Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Правильные расширения эрмитовых операторов 19
1. Правильные расширения и их свойства 19
2. Аналог формул фон Неймана . 24
3. Спектр и его классификация... 27
Глава II. Правильные расширения полуограниченных эрмитовых операторов с сохранением грани 36
1. Самосопряженные расширения полуограниченных симметрических операторов с сохранением грани 36
2. Самосопряженные расширения полуограниченных эрмитовых операторов с сохранением грани ... 42
3. Правильные расширения полуограниченных эрмитовых операторов "с сохранением грани" 48
4. Аккретивные расширения неотрицательных эрмитовых операторов. 54
Глава III. Расширения с сохранением нормы и аккретивные расширения эрмитовых операторов 62
1. Правильные расширения эрмитовых сжатий с сохранением нормы 62
2. Нормальные расширения эрмитовых сжатий с сохранением нормы 74
3. Нормальные аккретивные расширения эрмитовых операторов 87
Литература 99
- Аналог формул фон Неймана
- Самосопряженные расширения полуограниченных эрмитовых операторов с сохранением грани
- Правильные расширения полуограниченных эрмитовых операторов "с сохранением грани"
- Нормальные расширения эрмитовых сжатий с сохранением нормы
Аналог формул фон Неймана
Предположим, что В J = Af , где f = \j/ + дЛ+ ФдЛ . Тогда Аф + Лдл= Лср + Лдл или (A-Jtl)cp = (Л Л)дл . А так как векторы и Ол ортогональны, Эт Л О и оператор А эрмитов, то приходим к заключению, что Ср = Од= 0 .Но тогда f = 0 и, следовательно, Лёбр(В) . Точно так же устанавливаем, что если Bf = Jtj" ( f + 0 ) , то (А ЛІ)ф =(л-Л)Фдл .откуда ф = Фдл= О .При этом дл 0 (т.к. j-#=0 ), и, следовательно, О є 6р(Ф) . Аналогично, если ФдЛ = 0 ( дЛ 0 ), то В Ол = АдЛ , что и доказывает (3.6). 3. Спектр и его классификация Рассмотрим общие свойства спектра правильных расширений эрмитовых операторов. Пусть Т линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве о . Резольвентное множество Р(Т) определиется как множество таких комплексных чисел Л , что оператор С І " ЛІ) существует, ограничен и определен на плотном в % множестве. Множество Ш) = С\?(Т) называют спектром оператора Т . Одна из распространенных классификаций спектра (см., напр., [35] ) состоит в том, что множество 6(Т) подразделяют на три непересекающиеся множества ЄрСП , 6С(Т) и 6tm , которые называют соответственно точечным, непрерывным и остаточным спектром оператора Т . При этом точечный спектр бпСП определяют как множество собственных значений оператора Т . Другими словами, Л є (5р(Т) тогда и только тогда, когда оператор Т— ЛІ не имеет обратного. Непрерывный спектр GC(T) определяют как множество таких Ле С , для которых оператор (Т- ЛІ) существует, определен на плотном в э множестве и неограничен. Остаточным спектром Єг(Т) оператора Т называют множество таких Лє С , для которых (Т-ЛІ) существует, однако определен не на плотном в О множестве. В случае, когда сопряженный оператор Т существует, точечный спектр оператора Т целесообразно подразделить на два подмножества : G5(T) = Gp(T)nSp(Tii) ; 6uCT)-Gp(T)\ Єр(Т ) которые, как и в случае алгебр, будем называть соответственно устойчивым и неустойчивым точечным спектром. В случае замкнутых плотно определенных операторов имеют мес Если М - множество комплексных чисел, то то, как легко проверить, следующие равенства: а также равенство, которое понадобится позже: = ШТ) 3feT (3-і) где - замыкание линеала - ядро оператора Т . Кроме того, справедливы следующие предложения: ТЕОРЕМА 3.1. Пусть Т - замкнутый плотно определенный оператор. Тогда . Следовательно, оператор Т ЛІ - обратим. При этом, так как ЗСег (Т -.ЛІ) + О) , то на основании (3.1) ШТ-ЛІ) и, таким образом, Л б (Т) , т.е. Л е SC(T) . Этим доказано включение 6ц (Т ) с: б» (Т) . Пусть теперь наоборот: Л е бг(Т) ,т.е. Л е Gt(T) . Тогда Л є бр(Т) = бр(Т ) , т.