Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Некоторые классы линейных решеток 10-32
1. Линеалы с условием и некоторые их свойства 10-17
2. Суммируемые семейства в К, -линеалах. 18-24
3. Условно полные линейные решетки ... 25-26
4. Решеточно-нормированные линейные пространства. 27-32
Глава II. Условия полноты решеточно-нормированных пространств 33-73
1. Полнота решеточно-нормированных пространств 33-38
2. Соотношения между некоторыми условиями в US -линеалах 39-42
3. Условия полноты некоторого класса линейных топологических решеток 43-49
4. Полнота решеточно-нормированных пространств 50-59
5. Связь между (4*с) -полнотой и (т)-полнотой.60-64
6. К/ -пополнения решеточно-нормированных линейных решеток 65-73
Глава III. Интервальная полнота решеточно-нормированных пространств 74-90
1. Некоторые свойства интервально (&с) -полныхрешеточно-нормированных пространств 74-76
2. Интервальная полнота решеточно нормированных пространств 77-81
3. Некоторые свойства решеточно-нормированных решеток с непрерывной решеточной нормой...82-90
Глава IV. Реализация некоторых классов решеточно-нормированных пространств 91-108
1. Решеточно-нормированные пространства алгебраически и решеточно изоморфные некоторому подпространству нормирующего гС -линеала 92-96
2. Решеточно-нормированные пространства алгебраически изоморфные и решеточно изометричные подпространству пространства Нд С Ч 97-103
3. Решеточно-нормированные пространства изоморфные и решеточно изометричные подпространствам 104-108
Глава V. Линейные функционалы и операторы 109-123
1. Линейные операторы в векторных решетках 109-112
2. Линейные операторы и функционалы в решеточно-норнормированных пространствах 113-123
Литература 124-129
- Условно полные линейные решетки
- Условия полноты некоторого класса линейных топологических решеток
- Интервальная полнота решеточно нормированных пространств
- Решеточно-нормированные пространства алгебраически изоморфные и решеточно изометричные подпространству пространства Нд С Ч
Условно полные линейные решетки
Определение I.3.I. Пусть об -любое порядковое число. \i-линеал X называется Ц -пространством, если X условно об -полон, то е ть любое ограниченное множество элементов ИЗ X МОЇЇТ ттости меньшей,чем Х имеет в X точную верхнюю грань. При таких обозначениях И0 -пространство rL -линеал, \ІА-пространство- Г\, -пространство. Определение 1.3.2. Пусть об -любое порядковое число. К -линеал X будем называть М -линеалом с проекциями об -класса, если в X существует проекция каждого элемента во всякую компоненту, порожденную множеством элементов мощности меньшей, чем .V. Определение 1.3.3. Пусть еб -любое порядковое число. /І -линеал X будем называть К -линеалом о . -типа, если всякое структурно ограниченное подмножество попарно дизъюнктных его элементов, отличных от нуля,имеет мощность меньшую, чем Х . Определение 1.3.4. Булева алгебра называется об -полной алгеброй (ы, -любое порядковое число ) , если всякое ее подмножество мощности меньшей, чем TJ имеет верхнюю и нижнюю грани. Определение 1.3.5. Булева алгебра $ называется алгеброй оС -типа,если всякое её подмножество попарно дизъюнктных элементов, отличных от нуля, имеет мощность меньшую ,чем Х . Понятия,рассмотренные в этих определениях были введены А.И.Векслером ("см. [II]), а также рассматривались в работе27] Хорошо известна теорема (см. т. 20.5 42]) : Если сб полная булева алгебра & об -типа,то она полна и в любом бес конечном множестве её элементов существует такое подмножество Е С Е- мощности меньшей, чем Я , что Wf Е - -Яу» Е, nJ[. Е - t nj- Е. При помощи этой теоремы аналогично доказательству теорем ІУ.2.І, УІ.2.І и У1.2.2 JJ7] легко устанавливается справедливость следующих теорем. теорема 1.3.1. база ъ(х) к -пространства у с единицей ol -полная булева алгебра. теорема 1.3.2. всякое к -пространство ol -типа является /с -пространством. теорема 1.3.3. Если X К -пространство оС -типа, то во всяком бесконечном ограниченном сверху (снизу) множестве ЕсХ существует такое подмножество Е С Е мощности меньшей ,чем СЦ , что ccf Е = Ucp Е С tnj. Е = L nSf. Е ).
