Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка задач контактного взаимодействия тонких упругих оболочек вращения и построение разрешающей системы уравнений 27
1.1 Постановка задач контактного взаимодействия оболочек 27
1.2 Допущения и уравнения общей теории оболочек 33
1.3 Уравнения теории оболочек вращения с произвольной образующей срединной поверхности. Разрешающая система дифференциальных уравнений и сведение поставленной задачи к одномерной 43
2. Построение разрешающей системы уравнений для нахождения нормальных и тангенциальных контактных усилий в одномерных задачах 54
2.1 Постановка одномерных контактных задач 54
2.2 Построение разрешающей системы уравнений для нахождения нормальных и тангенциальных контактных усилий в одномерных задачах 55
2.3 Разрешающая рабочая система уравнений и проверка ее достоверности. Определение напряженно-деформированного состояния оболочек от найденных контактных усилий и внешней нагрузки 66
2.4 Нахождение напряженно-деформированного состояния оболочки от внешней нагрузки и найденных нормальных и окружных контактных усилий 71
3. Построение разрешающей системы уравнений для нахождения нормальных и тангенциальных контактных усилий в двумерных задачах 74
3.1 Постановка двумерных контактных задач 74
3.2 Построение разрешающей системы уравнений для нахождения нормальных и тангенциальных контактных усилий в двумерных задачах 75
3.3 Разрешающая рабочая система уравнений и проверка ее достоверности. Определение напряженно-деформированного состояния оболочек от найденных контактных усилий и внешней нагрузки 81
3.4 Определение напряженно-деформированного состояния оболочки от внешней нагрузки и найденных нормальных, окружных и меридиональных контактных усилий 86
4. Решение контактных задач для тонких упругих оболочек вращения 88
4.1 Исследование контактного взаимодействия цилиндрической оболочки с основанием 88
4.2 Исследование контактного взаимодействия слоев в двухслойной оболочке 92
4.3 Исследование контактного взаимодействия двухслойной цилиндрической оболочки с адгезионной прослойкой между слоями 95
4.4 Исследование контактного взаимодействия цилиндрической оболочки с основанием в упруго-пластической постановке 98
4.5 Исследование контактного взаимодействия сферической оболочки с жестким шаром 101
4.6 Изучение деформированного состояния упругой цилиндрической оболочки при локальном нагружении 104
Заключение 137
Библиографический список 139
Приложение! 150
- Допущения и уравнения общей теории оболочек
- Построение разрешающей системы уравнений для нахождения нормальных и тангенциальных контактных усилий в одномерных задачах
- Построение разрешающей системы уравнений для нахождения нормальных и тангенциальных контактных усилий в двумерных задачах
- Исследование контактного взаимодействия двухслойной цилиндрической оболочки с адгезионной прослойкой между слоями
Введение к работе
Многие современные сооружения можно рассматривать как тонкостенные, упругие оболочки, контактирующие между собой, либо с различными подкрепляющими элементами. Примерами могут служить трубопроводы, покоящиеся на основаниях; цистерны, взаимодействующие с подкрепляющими элементами; рулонированные сосуды. Часто такие конструкции необходимо оценивать на прочность. Для этого необходимо знать как можно более точно распределение контактных усилий и напряженно-деформированное состояние, вызванное контактными усилиями и внешними нагрузками. Для того, чтобы найти распределение контактных усилий и напряженно-деформированное состояние, необходимо решить контактную задачу. По найденным при решении контактной задачи напряжениям возможно оценить запас прочности конструкции.
Механика контактного взаимодействия начала формироваться в конце позапрошлого столетия, после известной работы Г.Герца «О контакте упругих тел» [100]. В работе была выдвинута гипотеза, что при контакте двух упругих тел несогласованной формы, поверхность контакта имеет эллиптическую форму. Г. Герц сформулировал условия, которым должны удовлетворять нормальные перемещения на поверхности контакта и предположил, что контактирующие тела можно рассматривать как упругие полупространства, нагруженные по малой области поверхности, и исследовать распределение контактных напряжений независимо от общего распределения напряжений в телах. Кроме того, поверхности контакта предполагаются гладкими и контакт осуществляется только за счет нормальных контактных усилий. Теорию Г. Герца возможно использовать для рассмотрения контакта упругих тел, вступающих в контакт по малым областям контакта в отсутствии трения. Опытная проверка теории была проведена как самим Г. Герцем, так и другими исследователями, и подтвердила гипотезу об эллиптической форме области контакта. Решение контактной задачи, полученное Г. Герцем, было развито А.Н. Динником и Н.М. Беляевым [29]: первый исследовал напряженно-деформированное состояние в окрестности круговой области контакта, второй изучал распределение напряжений при эллиптической области контакта при взаимодействии упругих тел.
На практике, при решении контактных задач часто приходиться смягчать ограничения, накладываемые теорией Герца и рассматривать тела согласованной формы, взаимодействующие по большим областям контакта, (сравнимыми с характерными размерами тел); решать задачи в плоской и трехмерной постановке; учитывать не только нормальные, но и тангенциальные контактные усилия; вместо соотношений для упругого полупространства использовать, к примеру, соотношения теории оболочек, пластин и т. д.
