 73
2. Построение рамы 75
3. Построение колена 78
4. Построение коленчатого вала 82
5. Основной результат 85
7. Пример изгибаемого многогранника с пепостошшым объемом в сферическом пространстве 88-98
1. Введение 88
2. Предварительные соглашения 89
3. Вспомогательный многогранник Q 90
4. Построеігае многограштка R 91
5. Об объеме многогранника R 93
6. О средней кривизне многогранника R 93
7. Основной результат 95
8. Обобщения и замечаїшя 96
8. Теорема о неявной функции для полиномиальных систем уравнений с вырожденным якобианом и ее приложения к изучению ігзгибаемьгх многограіпшков 99-127
1. Введение 99
2. Достаточные условия существования неявной функции 100
3. Небходимые условия существования неявной функции 108
4. Применения к изучению изгибаемых многогранников и каркасов119
9. Изгибаемые многограішики в пространстве Минковского128-150
1. Введеігае 128
2. Существование 129
3. Объем 135
4. Ориентированный угол 137
5. Средняя кривизна 143
Список литературы 151-160
- Доказательство теоремы 1.2
- Вспомогательные утверждения
- Гипотеза Сабитова для многогранников
- Вспомогательный многогранник Q
Введение к работе
Многие результаты «геометрии в целом» естественным образом могут быть переформулированы в терминах шгьективности или сюръективпости некоторых специальных отображений метрических пространств или даже областей в Шп. Имешю такая трактовка геометрических задач позволила А.Д.Александрову в его знамешітой кшіге «Выпуклые многогранники» [2] доказать теоремы существования и единственности для выпуклого ююго-граішика в R3 с данной разверткой, а также теоремы Линделефа и Мин-ковского. По сути тем же методом Е.М.Андреев доказал теорему о существовании многогранника с заданными двуграіпп іми углами в трехмерном пространстве Лобачевского [4]. Недавно Ж.-М.Шлеикер вновь успешно применил этот метод для доказательства теоремы о существовании выпуклого многограшшка с задашюй разверткой в трехмерном пространстве Минковского [115].
Ядро диссертации составляют решения некоторых задач «геометрии в целом», и прежде всего — теории изгибаемых многограіппіков, в решении которых существешіую роль играют теоремы о локальной или глобальной обратной или неявной функции. Впрочем, в диссертацию вошли как некоторые близкие по духу задачи «геометрии в целом», решаемые иными методами, так и некоторые специальные проблемы, связанные с инъектив-ностыо отображеігай, не нашедшие пока применения в геометрии.
Диссертация состоит из введегаш и девяти глав, в каждой из которых обсуждается более или менее замкнутый круг вопросов. Кратко опишем основные результаты, полученные в каждой главе.
В первой главе выводится новая ([юрмулировка дифференциального условия Н.В.Ефимова, гарантирующего гомеоморфность отображения / : R2 — R2. На этой основе с помощью теоремы Адамара-Леви-Джона о глобальной обратной функции даются дифференциальные условия, при выполнении которых отображение / не только инъективно, но и сюръективно. Изложение следует работам соискателя [А2] и [А8].
Если говорить более точно, то в работе [21] Н.В.Ефимов доказал следующую замечательную теорему.
Теорема 1.1. Пусть f : R2 — R2 принадлежит классу С1, причем якобиан отображения f всюду отрицателен., т.е. detf (x) 0 для всех х Є R2. Пусть, кроме того, существуют полооїсительная фунщия а = а(х) 0 и неотрицательные постоянные С\, С2 такие, что для всех х, у Є R2 справедливо неравенство \1/а(х)-1/а(у)\ С1\х-у\+С2. Тогда если для всех х ЄШ2 выполнено неравенство dct/ (s) a(a:)rot/(2;) + a2(a;), то /(R2) есть выпуклая область и f отобраоїсает R2 па /(R2) гомеоморфію. (Здесь votf(x) означает, как обычно, ротор функции / в точке х = (хі,х2) Є М2, т. е. rot f{x) = df2/dxi(x) — dfi/dx2(x).)
В первой главе доказано несколько теорем, аналогичных теореме 1.1, среди которых мы выделим следующую.
Теорема 1.4 [А2], [А8]. Пусть / : R2 — R2 принадлежит классу С1, причем dctf (x) О для всех х Є R2. Пусть, кроме того, существуют положительная функция Ь(х) 0 и неотрицательные постоянные С\,С2 такие, что для всех х, у Є R2 справедливо неравенство \1/Ь(х)-1/Ь(у)\ С1\х-у\+С2. Тогда если для всех іЄЕ2 выполнено неравенство Ых)\ Ых)\ Ъ(х), где fii(x) и ii2{x) — собственные числа линейного отображения f {x), то /(R2) есть выпуклая область и f отображает R2 па /(R2) гомеоморфію. Предложенное соискателем доказательство теоремы 1.4 состоит в том, чтобы убедиться, что из условий теоремы 1.4 вытекают условия теоремы 1.1. Н.С.Даирбековым было замечено что и наоборот, из условий теоремы 1.1 вытекают условия теоремы 1.4. В этом смысле обсуждаемые теоремы эквивалентны. Однако теорема 1.4, по нашему мнению, указывает направление, в котором следует искать многомерные аналоги теоремы Ефимова, что и было аіюрмулировано в качестве гипотезы в работах соискателя 1990 и 1991 годов [А2] и [А8]: ограничешія на рост спектрального радігуса обратного отображения от производной влечет инъективность многомерного отображешія.
Любопытно отметить, что в 1998 году к этой же самой гипотезе (остающейся открытой до сих пор) независимо пришли некоторые зарубежные ученые, спетщализируюттщеся в так называемой вещественной гипотезе якобиана [76], а в 2002 году другой группе зарубежных исследователей, занимающихся преимущественно динамическими системами, удалось обобщить теорему 1.4, показав, что отображение / остается инъективным даже если запретить приближаться к нулю собственным числам его производной лишь по вещественной оси (то есть разрешить им приближаться к нулю по другим направлениям), см. [77].
Во второй главе вопрос о вложимости локально-евклидовой метрики исследуется с помощью теоремы о глобальной обратной функции [74], [92], [98], [109]. Такой подход позволяет единообразно исследовать вложимость многомерных метрик. Кроме того мы показываем, что если погружение метрики уже построено, то задача о ее вложении может быть решена нашим методом при весьма слабых предположениях о гладкости погружения.