Понятие решеточно-нормированного пространства было введено Л.В.Канторовичем?/ /ом. [22j , [23j /. В дальнейшем решеточно-нормированные пространства изучались рядом авторов см., например, [17] , [43J , [44] , [45] , Ш , [30j . Определение I.4.I. Вещественная линейная система X называется пространством, решеточно-нормированным посредством \L -линеала 2 , если каждому элементу Х X сопоставлен положительный элемент (( )) zr , называемый его решеточной нормой, подчиненный обычным аксиомам: I. ta: ) = О тогда и только тогда, когда ос-О . 2.#Дэс))- /аіссзс дри любых хе У и вещественном Д . 3. ((эс,+ х ъ 4 «ос,» + ггзд. Если выполнена дополнительная аксиома 4. Если fW) = 2)+2 , пгАб Zj?/;2 o , то существуют ас,; Х, ос э?4=х, ,»= ,, » = г4 /ом. [24] , гл.ХП.опр. І.І.І/то X будем называть решеточно-нормированным пространством Канторовича. К, -линеал z? называется нормирующим К -линеалом. Определение 1.4.2. Говорят, что направление {ос А (біс) -сходится / (&кі ) -сходится/ к х , если И обозначают ос± —- ос х = г 0-&тос х/ Л.В.Канторович называл такие пространства структурно-нормированными . Определение 1.4.3. fc -линеал X называется К о —линеалом, если X решеточно-нормированное пространство и для любых ос х е X из locj /я /вытекает (( )) (( )) . Аналогично вводятся понятия к -пространства, MS -пространства. Мы будем рассматривать в #S -линеалах условия: (А )ест OC O , ТО (()) До ; de А 2 (Л) если хн 0 , то tf" n.T) (9 ; нелґ (X) есж хл J, о , то ГГзс«- ; О ; (В1) если \f (. о) , то .)) - оо ; (R) есж н. t+ о; , то ffx )) - пел/ г Обобщая определение вполне правильного конуса "33j , дадим Определение 1.4.4. Конус Х+ / 5 -линеала X называется вполне правильным /секвенциально вполне правильным/ , если любое полоштельное возрастающее и (#&) -ограниченное направление /последовательность/ (Ф с) -сходится к некоторому пределу. ТВЭРЕМА I.4.I. Для того, чтобы US -линеал X был KS -пространством с условиями (Л ) и (&) необходимо и достаточно, чтобы конус Х± был вполне правильным. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточность. I/Докажем, что Х И -пространство.
Пусть {х їЛі.А порядково ограниченное сверху множество положительных элементов. Не нарушая общности можно считать, что 3 t . Так как /% ,,,, (о) -ограничено, то оно и (@ с)-ограничено и так как Л , -вполне Ж Ясно, что если решеточная норма есть норма, то понятия вполне правильного и секвенциально вполне правильного конуса совпадают. -правильный, то существует X Jkx. Так как эсъэс, Voi&A . то X. верхняя граница множества { . ел Пусть / произвольная граница этого множества, т.е. ч х У и. Отсвда, переходя к ( -пределу, имеем # а\ А это означает, что эе- Яу? ос t т.е. X - К - пространство. 2/ Проверим выполнимость в X условия (А ). Пусть и пусть бХ такой, что # э Vo ak Тогда - )J o/ и Ґ0) -ограничено. Следовательно, Зг Y, 2- f&t) & К7 (Ч- .) По вышедоказанному Таким образом ц - ос — и ос — о. 3/Покажем, что в X выполнено условие (& ) . Пусть cc t+oo (ОС ЇО). Предположим, что /Гос) f&0-ограничено для некоторого оіа/І. Так как оо t , то существует сс= Я р х и мы получиж противоречие с тем, что оеЛ f . Отсвда вытекает, что эс — с?о . Необходимость. Пусть У - A? S-пространство с условиями (Я1) и (& ) . Пусть эг, и / Ял Л А А ( -ограничено. Тогда of б-А . . "А /х. V W -ограничено, т.к. в противном случае я 00 и по усложю С в J з - , что противоречит условию. Но тогда существует ЗГp Xj, . Так как х — д , то по условию С А1) oL л:. Теорема полностью доказана. ТЕОРЕМА 1.4.2. Для того чтобы /Й -линеал X был /4-5 -пространством с условиями (Л) и W, необходимо и достаточно, чтобы конус .Х-/- был секвенциально вполне правильным. Доказательство теоремы 1.4.2. аналогично доказательству теоремы 1.4 Д.