Впервые задачи механики контактного взаимодействия в плоской постановке были рассмотрены Н.И. Мусхелишвили [75]. В работах дан общий подход к решению плоских контактных задач при отсутствии и при наличии трения. Контактные задачи в трехмерной постановке впервые изучались И.Я. Штаерманом [98] и А. И. Лурье [69]. Эти работы, а также работы В.М. Александрова и Б.Л. Ромалиса [5], Л. А. Галина [29, 30], Gladwell G.M.L [99], В. И. Моссаковского, B.C. Гудрамовича и Е.М. Макеева [73, 74], А.Н. Подгорного, П.П. Гонтаровского и Б.Н. Киркача [87] и других авторов можно рассматривать как теоретическую основу современной механики контактного взаимодействия. Обширные результаты в области механики контактного взаимодействия получены Л. А. Галиным [29]. Автором предложен способ решения плоских контактных задач, позволивший решить контактные задачи с трением и без трения для анизотропной полуплоскости, учесть влияние скорости перемещения штампа. Разработан способ решения пространственных задач для штампов круговой и эллиптической в плане формы, для штампа клинообразной формы. Решение контактных задач с учетом сил трения, и влияние трения на распределение контактных усилий и область контакта, рассмотрено также в работах [73].
В перечисленных выше исследованиях охвачен широкий круг задач контактного взаимодействия, изложены подходы и методы решения контактных задач. Распространенными аналитическими методами решения задач данного класса являются метод интегральных уравнений, метод теории потенциала и метод теории функций комплексного переменного. Аналитические подходы к решению контактных задач отличаются значительной сложностью. Поэтому при постановке задачи обычно используют ряд упрощений. Делают предположение о малости области контакта по сравнению с кривизной контактирующих тел, что позволяет одно из взаимодействующих тел, заменить полуплоскостью (для двумерных контактных задач), или полупространством (для контактных задач в трехмерной постановке) и использовать хорошо разработанный, применительно к задачам для полупространства, аппарат теории упругости. Одно из контактирующих тел принимается абсолютно жестким (штамп). Часто контактная задача решается в отсутствии сил трения, что позволяет рассматривать задачу без учета тангенциальных напряжений в области взаимодействия тел. Предполагают постоянство области контакта.
Плоские контактные задачи для упругой полуплоскости, взаимодействующей со штампом в отсутствии сил трения, подробно рассмотрены в работе [29]. В качестве граничных условий для данного класса задач принимается известной величина нормального перемещения в области контакта, тангенциальная составляющая перемещения под штампом принимается равной нулю. Методы решения контактных задач данного класса с помощью функций комплексной переменной, даны в работах [75, 29, 30]. Отмечено, что контактные задачи без трения могут быть сведены к решению задачи Дирихле для гармонической функции. К числу решенных задач контактного взаимодействия данного типа относятся задачи нагружения упругой полуплоскости жестким штампом в условиях плоской деформации, задача о контакте двух упругих тел, ряд контактных задач для анизотропной упругой полуплоскости и некоторые другие задачи.
При наличии трения (тангенциальных контактных усилий) решение плоских контактных задач значительно усложняется. Граничные условия в контактной задаче с трением принимаются следующие: на границе контакта дана величина нормального перемещения, связь между нормальными и тангенциальными контактными усилиями в зоне контакта подчинена закону Амонтона-Кулона. Обычно контактная задача с учетом трения решается в предположении либо о полном сцеплении контактирующих поверхностей, либо о действии по всей области контакта силы трения скольжения. Решена контактная задача для случая, когда на всей площадке контакта действуют силы трения, подчиняющиеся закону Амонтона-Кулона. Задача приводиться к отысканию одной функции комплексного переменного. Особую сложность представляют контактные задачи, где область контакта может включать и область сцепления и область проскальзывания. Плоская контактная задача с трением, в предположении наличия области сцепления и проскальзывания, для штампа, вдавливаемого в упругую полуплоскость, приближенно решена Гал иным [29].
Если коэффициент трения между контактирующими телами велик, то тела оказываются жестко связаны друг с другом. Для данного класса контактных задач принимают следующие граничные условия: под штампом принимается заданным нормальное и тангенциальное перемещение, на поверхности упругого тела задаются нормальные и тангенциальные компоненты напряжений.
При решении трехмерных контактных задач аналитические методы усложняются. Контактные задачи для упругого полупространства, решаемые с использованием общих уравнений теории упругости, записанных, в частности, с помощью функций Папковица-Нейбера, без учета трения, возможно свести к решению задач теории потенциала. Для анализа задач теории потенциала используют следующие методы: применение эллипсоидальных и сфероидальных координат, использование функции Грина, метод интегральных уравнений, комплексных потенциалов и парных интегральных уравнений. В трехмерной постановке получены решения обобщенной трехмерной задачи Герца, контактной задачи для упругого полупространства нагружаемого жестким штампом, имеющим в плане круговую или эллиптическую форму, контакт штампа в виде полосы и многоугольника. Решена задача для случая нагруженш полупространства клинообразным в плане штампом, и эллиптическим штампом находящимся под действием силы и моментов. Дано решение задачи о давление узкой балки на упругое полупространство. Рассмотрена задача о давлении на полупространство кругового цилиндра (задача о кольцевом штампе). Решена пространственная задача о контакте двух упругих тел.
