Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Преобразование Коши функционалов и классы Карлемана стр. 21
1.1. Изоморфизм пространств A(D,M) и A*(G,M) стр.26
1,2, Квазианалитичность и экстремальная задача для субгармонических функций стр. 43
Глава 2. Квазианалитичность и некоторая задача Дирихле стр. 49
2.1. Функции Uq и их свойства стр. 49
2.2. Эквивалентность проблемы квазианалитичности и разрешимости некоторой задачи Дирихле стр. 56
Глава 3. Локализация проблемы квазианалитичности ...стр. 69
3.1. Теорема о локализации стр. 69
3.2, Критерии квазианалитичности при некоторых условиях на область ...стр. 77
Литература стр. 86
- Квазианалитичность и экстремальная задача для субгармонических функций
- Эквивалентность проблемы квазианалитичности и разрешимости некоторой задачи Дирихле
- Теорема о локализации
- Критерии квазианалитичности при некоторых условиях на область
Введение к работе
Пусть Мп — положительная последовательность. Множество бесконечно дифференцируемых на отрезке / функций называют классом С{Мп} на отрезке I, если каждая функция этого множества ограничена на / и если ей соответсвует такая положительная константа k = k(f), что при х Є I выполняются неравенства /<">(!) <кПМп (71 = 1,2,...).
Интервал / может быть конечным или бесконечным, замкнутым, открытым или полуоткрытым.
Заметим, что класс С{5пп\} при S > 0 состоит из функций аналитических в 5 — окрестности отрезка, таким образом по теореме единственности, если функция f(z) 6 С{5пп\] обращается в нуль вместе со всеми своими производными , то она тождественно равняется нулю.
В 1912г. Адамар [24] поставил следующую проблему:
Указать такие условия, которым должны быть подчинены Мпзчтобы бесконечно дифференцируемая функция класса С{Мп} на интервале I, обращающаяся в нуль вместе со всеми своими производными в некоторой точке xq из I, была тожественно равна нулю.
Такой класс называют квазианалитическим в точке xq Є J.
Квазианалитический класс может быть охарактеризован следующим образом: две функции, принадлежащие такому классу и совпадающие вместе со всеми своими производными в некоторой точке xq Є і, тождественны.
Данжуа [23] дал достаточные условия для того, чтобы класс был квазианалитическим. А именно, он указал, что класс С{Мп] будет таковым, если
Мп = (п1пп..Лпрп)п, где р — произвольное целое фиксированное число, а 1пр п — р-ая итерация логарифма. Им также была высказана гипотеза, что условие со 1 достаточно для квазианалитичности класса.
Карлеман [22] полностью решил проблему, дав необходимые и достаточные условия квазианалитичности. Островский [28] указал другие интересные условия. Наконец, условие, которое дал Мандельброит, указанное им в [26]; оно же независимо было переоткрыто Бангом [19]. Бее эти условия, будучи необходимыми и достаточными для квазианалитичности в некоторой точке из интервала /, эквивалентны между собой. Эти условия не зависят от вида интервала и точки в этом интервале. Теорема о квазиналитичности называется теоремой Данжуа-Карлемана.
С каждой последовательностью положительных чисел {Afn}^L1 под-чиненных условию lim Мп = со свяжем так называемую функцию следа T(r) = sup jj~. Последовательность M% — sup ^т называется п>1 п г>1 выпуклой регуляризацией последовательности {Мп}.
Теорема(Данжуа-Карлемана).Л'аэ«(?ое из следующих условий является необходимым и достаточным для того, чтобы, класс С{Мп} на произвольном интервале I, был квазианалитическим. і а) Если положить j3n — inffc>„ М > то оо .. he»
ЬГ(г) J
2—ат = со. в) Либо lim Мтгп < оо, lim М ~ оо и У^ —-г1- = оо. где {М} ~~ выпуклая регуляризация посредством логарифмов последовательности {Мп}.
Условие (а) — это условие Карлемана, (б) — условие Островского, условие (в) было дано в работах [26] и [19]. Все эти условия эквивалентны [25].
В последующем эта классическая проблема квазианалитичности обобщалась в различных направлениях и устанавливалась связь квазианалитичности с другими задачами, например с задачей аппроксимацией полиномами: Бреннан [21], Хачатрян [15], с задачей аппроксимацией рациональными функциями: Гончар [3].
Мандельбройт С. в работах [11], [27] обобщил проблему квазианалитичности в следующем смысле: Пусть {vn} возрастающая последовательность натуральных чисел. Класс С{Мп} является квазианалитическим {ип} на полупрямой / = [rf,оо), если единственнной функцией /(х), принадлежащей С{Мп} на/и удовлетворяющей условиям: /(с) = /t"n'(c) = 0(с є /, п — 1,2,...) является функция, тождественно равная нулю (класс квазианалитический в классическом смысле на \d, ос) является класс квазианалитический {п}). То есть, нет необходимости допускать, что все производные функции обращаются в нуль в некоторой точке, чтобы заключить, что эта функция тождественно равна нулю. Можно лишь предположить, что она сама и достаточно большое число ее производных обращаются в нуль в некоторой точке.
