Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения 25
1.1. Обозначения и некоторые сведения из функционального анализа и топологии 25
1.2. Некоторые сведения из теории многозначных отображений 32
Глава 2. Обобщенное решение возмущенного включения 38
2.1. Выпуклая по переключению оболочка множества в пространстве суммируемых функций и "овыпукленное" по переключению отображение 39
2.2. Обобщенное решение возмущенного включения 57
2.3. Обобщенное решение возмущенного включения с ядром оператора V, представляющим некоторое множество, содержащее нуль 61
2.4. Обобщенное решение возмущенного включения с ядром оператора V, состоящим только из нулевого элемента 84
Глава 3. Краевые задачи для обобщенных решений функционально-дифференциальных включений 98
3.1. Квазилинейная краевая задача функционально-дифференциального включения 98
3.2. Существование обобщенных решений квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений 102
3.3. Обобщенные квазирешения и "бэнг-бэнг" принцип для обобщенных решений квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений 110
Литература
- Некоторые сведения из теории многозначных отображений
- Обобщенное решение возмущенного включения
- Обобщенное решение возмущенного включения с ядром оператора V, представляющим некоторое множество, содержащее нуль
- Существование обобщенных решений квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений
Введение к работе
В последние годы дифференциальные включения привлекают к себе все больший интерес. Это обусловлено широким использованием дифференциальных включений в прикладных задачах, задачах оптимального управления, теории игр, математической экономике. Дифференциальное включение можно рассматривать как формальное обобщение дифференциального уравнения, когда правая часть заменена на многозначное отображение. Поэтому для дифференциальных включений возникают задачи, аналогичные задачам из теории дифференциальных уравнений (вопросы разрешимости, продолжаемости, ограниченности решений и т.д). В то же время, ввиду многозначности правой части, дифференциальное включение обладает рядом специфических свойств. Это вопросы замкнутости, выпуклости семейства решений, выбор решений с заданными свойствами, связь множеств решений дифференциального включения, не'обладающего свойством выпуклости значений правой части, во множестве решений "овыпукленного" включения, представление множеств приближенных решений, устойчивости множеств решений к различного рода возмущениям и т.д. (см., например, [17], [18], [19], [30], [41], [64], [70], [78]). Это подтверждает, что дифференциальные включения не являются лишь формальным обобщением дифференциальных уравнений, а представляют собой самостоятельную теорию, имеющую свои особенности и требующую принципиально новых методов исследования.
Исследование дифференциальных включений началось в тридцатых годах двадцатого столетия в работах A. Marchaud (Маршо) [75], S. Zaremba (Заремба) [82] и продолжается до сегодняшнего дня. Отметим, что данными вопросами занимались многие математики (Н.В. Аз-белев, Ю.И. Алимов, А.В. Арутюнов, Б.И. Ананьев, Р.В. Ахмеров, Е.А. Барбашин, В.И. Благодатских, А.В. Богатырев, Ю.Г. Борисович, С.А. Брыкалов, А.И. Булгаков, В.В. Васильев, Е.Е. Викторовский, Е.А. Ганго, Б.Д. Гельман, А.А. Григоренко, А.Е. Ирисов, А.Г. Иванов, Н.Н. Красовский, А.Б. Куржанский, А.А. Леваков, Л.Н. Ляпин, В.П. Максимов, А.Д. Мышкис, М.С. Никольский, В.Р. Носов, В.В. Обу-ховский, Е.А. Панасенко, А.И. Поволоцкий, Е.С. Половинкин, Р.К. Ра-гимханов, Б.Н. Садовский, А.Н. Сесекин, В.В. Скоморохов, А.И. Субботин, Н.Н. Субботина, СИ. Суслов, Л.И. Ткач, А.А. Толстоногов, Е.Л. Тонков, B.C. Тонкова, СТ. Завалищин, Л.Н. Фадеева, А.Ф. Филиппов, Т.Ф. Филиппова, И.А. Финогенко, А.Г. Ченцов, П.И. Чугунов, З.Б. Цалюк, Н.А. Antosiewicz, A. Bressan, A. Cellina, С Colombo, J. Davy, Н. Frankovska, A. Fryskowski, Н. Hermes, W. Kelley, N. Kikuchi,