е. Л ё бр(Т ) . При этом, так как К,(Т л1)+э ,тона основании равенства (3.1) %ег(1 -А1) {01 , т.е. Л є 6р(Т) . Сле - зо довательно, А є. Єа(Т ) , что и доказывает равенство а). Равенство б) вытекает из равенства а) в результате замены Т т на I Как известно, у самосопряженного оператора нет остаточного спектра. Предыдущая теорема дает возможность не только совсем просто обосновать этот факт, но также и уточнить его. А именно, справедлива следующая теорема: ТЕОРЕМА 3.2. У самосопряженного оператора отсутствует как остаточный, так и неустойчивый точечный спектр. Доказательство. Действительно, если 1=1 , то равенство а) из теоремы 3.1 перепишется так: 6и("П = Єг(Т) . (3.2) А так как множества еа(Т) и вгт не имеют общих элементов, то равенство (3.2) возможно лишь в случае, когда 6U(T) = ЄС(Т) = Ф . Отметим еще один факт, представляющий интерес. А именно, ес ли I - ограниченный в D оператор и . то, как известно, спектр оператора Т сосредоточен в круге ради уса R= ЦТ« с центром в начале координат. Таким образом, точки Л вне указанного круга ( \Л\ IITil ) принадлежат ре зольвентному множеству (Т) .В том же случае, когда one ратор Т определен на некотором подпространстве пространства D , справедлива следующая теорема: ТЕОРЕМА 3.3. Пусть Т - ограниченный оператор, действующий в 0 и определенный на некотором подпространстве э , не совпадающем с э . Тогда все точки jt , расположенные вне круга радиуса R, = ІТИ с центром в начале координат,
Самосопряженные расширения полуограниченных эрмитовых операторов с сохранением грани
Пусть теперь наоборот: известно, что оператор Ф - дисси-пативный и при любых q e5)(H) и д 5)(Ф) имеет место не-равенство (4.2). Тогда на основании равенства (4.10) справедливо неравенство (4.12), а значит и неравенство А это означает, что для любого х є R
В частности, при х= 1 неравенство (4.14) перепишется в виде (4.9), что и доказывает аккретивность оператора А Пусть Н - неотрицательный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Э и Так как оператор Н симметрический в D4 , то он может быть расширен до неотрицательного самосопряженного оператора. Поэтому можем сразу предполагать, что оператор Н самосопряженный в \ . Тогда Пусть А є 9(Ю , 1ё&р(А) и feOXA) .Тогда вектор f s-(A) и Af представимы в виде (4.6). При этом в рассматриваемом случае вектор ср о . » тогда как вектор . Следовательно, левая часть в (4.2) равна нулю и, таким образом, неравенство (4.2) выполняется, если только оператор Ф - диссипативный. В итоге приходим к заключению, что в рассматриваемом случае оператор А из J (Н) является аккретивным расширением оператора Н тогда и только тогда, когда оператор Ф - диссипативный. - 58 В частности, если оператор Ф унитарный, то можем говорить о неотрицательных самосопряженных расширениях оператора Н » которые, таким образом, существуют (достаточно в качестве one ратора Ф взять оператор ф = -ІІ Ф ). 3. ВТОРОЙ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ. Пусть % = УлЧг и замкнутый линейный оператор, действующий из э в оg, . Пред полагаем, что Так как (Нф, ф) — 0 (Усре5ХЮ) , то оператор Н эрмитов и неотрицательный. При этом, если аккретивный оператор Ае 34 Н) , то в неравенстве (4.2) правая, а значит, и левая части равны нулю при любом ср Е)(Н) И Любом О; є Но тогда, с учетом равенств (4.8) и (4.13) (Нср,д)=і(ф)(1-Ф)д1)=0 (Vcp6 D(H)). Следовательно, qe S Є 7R,( Н) .А так как и произвольный вектор f из -(А) представим в виде і=ср+9 (равенство (4.6), то приходим к заключению, что J(A) С С Э 71(H) , откуда вытекает, что Таким образом, если А - аккретивное правильное расширение неотрицательного оператора Н , то в рассматриваемом случае оператор А не может быть плотно определенным. В частности, на основании предыдущего приходим к заключению, что в рассматриваемом случае неотрицательные самосопряженные расширения оператора Н не существуют. 4. КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРАВИЛЬНЫХ РАСШИРЕНИЙ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ЭРМИТОВЫХ ШЕРАТОРОВ "С СОХРАНЕНИЕМ ГРАНИ". Пусть теперь Н - полуограниченный снизу эрмитов оператор: (Htp,cp) c qO (Vcpe D(hO), (4.15) где с - пг(Н) , и пусть А - правильное расширение оператора Н "с сохранением грани", т.е. Ае J (Н) и fte(AfJ)s= c(f,f) (VJe(A)). (4.16) Рассмотрим операторы Н = Н-СІ , А= А-СІ . (4.17) Так как с = С , то оператор А є J (Н ) . При этом оператор Н неотрицательный, а оператор А - аккретивный. Очевидно, что и наоборот, если оператор А , определяемый равенством (4.17), является аккретивным расширением неотрицательного one-ратора Н , то оператор А является правильным расширением оператора Н "с сохранением грани . Таким образом, вопрос о существовании правильных расширений полуограниченного эрмитова оператора Н "с сохранением грани" сводится к вопросу о существовании аккретивных расширений соответствующего неотрицательного эрмитова оператора. Чтобы сформулировать соответствующее предположение, рассмотрим следующие построения. Пусть эрмитов оператор Н удовлетворяет условию (4.15), а оператор А J(H) и определяется равенствами (4.3) и (4.4). Или, что то же самое, равенствами (4.5) и (4.6).
Правильные расширения полуограниченных эрмитовых операторов "с сохранением грани"
Как обычно, неограниченный оператор А будем называть нор-мальным, если в некоторой точке Я є р(А) резольвента этого оператора является нормальным оператором. Тогда, как это следует из (3.1), Т= -I + 2(1 — А") , и, следовательно, оператор А нормальный тогда и только тогда, когда one -ратор Т нормальный (при условии, что рассматриваются расширения Т оператора 5 с (Т) = о ).
Пусть Н - замкнутый неотрицательный симметрический оператор. Тогда произвольное максимальное правильное аккретивное расширение А оператора Н является самосопряженным оператором.
Доказательство. Действительно, если оператор S определя-А так как (H) = % , то D(S) vlR(S)= . Но тогда, на основании теоремы 2.1, произвольное нормальное расширение Т оператора S является самосопряженным. Следовательно, с учетом равенства (3.3), приходим к заключению, что оператор А также самосопряженный.
Мягкое и жесткое расширение. Итак, в дальнейшем рассматриваем нормальные правильные расширения А неотрицательного эрмитова оператора Н . Обозначим через !P4(S) множество нормальных расширений Т оператора S с сохранением нормы и таких, что -1 i= Бр(Т) . Как показывает пример из I (п. 2), в некоторых случаях множество J\ (S) может оказаться пус -тым. Однако во многих нетривиальных случаях (и, в частности, в случае, когда оператор Н симметрический) множество не является пустым.
Предположим, что нормальные операторы L и Тм , опре -деляемые равенствами (2.19), принадлежат JP (S) . Тогда операторы А„ и Ам , определяемые равенствами являются нормальными аккретивными расширениями оператора Н Следуя соответствующей терминологии, в случае самосопряженных расширений симметрического оператора Н операторы А и Ам будем называть соответственно мягким и жестким расширением оператора Н . п -метрика. Определим на 5)(И) , где Н - неотрицательный эрмитов оператор, Н -скалярное произведение и Н -норму равенствами: Тогда (f ,f )ц (f)f ) (Vfe XH)) и, следовательно, равенство (f)PH= 0 имеет место тогда и только тогда, когда f = 0 .
Таким образом, линеал (H) с метрикой, порождаемой нормой (3.7), есть предгильбертово пространство. Пополняя (в случае необходимости) обычным способом это пространство и повторяя построения Фридрихса (см., напр., [5] , стр. 352, 353), получим гильбертово (относительно Н -метрики) пространство о0 , которое будем обозначать также через 5)[Н] , и такое, что где = 4)(Н) - замыкание линеала в исходной метрике . При этом линеал 5)( Н ) всюду плотен в пространстве эо у (как в Н -метрике, так и в исходной метрике) и замыкание линеала XD(H) в Н -метрике совпадает с э0 .