В работах [4], [5], [8] Джрбашян М.М., Китбалян А.А для заданого параметра -у рассмотрели подклассы С7{МП} С С{[0;+оо)\Мп} и простейшие функционалы {L^fp}^3 такие, чтобы лишь при J —j-ffidг = оо для любой функции ір(х) Є Cj{Mn} из равенства V^p — 0 (п=0, 1, 2,...) следовало тождество <р(х) = О, х Є [0, +оо) (при у — 1 мы получаем классическую проблему квазианалитичности).
Одно из обобщений принадлежит Б.Р.Салинасу [29] и Б.И. Корен-блюму [10].
Пусть Д7 = {z : |argz| < ir/2j,0 < \z\ < 00} — угол раствора с вершиной в точке z — 0, М- = {Мп} — последовательность положительных чисел, через Я(Д7,Л/() обозначим класс функций аналитических в Д7, удовлетворящих условию f{n\z)
Заметим, что функции из этого класса со всеми производными непрерывно продолжаются до границы Д7, в частности до точки z — 0. Этот класс называется квазианалитическим в точке 2 = 0, если из /Н(0) = 0,n = 1,2,.., следует f{z) = 0.
Теорема. Для квазианалитичности Н{&У,М.) в нуле необходимо и достаточно выполнение условия
In Г (г) dr = 00. / 2±1
Пусть D — круг с центром в точке zq радиуса R. Классы H{D>M) определяются аналогичным способом. Для граничной точки круга условие квазианалитичности дается теоремой Коренблюма [9]:
Теорема(Коренблюм). Класс H(D^M) квазианалитичен в граничной точке тогда и только тогда, когда
In 7»
I Г I I I '/' 1 dr = со.
Задача о квазианалитичности в граничной точке zq выпуклой ограниченной области D рассмотрена в работе [17] (см. также [18]).
Проведем опорные прямые к выпуклой области D в точках, отстоящих от zq на длину дуги s и пусть ^(s)tt — величина угла между этими прямыми, в котором лежит область D. Положим R{x) = ехр^ L^fldln\ х Є (0;х0), где xq — любое положительное число, меньшее длины границы D. Тогда условием квазианалитичности является
Г Иг) dr = 00 J, г2Я-Чг) где R_1(r) — функция, обратная к функции R(x).
Также стоит отметить работы [7],[16],[20] в которых рассматривается проблема квазианалитичности для других классов функций.
В диссертации рассматривается проблема квазианалитичности классов функций определенных в областях более общего вида. В случае произвольной области вывод непрерывно продолжаемой функции до границы области является нетривиальным вопросом, по-этому мы работаем с классами Карлемана определенными в смысле Дынькина [6].
Пусть Е — совершенное компактное множество на плоскости С. Ком-плекснозначная функция / называется бесконечно дифференцируемой на множестве ", если существуют непрерывные на Е функции /о, /ь,.., такие, что fo(z) = /(г), z Є , и при любых п = 0,1,2,..., к = 0,1, ...,п функции
ЛпЛС,*):=/Ж)-Д+Р(2)(С Z)P равномерно по C,bz Є Е удовлетворяют оценке \RnAC,z)\=o(K-zrk).
Заметим, что для бесконечно дифференцируемой функции / функции fk однозначно определяются самой функцией по реккурентным соотношениям
АО*) = /(*)> Л+і(*) = lim MO-Mz\ fc = 0,1,- с—* с - z
В частности, во внутренних точках Е функция / оказывается голоморфной, причем Д(г) = f^k\z), и все производные функции / непрерывно продоллсаются до границы множества Е. Имея в виду это обстоятельство, в дальнейшем для бесконечно дифференцируемых функций на Е вместо Д будем писать j^k\
Для возрастающей последовательности положительных чисел Л4 = (Mn)%L0 и натурального числа q через Aq(E, М) обозначим класс бесконечно дифференцируемых функций / на Е, для которых выполняется условие |Я».*(С,*)1 < Cfqn+lMn+1 ^Vj-Vi)!' c,z є Е> где постоянная С не зависит от п, к и , z Е. Классом Карлемана Л(Е,М.) называется объединение всех классов Aq(E, Лі), q Є N, Класс
Карлемаиа называется квазианалитическим в точке zq границы области Е.
План содержания диссертации таков: Классы Карлемаиа рассматриваем как индуктивный предел пространств Aq(E, М) и доказываем, что это пространство представляет собой преобразование Коши на некотором весовом пространстве функций в дополнение области Е до расширенной плоскости. Тем самым мы получаем, что проблема квазианалитичности в точке Zq эквивалентна полноте системы {(С ~ zo)~n} п ~ 1,2,... в упомянутом весовом пространстве. Затем мы изучаем проблему полноты с помощью теоремы N. Sibony [30] и доказываем, что полнота системы эквивалентна некоторой экстремальной задаче субгармонических функций. Эту экстремальную задачу сводим к разрешимости некоторой задачи типа Дирихле. Анализируя эту задачу типа Дирихле доказываем теорему о локализации проблемы квазианалитичности. И уже из локализационной теоремы выводим интегральные критерии для некоторых не выпуклых областей.