Трехмерные контактные задачи, решаемые с учетом сил трения между взаимодействующими телами, еще более сложны. Для данного класса задач получены аналитические решения задачи о давлении кругового в плане штампа на упругое полупространство. При этом штамп вращается вокруг своей оси, что и вызывает силы трения, обладающие осевой симметрией.
В большинстве упомянутых выше задач решение было получено в предположении, что одно из контактирующих тел являлось абсолютно жестким (штампом). Подобное упрощение возможно использовать для случаев контактного взаимодействия, когда модуль упругости одного из тел, значительно больше модуля упругости второго тела (к примеру, задача о давлении фундамента на грунт). Однако, на практике часто необходимо рассматривать задачи, когда оба тела являются упругими. Решение подобных задач может быть получено из решения задачи о давлении жесткого штампа на упругое тело [29].
Решена задача о контакте двух упругих цилиндров, имеющих близкие радиусы. Контактная задача для упругих тел становится проще, когда упругие постоянные соприкасающихся тел одинаковы, в этом случае удается решиті задачи для случая, когда область взаимодействия имеет как зону контакта, так і зону проскальзывания. М.З. Народецким решена задача для двух упруги? цилиндров, имеющих близкие радиусы и одинаковые упругие постоянные [76].
Таким образом, аналитические методы успешно применяются для решение контактных задач. Недостатком аналитических методов является сложност] вычислительных процедур и получение решений для достаточно общих случае) контактного взаимодействия, без учета сложной геометрии тел (например, штамі - упругое полупространство), особенностей контактирующих поверхностей J реальных свойств материала. В работе [42] отмечено, что многие задачі контактного взаимодействия не допускают аналитического решения в замкнуто форме, к примеру, задачи негерцегского контакта с трением и частичньи проскальзыванием. Контактные задачи данного класса эффективно изучаются с помощью численных методов.
Суть численных методов заключается в нахождении распределения контактных усилий, удовлетворяющих заданным граничным усилиям, на поверхности раздела внутри и вне области контакта. При этом сама область контакта, как правило, определяется в ходе решения задачи. Часто, как и при решении с помощью аналитических методов, для упрощения решения пренебрегают влиянием тангенциальных усилий. Однако, учет тангенциальных усилий необходим при решении задач с трением. Численные методы позволяют успешно исследовать влияние исходных параметров на получаемый результат, решать контактные задачи с неизвестной границей контакта. В последнем случае область контакта определяется путем построения итерационного процесса. В настоящее время для решения контактных задач численными методами наиболее часто используют метод конечных элементов (МКЭ). МКЭ развивался в приложении к задачам расчета конструкций, для которых представление в виде дискретных элементов является естественным (рамы фермы, тонкостенные конструкции, и т. д.). Сейчас МКЭ является одним из основных методов решения задач о напряженно-деформированном состоянии, устойчивости, разрушении твердых тел с различными физическими и геометрическими свойствами, при статических и динамических нагрузках. Уравнения МКЭ можно получить рядом способов: к примеру, путем дискретизации континуума конечными элементами и составлении уравнений равновесия или уравнений совместности, либо уравнения МКЭ получают путем использования вариационных принципов. Основы МКЭ и применение метода к решению задач механики изложены во многих работах, из которых следует выделить [60, 61]. Подходы к решению контактных задач с использованием МКЭ приведены в работах [73, 13]. К примеру, в работе [73] с помощью МКЭ решена контактная задача для кругового стержня и упругого штампа-ложемента. Наиболее эффективными конечными элементами для решения контактных задач являются элементы, учитывающие наличие степенной особенности в граничных точках области контакта. В отличие от аналитических методов, МКЭ широко применяется для решения прикладных контактных задач. Данным методом получены решения контактной задачи о взаимодействии штампа с упругой полуплоскостью при разных отношениях модулей Юнга штампа и полуплоскости; исследованы контактные задачи для случаев, когда область контакта является прямоугольной с отверстиями или краевыми трещинами; решены многочисленные задачи контакта упругих и жестких тел и другие задачи [12]. В работе [14] МКЭ используется для решения нестационарных задач контактного взаимодействия. Расчетные результаты, получаемые с помощью МКЭ, совпадают с данными, полученными в ходе эксперимента [89].
При исследовании контактных задач, не поддающихся аналитическому и численному решению, используют экспериментальные методы. Для определения напряженно-деформированного состояния при контакте тел в настоящее время применяют следующие экспериментальные методы [12]: метод хрупких тензочувствительных покрытий, метод измерения перемещений точек поверхности контактирующего элемента индикаторами часового типа, ультразвуковой метод, рентгенографию, методы акустоупругости, магнитоабсорбционный метод, метод инфракрасной радиометрии, радиоспектроскопический. Используются оптические методы: голография, интерферометрия, метод оптически чувствительных покрытий, делительных сеток, поляризационно-оптический метод исследования напряженногс состояния, метод делительных сеток и другие методы.