M. Kisielewicz, A. Lasota, S.J. Lojasiewicz, B.S. Mordukhovich, H. Murakami, S. Nakagiri, C. Olech, Z. Opial, N.S. Papargeorgiou, G. Pianigiani, A. Plis, S. Szufla, L. Wang, T. Wazewski, P. Zecca и многие другие). В настоящее время интенсивно изучаются включения, правая часть которых состоит из алгебраической суммы значений "хорошего" (имеющего замкнутые или замкнутые выпуклые образы) и "плохого" (не обладающего свойством замкнутости и выпуклости значений) многозначных отображений. Такие включения здесь называются возмущенными. Термин "возмущеі-гаьіе включения" связан с тем, что "плохое" многозначное отображение оказывает существенное влияние на топологические свойства значений этого отображения, порожденного правой частью этого включения. Дело в том, что замкнутые образы, не говоря уже о выпуклости значений, такого оператора нельзя получить ни при каких малых значениях "плохого" многозначного отображения. В связи с этим, все имеющиеся в настоящее время методы исследования (теорема Какута-ни [42], принцип сжимающих отображений [40]) непосредственно применить для изучения вопросов существования решений таких возмущенных включений нельзя. В то же время к таким включениям сводятся многие задачи дифференциальных и интегральных включений, теории аппроксимации, управления и игр. Поэтому построение теории возмущений многозначных включений представляет не только теоретический, но и практический интерес.
Основы теории возмущений заложены в работах [24]-[28], [33]-[3б], где "хорошее" многозначное отображение имеет выпуклые замкнутые или просто замкнутые образы, а "плохое" многозначное отображение является композицией линейного непрерывного интегрального оператора и многозначного отображения, имеющего выпуклые по переключению образы. Для этого случая рассмотрены вопросы существования решений возмущенных включений, а также топологические свойства множеств решений и квазирешений таких включений. В частности, в этих работах получены оценки близости решений к наперед заданной непрерывной функции, которые позволяют путем подбора функций определить приближенное решение возмущенного включения и дать оценку погрешности этого приближенного решения. Кроме того, доказано, что множество квазирешений возмущенного включения совпадает с множеством решений "овыпукленного" включения. На основе этого утверждения и полученных в [27], [35], [36] оценок доказан принцип плотности и "бэнг-бэнг" принцип. Если предположить, что в "плохом" операторе многозначное отображение не имеет выпуклые по переключению значения, то как по-
казывают простые примеры (см. замечание (2.3.16)), нарушается равенство между множеством квазирешений возмущенного включения и множеством решений "овыпукленного" возмущенного включения. Дело в том, что в рассматриваемом случае замыкание (в слабой топологии пространства суммируемых функций) значений многозначного отображения не совпадает с его замкнутой выпуклой оболочкой. Вследствии чего, не будут выполняться фундаментальные свойства множеств решений: принцип плотности и "бэнг-бэнг" принцип. Данную ситуацию нельзя исправить никакой непрерывностью отображения, не обладающего свойством выпуклости по переключению образов. Это обстоятельство еще раз подтверждает высказанное профессором В.М. Тихомировым утверждение о том, что выпуклость по переключению является специфическим понятием пространства суммируемых функций, которое играет такую же фундаментальную роль, как понятие выпуклости множества в банаховом пространстве. Выпуклость по переключению неявно используется во многих разделах математики: в теории оптимизации, теории дифференциальных включений, математическом моделировании и т.д.
В диссертации утверждается, что выход из данной ситуации можно найти с помощью введения понятия обобщенного решения, которое определяется с помощью выпуклой по переключению оболочки множества, принадлежащего пространству суммируемых функций. Это обобщенное решение наследует многие свойства классического решения возмущенного включения. И, кроме того, если многозначное отображение в произведении регулярно, т.е. имеет выпуклые по переключению значения, то обобщенное решение совпадает с классическим.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
Содержание первой главы носит вспомогательный характер. Здесь собраны основные определения и обозначения, а также утверждения, используемые в основном тексте.
В 1.1 приводятся общие сведения из функционального анализа и топологии.
В 1.2 собраны используемые сведения из теории многозначных отображений.
Главы 2, 3 содержат основные результаты диссертации.