Перейдем к подробному обзору результатов работы. Нумерация приведенных во введении теорем, лемм и формул та же, что и в соовеству- ющих разделах.
В главе 1 показано, что пространство A(D,JA) представляет собой преобразование Коши на некотором весовом пространстве функций в дополнение области D до расширенной плоскости. Тем самым мы получаем ,что проблема квазианалитичности в точке Zq эквивалентна полно- те системы {(C~zo)~n} п — 1) 2,... в этом весовом пространстве. Введем необходимые обозначения:
Последовательность тп = —Г, п~ 0,1,..., п! называется присоединенной последовательностью. Всюду в дальнейшем считаем, что последовательность (тп) регулярна [6]. Определим функцию на положительной полуоси M(x)=sup г, х > 0. fc>0 гпкхк
10 Через G обозначим дополнение D до расширенной плоскости, то есть G - С \ Д и пусть d(0=inf К-4 Сєс, — функция расстояния до границы G. Для q Є N введем банахово пространства X, = {7 6 Я(0), 7(со) = 0, №, = sup Jg|y < ос}.
В силу монотонного убывания функции М{х) пространство Xq+\ непрерывно вложено в пространство Xq. Через A{G,M.) обозначим проективный предел пространств Xq: A(GtM) = \im pvXq.
В силу ограниченности снизу функции М(х) для любого z Є D функция (С — z)"1 принадлежит A(G,М). Следовательно, для любого линейного непрерывного функционала S на A{G>M) можно определить его преобразование Коши:
Лемма 1,1. Для любых zq, zDuk>l,q>Q имеют место неравенства "xQ < qk+1mk+ik\z- zQ\
1 , 1 1 v 1 „ < 2
Из второго утверждения леммы следует, что функция S{z) голоморфна в Z), причем
3W = * (^)
Точно так же можно получить общую формулу для произвольного к > 1:
Из первого неравенства в лемме следует, что для любого zq Є 0D существует предел Jfc! \ {z-zo)k+\
5^(г0):= lim S^(«) = 5, f то есть функция S^(z) непрерывно продолжается на D. Пространство линейных непрерывных функционалов на A(G,M) с сильной топологией обозначим через A*(G,M).
Теорема 1.1. Пусть последовательность (тп) регулярна, а область D жорданова. Тогда отображение С : S і—У S устанавливает mono-логический изоморфизм между пространствами A*(G, Лі) и A(D, Лі).
То, что отображение С непрерывно действует из A*(G, М) в A{D> М.) следует из леммы 1.2
Лемма 1.2. Для любого линейного непрерывного функционала S на пространстве A(G,M.) ее преобразование Коти S(z) лежит в пространстве A(D,M), причем для любого S Є X*, q N имеет место неравенство где Q — число, которое существует по условию регулярности последовательности (тп).
Следующий шаг — показать инъективность отображения С. По теореме Банаха инъективность будет следовать из полноты системы {(С — г)-1, гё D} в пространстве A(G, М.). Поскольку по лемме 1.1 для любой точки z Є dD функция j~- приближается в пространстве A(G,A4) системой {(С — z)~l, z Є D], то нам достаточно доказать полноту системы {( - z)'1, z D].
Для этого нам достаточно доказать плотность пространства //(G), состоящего из голоморфных в G функций, в A(G, Лі).
Лемма 1.3. Пространство H(G) плотно в A(G,A4).
Для доказательства леммы 1.3 используем теорему N.Sibony [30]:
Теорема А. Пусть Ф — положительная функция на области голоморфности Г2. Предполоэюим, что
Ф(г)~2\п5ц(г) = (sup
Здесь Q — область в пространстве Cn, d(z) — обычное расстояние до границы Q, 5q(z) = (1 + |z|2)-1/2 и
Лемма 1.5. Если / Є Н2(0,ехр(—Ф)6%і8$)) то выполняется неравенство
1/(01 < ^м(Л)(і + K\2Wl С е Q, где У/Ц обозначает норму в пространстве Я2(П,ехр(—Q)$qSq)-
Для доказательства сюръективность отображения С используем теорему о пеевдоаналитическом продолжении из работы Е.М.Дынькина [6]:
Теорема В, Пусть D — некоторая область в С и тп = ^р- — регулярная последовательность. Тогда любая функция f из класса А(0,Л4) может быть продолжена до непрерывно дифференцируемой функции F с компактным носителем в С такой, что дС, - M{Bd{QY сєс' где С,В — некоторые константы.
Из теоремы 1.1 и леммы 1.1 по теоремы Банаха получаем следующий критерий квазианалитичности.