Современное состояние теории и практики решения контактных зада^ можно проследить по работам [2, 3, 7, 9, 11, 14, 39, 40].
К одному из сложнейших классов задач механики контактногс взаимодействия принадлежат задачи контактного взаимодействия тонки? оболочек. Задачи контактного взаимодействия тонких оболочек с жесткими шп упругими телами и основаниями (например, ложементами, ребрами жесткости разнообразными опорами и основаниями), достаточно часто встречаются прі расчетах строительных и машиностроительных конструкций, при изученш работы инженерных сооружений, промышленных и гражданских объектов, в строительной механике корабля и летательных аппаратов.
Для решения задач контактного взаимодействия оболочек используется достаточно хорошо разработанная теория оболочек. При этом определяются область контакта оболочки с основанием, закон распределения контактного давления и напряженно-деформированное состояние оболочки. Особенностью контактных задач теории оболочек, по сравнению с контактными задачами теории упругости, является вопрос выбора упрощающих гипотез, позволяющих привести трехмерную задачу теории упругости к двумерной: выбор упрощающей гипотезы существенно влияет на распределение контактных усилий. Наиболее широкое применение в механике оболочек (в том числе и при решении контактных задач), нашла гипотеза Кирхгоффа-Лява (гипотеза недеформируемых нормалей). Согласно этой гипотезе, прямые волокна оболочки, нормальные к координатной поверхности, после деформации остаются прямыми и нормальными к координатной поверхности и не меняют своей длины; нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с другими нормальными напряжениями. К плюсам данной гипотезы можно отнести достаточно простую формулировку исходных соотношений, физическую ясность и то, что применение данной гипотезы оправдано для большого числа практически используемы* оболочечных конструкций. Использование гипотезы Кирхгоффа-Лява позволяет свести определение деформированного состояния во всем объеме оболочки I определению деформаций и кривизн срединной поверхности. Следует отметить что использование гипотезы Кирхгоффа-Лява для решения контактных зада1 теории оболочек приводит к появлению сосредоточенных нормальных усилий т границе области контакта [73]. На упрощающей гипотезе Кирхгоффа-Ляв; базируется классическая теория оболочек.
Классическая теория тонкостенных оболочек разработана в конц< позапрошлого века. В дальнейшем выделяют два направления развития теорш [27, 77]. Первое относится к математической теории оболочек и характеризуется главным образом, установлением погрешности используемых в основе теории допущений, исследованием исходных уравнений, анализом их точности и применимости, разработкой подходов к решению задач теории оболочек. Второе направление характеризуется введением в теорию оболочек физических и геометрических гипотез и разработкой приближенных методов расчета оболочек, решением практически важных задач.
Первый правильный вариант теории оболочек, был предложен А. Лявом [70], и большинство последующих работ использовали именно этот вариант теории. Недостатком предложенного варианта теории являлась неопределенность в обращении с малыми слагаемыми: одни слагаемые отбрасывались, другие, имея тот же порядок малости, сохранялись. В работе В.В. Новожилова [78] было показано, что при построении уравнений теории оболочек можно пренебречь слагаемыми, имеющими порядок h/R по отношению к сохраняемым слагаемым. Здесь h, R - толщина и радиус оболочки соответственно. В работе А.Л. Голденвейзера [33] в теорию оболочек были введены уравнения неразрывности. Вскоре была обнаружена статико-геометрическая аналогия.
На практике, при расчетах напряженно-деформированного состояние оболочек, вместо общей классической теории обычно используют упрощенные теории, полученные с учетом особенностей конструкции и нагружения. В примеру, техническую моментную теорию, полубезмоментную теорию, теорик краевого эффекта и безмоментную теорию. При этом вводятся гипотезы с характере изменения компонентов напряженного состояния (внутренних усилий перемещений), позволяющие упростить уравнения путем пренебрежения ТЄМР или иными членами в уравнениях классической теории оболочек. Эффективж расчленять напряженное состояние оболочек на основное и краевой эффект Первое описывает напряженное состояние по всей поверхности оболочки краевой эффект описывает локальные эффекты, возникающие вблизи зон < сингулярным характером конструкции или нагрузки, и имеющие быстр< затухающий характер. Для учета конструктивных особенностей использую' варианты теории, описывающие поведение цилиндрических, сферических, конических оболочек. Созданная теория оболочек, и особенно наиболее полно разработанный раздел теории - линейная теория, в настоящее время находит самое широкое практическое применение в машиностроении, строительстве, авиастроении, судостроении и других областях техники. Разработанные методы теории оболочек в настоящее время являются наиболее надежными при расчете конструкций.