Оператор X и X -метрика. Пусть снова Н - неотрица -тельный эрмитов оператор, S определяется равенством (3.2), а оператор Т = К. + і К, есть некоторое нормальное правильное расширение оператора S с сохранением нормы. При этом предполагаем, что 1 (эр(Т) ,и, следовательно, можем рассмотреть оператор А , определяемый равенством (3.3), который, как уже отмечалось, является правильным аккретивным расширением оператора Н .
Нормальные расширения эрмитовых сжатий с сохранением нормы
Пусть, как и прежде, Н - замкнутый неотрицательный эрмитов оператор, А - аккре-тивное нормальное расширение оператора п и оператор Т = = R + IK. определяется равенством (3.1). При фиксированном К ( в выражении для Т ) обозначим через множество всех нормальных аккретивных расширений оператора Н . В частности, crd (Н; 0) - множество всех неотрицательных самосопряженных расширений оператора Н . В дальнейшем предполагаем, что множество J ( Н j К.) не является пустым.
Обозначим через замыкание линеала XIX Н) в Н -метрике. Аналогично,-[XI - замыкание линеала (Х) в X-метрике. Рассмотрим оператор А и , определяемый равенством (3.5), где Тд = Flmia + » а R-mm " оператор, который был определен в 2 (п.4). Так же, как и в случае с X -метрикой, определим в пространстве Ъ Хд -метрику, где и обозначим через СХд] замыкание линеала )(Хц) в XJJL -Метрике . ТЕОРЕМА 3.5. В множестве существует единст венный оператор А , для которого Этим оператором является оператор А„ (жесткое расширение оператора п ) и для него Доказательство. Пусть и имеет место включение (3.30). Покажем, что линеал -5ХН) всюду плотен по X -норме в 5ХХ) . Действительно, пусть f 0O . Тогда с учетом (3.30) f G-[H] и, следовательно, существует последовательность {fa} элементов из , которая сходится (в Н -метрике) к f . А так как на основании (3.6) и (3.7) И\\н If II (Vf ефпт, (3.32) то последовательность [j ] является фундаментальной и в исходной метрике (т.е.. по норме I ll ). Учитывая теперь то, что неравенство (3.32) выполняется на плотном (по Н -норме) мно -жестве 4)(Н) в [Н] , приходим к заключению, что это неравенство выполняется на всем 5ХН] . Но тогда, очевидно, j является пределом последовательности {f } как в Н -метрике, так и в исходной метрике. Воспользовавшись теперь равенством (3.21), приходим к заключению, что последовательность {jrii является фундаментальной также и в X -метрике. При этом, используя неравенство (3.22) и рассуждая, как и раньше, убеждаемся, что элемент f является пределом последовательности \jn) также и в X -метрике. Таким образом, линеал всюду плотен по X -норме в С другой стороны, если , то, на основании (3.15), f=8+Q (Q з) .Но тогда, с учетом равенств (3.16), (3.17), (3.23), (2,21) и (2.22), При этом, если сре-(Н) , то т.е. XD(H)C5XX) , и, на основании (3.33), Hep 1 = - Zll,lB+ . Далее, как бьшо показано, существует последовательность {fj элементов из , которая сходится к f по X -норме. При этом, на основании предыдущего, ja = В+ 9а » где i-CJnJ - некоторая последовательность элементов из XD(S) . Кроме того, f - jn — B+(g Qa) , и, следовательно, на основании (3.33), откуда заключаем, что последовательность {gnJ сходится к эле менту q . Учитывая теперь то, что в качестве q можем взять любой элемент из о , делаем вывод, что линеал 5)(5) всюду плотен в э по В+-норме. Но тогда, на основании теоремы nun » т,е« Т - Тм , и, таким образом, А-Ад . Обратно, если А = Ад , то Т = Тд , т.е. R-= R-mln.
Но тогда,на основании теоремы 2.II, линеал -CD(S) всюду плотен в Ї поВ+ -норме. Следовательно, с учетом равенства (3.33), линеал Х5ХН) всюду плотен в -CD(X) по X -норме. А так как есть замыкание 4ХН) по Н -норме, и, в силу (3.21), на D(H) X -норма и п -норма совпадают, то приходим к заключению, что Хз)(Х) с Г)[[-] # Учитывая при этом включения (а также равенство (3.21)), приходим к заключению, что замыка - 98 ниє D(X) по X -норме совпадает с , т.е. имеет место равенство (3.31).