Теорема 1.2, Пусть последовательность (тп) регулярна и точка z = О лежит на границе ограниченной жордановой области D. Класс A(D, Л4) квазианалитичен в точке z = О тогда и только тогда, когда в пространстве A[G,Лі) полна система """, п — 1,2,...
Далее вводим в рассмотрение класс Kq функций v, удовлетворяющих условиям: функция v непрерывна и субгармонична в С\ {0}; v(0 = 0(ln ,) при С -> 0; «(О < lnAf(gd(0), CeG.
Очевидно, что вместо последовательности Мп можно рассматривать последовательность Мп/еМа и считать, что mo = 1/е, Тем самым,
М{х) > 1/то — е и 1пМ(гг) > 1. Поэтому в определении класса Кч можно добавить еще один пункт:
4) v{z) > 0.
Теорема 1.3. Пусть последовательность (mn) регулярна и точка z = О лежит на границе ограниченной эюордановой области D. Класс A[D, Л4) квазианалитичен в точке z = 0 тогда и только тогда, когда для каждого q Є N выполняется условие supMO, v Є Kq} = In M{qd{Q)y QeG.
В главе 2 доказывается, что проблема квазианалитичности эквивалентна разрешимости некоторой задачи типа Дирихле.
Введем в рассмотрение функции Cg(O = supM0, vGKq}, С Є С.
В леммах 2.1, 2.2, и 2.3 мы формулируем и доказываем некоторые свойства функций Uq(Q :
Лемма 2.1. При любом q N либо Uq(Q ~ со в D, либо Uq(Q является гармонической функцией в D.
Лемма 2.2. Если для q Є N функция Uq{Q = оо в D , mo в G выполняется тождество Uq(OmlnM(qd(0).
Лемма 2.3. Если для данного q функция Uq(z) конечна в некоторой точке z\ Є D , то в любой окрестности любой точки z Є 8D есть точки С Є G, в которых Uq(Q < InM(qd(Q),
Леммы 2.1, 2.2 и 2.3 позволяют сформулировать новые критерии квазианалитичности.
Теорема 2.1. Пусть последовательность (тп) регулярна и точка z = О лежит на границе ограниченной жордановой области D. Класс A(D,M) квазианалитичен в точке 2 = 0 тогда только тогда, когда для любого qeN sup{v(z), v Kq} — оо, С, Є D.
Теорема 2.2. Пусть последовательность (тп) регулярна и точка z = О лежит на границе ограниченной окордановой области D. Класс A(D,A4) не квазианалитичен в точке z = 0 тогда и только тогда, когда для каждого g Є N, начиная с некоторого qo, найдется область Dq, со-держащая D \ {0}, и гармоническая функция h() в Dq, равная на ее границе lnM(qd(()), и удовлетворяющая условию lim _^L=+oo (2.3) \z\—>о — In \z\
В главе 3 показывается свойство локальности проблемы квазианалитичности, то есть, если две области D^Di совпадают вокрестности общей граничной точки го, то классы A(Di,Ai), A(D2,Ai) в точке zq квазианалитичны или не квазианалитичны одновременно.
На основе этого свойства, используя уже известные критерии, удается получить новые критерии квазианалитичности при определенных ограничениях на область.
Теорема 3.1.
Пусть последовательность (тп) регулярна и точка z = 0 является общей граничной точкой двух ограниченных жордановых областей D'7D". Если при некотором г > 0 б круге Z?(0,2г) эти две области совпадают, то есть D'f)B(Oy2r) = D"f}B(0,2r), то классы A(D ,Л4), A(D ,Л4) е точке z = 0 кваэианалитичны или не кваэианалитичны одновременно.
Теорема 3.2.
Пусть D, Di — односвязные области, Q — область, содержащая за-мыкание D и if — аналитическая функция в Г2 такая, что
Следствие 1.
Пусть Z?, D\ — односвязные области, Q, fii — области, содержащие соответственно замыкания D,Di и tp — конформное отображение Сі на Qi такое, что
Пусть В' — В'(а,Щ — внешность круга B(a,R) в расширенной плоскости, то есть В'(а, Я) = С \ В(а,П). Тогда для любой точки zq Є дВ1 критерием квазианалитичности класса Л(В ,-М) в точке zq является условие
1пГ(г) Л з "г " » T(r) = sup — -- функция следа последовательности М.
Далее рассматриваются области, граница которых локально совпадает с графиком некоторой функции у — и(х)у \х\ < 5. Через П(и,<5) обозначим надграфик функции и(х) над интервалом (—$; + — $), то есть Q(u) — {z — х + iy : у > и(х), \х\ < 5}.
Теорема 3.3. Пусть жорданова область D локально совпадает с над-графиком некоторой функции у = «(я), \х\ < 6, причем и(0) = 0. Это значит, что Зля некоторого г > 0 множества Dp|B(0,r) и fi(u,)p|i?(0,r) совпадают. Если для некоторого а > 0 \и(х)\ < ах2, то класс A{D,M) квазианалитичен в точке z — 0 тогда и только тогда, когда выполнено условие
1пГ(г) і т і і 111 dr = со.