Современная научная литература располагает огромным количеством работ посвященных вопросам теории и различным задачам расчета оболочек. Основные теоретические результаты теории оболочек изложены в трудах В.З.Власова [27], А.Л.Гольденвейзера [33], А.И.Лурье [69], В.В.Новожилова [78], С.П.Тимошенко и С. Войновский- Кригер [91], К.Ф.Черных [95, 96], В. Флюгге [92], P.M.Naghdi [106], E.Reissner [107] и других.
Изучению напряженно-деформированного состояния оболочек при различных силовых нагрузках посвящены работы Ю.П.Артюхина и С.Н. Карасева [10], Л.И.Балабуха [15], В.Л.Бидермана [16], И.А.Биргера [17], В.В.Болотина [19], В.В. Васильева [26], Я.М.Григоренко и А.Т.Василенко [37, 38], И.Г. Емельянова [43 - 48], Б.Я. Кантора [62], А.В. Кармишина, В.А. Лясковца и В.И.Мяченкова [63], В.А. Мерзлякова [72], Образцова И.Ф., Нерубайло Б.В. и Ольшанского В.П. [79], П.М. Огибалова, М.А. Колтунов [80], В.Н.Паймушина [81], В.В.Пикуля [85], И.Г.Терегулова [90], A.Y. Morris [105], Yuan S.W. [110] и других ученых.
Совершенствование оболочечных конструкций, введение в практику композиционных материалов привело к появлению механики анизотропных оболочек. Теории и методам решения задач механики анизотропных оболочек и пластин посвящены работы С. А. Амбарцумяна [1], Н. А. Алфутова, П.А. Зиновьева, Б.Г Попова [6], В. А. Баженова, Е.А. Гоцулюка и А.И. Оглобли [13], В. В. Болотина [19], А. Т. Василенко и И.Г. Емельянова [21-25], Э. И.Триголюка, Е.А. Когана и В.И. Мамая [34, 35], Я. М. Григоренко и А.Т. Василенко [37, 38],
В. И. Королева [66], С. Г. Лехницкого [68], О. М. Палия, В.Е. Спиро [82] и других авторов.
Кроме того, современное состояние теории и практики расчета оболочек, достаточно полно отражают труды Всероссийских научных конференций по теории оболочек.
Разработанная теория оболочек и методы решения задач применяются для решения контактных задач теории оболочек. Основные методы и подходы к решению контактных задач для оболочечных конструкций посвящены труды В. М. Александрова и С. М. Мхитаряна [4], Э.И. Григолюка и В.М. Толкачева [36], Я.М. Григоренко и А.Т. Василенко [20-25, 37], В.М. Даревского [41], И.Г. Емельянова [43-59], Б. Я. Кантора [62], В. И. Моссаковского [73, 74], Б. В. Нерубайло [77], И.Ф. Образцова, Б.В. Нерубайло, В.П. Ольшанского [79], Б. Л. Пелеха, А. М. Максимука и И. М. Коровайчука [83], Б. Л. Пелеха и М.А. Сухорольского [84] и других.
Контактные задачи для оболочек вращения при осесимметричном нагружении исследованы в работах М. В. Блоха и СЯ. Цукрова [18], Б. Я. Кантора [62], Т. Н. Карпенко [64], L. М. Кеег и M.A.G. Silva [101], S. V. Kulkarni и D. Frederick [102], N. D. P. Updike и A. Kalnins [108] и других авторов.
В работах Ю. П. Артюхина [8], Э.И Григолюка и В. М. Толкачева [36], Г К. Клейна [65], В.И. Моссаковского [73, 74], Б. Л. Пелеха и М.А. Сухорольскогс [84], Г. Я. Попова [88], V. Krupka [103], R. Vinet R. и Dore [109], и других решены задачи по определению контактного взаимодействия оболочек вращенго в окружном направлении.
Решение для многослойных оболочечных конструкций дано в работа? В.А.Баженова, Е.А. Гоцулюка и А.И. Оглобли [13], В. В. Болотина [19], И.Г Емельянова [43, 47], А.В. Максимука, Н.Н. Щербины [71], Б.Л.Пелеха и М. А Сухорольского [84], А.В. Плеханова [86], Ф.Н. Шклярчука, Е.И Кочемасова, Н.П Тютюнникова [97], и других.
Имеются новые работы по механике контактного взаимодействия оболочек [14,28,49-59,67].
Традиционные методы, используемые при решении контактных задач для оболочек - это метод сопряжения решений дифференциальных уравнений, метод редуцированных систем, вариационных неравенств, различные релаксационные процедуры. Отмечено, что использование для решения контактных задач классической теории оболочек (с учетом гипотез Кирхгоффа - Лява), приводит к появлению сосредоточенных усилий на границе области контакта. Такое резкое возрастание контактных усилий связано с отсутствием учета сдвиговой жесткости оболочки: если задача решается с использованием гипотезы типа Тимошенко, то данного эффекта можно избежать. Появление сосредоточенных контактных усилий на границе области контакта согласуется с данными эксперимента [73]: о возрастании контактных усилий на краях области контакта свидетельствует форма потери устойчивости оболочек с образованием вмятин в областях, близких к краям области взаимодействия. Данный эффект имеет большое значение для оценки прочности оболочки.