Отправной точкой наших исследований послужила статья И.Х. Сабитова [50] (см. также более позднюю статью [5G] того же автора), в которой прослежено, в какой мерс гладкость коэффициентов плоской локально-евклидовой метрики определяет гладкость изометрического погружения этой метрики в R2, изучены вопросы о нахождении изометрического погружения в квадратурах и о том, когда такое погружение является вложением.
Допуская некоторую вольность речтг, можно сказать, что во второй главе мы переносим указаіпіьіе результаты И.Х. Сабитова на многомерные метрики. В качестве типичного результата, полученного в этом направлении соискателем, укажем следующую теорему, даютпуто ограігачеїшя на коэффициенты локально-евклидовой метрики, при выполнении которых шар фиксированного радиуса заведомо допускает изометрическое вложение в евклидово пространство той же размерности.
Теорема 2.11 [A3]. Пусть в W1, п 2, задана локально-евклидова п метрика ds2 = ]Г) gij{u)duldu класса Ст, т 1. Для произвольной точки w Є Rn построим функции N(t) = sup V{v) и M(t) = inf W(v), \v-w\ t \v-w\ t. где det(gki(v)) l» = мПдам. ) = (,) 4 "S ТогЛг Лдл всякого положительного R. удовлетворяющего неравенству +00 RN(R) f M(t) dt, евклидов ишр радиуса R с центром w, снабэюенпый метрикой ds2, допускает изометрическое вложение в Ш1 класса Ст. Приводятся примеры, показывающие, что в утверждениях, приводимых в главе 2 и аналопгпгых цитированной выше теореме 2.11, интегральные ограничения на коэффициенты метрики, вообще говоря, не могут быть ослаблены.
В конце главы 2, мы применяем теоремы В.А. Зорича [23], [65] об устранимости изолированной особой точки локальпо-квазикошіюрмного отображения к вопросу о вложении 71-мерной конформно-евклидовой метрики в Еп, п 3.
Результаты второй главы опубликованы в работе соискателя [A3].
Третья глава диссертации посвящена решению интересного вопроса, аналогичного традиционным проблемам «геометрии в целом», при решении которого ключевую роль сыграли теоремы о строении «в целом» 1-квази-изометрических или 1-квазикон рормных отображений. Вопрос был инициирован польскими математиками К. Борсуком [72] и М. Мощинской [104] и может быть сформулирован так.
Пусть М — множество в евклидовом пространстве R", любые две точки которого могут быть соедтгены спрямляемой кривой, целиком лежащей в М. Точную нижнюю Гранину длин всех таких кривых называют внутренним расстоянием рм между данными точками.
Множество М с Rn, допускающее введение внутреннего расстошшя, называется жестким, если для любого множества iV с ]Rn, допускающего введение внутреннего расстояния, любая изометрия / : (М, рм) — (N, /?;v) может быть продолжена до изометрии пространства Rn с евклидовой метрикой па себя.
Вопрос состоит в том, может ли быть жестким множество М С R", если его размерность меньше п? Отмстим, что дополнительную красоту этому вопросу придает отсутствие каких-либо априоріп гх требоваїшй о наличии гладких структур у рассматриваемых множеств и отображений.
Мы приводим пример одномерного жесткого множества в R2, а именно мы доказываем, что объединение всех точек всевозможных прямых ах\ + Ъх2 + с = 0 с рациональными коэффициентами a, b и с имеет то-пологическую размерность 1 и является жестким в R2 (см. теорему 3.1 в диссертации). Этот результат был опубликован в 1993 году работе соискателя [А4]. Следующий шаг в этом направлении был сделан И. Хербурт. Она предложила кардинально отличающийся от использованного соискателем метод постросігая (п — 1)-мерных жестких подмножеств в Rn для любого п 2 [96]. Далее, в совместной работе с С. Унгаїюм [97] она обобщила оба метода и усилила результат, заменив топологическую размерность хаусдор ]ювой.
В связи с исследованиями по теории игр нобелевский лауреат по экономике Д. Гейл в соавторстве с X. Никайдо доказал следуютцую теорему, гарантирующую инъективиость некоторых отображений.
Теорема 4.1 [90], [107]. Пусть О, — прямоугольная область в R", т. е. О, = {х = (хі,... ,хп) Є Rn : йі ХІ ЬІ}, где щ, 6г- — вещественные числа или —со, +оо, и пусть отображение F = (/i,... ,/n) : О. — Rn дифференцируемо и, кроме того, каждый главный минор матрицы Якоби п»)=( )) положителен. Тогда отображение F иньективно. Некоторые вопросы, связашгые с этой теоремой, долго оставались или все еще остаются открытыми, см. например [107]. Одіш из них таков: верна ли эта теорема для произвольной выпуклой области О? В четвертой главе мы даем отрицательный ответ на этот вопрос. А имешю, мы даем геометрическое доказательство следующего утверждешія.
Теорема 4.2 [А5]. Для любого целого п 2 существуют эллипсоид А С R" и С°°-отобраоісепие F = (/ь-..,/п) : А —» Rn такие, что каа/сдый главный минор его матрицы Якоби F (x) положителен, по F не ипъективпо.
Результаты четвертой главы диссертации опубликованы в статье [А5] соискателя.
Более двадцати лет оставалась открытой так называемая гипотеза кузнечных мехов, согласно которой всякий изгибаемый многогранник сохраняет свой объем в процессе изгибатія [26]. Ее положительное решение было дано И.Х. Сабитовым в 1996 году [54]. Один из возможных подходов к гипотезе кузнечных мехов состоял в том, чтобы исследовать ее инфи-нитсзимальный аналог, предложенный в [81], а имеїпю — доказать, что объем нежесткого многогранника стационарен при его бесконечно малых изгибаниях. В пятой главе мы показываем, что такой инфшгатезимальный аналог неверен. Точнее, мы показываем, что у нежесткого многогранника, построенного А.Д. Александровым и СМ. Владимировой [3], объем не стационарен при бесконечно малом изгибагаш. Вместе с тем в этой же главе мы показываем, что объем всякой поверхности вращения стационарен при ее бесконечно малых изгибагашх.