Квазианалитичность и экстремальная задача для субгармонических функций
Функцию т }t_C\P в дальнейшем будем обозначать через /Ш(С)- Таким образом, функция fw{Q обладает свойствами Предположим, что система п, п = 1,2,..., полна в A{G,M). Это значит, что для любой функции 7 из A(G,M) существует последовательность полиномов Pn{z), Рп(0) — О, n = 0,1,..., такая, что при п — оо в пространстве A(G,M). В частности, для любого е 0 найдется полином P(z), Р(0) = 0, такой, что Тогда Для полинома P\{z) = P(z)/(1 + є) выполняются неравенства Исходя из этих наблюдений введем в рассмотрение класс Kq функций и, удовлетворяющих условиям 1) функция v непрерывна и субгармонична в С \ {0}; 2) «(С) = 0(1п ) при С-Ю; 2)v(Q \nM(qd{Q)t С eG. К примеру, функции max(ln jPi(i), — lnmo), где полиномы Pi удовлетворяют 1.19), попадают в класс Kq. Очевидно, что вместо последовательности Мп можно рассматривать последовательность Мп/еМо и считать, что TTIQ = 1/е. Тем самым, М(х) 1/тпо -ей ЫМ(х) 1. Поэтому в определении класса Kq можно добавить еще один пункт: 4) v(z) 0. Теорема 1.3. Пусть последовательность (тп) регулярна и точка z = О лежит на границе ограниченной жордановой области D. Класс A(D, Af) квазианалитичен в точке z = 0 тогда и только тогда, когда для каждого q N выполняется условие Доказательство. По теореме 1.2 из квазианалитичности класса A(D M) следует полнота системы _п, п = 1,2,..., в пространстве A(G,M), То, что из полноты этой системы следует условие (1.20), мы уже показали выше, поскольку функции max(ln (Рі(і), — lnmo) принадлежат классу Kq. Обратное утверждение докажем на основе следующей леммы. Лемма 1.6. Пусть для некоторого q выполняется условие Тогда любая функция из пространства A(G, А4) аппроксимируется системой п, п — 1,2,..., в норме пространства Xq/2Q, где Q — число из свойства (1.2) регулярной последовательности. Доказательство, В качестве функций (рі в теореме А возьмем функции 2г (), где v Кя и пусть Qi = С \ {0},П = С \ D. Положим Для этих данных условия теоремы А выполнены в силу предположения леммы. Поэтому любая функция из пространства Я2(П,ехр( —Ф)) аппроксимируется функциями из в норме пространства Я2(Гї,ехр(-Ф)5 5о). Возьмем функцию 7 Є A(G, А4).
Поскольку речь идет об аппроксимации функции 7 линейными комбинациями функций -п, то можем отбросить несколько членов из разложения 7 в ряд Лорана около оо. Итак, можем считать, что того, по лемме 1.4 имеем Из этих двух соотношений находим5 что 7 Є H2(Q,ехр(—Ф)). Пусть /„ Є (J Я2(С\{0},ехр(—2V(Q)5Q) — аппроксимирующая последовательность и дп = fn — 7- По лемме 1.5 имеем где ега —» 0 и qi = q/2Q. Функция М{х) ограничена сверху при х 1 , поэтому из последней оценки получим где Qn — полином не более чем второй степени, a 7n(o) = 0. Поскольку 7 голоморфна в точке = оо и, более того, 7(00) = 0, то Qn{0 — это регулярная часть fn в оо и /п — Qn голоморфна в оо и принимает там значение 0. Также как в доказательстве теоремы 1.1 покажем, что где е п —» 0. Это значит, что функции /„() — Qn(Q аппроксимируют функцию 7 в норме пространства Xqi. Функция fn принадлежит одному из пространств следовательно, Отсюда и из определения классов Kq в силу субгармоничности /п не трудно получить, что функция /п в точке С = 0 имеет полюс порядка N. Так как fn — Qn голоморфна в бесконечности, то эта функция представляет собой линейную комбинацию функций п , п = 1, 2,..., JV.