Условия полноты некоторого класса линейных топологических решеток
Рассмотрим очень важный пример решеточно-нормированных пространств. Пусть X локально выпуклое линейное топологическое пространство. Топология в X определяется мультинормой, т.е. семейством полунорм { рт ( 0 ) (Ъ ь1) . Полунорма р (ос) отли-чается от нормы тем, что для ОС. -0 может быть р_ сое.) —О /см. fcJ /. Будем писать ос — ос /иж ос - (т) Єс и оо /, если р (ос - ос) — о для любого J е Г Т Обозначим через Зг-, множество всех наборов вещественных чисел ("Я5 )6S . Если ввести в 3,-, упорядочение и линейные операции естественным образом, то ,__, становится гС -пространством. Для любого Х: X определим решеточную норму следующим образом Так как (P Cic,)) г- Є S,-, , то X становится решеточно-нор-мированным пространством. Покажем, что (Т) -сходимость эквивалентна (& -) -сходимости. Действительно, пусть 3.— 0. Тогда /i(3 J— 0 для каждого оС . Это означает, что существует направление чисел t y J А тогда ( Рх (ял)) ( Ъ ) т е- #- и, значит, э О . Обратно, если х — О , то ((ос±)) —? О . Это означает, что существует (Я-і )J, О LeA такое, что ( р ( „».)) 4 ( Ъ ). Так как А, Ь О для каждого J и Р (х ) 1 /Л) ОПРЩЕЛЕНИЕ П.3.1. Локально выпуклое линейное топологическое пространство X называется локально выпуклой решеткой или / / -линеалом, если X одновременно является /С -линеалом и мультинорма в X монотонна. Полноту пространства в отношении сходимости по мультинорме назовем (Т) -полнотой. Так как ICT -линеал X является US -линеалом относительно решеточной нормы, рассмотренной выше, то в X можно рассмотреть условия (A )t (А), (($ ) , (В) . Нетрудно заметить, что условие (А ) эквивалентно условию: если oc.j J/ О , то хл — О ; условие (В1) эквивалентно ус ловию: если "X t +« ( 2- О) , ТО О (ос ) +оо по крайней мере для одного из значений J 6 IZ7 . Аналогичное замечание можно сделать относительно условий (Л) ъ. (8) . Опрвделенйе П.3.2. Пусть об -любое порядковое число и J -порядковое число такое, что Х Х0. /71-пространством / К. /уз -пространством/ называется ЦТ -линеал X » который условно cL полон /условно полон/ и Х0 IZ7 о. .