Приведем вкратце результаты изложенные в главе 2 и 3. Нумерация приводимых утверждений совпадает с их нумерацией в параграфах.
Некоторые сведения из теории многозначных отображений
Пусть X - метрическое пространство с метрикой рх 1. Последовательность точек хп, п = 1,2,... метрического про странства X называется сходящейся, если существует х Є X, для ко торого при любом є 0 найдется такое щ, что рх(щ,х) є для любого п по- Точка х = lim хп (определена однозначно) называется п—J-CO пределом последовательности хп, п — 1, 2, Пусть U С X. Точка х Є X называется предельной точкой множества U, если существует последовательность точек этого множества, сходящаяся к х. Множество U, получаемое присоединением к U всех его предельных точек, называется замыканием множества U. Множество М называется плотным в множестве U, если U С М. Множество U называется замкнутым множеством, если U — U. Множество U называется открытым множеством, если X\U замкнутое множество. Окрестностью точки х называется любое открытое множество, содержащее точку х.
2. Метрическое пространство X, в котором имеется счетное всюду плотное множество U(X = U), называется сепарабельным. Любое подмножество сепарабельного метрического пространства само сепарабельно [43, стр.149].
3. Множество U С X называется предкомпактным, если любая последовательность элементов этого множества содержит сходящуюся подпоследовательность. Если пределы указанных подпоследовательностей принадлежат U, то множество называется компактным. Множество всех непустых, компактных подмножеств X обозначим сотр[Х.
4. Последовательность хп, п = 1, 2,... называется фундаментальной, если для любого є 0 найдется такое ng, что рх(хп:хт) є для любых п т щ. Любая сходящаяся последовательность является фундаментальной последовательностью. Обратное, вообще говоря, не верно.
Метрическое пространство X называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится. 5. Теорема(Бэра): Пусть X - полное метрическое пространство и Un, п = 1,2,... - последовательность открытых подмножеств X, каждое из которых плотно в X. Тогда плотно в X и их пересечение: X = П-Un [51, стр.16]. 6. Отображение F : X — Y называется непрерывным в точке х Є X, если для любой последовательности Sj ЕХ, І = 1, 2,... из условия Рх(Х{,х) — 0 при І — ОО Следует, ЧТО py[F(«j), (ж)] — ОО при г — оо. Отображение і 1 : X —)- У называется непрерывным (на множестве С/), если оно непрерывно в каждой точке пространства X (в каждой точке множества U). Пусть X, Y - линейные нормированные пространства. 7. Множество U с X называется выпуклым, если оно содержит наряду с любыми двумя точками х, у Є U их линейную комбинацию Хх + (1 — Х)у при любом Л Є (0,1).
Замыкание выпуклого множества является выпуклым множеством. Пересечение конечного числа выпуклых множеств также является выпуклым множеством. Выпуклой оболочкой со U множества U называется наименьшее выпуклое множество, содержащее U и состоящее из всевозможных п конечных линейных (или выпуклых) Комбинаций ]Г) ХІХІ, где Хі г=1 п 0) X) г = 1 и каждое ЖІ принадлежит Z7. Множество со7 называется г=1 замкнутой выпуклой оболочкой множества С/". 8. Если множество В Є X предкомпактное в X, то со В также предкомпактное множество в X [51, стр.16]. 9. Пусть А - замкнутое ограниченное подмножество пространства Еп. Тогда выпуклая оболочка множества А замкнута, т.е. со А = со А [40, стр.196]. 10. Точка х Є X называется неподвижной точкой отображения F : X -) X, если х = F(x).
Теорема (Шаудера) : Пусть X - линейное нормированное пространство, U - выпуклое замкнутое множество в X, F : U —у X -непрерывное отображение, F(U) С U, F{U) - предкомпактное множество в X. Тогда F имеет неподвижные точки [42, стр.627].
11. Пусть U - выпуклое подмножество X. Точка XQ Є U назы вается крайней точкой множества U, если она не является внутренней точкой никакого интервала с концами из U или, если из соотношения XQ = \x-\r (1 — X)y, x,y Є U, 0 Л 1 вытекает х = у = XQ. Обозначим ext U - множество крайних точек множества U, extlf = ext U.