Таким образом, мы показали, что функция 7 аппроксимируется системой С, п в норме пространства Xq/2Q-Лемма 1.6 доказана. Закончим доказательство теоремы 1.3. Если условие (1.20) для всех q Є N выполнено, то по лемме 1.6 функции из Л(С, Лч) приближаются системой (C_n) в норме каждой из пространств Xq/2Q, то есть в топологии пространства A{G,M). Теорема 1.3 доказана. (С) = вирМС), veKq}, с є с. Лемма 2.1. При любом q Є N либо Uq() оо е D, либо Uq(Q является гармонической функцией в D. Доказательство. Через D\ обозначим множество точек из D, в которых Uq{z) = оо и пусть Дг — {z Є D : Uq(z) со}. Возьмем любую точку ZQ Є D и возрастающую последовательность функций vn Є Kq) для которой lim vn(zo) = UJZQ). Пусть 2d — inf — ZQ\. Каждую функцию vn rap-монически продолжим в круг B{zQ,d). Очевидно, что полученные таким образом функции vn также лежат в Кя, причем, поскольку vn vn, то lim vn(zo) = Uq(zo), Применим к каждой из этих функций неравен п— оо сто Харнака: в круге B(zo,d/2) имеем Левые неравенства показывают, что, если ZQ Є JDI, TO B(zo,d/2) С D\, а правые неравенства показывают, что, если ZQ Є 2, то B(ZQ d/2) С D - Таким образом, оба множества D\ и D% открыты в D. В силу связности D это значит, что одно из них должно быть пустым. Нам остается показать, что если D\ = 0 , то Uq гармонична в D. Возьмем произвольную точку w Є i?(zo,t//2) и также как для точки ZQ построим возрастающую последовательность функций hn(z) Є Kq таких, что lim hn{v ) — U„[w). Затем гармоническим продолжением в П—00 круг В(го,(Г)у получим возрастающую последовательность функций hn с тем же свойством: lim hn(w) — Uq(w). Теперь положим sn(z) — maji(vn(z),hn(z)). Ясно, что Гармонически продолжая sn в круг B(zQyd), построим функции 7п, обладающие теми же свойствами. Кроме того, понятно, что sn побольше обеих функций vn и hn. Положим и Неотрицательная гармоническая в B(zo)d) функция S — V во внутренней точке го равна нулю. По принципу минимума 5 = V. Аналогично,
Эквивалентность проблемы квазианалитичности и разрешимости некоторой задачи Дирихле
Теорема 2.2. Пусть последовательность (тп) регулярна и точка z = О лежит на границе ограниченной эюордановой области D. Класс A(D,Ai) не квазианалитичен в точке z = 0 тогда и только тогда, когда для каждого q Є N, начиная с некоторого qo, найдется область Dq, содержащая D \ {0}, и гармоническая функция h{Q в Dq, равная на ее границе In M(qd(Q)} и удовлетворяющая условию Доказательство. Очевидно, что при выполнении условий теоремы класс A(D%M) не может быть квазианалитическим. Пусть известно, что класс A{D,M.) не квазианалитический. Тогда для фиксированного q N продолжим функцию \nM(qd(Q) на всю плоскость, полагая равной +оо на D. Пусть В наших предположениях по теореме 2.1 найдется до Є N такое, что D Э D, а по лемме 2.3 при этом пересечение D f]G не пусто. Ясно, что для q до будет то же самое. Лемма 2.4. Множества совпадают, открыты в G и функция Uq(Q гармонична в G .
Доказательство. Очевидно G" С G . Допустим, что существует точка Со Є G такая, что Со Є С \ G". Для сокращения обозначений положим Т \nM(qd( o)) и пусть для некоторого а 6 (0,1/2) Возьмем наибольшее г 0 такое, что гармоническая мажоранта V(Q функции InM{qd{C,)) в круге B( Q,r) удовлетворяет условию Теперь возьмем произвольное б 0 и найдем в В( о,г) точку w со свойством — это возможно поскольку Со 2", значит, С/ (Со) = lnM(gd(Co))-Пусть при этом \w — Col = г) причем можем считать, что 5 . Найдется функция г; Є Kq такая, что Через v обозначим гармоническое продолжение функции v в круг -?(сь г)-Так как в круге v V, то по выбору числа г имеем о есть v(() — аТ Є Kq, причем Значит, Применим неравенство Харнака к этой функции в круге B{w, (1 — 5)г): Из последних двух неравенств получим Следовательно, Сравним эту оценку с (2.4): или Устремим 5 и є к нулю и получим, что а = 0. Это значит, что о - G . Пришли к противоречию. Итак, G = G". Поскольку Ug — полунепрерывна сверху, a \nM(qd(Q) — непрерывна, то G" открытое множество. Открыто и G . Докажем, что функция Uq гармонична в G". Пусть Со Є G" . Так как то для любого е 0 найдется такое г 0, что при г г будем иметь 2тг Возьмем є О так, чтобы U (Co) + Зє lnM(gd(Co))- Гармонически продолжим функцию U в круг В(Со,г ) и полученную функцию в С \ {0} обозначим через Uq. Заметим, что Для 5 Є (0; 1) по неравенству Харнака в круге B( Q,6r ) имеем Таким образом, для достаточно малых S 0 в круге В(Со, ) выполняется неравенство Возьмем г 0 настолько малое, чтобы в круге В(Со-,т) выполнялось неравенство — это возможно по непрерывности М(х).