Будем говорить, что в А 7 -пространстве выполнено условие (Л ) , если для любого направления эеч, /(7 (Jf T, Г .I J следует, ЧТО 3Tv, 5 О. ЛЕММА, П.3.1. Пусть X - Я I -линеал с условиями ( Л ) и /0Л Если Хъ - X , ТО Хъ СИ ее. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть оа (- 1 ос , тогда І-хп-осІ Ц ІО . По условию 64-) (Э(у и, так как полунормы монотонны, то ТЮРМА П.3.1. Всякое Иt Т -пространство л с условием (Л) является пространством cL -типа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в X задано бесконечное порядково ограниченное множество Е - о ц попарно дизъюнктных элементов, отличных от нуля. Так как из порядковой ограниченности следует и топологическая, то Е с Л Li- ҐЇ ТЛ где U -{oc: Р(-х) 0J л. -вещественное число. Зададим ?о и выделим множество (Е \ с Є » состоящее из всех are Е » для которых Р ( )?. Докажем, что (Е )- конечно /при этом будем считать, что множество конечно и в том случае, когда (Е ) — 0 /. Допустим, что (Е к бесконечно. Тогда из (Ег )х можно выделить последовательность попарно дизъюнктных элементов х . Так как эти элементы в совокупности ограничены, то отсюда следует, что (О) х —? о , а тогда по лемме П.3.1 и р (х ,) +0 , что противоречит неравенству Р (ое ) е. . Таким образом множество (Е ) . конечно для любого Е Образуем множество По доказанному каждое из этих множеств конечно. Тогда множество ос Е = (&, К не более, чем счетно. Отсюда Е = U Е- имеет мощность меньшую, чем я; . ЛЕММА П.3.2. Пусть Х -пространство с условием (/Ґ"). Тогда условие (Лл) справедливо в усиленной форме ( Л ) . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме П.2.1 У 6L -типа. Из теоремы X является Ц, -пространством. Пусть Хл ЬО Іі6г И). Из теоремы 1.3.3 следует, что из {Ъъ)у н можно выделить подмножество { ю&л мощности меньшей, чем X. , так что Си,± осш = о .
Пусть дв множество всех конечных подмножеств множества { U U SL Тогл-а Чс Упорядочим 3б! по включению, то есть будем считать ,-2- / ,, ) » еоли 1 . Тогда множество Э направлено по возрастанию. Для любого # 6 9S обозначим через Xg множество а через Х такой элемент /с -пространства л , для которого выполняется равенство oz /"/ # » Нетрудно видеть, что направ ление і осу У/ Є9Є У ывэ Щ66» Действительно, если 1ff-?- , то Хл, С Хд » а Т01,Да V Я? Кроме того, так как ctU X -O , то б п х -о . По условию ( / У pjC )-po для любого $ &[U . Покажем, что i Xybsgужимающее направление для ctr }a?eH В самом деле, для любого Ье дЄ существует %е /У такой, что -«, qr_ . А это означает, что о сс ос для всех \ % . Из монотонности мультинорм следует, что рех. )-?о для любого 27 ЛЕММА. П.3.3. Пусть Х- / Т -пространство с условием (А"У. Тогда, если —» о: , то — ai . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть эс % ос , тогда /oe ocj о-Следовательно, для направления {1 -х 1} ( е И) существует (Т) сжимающее направление Чr t?0 (ye Г) . По лемме П.3.2 и — о . Из монотонности мультинормы следует, что р (ОС -ОС.)—рО для любого 16 2 ТЮРЬМА П.3.2. U / -пространство с условиями / ) и (/3 ) является СТ) -полным W-XL -пространством. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из теорем П.3.1 и 1.3.2 следует, что Х И-пространство. Докажем, что если 2U Т (X)-ограниченное множе ство положительных элементов, то мы найдем "X6 X такой, что ог t Od С е-Н). Действительно, пусть множество {х у (Т) ограничено, но не порядково ограничено сверху. Тогда x t+oo . До условию (& ) найдется такое J IE7 , что f (т )- 3 Но с другой стороны {ЯъУъбН W огРашчено т«е Rt i) 4. л с «» . Мы получили противоречие, следовательно 92} порядково ограничено. Так как X - U. -пространство, то существует такой Х X , что х Ьсьросъ . По теореме П.6.2 /см. [Т7] / 3? tx . Теперь по теореме 4.2 /см. C3SE7 / следует, что X (Т) -полное К. -пространство. СЛВДСТВИЕ. Интервально полное к с Хс -пространство X с условием ( 4 ) и (В ) та. с проекциями оС -класса, есть (Т)-полное М- X. -пространство. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 5 /см. (.IIJ / интервально-пол-ное к0 -пространство с проекциями об -класса является \i -пространством. По теореме П.3.2 X есть (т) -полное tiXc " пространство. В теории нормированных пространств очевидным образом доказывается следующий результат, который мы сформулируем в данной работе для удобства ссылок. Будем говорить, что в lifif -линеале X выполнено условие ( - , если существует