Теорема (Крейна-Мильмана): Каждое непустое компактное выпуклое множество А С X является замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек A = co(extA). [69, стр.89] (Заметим, что в [69] это утверждение доказано для более общих пространств.) Следствие 1. Пусть А С X - компактное множество такое, что соА также компактное множество. Тогда ext(caA) С А. [69, стр.89] Следствие 2. Если А С X - компактное выпуклое множество, то extA - минимальное замкнутое подмножество А такое, что со(ёх1А) = А. [69, стр.90]
12. Функционал / : X —у Ж1 называется полунепрерывным сверху (снизу) в точке х Є X, если из того, что хп —» х в X при п —ь оо следует, что f{x) lim sup f(xn) {f(x) . liminf f(xn)), n—»00 n—)-oo где lim sup f(xn) (liminf f(xn)) - наибольшая (наименьшая) из пре п-Лоо n— -оо дельных точек последовательности f(xn).
Функционал / : X —У Ж1 называется полунепрерывным сверху (снизу), если он полунепрерывен сверху (снизу) в каждой точке X Є X.
Функционал / : X — Ж1 является полунепрерывным сверху (снизу) в точке х Є X, тогда и только тогда, когда для любого г Є Ж1 множество {х Є X : f(x) г} ({х Є X : f{x) г}) замкнуто в Ж1 [51, стр.20], [20, стр.7].
13. Множество всех непрерывных линейных функционалов на X образует линейное нормированное пространство X и называется со пряженным к X. Последовательность жпеХ, п — 1, 2,... слабо сходится к х Є X при п — в пространстве X, если lim f(xn) = f(x) для любого n-j-oo fex\ Сходимость в пространстве X ( или по норме) влечет слабую сходимость в пространстве X. Обратное, вообще говоря, неверно. В линейном нормированном пространстве можно ввести топологию так, чтобы сходящимися в смысле этой топологии последовательностями были слабо сходящиеся последовательности и только они [67, стр.45]. Такая топология называется слабой.
Обобщенное решение возмущенного включения
Рассмотрим в пространстве Сп[а, Ь] включение ЄФ(ж) + УФ(ж), (2.2.1) где сумма понимается как алгебраическая сумма множеств, многозначный оператор Ф : Сп[а,Ь] —) Q(C"[a, &]) компактен, а многозначное отображение Ф : Сп[а, Ь] — Q(L"[a, 6]) обладает свойством: для каждого ограниченного множества В С Cn[a, b] образ Ф(В) ограничен суммируемой функцией. Линейный непрерывный интегральный оператор V : TJ{ [a, b] — Cn[a, b] определен равенством a и переводит каждое слабо предкомпактное в L"[a, 6] множество в пред-компактное множество пространства Сп[а, Ь] (см.[1.1;27]).
Отметим, что многозначные операторы Ф : Сп[а, Ь] - ЩСп[а, Ъ]) и Ф : Cn[a, 6] —» Q(L[a, 6]), вообще говоря, могут быть и не вольтерро-выми отображениями. Кроме того, значения Ф(ж) в включении (2.2.1) не предполагаются выпуклыми множествами, поэтому образ УФ(х) в (2.2.1), вообще говоря, не только не является выпуклым, но и замкнутым множеством пространства Cn[a, b]. И, следовательно, оператор, порожденный правой частью включения (2.2.1), не замкнут даже в случае, когда отображения Ф : Сп[а,Ъ] -» 1(Сп[а,Ъ}) и Ф : Сп[а,Ъ] -» Q(L?[a,b]) непрерывны по Хаусдорфу. И, как показывают простые примеры (см. замечание (2.3.16)), никакие "малые" значения УФ(ж) не могут сделать значения этого оператора с замкнутыми образами. В связи с этим обстоятельством естественно назвать включение (2.2.1) возмущенным включением.
Определение. Решением включения (2.2.1) называется такой элемент х Є С"[a, 6], для которого справедливо включение (2.2.1). Таким образом, каждому решению х Є Cn[a, b] включения (2.2.1) соответствуют такие v Є Cn[a, Ъ] и z Є L"[a, 6], что v Є Ф(ж), z Є Ф(ж) и ж = -у + V z.