Эти результаты опубликованы в работе соискателя [А1]. Они тесно связаны с более поздними работами А.Д. Милки [39], [40], [103], где вводится новый тип непрерывных изгибаний многогранников, назватгых им линейными изгибаниями, и более детально изучаются бесконечно малые изгибания нежесткого многогранника А.Д. Александрова и СМ. Владимировой; с работами Л.С. Велимирович [119]—[121], где более детально изучен вопрос о стационарности объема и других подобных характеристик для некоторых поверхностей вращения; и со статьями Ю.Д. Бураго и В.А. За-лгаллера [9], [22], в которых изучаются вопросы кусочно-лшгейного изометрического вложения в ]R3 компактных двумерных многообразий с полиэдральной метрикой (но не требуется наличия непрерывного семейства таких вложений). Упомянем также следующую родственную теорему, полученную Н.П. Долбилиным, М.А. Штанько и М.И. Штогриным в [17] и [18]: погруженная многогранная С([ ера или тор заведомо не изгибается, если каждая ее грань является параллелограммом.
В шестой главе диссертации описывается пример изгибаемого многогранника, в построении которого не используются октаэдры Брикара. Этот пример был построен еще до получения И.Х. Сабитовым в 199С году его знаменитого положительного решения гипотезы кузнечных мехов [54]. Все известные на тот момент изгибаемые многограішики содержали в качестве составной части какой-нибудь из октаэдров Брикара и, казалось, сохраняют свой объем именно благодаря этому обстоятельству. Сейчас ясно, что строить контрпример к гипотезе кузнечных мехов было бессмысленно, но иметь новые примеры ігзгибаемьгх многогранников оказалось полезным, по крайней мере, для постановки новых задач.
Результаты шестой главы опубликованы в работе соискателя [Аб].
До сих пор остается довольно много интересных открытых вопросов, так или иначе связаїшьгх с гипотезой кузнечных мехов. Один из гагх состоит в том, сохраняется ли объем изгибаемого многогранника в трехмерных пространствах постоянной непулевой кривизны. Легко понять, что в трехмерном пространстве Лобачевского всякий идеальный симплекс (т.е. симплекс в вершинами на абсолюте) является изгибаемым и не сохраняет в процессе изгибания ни объем, ни среднюю кривизну. Так что в пространстве Лобачевского интерес представляют компактные изгибаемые мпогограшшки и вопрос о постоянстве объема таких многогранников остается открытым (ясно только что, как это вытекает из ]юрмулы Шлефли, сохраняется некоторая линейная комбинация объема и средней кривизны).
Оказывается, в трехмерном сферическом пространстве ситуация иная. В седьмой главе построен изгибаемый многогранник, лежащий в открытой полусфере §+ С R4, и не сохраняющий в процессе изгибания ни объем, ни среднюю кривизну. (Тот факт, что в евклидовом пространстве любой размсрпости п 3 замкігутьій изгибаемый многограшгак сохраняет свою иитегралыгую среднюю кривизну, был впервые установлен Р. Алексан-дером [Об]). Используя этот пример, можно «слегка подпортить» любой изгибаемый многогранник в трехмерном сферическом пространстве так, что он перестанет сохранять объем (и среднюю кривизну) в процессе изгибания.
Результаты главы 7 опубликованы в работах соискателя [А7] и [А9].
В восьмой главе изучается вопрос о существовании локальной неявной функции для систем нелинейных алгебраических уравнений в случае, когда определитель матрицы Якоби зануляется в рассматриваемой точке. Найдены как некоторые достаточные условия, гарантируюттще существование локальной неявной функции, так и достаточные условия, гарантирующие ее отсутствие. Развитая при этом техника применяется для доказательства новых и классических теорем об изгибаемости или жесткости многогранников и каркасов.
Результаты главы 8 опубликоваїгьі в работах соискателя [А9] и [АН]. Опишем эти результаты более подробно.
Пусть F : R х Rm — Rn — дшр 1 еренцируемое отображеіпіе; , to Є R ; X, XQ Є Rm и пусть F(to, XQ) = 0. Классическая теорема о неявной функции дает условия, при которых уравнение F{t, X) — 0 определяет неявную функцию X = X(t) в некоторой окрестности точки (t0,X0). Главное из этих условий состоит в том, чтобы оператор F x(t0,Xo) был обратим.
Теорема о неявной функции имеет многочисленные приложения и обобщена в самых разных направлениях. В частности, ігзвестньї варианты этой теоремы, в которых существование неявной функции гарантируется в случае, когда оператор Fx(to, XQ) не обратим, см., например, [6&], [105] и [86]. В главе 8 мы приводим свой вариант теоремы о неявной функции при вырождении производной и приводим примеры се использования в геометрических задачах.
Наши исследования мотивированы изучением изгибаемых многогранников и каркасов. Возникающие при этом отображешія F вообще не зависят от параметра t. Именно на этом частном случае мы и сосредотачиваем свое внимание. Типичным примером системы нелинейных алгебраических уравнений, к которой применимы наши рассуждения, может служить следующая:
F\{t, Х\,Х2, хз) = х\ + х\ — х\ — 1 = 0,
F2(t,xi,a;2,X3) = За;і + х2 - Зх3 + 1 = 0, (1)
F3{t, х\,х2, хз) = х\— Зх2 + хз + 3 = 0. її
Параметр t в эту систему явным образом не входит. Точка Х0 = (5,5,7)т удовлетворяет системе (1). Определитель матрицы Якоби системы (1) за-нуляется в точке Хо = (хі, а:,2 ,2:3):
dctF x(t,X0) =
2жі 2x2 —2жз З 1 -З 1 -3 1 10 -14 З 1 -З 1 -3 0,
поэтому классическая теорема о неявной функции не применима. Тем не менее, из излагаемых ниже результатов будет следовать, что решение Х0 системы (1) не является изолированным, а принадлежит непрерывному семейству решений X = X(t), которое и является неявной функцией, определяемой системой (1) в окрестности точки Хо.
Пусть X = (zb...,sra) Є Rm и пусть F(X) = (F,(X),..., Fn(X)), причем каждая из функций F& (к = 1,... ,п) является многочленом. Не умаляя общности можем считать, что степень каждого многочлена Ft не превосходит 2. В таком случае F& можно записать в виде
mm т
Fk(x) = Е Е 4+Е РЇ +ч .
г =1 j=l г=1
где оф = а , Д и 7fc — некоторые веществешгые числа.
Определим билинейное отображение Б : Шт х Rm — R" по правилу: если X = (xi,... ,xm) Є Rm, У = (г/ь •• • »2/m) € Rm, то fc-я компонента вектора В(Х, Y) равна
Е Е а іх % » 1 А; п. І=І j=i
Определим также линейное отображение A : Rm — Rn по правилу: если X = (х\,...,хт) Є Rm, то к-я компонента вектора А(Х) равна
Х & Кк п.