Теорма П.3.3. Для того чтобы И -линеал X был Ц, линеалом ограниченных элементов, необходимо и достаточно, чтобы его можно было превратить в НАГ -линеал с условием ( ) . Опрвделение П. З.З. Назовем У 11 -пространством ограниченных элементов посредством полного множества {и }хет » если для любого l IzZ компонента Xj , порожденная элементом у есть /( -пространство ограниченных элементов с сильной единицей ТЮРНЛАН.3.4. RK -пространство ограниченных элементов посредством полного множества всегда может быть превращено в к Т -пространство. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любого J (" рассмотрим X . В К -пространстве X можно определить норму II,дсII% , как наименьшее число /с , удовлетворяющее неравенству / / / # . Определим в X полунорму р (-) следующим образом: для любого 2 X будем считать, что р d)= //x// , где X.= Pzv . Рг 2- сущест вует по теореме ЗУ.3.4 /см. [I7J /. Очевидно, что совокупность всех полунорм {P»( )K(.r-r определяет в X топологию, т.е. Х А Т пространство. Отметим, что в X выполнено следующее ус-ловие: для любого J Пусть X - /4с -пространство. Обозначим через а через Хх -дизъюнктное дополнение к л j . Будем говорить, что U. 1Г -пространство удовлетворяет условию О )., если для любого е ЦТ существует Докажем теорему, которая в некотором смысле является обратной для теоремы II.3.4.
Интервальная полнота решеточно нормированных пространств
Рассмотрим очень важный пример решеточно-нормированных пространств. Пусть X локально выпуклое линейное топологическое пространство. Топология в X определяется мультинормой, т.е. семейством полунорм { рт ( 0 ) (Ъ ь1) . Полунорма р (ос) отли-чается от нормы тем, что для ОС. -0 может быть р_ сое.) —О /см. fcJ /. Будем писать ос — ос /иж ос - (т) Єс и оо /, если р (ос - ос) — о для любого J е Г Т Обозначим через Зг-, множество всех наборов вещественных чисел ("Я5 )6S . Если ввести в 3,-, упорядочение и линейные операции естественным образом, то ,__, становится гС -пространством. Для любого Х: X определим решеточную норму следующим образом Так как (P Cic,)) г- Є S,-, , то X становится решеточно-нор-мированным пространством. Покажем, что (Т) -сходимость эквивалентна (& -) -сходимости. Действительно, пусть 3.— 0. Тогда /i(3 J— 0 для каждого оС . Это означает, что существует направление чисел t y J А тогда ( Рх (ял)) ( Ъ ) т е- #- и, значит, э О . Обратно, если х — О , то ((ос±)) —? О . Это означает, что существует (Я-і )J, О LeA такое, что ( р ( „».)) 4 ( Ъ ). Так как А, Ь О для каждого J и Р (х ) 1 /Л) ОПРЩЕЛЕНИЕ П.3.1. Локально выпуклое линейное топологическое пространство X называется локально выпуклой решеткой или / / -линеалом, если X одновременно является /С -линеалом и мультинорма в X монотонна. Полноту пространства в отношении сходимости по мультинорме назовем (Т) -полнотой. Так как ICT -линеал X является US -линеалом относительно решеточной нормы, рассмотренной выше, то в X можно рассмотреть условия (A )t (А), (($ ) , (В) . Нетрудно заметить, что условие (А ) эквивалентно условию: если oc.j J/ О , то хл — О ; условие (В1) эквивалентно ус ловию: если "X t +« ( 2- О) , ТО О (ос ) +оо по крайней мере для одного из значений J 6 IZ7 . Аналогичное замечание можно сделать относительно условий (Л) ъ. (8) . Опрвделенйе П.3.2. Пусть об -любое порядковое число и J -порядковое число такое, что Х Х0. /71-пространством / К. /уз -пространством/ называется ЦТ -линеал X » который условно cL полон /условно полон/ и Х0 IZ7 о. .