Отметим, что возмущенное включение (2.2.1) изучалось в статьях [8], [9], [21], [22], [24] - [28], [33] - [36] в предположении, что отображение Ф : Cn[a, b] -і Q(Li[a, b]) имеет выпуклые по переключению образы. Здесь не предполагается, что отображение Ф : Cn[a,b] - Q(L"[a, b]) имеет выпуклые по переключению значения. В связи с этим все существующие в настоящее время методы исследований (см. [1.2;33] ; [1.2;50]) многозначных включений нельзя применить даже для вопроса разрешимости возмущенного включения (2.2.1). Кроме того, в этом случае нарушается равенство между множествами квазирешений включения (2.2.1) и решений "овыпукленного" включения (2.2.1) (см. (2.3.43)), впервые установленное для обыкновенных дифференциальных включений Т. Важевским (см. замечание (2.3.19)). В следствии этого не выполняются фундаментальные свойства множеств решений: принцип плотности и "бэнг-бэнг" принцип. Отметим, что эту ситуацию нельзя исправить никакой непрерывностью отображения Ф : Сп[а, b] - Q(L"[a, &]) (см. замечание (2.3.16)). Здесь доказывается, что выход из такого положения можно найти с помощью введения обобщенного решения включения (2.2.1). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПОД обобщенным решением включения (2.2.1) будем понимать всякую функцию х Є Cn[a,b]7 для которой существуют функции v Є Сп[а, Ь] и z Є L"[a, 6], что v Є Ф(ж), z Є ПФ(ж) и выполняется соотношение х = v + V.Z.
Таким образом, для каждого обобщенного решения ж Є Cn[a,b] включения (2.2.1) найдется функция v Є Ф(ж) и такая последовательность Zi Є Ф(х), і = 1, 2,..., что последовательность г/г-, г = 1, 2,..., составленная из функций Z{, г — 1,2,..., в виде конечных комбинаций (2.1.1), стремится к z в пространстве L"[a, 6] при г — оо и v + Vyi — ж в Сп[а, Ь] при г —У оо .
Заметим, что если отображение Ф : Cn[a, b] — Q(L [a, 6]) имеет выпуклые по переключению значения, то согласно лемме (2.1.2) обобщенное решение включения (2.2.1) совпадает с решением. Если отображение Ф : Сп[а, b] - Q(Li[a, &]) не обладает свойством выпуклости по переключению образов, то, как показывают простые примеры, обобщенное решение возмущенного включения (2.2.1) может не совпадать с решением (см. замечание (2.3.16)).
Замечание 2.2.12. Как известно впервые опеределение обобщенного решения для дифференциальных уравнений с разрывной правой частью было введено А.Ф. Филипповым (см.[63], [64], [66]). Для интегральных уравнений с разрывным оператором обобщенные решения рассматривались в работах [1], [3]. В этих работах обобщенные решения являлись либо решениями дифференциальных включений с выпуклой правой частью, либо решениями интегральных включений с выпуклознач-ными образами. Предлагаемое выше обобщенное решение возмущенного включения не использует традиционную операцию "овыпукления" уравнений, необладающих свойством непрерывности, введенное впервые А.Ф. Филипповым для дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Так как "овыпукленное" по переключению отображение Ф : Сп[а, Ь] —У П[Ь"[а, 6]], определенное равенством (2.1.32), с помощью которого определяется обобщенное решение возмущенного включения (2.2.1), вообще говоря, не обладает свойством выпуклости значений. В связи с этим правая часть включения (2.2.1), в котором образы Ф(х) заменены на значения Ф(х) (ПФ(ж)), также не обладает этим свойством.
Обобщенное решение возмущенного включения с ядром оператора V, представляющим некоторое множество, содержащее нуль
Здесь предполагается, что ядро оператора V : L"[a, Ъ] — Cn[a, 6], определенного равенством (2.2.2), состоит только из нулевого элемента, а множество решений обобщенного овыпукленного возмущенного включения (2.2.1) разложимо (определение см. ниже). В этом случае удается установить "бэнг-бэнг" принцип для обобщенных решений включения (2.2.1).