г =1
Определим, наконец, линейное отображение С : СХ = В(Х0, X) + В{Х, Х0) + АХ.
1п формулой
Допустим, что в Ет нам дан конечный набор векторов YQ, Yi, ..., Yq. Выражение
Y{t) = J2YvtP
р=0
будем называть приближенным порядка q решением полиномиальной системы уравнений F(X) = 0, если для каждого р = 1,2,..., # коэффициент при tp в разложешпт функции F(Y(t)) в ряд Мак-Лореиа равен пулю.
Теперь мы готовы с }х рмулировать достатотшое условие сутцествования неявной функции, определяемой системой алгебраических многочленов.
Теорема 8.1 [АН]. Пусть
Y(t) = J2YptP (2)
р=0
является приближенным порядка q решением полиномиальной системы уравнений F(X) = 0. Пусть существует число к (0 к q) такое, что для всех і = 1,2,..., q и всех j — к, к + 1,..., q уравнение
CY = -D{YuYj) - B{YhYJ
имеет решение, лежащее в линейной, оболочке векторов Yk, Yk+\, ..., Yq. Тогда система уравнений F(X) — 0 имеет аналитическое семей оо
ство решений X(i) = J2 Xptp, начальный отрезок которого совпадает
с приближеннъш решением (2), т. е. такое семейство, что для всех р = 0,1,..., q справедливо равенство XP = YP.
Поясним смысл теоремы 8.1 «на пальцах». Если известно приближенное решение Y l=o XPtp порядка q — 1 полиномиальной системы уравнеіпій F(X) = 0, то для того, чтобы продолжить его в приближешюе решение порядка q, мы должны решить (относительно Xq) следующую линейігую алгебраическую систему уравнений:
-7-1 CXq = — 2 B\Xpi Xq-p).
р=1 Теорема 8.1 дает условия, при которых ренпго конечное число таких линейных алгебраігческігх систем уравнений, мы можем быть уверены в существовании интересующего нас точного решеїшя, представляющего из себя сумму сходящегося степенного ряда.
В главе 8 приведены примеры, показывающие, что, с одной стороны, условия теоремы 8.1 заведомо являются избыточными, а с другой стороны — их нельзя просто отбросить. Эти примеры показывают, насколько существенны условия теоремы 8.1.
В терминах введенных выше операторов В ж С мы указываем также некоторые необходимые условия существования неявной функции, определяемой системой полиномиальных уравнений F(X) = 0 (см. теорему 8.9 в диссертации). Пример 8.10 показывает, как можно эф рективно при-мененять эти условия.
Развитая в восьмой главе аналитическая техника позволяет доказать ряд классических результатов о бесконечно малых изгибаниях многогранников и их обобщений, называемых каркасами. Например, мы единообразно доказываем, что многогранник, обладающий жесткостью второго порядка, неизгибаем (см. теорему 8.13) и что проективный образ нежесткого многограішика опять является нежестким многограгашком (см. теорему 8.15). Из новых результатов, относящихся к бесконечно малым изгибаниям многогранников, упомянем, например, следующий:
Теорема 8.14. Пусть каркас К в Ш.п имеет одно нетривиальное линейно независимое бесконечно малое изгибание первого порядка и пусть существует число q 2, для которого К является оісестким порядка q. Тогда К является иеизгибаемым.
Отметим, что для гладких поверхностей результаты, аналогичные теореме 8.14, были получены Н.Г.Перловой [43], [44] и И.Х.Сабитовым [52].
В девятой, последней, главе доказано, что в трехмерном пространстве Минковского существуют изгибаемые многогранники (не являющиеся, к сожалению, вложешплми или погруженными) и что каждый такой многогранник сохраняет в процессе изгибания свой обобщенный объем и іпіте-гральную среднюю кривизігу. Для доказательства последнего результата детально разработано понятие угла между произвольными двумя ненулевыми неизотропными векторами на плоскости Минковского, которое может проставлять независимый интерес. Насколько известно соискателю, ранее такое же понятие угла было предложено Г.С. Гайдаловігчем и Д.Д. Соколовым [12], но у них многие свойства угла остались невыясненными или недоказашгыми.
Результаты девятой главы опубликованы в работе [А12] соискателя, после написания которой ему стало известно, что в статьях [115] и [118] было введено отличное от использованного им понятие неориентированного угла между двумя произвольными неизотропными нсігулевьіми векторами пространства Мннковского. Однако оказалось, что интегральная средняя кривизна многогранника по сути не зависит от того, какое именно определение угла между векторами используется.
В конце каждой главы пртгоедепы нерешенные задачи, цель которых — помочь новым исследователям войти в обсуждаемую проблематику.
Доказательство теоремы 1.2
Возможность изометрического погружения и вложения в R2 локально-евклидовой метрики, заданной в области на евклидовой плоскости, изучалась, в частности, в [10], [49], [50], [56], [87] и [93]. При этом в [10], [49], [50], [56] и [93], уделялось особое внимание пошіжению априорных требований к гладкости коэффициентов метрики, а в [49], [50] и [56] — еще и возможности вложения локально-евклидовой метрики, задагаюй в неодносвязной области. В настоящей главе вопрос о вложимоети локально-евклидовой метрики исследуется с помощью теоремы о глобальной обратной функции [74], [92], [98], [109]. Такой подход позволяет исследовать вложимость многомерных (а в принципе — и бесконечномерных) метрик. Кроме того мы показываем, что если погружение метрики уже построено, то задача о ее вложсшш может быть решена нашим методом при весьма слабых предположениях о гладкости погружения. В последнем параграфе настоящей главы, по аналогии с предыдущим, с помощью теоремы В.А.Зорігча об устранимости изолированной особеїпю-сти локалыю-квазикожрормного отображения [23], [65] исследуется вопрос о вложении п-мерной конформно-евклидовой метрики в Rn (п 3). 1. Определения и предварительные замечания Нам предстоит работать с несколькими экземплярами пространства Rn, которые мы для большей ясности будем обозначать через R" или R в зависимости от того, как обозначены координаты в этом пространстве: мі,...,ип или х\,..., хп соответствегаю. Всюду в этой главе мы будем предполагать, что в области D пространства R (п 2) задана метрика Напомним, что отображение х : D — R" называется (а) изометрическим влооїсепием метрики (1) в R", если х дифференци руемо, инъсктивно и приводит метрику (1) к стандартному виду (б) изометрическим погружением метрики (1), если каждая точка об ласти D имеет окрестность U такую, что сужение отображения х на UC\D является изометрическим вложением в R" множества U П D с метрикой Метрика (1) называется локально-евклидовой, если каждая точка области D имеет окрестность /, допускающую изометрическое вложение в R метрики (1). Изучение возможности вложения в R" метрики (1), очевидно, разделяется на следующие три этапа: (А). Нахождеігае условий на коэффициенты, при выполнении которых метрика является локально-евклидовой.