Будем говорить, что в А 7 -пространстве выполнено условие (Л ) , если для любого направления эеч, /(7 (Jf T, Г .I J следует, ЧТО 3Tv, 5 О. ЛЕММА, П.3.1. Пусть X - Я I -линеал с условиями ( Л ) и /0Л Если Хъ - X , ТО Хъ СИ ее. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть оа (- 1 ос , тогда І-хп-осІ Ц ІО . По условию 64-) (Э(у и, так как полунормы монотонны, то ТЮРМА П.3.1. Всякое Иt Т -пространство л с условием (Л) является пространством cL -типа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в X задано бесконечное порядково ограниченное множество Е - о ц попарно дизъюнктных элементов, отличных от нуля. Так как из порядковой ограниченности следует и топологическая, то Е с Л Li- ҐЇ ТЛ где U -{oc: Р(-х) 0J л. -вещественное число. Зададим ?о и выделим множество (Е \ с Є » состоящее из всех are Е » для которых Р ( )?. Докажем, что (Е )- конечно /при этом будем считать, что множество конечно и в том случае, когда (Е ) — 0 /. Допустим, что (Е к бесконечно. Тогда из (Ег )х можно выделить последовательность попарно дизъюнктных элементов х . Так как эти элементы в совокупности ограничены, то отсюда следует, что (О) х —? о , а тогда по лемме П.3.1 и р (х ,) +0 , что противоречит неравенству Р (ое ) е. . Таким образом множество (Е ) . конечно для любого Е Образуем множество По доказанному каждое из этих множеств конечно. Тогда множество ос Е = (&, К не более, чем счетно. Отсюда Е = U Е- имеет мощность меньшую, чем я; . ЛЕММА П.3.2. Пусть Х -пространство с условием (/Ґ"). Тогда условие (Лл) справедливо в усиленной форме ( Л ) . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме П.2.1 У 6L -типа. Из теоремы X является Ц, -пространством. Пусть Хл ЬО Іі6г И). Из теоремы 1.3.3 следует, что из {Ъъ)у н можно выделить подмножество { ю&л мощности меньшей, чем X. , так что Си,± осш = о .
Пусть дв множество всех конечных подмножеств множества { U U SL Тогл-а Чс Упорядочим 3б! по включению, то есть будем считать ,-2- / ,, ) » еоли 1 . Тогда множество Э направлено по возрастанию. Для любого # 6 9S обозначим через Xg множество а через Х такой элемент /с -пространства л , для которого выполняется равенство oz /"/ # » Нетрудно видеть, что направ ление і осу У/ Є9Є У ывэ Щ66» Действительно, если 1ff-?- , то Хл, С Хд » а Т01,Да V Я? Кроме того, так как ctU X -O , то б п х -о . По условию ( / У pjC )-po для любого $ &[U . Покажем, что i Xybsgужимающее направление для ctr }a?eH В самом деле, для любого Ье дЄ существует %е /У такой, что -«, qr_ . А это означает, что о сс ос для всех \ % . Из монотонности мультинорм следует, что рех. )-?о для любого 27 ЛЕММА. П.3.3. Пусть Х- / Т -пространство с условием (А"У. Тогда, если —» о: , то — ai . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть эс % ос , тогда /oe ocj о-Следовательно, для направления {1 -х 1} ( е И) существует (Т) сжимающее направление Чr t?0 (ye Г) . По лемме П.3.2 и — о . Из монотонности мультинормы следует, что р (ОС -ОС.)—рО для любого 16 2 ТЮРЬМА П.3.2. U / -пространство с условиями / ) и (/3 ) является СТ) -полным W-XL -пространством. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из теорем П.3.1 и 1.3.2 следует, что Х И-пространство. Докажем, что если 2U Т (X)-ограниченное множе ство положительных элементов, то мы найдем "X6 X такой, что ог t Od С е-Н). Действительно, пусть множество {х у (Т) ограничено, но не порядково ограничено сверху. Тогда x t+oo . До условию (& ) найдется такое J IE7 , что f (т )- 3 Но с другой стороны {ЯъУъбН W огРашчено т«е Rt i) 4. л с «» . Мы получили противоречие, следовательно 92} порядково ограничено. Так как X - U. -пространство, то существует такой Х X , что х Ьсьросъ . По теореме П.6.2 /см. [Т7] / 3? tx . Теперь по теореме 4.2 /см. C3SE7 / следует, что X (Т) -полное К. -пространство. СЛВДСТВИЕ. Интервально полное к с Хс -пространство X с условием ( 4 ) и (В ) та. с проекциями оС -класса, есть (Т)-полное М- X. -пространство. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 5 /см. (.IIJ / интервально-пол-ное к0 -пространство с проекциями об -класса является \i -пространством. По теореме П.3.2 X есть (т) -полное tiXc " пространство. В теории нормированных пространств очевидным образом доказывается следующий результат, который мы сформулируем в данной работе для удобства ссылок. Будем говорить, что в lifif -линеале X выполнено условие ( - , если существует
Теорма П.3.3. Для того чтобы И -линеал X был Ц, линеалом ограниченных элементов, необходимо и достаточно, чтобы его можно было превратить в НАГ -линеал с условием ( ) . Опрвделение П. З.З. Назовем У 11 -пространством ограниченных элементов посредством полного множества {и }хет » если для любого l IzZ компонента Xj , порожденная элементом у есть /( -пространство ограниченных элементов с сильной единицей ТЮРНЛАН.3.4. RK -пространство ограниченных элементов посредством полного множества всегда может быть превращено в к Т -пространство. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любого J (" рассмотрим X . В К -пространстве X можно определить норму II,дсII% , как наименьшее число /с , удовлетворяющее неравенству / / / # . Определим в X полунорму р (-) следующим образом: для любого 2 X будем считать, что р d)= //x// , где X.= Pzv . Рг 2- сущест вует по теореме ЗУ.3.4 /см. [I7J /. Очевидно, что совокупность всех полунорм {P»( )K(.r-r определяет в X топологию, т.е. Х А Т пространство. Отметим, что в X выполнено следующее ус-ловие: для любого J Пусть X - /4с -пространство. Обозначим через а через Хх -дизъюнктное дополнение к л j . Будем говорить, что U. 1Г -пространство удовлетворяет условию О )., если для любого е ЦТ существует Докажем теорему, которая в некотором смысле является обратной для теоремы II.3.4.
Решеточно-нормированные пространства алгебраически изоморфные и решеточно изометричные подпространству пространства Нд С Ч
Пусть У -нормированное пространство, - Ad -пространство. Обозначим через Н» (У- совокупность всех линейных операторов с абстрактной нормой. Пусть И векторное подпространство АУд (У- ). Н с решеточной нормой, индуцированной из является реше точно-нормированным пространством. ОПРВДЕШЭДЕ ІУ.2.І. Назовем решеточно-нормированное пространство X пространством 2 типа, если X алгебраически изоморфно и решеточно изометрично Н С hf/\ (У— "%). Пусть У векторное пространство, Z - fit -пространство и 2С(У— 2) пространство линейных операторов. Пусть // векторное подпространство и пусть /-/ решеточно нормированное /посредством / пространство. Обозначим ЛЕММА ЗУ.2.1. Пусть f-f удовлетворяет условиям: I/ для любого це У существует положительное Л б- IR, такое, что для каждого Ub Н выполняется неравенство нормированное пространство и //С НА (У— Z) . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим Ясно, что IIуII О . Проверим выполнение аксиом нормы. Полагая -фО, заменим на od v , а о(. на . Тогда получим, что или Сопоставляя неравенства /I/ и /2/, получаем, что Отсвда вытекает Таким образом У -нормированное пространство. Пусть S {Ц(г У: «ЦП ± ]г и пусть у S . Тогда то есть ц (г Su С другой стороны, если Ч S/i » то а это означает, что Uyd4-Н , т.е. y S .