Положим го = min(5r ,r). Тогда в круге В(о,го) имеем ВД) (U;((o) + 2с) InM(g Co)) - є \nM(qd(Q). (2.5) Каждая функция v из Kq не превосходит U , значит на границе круга #(Coiro) функция и не превосходит функции Uq{Q. Если функцию и гармонически продолжим в круг /?(о,т о), то полученная функция v по принципу максимума в этом круге будет поменьше, чем Uq(Q. По соотношению (2.5) полученные функции v остаются в классе Kq и все гармоничны в указанном круге. Тогда функция Ug, как верхняя огибающая ограниченного семейства гармонических функций, тоже будет гармонической в В( а го) ([2]). Очевидно, что для функции Uq{z) выполнено соотношение (2,3). Лемма 2.4 доказана. Для того, чтобы выяснить, что происходит с точками границы D, нам понадобится следующая лемма о свойствах функции М{х). Лемма 2.5. Через р(х) обозначим наименьшее из натуральных чисел р, для которых выполняется равенство такие числа существуют по определению функции М(х). Тогда Кроме того, Доказател ьство. Первое утверждение докажем от противного: допустим, что для последовательности хп — 0 имеет место оценка р{хп) р. Тогда Устремляя п к бесконечности, получим что либо minjmjfc, к — 0,1, ...,р-1} = 0, либо гпр = оо. Ни того, ни другого быть не может. Теперь возьмем любое j Є N и пусть 1 8 О настолько мало, что р(х) j для всех х 5. Тогда Лемма 2.5 доказана. Теперь перейдем к изучению точек границы D.
Теорема о локализации
Теорема 3.1. Пусть последовательность (тп) регулярна и точка z — 0 является общей граничной точкой двух ограниченных жордановых областей D ,D". Если при некотором г 0 в круге Л(0,2г) эти две области совпадают, то есть / -—ff то классы A(D ,М), A(D ,Л4) в точке z — 0 квазианалитичны или не квазианалитичны одновременно. Доказательство. Докажем сначала одну вспомогательную лемму. Лемма 3.1. Пусть точка z — 0 является общей граничной точкой двух ограниченных жордановых областей D ,D". Если при некотором г 0 в круге -6(0,2г) эти две области совпадают, то есть то существует такое положительное число р и окорданова область D, что a) D С О р[В(0,2т) — D" f)B(Q,2r) и граница области D лежит на окружности \z\ — 2г и общей части границ областей D , D"; b) для (, . D и \(,\ р расстояния от С до границы области D совпадает с расстоянием от этой точки до границ областей D и D": Доказательство. Через D обозначим связную компоненту пересечения Df f\B(0,2r), которая содержит точку z = 0 на своей границе.
По условию D совпадает с соответствующей частью пересечения D" f]B(0,2r). Очевидно, область D односвязна. Пусть z — z(t),\t\ I, — непрерывная параметризация границы области D с условием z(0) 0. Через I обозначим точки t Є [-1; 1], для которых \z(t)\ 2г и пусть (#;/3) — наибольший интервал в /, содержащий точку t = 0. Положим Поскольку граница D жорданова кривая и не имеет самопересечений, то р 0. Для любой точки Є 5(0, р) \ D имеем єсть Отсюда следует, что для С, Є 5(0, р) \ D верно равенство Так как в круге 5(0, р) области D и D" совпадают, то для указанных С выполняется и равенство Лемма 3.1 доказана. Очевидно, что нам достаточно доказать одновременную квазианалитичность классов A(D ,М), A{DyM) в точке z = 0. Через G, G обозначим дополнение D, D до расширенной плоскости, соответственно, то есть G = C\D, G = C\D . Пусть d(Q7d (Q обозначают расстояние от точки С до областей D D . Эти функции определены соответственно на областях G, G . По лемме 3.1 имеют место равенства и, кроме того, при С Gf]B(0,p) Поскольку D С D , то d (Q d() при Є G , значит для любого q Є N верны неравенства Допустим, что класс A(D,.M) квазианалитичен. По теореме 2.1 для всех q Є N должно выполняться соотношение В силу свойства (3.1) имеет место включение Kq{D) С Kq(D ), значит, выполняются и соотношения По теореме 2.1 класс A(D }Л4) также квазианалитичен. Теперь допустим, что класс A(D, Лі) не квазианалитичен. По теореме 2.2 для каждого q Є N, начиная с некоторого qo, найдется область Dq, содержащая D \ {О}, и гармоническая функция h{Q в Dqy равная на ее границе \nM{qd(C,)) и такая, что Суть теоремы 2.2 в том, что при каждом фиксированном q Є N, q qo функция определена и субгармонична на расширенной плоскости без нуля, то есть на С\{0}, и гармонична в области Dq содержащей D\{0}. Область D ограничена и отношение ]С1/ (С) стремится к 1 при j — +00. Поэтому существует достаточно большое число R такое, что