Сюда же относится вопрос о том, в какой степени гладкость коэффициентов дц гарантирует возможность нахождения гладкого вложения хц некоторой окрестности U произвола ной точки из D. (Б) Построение изометрического погружения х : D — R и выяснение в какой мере гладкость локальных вложений хц влечет общую гладкость вложения X. (В) Выяснение того, является ли изометрическое погружение х, построенное на втором этапе, вложением. Основной целью настоящего параграфа является изучение третьего этапа. При этом мы будем опираться па теорему о глобальной обратной функции. Поскольку она касается отображений, заданных во всем пространстве, то мы, как правило, будем предполагать, что метрика (1) задана во всем R". При этом изучение второго этапа оказывается довольно простым делом (см. лемму 2.1). Что же касается первого этапа, то хорошо известно, что необходимым и достаточным условием локальной евклидовости двумерной метрики с С2-гладкими коэффициентами является равенство нулю ее гауссовой кривизіш [49], [50]. Известны также некоторые условия для двумерных метрик с менее гладкими коэффициентами [93], [49], [50]. Условия локальной евклидовости достаточно гладкой многомерной метрики также известны: для этого необходимо и достаточно, чтобы ее тензор кривизны Rijki обращался в нуль [G4]. С другой стороны известно, что локальные проблемы изометрического вложения адекватно переводятся на язык чистого анализа [15]. В самом деле, построегаю локального изомет-рігческого вложения хц эквивалентно доказательству локальной теоремы существования для системы уравнений Последнее соображение делает возможным применение методов дифференциальных уравнений в частных производных и дает надежду на понижение требований гладкости к gij. Однако все это требует применения специальных методов и выходит за рамки нашего изложения. Нам же, для того, чтобы не акцентировать вшшаиие на первом этапе, удобно ввести следующее определение: Метрику (1) будем называть локально-евклидовой метрикой класса Ст (га = 1,2,...) в области D, если для каждой точки и Є D найдется ее ощюстность U и изометрическое вложение хц U П D — R класса Ст. Лемма 2.1. Каждая локально-евклидова метрика (1) класса Ст (га 1), заданная в одиосвязпой области D с R,, допускает изометрическое погруоюепие в 1R" класса Ст. Доказательство. Фиксируем точку щ Є D и такую ее окрестность С/о, что существует изометрическое вложение х0 = хц0 : Щ П D — Ш% класса Сш.
Для произвольной точки и области D построим конечный набор точек щ Є D (і = 1,2,..., iV) и их открытых окрестностей Ui С D так, чтобы 1) UN = Щ 2) для каждого г существовало изомстрігческое вложение ХІ — хиі UiD D — Ш." класса Cm; 3) для каждого і пересечение Ui-i П Ui являлось непустым связным множеством. Из изометричности отображений Xi-i и ХІ следует, что в каждой точке области определения отображеіпія Х{_і о х : Xi(U{ П С/г-і) —» R" его верхнее и нижнее рас-тяжеігая равны единице. Поскольку множество Xi{Ui П /г-_і) открыто и связно, отсюда следует, что найдется евклидова изометрия Д : R" — R", сужение которой на множество ,-(/{ П СЛ-i) совпадает с отображением хг_і ожг1. Другими словами, мы нашли такую изометрию Р{, что для всех и е Ui-i П t/г справедливо равенство Pi[xj(ti)] = Xj_i(u). Наконец, построим отображение х : D — R", задавая его значение в точке и равенством х(и) — (Pi о Р2 о о PJV_I о PN о хм)(и). Отображение х определено корректно в том смысле, что его значение в точке и не зависит от выбора вспомогательных точек щ и их окрестностей Uiy поскольку, очевидно, имеет место теорема о монодромии, а область D односвязна. С другой стороны, х по своему построению принадлежит классу Ст и является изометрическим погружешюм метрики (1). Лемма 2.1 доказана. 2. Вложения локалъно-евюптдовьгх метрик Следующая теорема является частным случаем теоремы Киллинга— Хопфа (см. следствие 2.4.10 из книги [11]). Она полностью решает вопрос о вложимости полной локально-евклидовой метрики, задашюи во всем пространстве R". Поэтому мы приведем ее независимое доказательство ниже. Теорема 2.2. Пусть локально-евклидова метрика (1) класса Ст (га 1) задана во всем пространстве R" (п 2). Тогда (а) если метрика (1) полна, то она допускает изометрическое вложе ние х : R -» Щ класса Ст, причем z(R) = Ш.пх; (б) если для некоторого I 1 метрика (1) допускает изометрическое вложение в R класса С1, причем x(R) = R", то она полна. Для доказательства теоремы 2.2 нам потребуются следующие определение и вариант теоремы о глобальной обратной функции, в которых используются обозначения: В и b — банаховы пространства, D — открытое и связное подмножество пространства В, х : В — Ъ — непрерывное отображение. Следуя Р.Пластоку [109], будем говорить, что отображешіе х удовлетворяет условию (L), если для любых точек х\у Х2 пространства Ъ и любого пути Р : [0, Т) — Д Т оо, удовлетворяющего для всех t є [0, Т) соотношению x{P{t)) = L(t), где L(t) = [(Т — t)x\ +tx2]/T, найдется последовательность точек ,-, стремящаяся при j — оо к числу Г слева, такая, что Hindoo P(tj) существует и лежит в D. Теорема 2.3 (о глобальной обратной функции; Р.Пласток [109]).