Отметим, что "бэнг-бэнг" принцип играет важную роль в теории управления, поскольку позволяет "упростить" систему управления путем сужения множества допустимых значений управления. При этом замыкания в пространстве непрерывных функций множеств траекторий первоначальной и упрощенной систем управления совпадают. Таким образом, "возможности" упрощенной системы управления в этом случае сравнимы с первоначальной. В то же время "управлять" упрощенной системой гораздо проще, так как множество допустимых управлений существенно сужается (во многих случаях допустимое управление можно осуществлять простыми, с точки зрения вычислений, функциями, иногда их называют релейными).
Напомним, что Я (7), HC0(U), Hext(U) - множества обобщенных решений включений (2.2.1), (2.3.44), (2.3.53), принадлежащих множеству U С Сп[а, Ь],, соответственно, а Я, Ясо, Hext- множества всех обобщенных решений соответствующих включений. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что для обобщенных решений включения (2.2.1) на множестве U С Сп[а: Ь] выполняется "бэнг-бэнг " принцип, если выполняется равенство Щр) = НЛЇЇ) = НС0(Ю, (2.4.1) где Я(U), Нехъ(U)-замыкания в пространстве Сп[а, Ъ] множеств H(U),Hext(U), соответственно. определение. Будем говорить, что множество Ясо (ЯС0(Я)) разложимо по многозначным отображениям Ф : Сп[а, Ъ] — f2(Cn[a, b]), соФ : Сп[а, Ь] — 7(П[Ь"[а, &]]) (или просто разложимо), если каждое решение х Є Ясо {HC0(U)) однозначно представимо в виде х = v + Vz, (2.4.2) где v Є Ф(ж), z Є со (ПФ(ж)). Далее, определим отображение V : HC0(U) — Cn[a,b] равенством V(x)=v, (2.4.3) где функция v Є Сп[а, 6] определена представлением (2.4.2). Обозначим через V-1(?/) прообраз элемента у Є Cn[a,b] оператора V : L"[a, 6] —?- С"[a, 6], определенного равенством (2.2.2). Отметим, что если У г{у) ф- 0, то он состоит только из одного элемента в силу условия V_1(0) = 0. определение. Будем говорить, что отображения V -. иЦа,Ь] — С"[а,6],Ф : Сп[а,Ь] - П(Ц[а,Ъ]),Ф : Сп[а,Ъ] -» Q(L?[a,&]) обладают свойством А на множестве U С Сп[а, 6] (в случае U = Сп[а,Ъ] будем говорить,что эти отображения обладают свойством А ), если для любого є 0 существует такое 5 0, что для любого v є C [a, Ь], удовлетворяющего неравенству z/ci[a,&] выполняется свойство А 7 (см. 2.3), а решение уравнения (2.3.15) удовлетворяет неравенству 11 11 е. Ядро оператора V : L"[a, Ъ] — Cn[a, 6] состоит только из нулевого элемента, множество HC0(U) разложимо. Лемма 2.4.17. Пусть U - замкнутое множество пространства Cn[a, Ъ] и пусть многозначные отобраоїсения Ф : Cn[a, Ъ] Q(Cn[a, 6]); соФ : Cn[a, 6] - S7(II[Li[a, b]]) полунепрерывны, сверху на U, а множество HC0(U) разложимо. Тогда: 1) отображение V : HC0(U) - Cn[a, 6], определенное равенством (2.Jh3), непрерывно; 2) суперпозиция У г{1 — V) : HC0(U) —)L"[a, 6] непрерывна в слабой топологии пространства L"[a, 6] и компактна в этой топологии, где I : Cn[a, 6] —Cn[a, 6] - тождественный оператор. доказательство. Пусть последовательность ж є HC0(U), і = 1,2, Это означает, что для любого і ,= 1,2,... существует zi Є со ПФ(ЖІ), для которого выполняется равенство х{ = Т(х{) + Уъ. (2.4.4)