Через С обозначим открытое кольцо, ограниченное окружностями \z\ = р и \z\ — R. Пусть fi — борелевская мера в области С \ {0}, ассоциированная по Риссу с субгармонической функцией и(С), а о —сужение меры ц на кольцо С. Поскольку С — компакт в С \ {0}, то Цо{С) со и логарифмический потенциал меры ц$ определена и субгармонична на всей плоскости С и гармонична на С\С Разность U{Q V,Q( ) гармонична на объединении {C{jDq), в частности, в области Граница области VI состоит из окружности ] = R и части 7, лежащей в круге В(0,р). По выбору чисел р и R имеем \nM(2qd (0) \nM(2qd(Q) \nM(qd(0), C P,C G . (3-2) Возьмем произвольную функцию v{Q из класса K2q{Df). Таким образом, функция v неотрицательна, непрерывна, субгармонична на С \ {0} и удовлетворяет оценкам Из второго неравенства с учетом (3.2) получим, что Заметим, что функции субгармоничны, неотрицательны и непрерывны на расширенной плоскости без нуля и, кроме того, то есть эти функции входят в класс Kq(D). Следовательно, по опре-делнию функции и(0 при всех имеем значит, Поскольку и граница области f2 в Б(0,р) совпадает с границей области Dq, а на границе Dq функция и(0 равна \nM(qd(Q), то v(0 \nM(qd(0) = u(0, С Є 0ПГ)В(О1Р). Таким образом, имеем (0 «(О. С є an. Функция uo(C) субгармонична на всей плоскости, значит, ограничена в круге В(0, Я): «о(0 Г. Поэтому на границе О. имеем Функция и(С) «о(С) гармонична в области П, a v(Q субгармонична в этой области. По принципу максимума получаем
Критерии квазианалитичности при некоторых условиях на область
Теорема 3.2. Пусть D, Di — односвязные области, ft — область, содержащая замыкание D и if — аналитическая функция в ГЇ такая, что (p{D) С D\. Если граничная точка WQ Є dD\ является образом граничной точки ZQ dD, то есть WQ = p{zo), то для любой последовательности М = {Мп) имеет место включение Доказательство. Пусть / Є A{Di,M). По теореме Е.М. Дынькина ([6], см. теорему В) существует непрерывно дифференцируемая функция F в С, такая, что F(w) = f(w) в D\ и где С, В — некоторые константы, a d\ (w) обозначает расстояние от точки w D\ до границы D\.
Пусть — расстояние от D до границы Q. По условиям теоремы г 0. Через О! и П" обозначим, соответственно, г - раздутие и 2г - раздутие множества D, то есть fi" = (J B(z,2r). В кольце П"\П возьмем гладкую жорданову кривую Г, охватывающую D и через Гїі обозначим внутренность этой кривой. Применим формулу Бореля - Помпею (см. [1]) к функции g{z) = F(ip(z)) в области Q±: av ; 2-м Jrt-z тгУПі Ы t-z Докажем, что каждое слагаемое в правой части этого равенства принадлежит Из свойства (1.3) регулярных последовательностей следует существование числа 5 0, такого, что Итак, мы получили оценку функции v{z) в силу свойств функции F(w) считается лишь по области Г2і \ , то Следствие 1. Пусть D,D\ — односвязные области, Г2, Г2і — области, содержащие соответственно замыкания D,D\ и ip — конформное отображение Г2 на Qi такое, что tp(D) — p(Di). Если граничная точка WQ 6 dD\ является образом граничной точки ZQ Є dD, то есть WQ = P(ZQ), то для любой последовательности М. — (Мп) класс A(Di}A4) квазианалити-чен в точке WQ тогда и только тогда, когда класс A(D, ЛЛ) квазиана-литичен в точке ZQ. Доказательство.
Пусть класс A{D M) неквазианалитичен в точке іУсь то есть существует функция / A(Di}M), равная нулю со всеми производными в точке гоо- Функция g{w) — f((p(w)) по теореме 3.2 принадлежит классу A(D,A4) и со всеми производными обращается в нуль в точке ZQ. Тем самым, класс A(D,M) также не может быть квазианалитичным. Обратное утверждение показывается аналогично. Следствие 2. Пусть В = B (a:R) — внешность круга B(a,R) в расширенной плоскости, то есть Br(a,R) — С \ B(a,R). Тогда для любой точки ZQ Є дВ критерием квазианалитичности класса А(В ,ЛІ) в точке z$ является условие — функция следа последовательности М.. Доказательство. Утверждение немедленно следует из следствия 1, поскольку отображение p(w) = - конформно преобразовывает С на себя, причем В отображается на единичный круг. Далее рассматрим области, граница которых локально совпадает с графиком некоторой функции у = и(х), \х\ 6. Через Q(u,6) будем обозначать надграфик функции и{х) над интервалом (- 5; Н—S), то есть Теорема 3.3- Пусть otcopdanoea область D локально совпадает с над графиком некоторой функции у — и(х), \х\ 5, причем и(0) — 0. Это значит, что для некоторого г 0 множества Df\B(0,r) и Щи S)f\B(0,r) совпадают. Если для некоторого а 0 то класс A(D,Ai) квазианалитичен в точке z — 0 тогда и только тогда, когда выполнено условие (3.8).