Вспомогательные утверждения
Перейдем к доказательству использованных выше свойств 3 и 4 отображения F. Лемма 3.2. Отображение F ипъективио. Доказательство. Предположим, что отображеіше F не является инъек-тивным. Тогда найдутся точки х -ф X из R2 такие, что F{x) = F(X). Окружим точки х \\ X соответствеїпіо треугольниками I и L так, чтобы выполнялись следующие условия (см. рис. 1): а) каждая сторона треугольников I и L лежит на некоторой рациональной прямой; b) треугольники I и L не пересекаются и не содержатся один внутри другого; c) точка F(x) = F(X) не содержится в множестве F(l) U F(L). Убедимся, что, варьируя I и L, можно добиться выполнения условия с). Допустим, точка F(x) = F(X) содержится в образе одной из сторон треугольника I. Заменим эту сторону отрезком рациональной прямой, параллельной указанной стороне треугольника I так, чтобы получешшй треугольник по-прежнему окружал точку х (см. рис. 2). Поскольку сужение отображешш F на множество А совпадает с отображением /, которое raiv ективно, точка F(x) = F(X) не содержится в множестве F{1). Проделав такую же процедуру с треугольником L, мы сможем найти треуголыгаки I и L со свойствами а) — с). Учитывая, что отображение F непрерывно, а его сужеігае на множество А совпадает с / и поэтому инъективно, убеждаемся, что образ каждого треугольника I и L при отображении F является непрерывной кривой, го-меоморфной окружности. Поэтому с точностью до перемены обозначений имеются следующие возможности взаимного расположения кривых F(l) и F(L) и точки F(x) = F(X) на плоскости: Убедимся, что конфигурация, изображенная на рис. 3, невозможна. Для этого выберем точки гго и XQ СО свойствами (см. рис. 8): (і) хо (соответственно Хо) лежит внутри треугольника (соответстветю L); (іі) обе координаты точек гго и Х0 рациональны; (Ш) точки F(xo) и F(XQ) лежат вігутри области, ограниченной кривой F(l). ПрямолинеШплй отрезок, соединяютций точки хо и Хо, обозначим через 7- В силу свойства (іі) имеем 7 С Л, а из свойства (і) следует, что отрезок 7 пересекает каждый из треугольников / и L ровно в одной точке. С другой стороны, сужение отображения F на множество Л совпадает с / и тем самым инъсктивно. Поскольку I U L U 7 С Л, кривая F(j) пересекает каждую из кривых F(l) и F(L) JJOBHO В ОДНОЙ точке. Как видно из рис. 9 последнее невозможно. F(L) Аналогичные рассуждения показывают, что конфигурации, изображенные на рис. 5 и 6, также невозможны.
Чтобы убедиться в невозможности конфигурации, изображенной на рис. 7, нам придется несколько усложнить предыдуттще рассуждения. А именно, выберем точки хо, уо, -о»-Хо о» %о со следуютцігми свойствами (см. рис. 10): (г ) точки хо, уо, го (соответственно Хо, ІҐО, ZQ) лежат внутри треугольника I (соответственно L) на одной ратцгоналыюй прямой; (W) обе координаты точек хо, уо, 2о Х0, Y0y ZQ рациональны; (in ) точки F(yQ) и F(Y0) лежат вне областей, ограничешгых кривыми F(l) и F(L). Ломаїгуто, состоящую из прямолинейных отрезков, соединяющих точки Уо и хо, хо и Хо, XQ и , обозначим через а; прямолинейный отрезок, соединяющий точки у0 и 1о — через /?; ломаную, состоящую из прямо-линейных отрезков, соединяюттщх точки г/о и го, ZQ И Z0, ZQ И 1О, — через 7- В силу свойств (г ) и (п ) aU/3U7 С Ли каждая из кривых а, /?, 7 пересекает каждый из треугольников I и L ровно в одной точке. Но сужешю отображения F на множество А инъективно, а поскольку aU/?U7U/ULcylii мы могли с самого начала считать, что кривые а, /?, 7 не пересекаются в своих внутренних точках, то и кривые F(a), F(/?), F(j) не пересекаются в своих внутреіпіих точках и каждая из них пересекает каждую из кривых F(l), F(L) ровно в одной точке. С учетом (Hi ) ясно, что если кривые F(a) и F(j) с такими свойствами уже зафиксированы, то нарисовать F(f3) уже невозможно (одна из таких конфигураций 50 изображена на рис. 11). Рис. 11 Аналогичные рассуждения показывают, что конфигурация, изображенная на рис. 4, также невозможна. Таким образом, допущение о неинъективности отображения F приводит к противоречию, которое и доказывает лемму 3.2. Для доказательства леммы 3.3 (т. е. использованного в 2 свойства 4 отображения F) нам потребуются две хорошо известные теоремы теории функций действительного переменного, а именно теорема Степанова — Радемахера (см. [60, пп. 3.1.6, 3.1.9]) и теорема Лузина (см. [60, п. 2.3.5] и [35, гл. 3]). Лемма 3.3. Существует муюэюество Е сШ2 нулевой лебеговой ліерьі такое, что в као/сдой точке х є Ш2\Е отобраоїсепие F ди / ференцируемо и его производная является ортогональным преобразованием. Доказательство. По теореме Степанова — Радемахера существует множество II нулевой лебеговой меры такое, что в каждой точке х Є Ш2 \ Н отображение F дифреретщруемо. Зафиксируем є 0. Найдем замкнутое множество #% содержащее Я и имеющее лебегову меру меньше е. Пусть каждый из шідексов i,j принимает одно из значений 1 или 2. Функция dfi/dxj конечна в каждой точке измеримого множества R2 \ Нє и измерима. Поэтому в силу теоремы Лузина существует замкнутое множество Hfj такое, что функция dfi/dxj непрерывна в!2\ (IIеU#?), а лебегова мера множества Hfj меньше є. 51
Гипотеза Сабитова для многогранников
Прежде всего уточним гипотезу Сабитова для многогранников. По определению бесконечно малые изгибания многогранника всегда линейны на каждой грани. Это затрудняет построение тривиального контрпримера, описанного в 1, но не исключает его полностью. В самом деле, всегда можно дополнительно триангулировать некоторую исходную грань многогранника так, чтобы какая-то вершина А триангуляции была внутренней точкой исходной грани, (см. рис. 1, на котором изображен невырожденный тетраэдр, одна из граней которого дополнительно триангулирована). Рис. 1 После этого можно приписать вернпше А ненулевой вектор скорости, oi -тогональный исходной граші, а скорости всех остальных вершин нового многогранника положить равными нулю. Продолжив по линейности это векторное поле с множества вершин на весь многограішик, получим поле изгибаний, причем соответствующий ему поток будет отличен от нуля. Этот пример надо считать тривиальным, поскольку он по сути своей локален. Чтобы исключить такие примеры, нам надо сузить класс рассматриваемых многогранников. Поэтому мы будем изучать лишь многогранники, не имеющие ложных вершин типа постросшгой выше вериппгы А. Точное определение ложной вершины оказывается не слишком простым делом: недостаточно сказать, что вершина является ложной, если коитіш-генция [58, с. 378] многогранника в ней есть плоскость. В самом деле, в приведегаюм только что примере мы можем заменить каждый треугольник дополнительной триангуляции боковой поверхностью тетраэдра (см. рис. 2, где нарисован многогранник, полученный из тетраэдра, изображенного на рис. 1, заменой каждого треугольника дополнительной триангуляции боковыми поверхностями вспомогательных тетраэдров). Получившийся миогограшпгк по-прежнему имеет поле изгибания, для которого поток отличен от нуля. Естественно, что верпппгу А такого многогранника по-прежнему надо считать ложной. Рис. 2 Итак будем называть верпппгу многогранника ложной, если найдутся три исходящих из нее ребра, лежанию в одной плоскости. Введенное понятие ложной вершины даже слишком ограничительно, так как, во-первых, наличие на многограгашке ложной, в смысле этого определения, вершшгы не означает, что многограшгак обязательно допускает поле изгибания с отлігчньгм от нуля потоком, а во-вторых, даже изгибаемый многограшгак Коннелли [30], [79] имеет ложную вершшгу. В самом деле, он получается из некоторого изгибаемого октаэдра (типа 1 по Брикару) заменой некотрых треугольных граней последнего боковыми поверхностями вспомогательных тетраэдров и последующим исключешюм возникающих самопересечений. В частности, исходный изгибаемый октаэдр может быть расположен в некоторой двумерной плоскости.
