Введение к работе
Цели и задачи исследования. Целью данной работы является исследование вопросов разрешимости начально-краевой задачи модели Мар-герра-Власова для оболочек с малой инерцией продольных перемещений при шарнирном закреплении края оболочки на любом промежутке времени, формирование условий существования и единственности обобщенных решений модели, анализ единственности при некоторых модификациях исходной начально-краевой задачи.
Актуальность. Рассматриваемые в работе модели предложены К. Маргерром и В.З. Власовым. В своих основополагающих работах И.И. Ворович дал определение обобщенного решения начально-краевой задачи модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек при жестком закреплении края оболочки, проектирующейся на ограниченную область. Определение обобщенного решения эволюционной модели механики сплошной среды И.И. Ворович предложил первым сразу после Э. Хопфа (1951) и доказал теорему существования этих решений на произвольном отрезке времени в рамках абстрактной схемы на базе метода Бубнова-Галеркина для нелинейных волновых процессов общего характера. Теорема же единственности обобщенных решений в рассматриваемой ситуации, доказанная И.И. Воровичем (1957), носит условный характер, поскольку требует от обобщенных решений большей гладкости, чем предоставляет теорема существования обобщенных решений. Теорема единственности, использующая дифференциальные свойства решений, определенные в теореме существования, была доказана позже В.И. Седенко (1991) с помощью предложенного им метода использования операторов сглаживания для компенсации недостаточной гладкости обобщенных решений. В дальнейшем этот метод (или его несущественные вариации) был использован для доказательства теорем единственности обобщенных решений, глобальных по времени, для некоторых моделей механики сплошной среды. Прежде всего отметим здесь теорему единственности обобщенных решений уравнений фон Кармана, доказанную Э. Монвелом и И.Д. Чуешовым (1998), теорема существования для которых была доказана намного раньше в работах Н.Ф. Морозова (1967). Далее, в работах О.В. Ладыженской (1997) была изложена теорема единственности обобщенных решений двумерных задач динамики водных полимеров, теорема существования которых при-
ведена в статьях А.П. Осколкова (1994). Метод В.И. Седенко использовали И. Ласиеска (1998) при доказательстве единственности обобщенных решений для уравнений фон Кармана с нелинейными краевыми условиями, Дж. Кегнол, К. Либедзик и Р. Марченд (2006) - для доказательства единственности обобщенных решений модели Койтера колебаний оболочек.
В настоящей работе впервые получили обоснования в смысле разрешимости в целом по времени существование и единственность обобщенных решений начально-краевых задач модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек с малой инерцией продольных перемещений при шарнирном закреплении края оболочки, проектирующейся на ограниченную область. Теоремы единственности обобщенных решений доказываются с помощью некоторого развития описанного выше метода использования свойств операторов сглаживания.
Разрешимость начально-краевой задачи модели на любом промежутке времени в значительной мере определяет возможность использования модели для численного анализа и прикладных расчетов. Таким образом, актуальным аспектом является возможность применения полученных результатов в некоторых разделах математики, прикладной математики и механики.
Методы исследования. В диссертационном исследовании используются методы математического и функционального анализа, метод Бубнова-Галеркина, стандартная техника оценок норм функций с помощью теорем вложения Соболева и Гальярдо-Ниренберга, оригинальная техника использования операторов сглаживания, предложенная В.И. Седенко.
Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. В рамках реализации схемы, предложенной И.И. Воровичем, введены
гильбертовы функциональные пространства HI(Q.,ju) и описаны их
свойства.
На основе метода Бубнова-Галеркина доказаны теоремы существования глобальных по времени обобщенных решений начально-краевой задачи модели Маргерра-Власова колебаний пологих оболочек, проектирующихся на ограниченную область, при шарнирном закреплении края оболочки.
Установлены равномерные оценки приближений Бубнова-Галеркина.
Исследованы дифференциальные свойства приближений.
Установлены дифференциальные свойства обобщенных решений модели. Получены глобальные по времени оценки обобщенных решений.
Доказаны теоремы единственности обобщенных решений данной модели в условиях теорем существования.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и развитые методы могут применяться в научных и прикладных исследованиях в теории упругости, численном анализе, при решении задач механики, математической физики.
Полученные результаты могут быть использованы научными коллективами Южного федерального университета, Воронежского государственного университета, Кубанского государственного университета, а также другими научными коллективами, ведущими исследования в теории дифференциальных уравнений в частных производных и других областях науки, примыкающих к основным направлениям диссертации.
Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, получены соискателем.
Апробация работы. Диссертационная работа выполнена в Южном федеральном университете на кафедре вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук.
Отдельные части диссертации докладывались на следующих конференциях: на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 1998 и 2008), Международном российско-казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, 2004), на X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2009), научно-практической конференции «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания» (Ростов-на-Дону, 2007 и 2008), межгосударственной научно-практической конференции «Проблемы проектирования и управления экономическими системами: инвестиционный проект» (Ростов-на-Дону, 1998), 17-ой международной конференции «Лазерно-информационные технологии в медицине, биологии и геоэкологии-2009» (Новороссийск, 2009), Всероссий-
ской научно-технической конференции "Инновации и актуальные проблемы техники и технологий" (Саратов, 2009).
Результаты диссертации также докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, кафедры геометрии и методики преподавания математики Педагогического института Южного федерального университета, кафедры фундаментальной и прикладной математики Ростовского государственного экономического университета «РИНХ», на семинарах кафедры общей математики Кубанского государственного технологического университета и кафедры общеинженерных дисциплин Новороссийского политехнического института.
Публикации. Содержание диссертации опубликовано в работах [1-16]. В работах [1-3], [5-11], [14] В.И. Седенко принадлежат постановка задачи и выбор методов, автору - их реализация. В статье [1] С.А. Батыговой принадлежат лемма 4 и 5, теорема 1; в работе [2] С.А. Батыговой принадлежат леммы 6 и 7, в работе [8] - лемма 4, в работе [9] -лемма 1. В работе [3] Д.Б. Давтян принадлежит теорема 1.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 16 параграфов, приложения, заключения и библиографического списка из 58 наименований, включающего в себя список использованных источников и работ соискателя. Объем диссертационной работы составляет 146 страниц машинописного текста.