При решении контактных задач теории оболочек аналитическими методами наиболее просто решаются контактные задачи, в которых взаимодействие происходит по отрезку линии (одномерные контактные задачи [30, 36]). Этот случай имеет место при рассмотрении контакта оболочек с тонкими ребрами; в оболочках сваренных по отрезку образующей; оболочках взаимодействующих с ложементами. С математической точки зрения одномерные контактные задачи теории оболочек сводятся либо к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, либо к весьма эффективному методу интегральных уравнений. Если задача о контакте оболочки и жесткого тела решается методом интегральных уравнений, в предположении верности гипотез Кирхгоффа-Лява, то получается уравнение Фредгольма первого рода, решение которого будет некорректным. Учет поперечного обжатия оболочки приводит к интегральному уравнению второго рода, и задача становится корректной. В работе [36] рассмотрена методика решения одномерны* контактных задач для цилиндрических оболочек, взаимодействующих с упругими ребрами и жесткими штампами. Оболочки починяются гипотезам Кирхгоффа-Лява, для решения используется техническая теория оболочек, а также теория пологих оболочек. Предполагается, что контакт осуществляется только за счет нормальных контактных усилий, без учета трения. Характерным для постановки задач является отсутствие учета ширины области контакта, чтс позволяет существенно упростить задачу и рассматривать контакт только вдолі образующей или меридиана, что делает задачу одномерной. В ходе решенш определяется распределение контактных усилий и длина дуги контакта.
Исходное интегральное уравнение Фредгольма первого рода авторь получают путем записи уравнения для изгибной поперечной деформации срединной поверхности оболочки в некоторой точке дуги окружности, от единичной силы, приложенной в некоторой другой точке этой же окружности Определенная таким образом изгибная деформация приравнивается к разнице между исходной кривизной оболочки и кривизной основания штампа на линго контакта [36]. Полученное уравнение решается либо прямыми методами например путем представления решения в виде разложения с помощьк полиномов Чебышева и дальнейшего определения коэффициентов разложенш методом коллокаций; либо путем привода интегральных уравнения первого рода к уравнениям второго рода, методы, решения которых подробно разработаны либо методом регуляризации, когда слагаемое, содержащее регулярное ядро рассматривается как условно известная функция. Таким образом, решены задачі контактного взаимодействия жестких штампов с тонкой круговой бесконечно! цилиндрической оболочкой, взаимодействие происходит по дугам окружностей решена та же задача для полубесконечной оболочки; решена задача о выход< круговой цилиндрической оболочки конечной длины из шахты. По данныл задачам приведены обширные численные результаты. Рассмотрена задач; контактного взаимодействия для бесконечной цилиндрической оболочки контактирующей с системой жестких штампов, приложенных по отрезкаї* образующих и нагруженных нормальной силой и изгибающим моментом
Исходное интегральное уравнение получено из условия равенства изменения кривизны срединной поверхности оболочки и кривизны кромки штампа в продольном направлении. Интегральное уравнение решается численно с помощью аппроксимации контактной реакции полиномами Чебышева. Приведены некоторые другие задачи. В работе дан обширный анализ результатов.
Путь сведения контактной задачи к интегральному уравнению показан в работе [42].
На практике достаточно часто встречаются контактные задачи для оболочек, взаимодействующих с упругими или жесткими основаниями. Задачи контактного взаимодействия для цилиндрических оболочек, покоящихся на упругом основании, рассмотрены в работе [73]. Предполагается верность гипотез Кирхгоффа-Лява. Для решения задач, рассмотренных в работе, используются упрощенные варианты теории оболочек: теория цилиндрических, сферических оболочек и другие. Рассмотрены случаи, когда область контакта допустиме считать отрезком линии (узкое опорное основание), а также случай взаимодействия по двумерной области контакта. Для решения используется метод тригонометрических рядов, при этом нагрузки и решение, в зависимости от размерности области контакта, представляются в виде одинарных иле двойных тригонометрических рядов. Работа упругого основания представляете* с помощью модели Винклера или Власова. Отмечено, что при решение контактных задач для оболочечных конструкций важно учитывай тангенциальные контактные усилия. С учетом тангенциальных контактны* усилий исследована задача для цилиндрической оболочки, покоящейся ш упругом винклеровском основании. Авторы отмечают, что использованный і работе МеТОД ТрИГОНОМетрИЧеСКИХ рЯДОВ МОЖеТ быть эффективно Применен ДЛ5 решения контактных задач для сложных схем оболочечных конструкций: і примеру, оболочки вращения, сопряженные с круговыми стержнями, дискретне подкрепленными криволинейными стержнями и т. д.