При этом две из шести его вершин оказьгоаются ложными. Оші же оказьгоаются ложными и в окончательно построешюм мпогограшшке Коннелли. И тем не менее справедлива следующая теорема, отвергающая даже после сделанных выше уточнений гипотезу Сабитова для многограшгаков. Теорема 5.2. В трехмерном евклидовом пространстве существуют многогранник В, гомеоморфный сфере и не имеющий ложных вершин, и его поле изгибаний С,, такие, что поток поля С, через многогранник В отличен от пуля. Доказательство. Покажем, что в качестве многогранника В может быть взята нежесткая бипирамида, построенная в [3]. Рассмотрим (см. рис. 3) правильную п-угольнук невыпуклую пирамиду, в основании которой лежит правильная гс-угольная звезда, а вершина пирамиды проектируется в центр звезды. При этом будем использовать следующие обозначения, ясные из рис. 3: h — высота пирамиды; а, 6, с — длины іюбер; q — расстояние от центра до дальней вершины А2І-\ звезды; р — расстоятіе от центра основания до ближней вершины Л2г, (г = 1,... ,7г); а = тт/п. Мы нашли удовлетворяющие условиям стационарности длин ребер скорости перемещений вершин Л{. При этом скорость вершины Аг направлена по прямой, проходящей через АІ и центр Q звезды. Это распределение скоростей вершин может быть продолжено по линейности на каждую из граней. Лемма 5.3 доказана. Возвращаясь к доказательству теоремы 5.2, мы вслед за А.Д.Александровым и С.М.Владимировой сложим основаниями две построенные в лемме 5.3 пирамиды. Считая соотношение (1) выполненным, получим нежесткую бипирамиду В. Вычислим поток поля изгибаний С, построешюго в конце доказательства леммы 5.3, через поверхность бипирамиды В. Как следует из леммы 5.1, численное значение потока дается интегралом / (C(x),m(x))dS, JB где т{х) — единичный вектор нормали к бипирамиде В в точке х, а интеграл берется по поверхностной мере бипирамиды В. В силу очевидных ciiMMCTpnq этот поток равеу умноженному на An потоку поля С через грань СА2ІА2І \. Учитывая, что в пределам этой грани нормаль к бипирампде В есть постоянный вектор, а скорости точек меняются по линейному закоігу, Итак, поскольку бипирамида В не жесткая, то р 0 то, Т = 0, а следовательно, и поток поля , через всю бипирамиду В отличен от нуля. Теорема 5.2 доказана. До сігх пор остается открытым вопрос о том стационарен ли объем для бесконечно малых изгибаний многогранников, продолжимых в изгибания достаточно высокого порядка. Наивысшим достижением в этом направлении следует считать дипломную работу И.А. Малашкипа, защищенную в МГУ под руководством И.Х. Сабитова, где показано, что существуют многогранники (а имегаю вложенные невыпуклые октаэдры) с нежесткостью второго порядка и с нестатцюнарностью объема.
Вспомогательный многогранник Q
В даіпюії главе мы построим изгибаемый многогранник, лежащий в открытой полус 1 ере +, и не сохраняющий в процессе изгибаїпш ни объем, ни среднюю кривизну. Результаты этой главы опубликованы в работе автора [А9]. 1. Введение Пусть К — двумерный замкнутый симтлщиалъный комплекс, Еп — п-мерное евклидово щюстранство, " — гс-мерная с 1 ера единичного радиуса пространства En+1, S" — открытая полусфера c J epbi п (т.е. компонента связности разности Sn \ г, где г — некоторая гиперплоскость в En+1, проходящая через цент]) с 1 еры п). Многогранником в Е3 (соотв. в S3) называется непрерывное в целом и аффинное на каждом симплексе отображешш Р : К — Е3 (соотв. — Р : К — 3). Еслиотображение Р является, локальным или глобальным гомеоморфизмом, то говорят, что многогранник Р погружен или вложен в соответствующее пространство. Впрочем, нам будет удобнее назьгоать многогранником образ Р(К) комплекса К при отображении Р. Изгибанием многогранника Р называется непрерывное по параметру семейство многогранников Pt : К — Е3 (соотв. Pt : К — S3) таких, что Р = Ро и все Pt{K) изометричны между собой в индуцированной из Е3 (соотв. из 3) метрике. Многогранник называется изгибаемым, если существует его нетривиальное изгибание, т.е. изгибание, не сводящееся к движению Р{К) в пространстве Е3 (соотв. S3) как твердого тела. Гипотеза кузнечных мехов Коннелли - Суливана [79] утверждает, что всякий (не обязательно вложенный или погруженный) ориентируемый изгибаемый многогранник в Е3 сохраняет свой (ориентированный) объем в процессе изгибания. Эта гипотеза доказана И.Х.Сабитовым для всех изгибаемых многогранников в Е3 [54], [55], [ИЗ]. Другое ее доказательство можно найти в работе [83]. Укажем также более рашгае работы [51], [53], [42], в котроых получены частичные результаты, приведите в конце концов к полному решению И.Х.Сабитовым гипотезы кузнечных мехов в трехмерном евклидовом пространстве. Кроме того, как известно, всякий тгзгибаемый многогранштк в En, п 3, сохраняет полігую среднюю кривизну в процессе изгибаїшя. То есть велігчина J2a )vol{g) а остается постоятпюй в процессе изгибаїшя многограіпіика. Здесь суммирование распространяется на все (п — 2)-мерные граїш д многогранника, а(д) означает величиїгу внутреннего двуграшюго угла, образованного двумя (п — 1)-мериыми гранями, сходящимися в д, a vol (д) означает (п — 2)-мерный объем грани д. Этот результат был впервые установлен Р.Александером [бб], а затем был независимо передоказан Ф.Альмгреном и И.Ривиным [67]. В данной главе мы построим изгибаемый многогранник, лежащий в открытой полус ] ере + и не сохраняющий в процессе изгибания ни объем, ни среднюю кривизігу. 2.