Согласно определению отображения V : HC0(U) — Cn[a, 6] для любого г = 1,2,... имеет место включение V(xi) Є Ф(ЖІ). ИЗ равенства (2.4.4) вытекает, что для любого г = 1,2,... справедливо соотношение Z{ — V l{xi — V(xi)). Пусть теперь Х{ — х в пространстве Cn[a, b] при г — со. Покажем, что последовательность Р(жг-), сходится в пространстве Cn[a, 6], а последовательность Z{ имеет предел в слабой топологии пространства L"[a, b]. Действительно, предположим противное. Тогда в силу компактности последовательностей V(xi) и Z{ в соответствующих топологиях найдутся две пары последовательностей Т{х{\), z{\ и Т(хц), z , обладающие свойством: V{xii) — v±, а Т(х ) — v2 в пространстве Cn[а, 6] и 2ji - гі, a z — 2 2 слабо в пространстве L"[а, 6] при j —» 00, причем г і г»2 и z\ ф z2. Переходя в равенствах (2.4.4) к пределу при j —ї со по соответствующим последовательностям, получим соотношения х = v1 + Vz1, х = v2 + Vz2. (2.4.5)
Так как отображение Ф : Сп[а, Ь] — Q,(Cn[a) Ь]) полунепрерывно сверху, то vi, v2 Є Ф(ж). В силу леммы (2.3.16) отображение со Ф : Cn[a, 6] —) П(П[Ь"[а, 6]]) ослабленно замкнуто, поэтому 2 , z2 Є со ПФ(ж). Таким образом, ж - решение обобщенно овыпукленного возмущенного включения (2.2.1), но равенства (2.4.5) противоречат разложимости множества HC0(U). Следовательно, последовательности V(XJ) и 2 имеют пределы в соответствующих топологиях, причем limV(xi) = V{x\ а і—too lira Zi — V l{x — V{x)). Таким образом, отображение V : HC0(U) — г— -оо Cn[a, 6] непрерывно в пространстве Cn[a, 6], а отображение У_1(7 —Р) : Нсо(и) — L"[a, 6] непрерывно в слабой топологии пространства L"[а, 6]. Слабая компактность суперпозиции У_1(/ — Р) непосредственно вытекает из предположения, что для каждого ограниченного множества пространства Cn[a, Ъ] образ отображения Ф : Сп[а, Ь) —) Q(L"[a, 6]) ограничен суммируемой функцией. Лемма доказана.
Существование обобщенных решений квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений
Действительно, в силу того, что обобщенное решение задачи (3.1.8) эквивалентно включению (3.1.13), то из утверждения теоремы (2.3.4) вытекает утверждение теоремы (3.2.2).
Следствие 3.2.2. Пусть U - такое выпуклое ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а, Ъ], что ty$(U) С U, где оператор : Сп[а, Ъ] — 2c"ta bJ определен равенством (3.2.1). Пусть оператор Грина G : L"[a, b) — Cn[a, b], и многозначные отображения ср : Cn[a,6] -» П(сотр[Мп]),Ф : Сп[а,Ь] - Q(L?[a,b]) обладают свойством A.Ve на множестве U, где функция v Є С+[а, b] определена равенством, (3.2.6), є 0 и пусть функция до; представимая равенством (3.2.5); принадлежит множеству U . Тогда существует обобщенное, решение х Є U задачи (3.1.8), которое удовлетворяет неравенствам (3.2.12), (3.2.13), (3.2.14). Если Ф : Cn[a, b] — Q,(Q(Li[a,b])), то утверждение справедливо и при є = 0. Действительно, так как согласно теореме (2.1.2) "овыпукленное" по переключению отображение Ф : Сп[а,Ь] — П[Ь"[а, &]], определенное равенством (2.1.32), непрерывно, а также в силу эквивалентности обобщенного решения задачи (3.1.8) и включения (3.1.13), то согласно теоремам (3.2.1),(3.2.2) справедливо утверждение следствия.
Замечание 3.2.1. Отметим, что следствие (3.2.2) дает несколько больше, чем просто условия существования обобщенного решения задачи (3.1.8). Оно дает способ нахождения приближенного обобщенного решения задачи (3.1.8) путем подбора функции до Є Cn[a,b], если при этом оператор Грина G : L"[a, 6] — Cn[a, b] известен. При этом функция є дает оценку погрешности приближенного решения (функции до) обобщенного решения задачи (3.1.8).
Далее, для отображения : Сп[а, Ь] —» 2с" а,ь1, определенного равенством (3.2.1), приведем достаточные условия существования выпуклого ограниченного замкнутого множества U С Сп[а, 6], для которого справедливо вложение ф(У) С U.