В работе отмечено, что при решении контактных задач для оболочек, взаимодействующих с упругими основаниями, большое значение имеет выбор модели основания [73]. Модель основания влияет на распределение контактных усилий. Основным признаком, характеризующим принадлежность к той или иной модели, является связь между перемещением точки на поверхности основания и реактивным усилием в этой точке. Связь осуществляется с помощью коэффициента пропорциональности (коэффициента постели). Можно выделить модели с одним коэффициентом пропорциональности, модели упругой полуплоскости и упругого полупространства с набором коэффициентов пропорциональности, а также различные модификации этих моделей. Существуют модели оснований статистические, упруго-наследственные, модели, построенные с учетом нелинейной связи между нагрузкой и основанием и другие. Наиболее известными моделями основания являются модели Винклера, Бусинеска, Вигхарда, Г.Э. Проктора, М. М. Филоненко-Бородича, В. 3. Власова и другие [73]. Одной из самых простейших моделей упругого основания является модель Винклера. В основу модели положена гипотеза о линейной связи между перемещением и реакцией основания в точке. Связь выражается с помощью коэффициента постели. Характерные свойства основания можно представить с помощью не связанных между собой пружин с линейной характеристикой. Для решения сложных задач необходимо усложнить свойства винклеровского основания и ввести для каждой точки поверхности контакта несколько коэффициентов постели (до тридцати шести для пространственной задачи). Усложненное основание Винклера дает реакцию не только при вертикальных, но и тангенциальных смещениях и поворотах поверхности основания [73]. Способы определения коэффициентов являются либо экспериментальными, либо приближенными.
Модель Винклера широко используется при решении контактных задач. С помощью этой модели описано взаимодействие пластин и балок, покоящихся на узких основаниях. В работе [73] модель Винклера используется для решения контактных задач для оболочечных конструкций, взаимодействующих с упругими основаниями. В этой же работе дана оценка применимости основания Винклера при решении контактных задач для оболочечных конструкций. Отмечено, что жесткостные параметры основания значительно влияют на распределение контактных усилий - увеличение жесткости основания ведет к росту сосредоточенных контактных нагрузок на границе области контакта.
Достаточно часто возникают контактные задачи для цилиндрических оболочек, взаимодействующих с подкрепляющими продольными и поперечными ребрами. Такие конструкции часто применяются в различных областях строительной техники: градирни, водонапорные башни, подкрепленные трубопроводы и. т. д. Эти задачи могут эффективно решаться аналитически -методом интегральных уравнений, а также с использованием численных методов [36]. В работе [77] рассмотрено контактное взаимодействие цилиндрической оболочки и скрепленных с ней упругих ребер. Оболочка, аналогично предыдущим работам, рассматривается в предположении верности гипотез Кирхгоффа-Лява. Предполагается, что между ребром и оболочкой имеют место только нормальные контактные усилия. Взаимодействие происходит вследствие действия на оболочку радиального локального усилия. Нагрузка может прилагаться либо в области контактного взаимодействия оболочки и ребра, либо вне области контактного взаимодействия. Для решения задачи используется метод сил. Усилие контактного взаимодействия, радиальное перемещение оболочки и нормальное перемещение ребра записывается в виде разложения в ряд по косинусам. При этом условие упругого сопряжения ребра и оболочки записывается в виде системы алгебраических уравнений относительно неизвестных значений коэффициентов разложения контактных усилий. Напряженное состояние оболочки определяется от найденных контактных усилий и приложенной к оболочке локальной нагрузки. В работе решена задача контактного взаимодействия цилиндрической оболочки с шарнирным закреплением краев и упругого продольного ребра, а также контактная задача для бесконечно длинной оболочки, взаимодействующей с поперечным ребром.
С точки зрения контактных задач возможно рассматривать задачи о напряженно-деформированном состоянии многослойных оболочечных конструкций. Многослойные оболочки широко применяются в современном производстве. Для их расчета используются как континуальные теории, рассматривающие оболочку как однородную, с некоторым набором приведенных характеристик, так и теории, рассматривающие оболочку с учетом дискретности строения. В последнем случае задачу можно решать как контактную для взаимодействующих слоев, рассматривая реакции взаимодействия между слоями как контактные усилия. Основы теории аналитических и приближенных методов расчета напряженно - деформированного состояния многослойных оболочек при различных силовых и температурных нагрузках подробно рассмотрены в работе [84].
Современное состояние теории и практики решения контактных задач для оболочечных конструкций можно проследить по работам [14, 20, 25, 28, 39, 46, 47, 49-59].