Предварительные соглашения Прямой (соотв. — двумерной плоскостью) на сс] ере S3 называется пересечение сферы 3 с некоторой двумерной (соотв. — трехмерной) плоскостью в Е4, проходящей через центр с ] еры S3. Аналогично, понятия угла между прямыми или плоскостями на с [ ере, а также — движения сферы, сводятся к соответствуютщш понятиям евклидова пространства. Необходимые нам для дальнейшего свойства прямых и плоскостей па с [ ере столь очевидно вытекают из соответствуюпщх свойств их евклидовых "двойников", что мы на этом не останавливаемся. С4 ерическим двуугольником называем часть двумерной плоскости в S3, заключешгую между двумя отрезками прямых, соединяющими две диаметрально противоположные точки с [юры Б3. При этом определяющие Ясно также, что Q не сохраняет объем в процессе изгибания, поскольку он может быть продеформирован как в дважды покрытый двууголышк, очевидным образом ограничивающий тело ігулевого объемна, так и в мно-гограгагак с заведомо положительным объемом. Столь же просто можно убедиться, что Q не сохраняет среднюю кривизну в процессе нетривиального изгибания. Для этого обозначим через N и S вершины многогратшка Q и в четырехмерном пространстве Е4, содержащем с4х:ру S3, проведем трехмерігую плоскость г, ортогональную отрезку NS С Е4. Точки пересечения плоскости г с ребрами многогранника Q обозначим через А\, А2, Л3 и Л4 (см. рис. 1). Средняя кривизна IIQ многогранника Q равна сумме (вычисленной по всем его ребрам) произведений длины lj ребра на величину внутреннего двугранного угла а;- между гранями Q, сходящимися в этом ребре: Но для каждого j мы имеем lj = тт (ведь 3 — это с4 сра единичного радиуса), а угол а,- равен соответствующему углу четырехугольника Л1Л2Л3Л4 лежащего на двумерной сфере единичного радиуса. Однако из сферической тригонометрии известно, что площадь четырехуголыглка на единичной с юре равна избытку суммы его внутрешпгх углов над числом 27г.
Обозначая через а площадь четырёхугольника Л1Л2Л3Л4 на соответствующей двумерной с 1 ере, окоіпіательно получаем Ясно, что в процессе де 1юрмации многогранника Q площадь а может быть сделана как равной ігулю (что имеет место, если А\ = Л3 или Л2 = Л4), так и заведомо положительной (что имеет место, если все точки Лі, Л2, Лз и А\ различны). Значит, а (а вместе с нею — и IIQ не сохраняется в процессе де 1юрмации. Построенный многогранник Q является в определенном смысле недопустимым примером, поскольку содержит две диаметрально противоположные точки сферы S3 (а имегаю — N и S). В следующем параграф мы модифицирем Q, освободив от этого недостатка. Разрежем многогранник Q по отрезкам В\В2, В2В3, В3В4 и В\В\ на два многогранника с краем, которые обозначим через Q\ и Q2. Фиксируем (достаточно малое) положительное число Ь. Подберем величину (с 1 ерического) поворота ш : S3 — 3, оставляющего неподвижным (сферическую) прямую В2В±, так чтобы (с } ерическое) расстояние между точками В і и ш{В\) было равно Ъ. Отметим, что величина поворота ш зависит от текущего значения параметра изгибания t. Поскольку (с 1 ерические) расстояния от точек В\ и В2 до (арерической) прямой В2В\ одинаковы, расстояние между точками ?з и UJ(B3) также равно Ь. Обозначим через R многогранник (без края), состоящий из а) многогранника Q2; б) многогранника w(Qi); в) четырех (с 1 ерических) треугольников BiB2w(Bi), BiB4w(Bi), В2В3ш(В3) и В4В3ШІВ3) (см. рис. 2). Из построения следует, что многогранник Я допускает нетривиальные изгибания при любом выборе точек I?i, В2, Дз и Д , удовлетворяющих условию (2), и любом выборе достаточно малого положительного числа Ь. 5. Об объеме многогранника R Покажем, что при любом выборе точек В\, В2у Bs и В удовлетворяющих условию (2), и любом выборе достаточно малого положительного числа b многогранник R не сохраняет объем в процессе нетривиального изгибания. В самом деле, при каждом значении параметра t многогранник R можно представить в виде объединения следующих четырех попарно неналегаю-тцих многогранников (здесь, конечно, имеются в виду пространственные тела, ограниченные соответствующими многогранными поверхностями): A) многогранник Q2 с присоединенными к нему треугольниками В\В2В\ и В2ВзВь\ Б) мпогограншж UJ(Q\) С присоединенными к нему треугольниками В2ВАш{Вх) и В2ВМВзУ, B) тетраэдр В\В2В±и(В{); Г) тетраэдр B2B3BAUJ(B3). Ориентация мпогограшшка R порождает противоположные ориентации на тетраэдрах В) и Г) (т.е. если один ігз них ориентирован с помощью внешней нормали, то другой будет ориентирован с помощью внутренней). С другой стороны, тетраэдры В) и Г) имеют соответственно равные стороны, а значит, их ориентироваїпіьіе объемы равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Следовательно, объем мпогограшгака R равен сумме объемов многограшшков А) и Б), а значит — объему мпогограшшка Q, который, как было показано в 3, не постоянен в процессе нетривиального изгибания.