Пусть отображение ш : Сп[а, Ъ] —У Ж.1 определено равенством ш(х) — тах{ \с\ : с Є р{%)} (3.2.15) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что оператор Грина G : L [a, Ъ] —у Cn[a, Ъ] и многозначные отображения ip : Cn[a, 6] —У Q(comp[Rn]), Ф : Сп[а, b] — Q(Li [a, 6]) обладают свойством В , если найдутся изотонные непрерывные операторы Гг : С\[а7 Ь] — L+fa, 6] и Р2 : С;Ца, 5] — Ж1, удовлетворяющие следующим условиям: для любого х Є Cn[a, 6] и любого измеримого множества U С [a, Ь] выполняются неравенства ФОЛЬГО/) Г2№))ь?(го (3-2.16) ы(ж) Р2№)); (3.2.17) для непрерывного оператора #2 С+[а,6] —» С+[а, Ь], определенного равенством (& )( ) = J G(t, e)r2( )(s)de 4- AP2W, (3.2.18) а сходятся последовательные приближения. Здесь \G(t, s)\ - согласованная с пространством Жп норма п х п-матрицы G(t, s) в представлении (3.1.3), число А задано равенством (3.2.7), отображения Z : Сп[а,Ъ] - С+[а, 6] и и : Сп[а, Ъ] -У R1 определены равенствами (2.1.42), (3.2.15), соответственно.
Пусть и Є С;Ца, Ь] - неподвижная точка оператора $ : С\[а,Ь] —У C+[a, b], заданного равенством (3.2.18). Определим непрерывное отображение W : Cn[a, Ъ] —У Cn[a, Ъ] соотношением (ш \(+\ J если а;( ) ( ); ( )( ) = Ь( ) ,.ч і /+м (л (3.2.19) Из леммы (2.3.15) вытекает
Следствие 3.2.3. Пусть оператор Грина G : L"[a, 6] - Сп[о, 6] и многозначные отобраоїсения ip : Cn[a, 6] — П(сотр[Еп]), Ф : C" [a, 6] — Q(Li[a,o]) обладают свойством В. То2(9а множество U — co$)3(W(Cn[a, b])) - выпуклый компакт пространства Cn[a,b], для которого справедливо вложение 9p(U) С U, операторы W : Сп[а,Ь] —У Cn[а, 6], ф : Cn[a,b] - 2c"fa заданы соответственно равенствами (3.2.19), (3.2.1). Из следствий (3.2.2),(3.2.3) вытекает Следствие 3.2.4. Пусть оператор Грина G : L"[a, 6] —» Сп[а,Ъ] и многозначные отображения ip : Cn[a, Ъ] — Q(comp[Mn]), Ф : Сп[а,Ь] —)Q(L"[a, 6]) обладают свойствами AVe и В; где функция ve Є СіЦа, 6] определена равенством (3.2.6), є 0 и пусть функция до представи-ма равенством (3.2.5). Тогда существует обобщенное решение задачи (3.1.8), которое удовлетворяет неравенствам (3.2.12), (3.2.13), (3.2.14). Если Ф : Сп[а, Ъ] — r2(Q(L"[a, Ц)} то утверждение справедливо и при є = 0. определение. будем говорить, что оператор грина g : l"[a, ъ] — cn[a, 6] и многозначные отображения у? : cn[a, 6] -» п(сотр[мп]), ф : сп[а, ь] — q(l"[a, 6]) обладают свойством л, если выполняются следующие условия: найдется функция /з є lj[a, 6], что для любых х7у є cn[a, b] и любого измеримого множества u с [а, 6] выполняется неравенство ььда[ф(ао; %)] j p{s)ds\\x - yc»[a,b] (3-2.20) найдется число о; 0, что для любых х,у є сп[а, ь] имеет место оценка %0); рш \\х - у\\с"{а,ь] (3.2.21) для функции /3 є ъ\ [a, b] и числа а 0 справедливо соотношение ь max / g(,s)/?(s)(2s + aa 1, (3.2.22) te[a,b] j a где число а задано равенством (3.2.7), \g(t, s)\ - согласованная с пространством жп норма п х n-матрицы g(t,s) в представлении (3.1.3).