Следовательно, S J, . Так как то какдый оператор U. Н обладает абстрактной нормой и ТЕОРША. ЗУ,2.1. Пусть X решеточно-нормированное пространство и пусть (Х-? пространство всех линейных операторов. - -Для того чтобы X вшо пространством 2 типа, необходимо и достаточно, чтобы существовало векторное подпространство (Х Ъ) С оС(Х- 2),удовлетворяющее условиям: I/ для любого ивоС, (Y- существует положительное /\Sr RL такое, что для каждого эсб X выполняется неравенство W I $ A (f ci). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточность. Рассмотрим соответствие оператор определенный по формуле fy (-и) Мх-. Множество таких операторов обозначим через И . Ясно, что У алгебраически изоморфно И и если определить в Н решеточную норму (( .))- ((xVt то этот изоморфизм будет решеточно-изометрическим. Множество И обладает следующими свойствами: I/. Для любого Us-dtt (х- существует положительное Л(R. такое, что для каждого Fx. 3/. Если F (cc) = О VF e И , то # -о . . Тогда по лемме ( (X- 2) нормированное пространство и есть X пространство 2 типа. Необходимость. Пусть X алгебраически изоморфно и реше-точно изометрично Не /-/д (у -9 2-). Рассмотрим б СН- Z) . Так как Н алгебраически изоморфно х , то х (н -» ; алгебраически изоморфно ZCCY Z-). Каждому у У поставим в соответствие оператор Fo с(Н - Ї -) по формуле F (U)= Uu , где UCrH. Каждому оператору F, 6 об (Н- %) соответствует оператор FL оС СХ —3 В) такой, что F„ (о ) = F ((/ ), где U Gr Н соответствует элементу ос г X при изоморфизме пространства X и Н . Множество всех Fu , определенных вышеуказанным способом, обозначим через ?f(X- J. Ясно, что У алгебраически изоморфно об, СХ ? 7г) и если определить В J (Х-?г г) норму ЦРь lt= Uyll то этот изоморфизм будет изометрическим. Покажем, что «С Х— 2- обладает свойствами I/, 2/. Действительно, I/ 2/ Для любого 46 У существует положительное Яе &. , что Н п выполняется неравенство /&V / %((Lt)) или Теорема полностью доказана. замечание.
Так как X алгебраически изоморфно и решеточ-но изометрично Ні Ч алгебраически изоморфно и изометрично ( ( у -7 2 ) , то в дальнейшем для простоты выкладок эти пространства будем отождествлять. ТЕОРЕМА. ІУ.2.2. Для того чтобы решеточно-нормированное пространство X 2 типа было (foci) -полным, необходимо и достаточно, чтобы оно было С&сч)-замкнутым в А/А і У - 2) . Доказательство вытекает из теорем П. 1,5 и ІУ.2.І. ТЕОРЕМА. ІУ.2.3. Если X пространство 2 типа, то существует (&) -полное рефлексивное пространство которое удовлетворяет условиям I/, 2/ теоремы ІУ.2.І. При этом Со СХ — 2 наибольшее из пространств, удовлетворяющих условиям I/ и 2/. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть совокупность всех пространств, которые удовлетворяют условиям I/, 2/ теоремы ІУ.З.І. Пусть о линейная оболочка Ур СХ- ?Л Покажем, что , СX - обладает свойствами I/, 2/. Действительно, I/ пусть иыво (Х-?! ). Тогда Так как оуас- удовлетворяют условию I/, то IU . / Яс- fa:;j V X. Отсюда Тогда для каждого J0 имеем