Решение контактных задач для тонкостенных оболочечных конструкций приводит к необходимости решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения получаемых краевых задач эффективно использование численных методов [16], при этом краевая задача сводиться к решению системы задач Коши. Получить решение задачи Коши, т.е. решить обыкновенное дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях, можно используя хорошо разработанные методы: метод Эйлера и его модификации, метод Рунге-Кутта, метод разложения в ряд Тейлора и другие. Для сведения краевой задачи к задаче Коши часто используется метод начальных параметров. Однако, в тех случаях, когда решаемые уравнения (например, уравнения теории оболочек), имеют быстро возрастающие или быстро убывающие решения, метод начальных параметров не приводит к цели. В этом случае для численного решения краевых задач эффективно использовать метол дискретной ортогонализации С.К. Годунова [32]. При этом весь интервал интегрирования разбивают на отдельные участки. На каждом из полученных участков дифференциальное уравнение интегрируется также как при использовании метода начальных параметров. На границе участков матрица решений подвергается ортогонализации, так, чтобы получаемые решения образовывали ортонормированную систему. Это позволяет сохранить линейную независимость решений на всем интеграле интегрирования. Метод С.К. Годунова удачно модифицирует метод начальных параметров и применяется при решении задач с краевыми эффектами. Для расчета оболочек метод С.К. Годунове использовался в работах [21-25] и других. Методы численного интегрированш разрешающих краевых задач механики подробно рассмотрены в работах [16, 94]. Большинство существующих в настоящее время постановок контактны> задач для оболочек основаны на составлении систем уравнений из условш совместимости деформаций в нормальном направлении и последующем расчете нормальных контактных усилий. Однако, как показано в работах [31, 42, 73], вс многих контактных задачах следует, в зависимости от конструктивны> особенностей контактирующих тел, помимо нормальных связей учитывав возникающие между оболочкой и основанием тангенциальные усилия. В работе [12] отмечено, что учет тангенциальных контактных усилий являете; принципиальным при оценке износостойкости контактирующих элементен конструкций и расчете процесса развития трещин в зоне контакта. Е оболочечных конструкциях, взаимодействующих с основаниями тангенциальные контактные усилия могут возникать при неполном прилеганш оболочки и основания, что имеет место при начальном зазоре, а также прі наличии начальных несовершенств и неидеальной поверхности контакта [73]. I общем случае, касательные контактные усилия вызываются трениел взаимодействующих тел, причем предполагается, что в центральной області контакта контактирующие поверхности полностью сцеплены, а к границе зонь контакта примыкает зона проскальзывания. При этом, в случае проскальзывани: нормальные контактные усилия связаны с тангенциальными по закон; Амонтона-Кулона, через коэффициент трения. Если коэффициент трени достаточно велик, область проскальзывания может полностью исключаться [42].
В обзоре приведены современные представления о теории и методах решения контактных задач для оболочечных конструкций. В результате установлено, что при постановке большинства решаемых контактных задач учитываются только нормальные контактные усилия. Однако, во многих случаях, помимо нормальных контактных усилий необходимо учитывать возникающие в области контакта тангенциальные контактные усилия. Из обзора следует вывод о необходимости дальнейшего развития теории и методов решения контактных задач для оболочек.
Настоящая диссертационная работа посвящена применению и развитию метода контактных элементов [43-48]. Метод используется для решения задач контактного взаимодействия ортотропных оболочек вращения с учетом возникающих в зоне контакта тангенциальных (окружных и меридиональных) усилий. Общая задача состоит из задачи определения области контакта между слоями и нахождения распределения нормальных и тангенциальных контактных усилий, и задачи определения зависимости напряженного состояния оболочечной конструкции от внешнего нагружения и найденных контактных усилий. Для учета тангенциальных сил вводятся меридиональные и окружные реакции, совпадающие с меридиональным и окружным направлением координат. Задача решается в геометрически и физически линейной постановке с использованием гипотезы Кирхгоффа-Лява. Для определения контактных усилий используется метод сил. При этом зависимость перемещений на элементах oi неизвестных контактных усилий устанавливается с помощью коэффициентоЕ влияния.
Цель работы состоит в разработке метода решения задач контактногс взаимодействия тонкостенных оболочек вращения, с учетом действующих в зоне контакта тангенциальных (окружных и осевых) усилий; исследование зависимости между геометрическими и физико-механическими параметрами оболочки, распределением нормальных и тангенциальных контактных усилий \ напряженно-деформированным состоянием оболочки; в построении \ реализации предложенного метода на ЭВМ.
В данной работе предлагается численный метод решения контактных задач теории оболочек. Особенностью предлагаемого метода является учет действующих в области контакта тангенциальных контактных усилий. Учет данных усилий позволяет более корректно найти распределение усилий взаимодействия, и более точно определить напряженно-деформированное состояние конструкции. Важность учета тангенциальных усилий при решении контактных задач отмечена в работах В.М.Александрова и Б.Л.Ромалиса [5], Б.Я.Кантора [62], В.И.Моссаковского, В.С.Гудрамовича и Е.М.Макеева [73], А.Н.Подгорного, П.П.Гонтаровского и Б.Н.Киркача [87]. Из зарубежных авторов можно отметить работу И.Главачика и Я.Гаслингера [31] и работу К. Джонсона [42]. В частности, в последней отмечено, что учет при контактном взаимодействии тангенциальных составляющих, может, в зависимости от контактирующих поверхностей, более чем на пять процентов увеличить внешнюю нагрузку, необходимую для образования одинаковых областей контакта, по сравнению с результатами, получаемыми по теории Герца, с учетом только нормальных контактных усилий.
Практически учет тангенциальных усилий наиболее важен при решении контактных задач для клеевых конструкций. Расчет клеевых соединений является частью расчета на прочность и, как показано в работах Фрейдина [93] данные конструкции необходимо рассчитывать в первую очередь на сдвиговук прочность. С другой стороны, как отмечено в этой же работе, расчет клеевогс соединения необходимо проводить при учете как можно большего количестве силовых факторов, поскольку только в этом случае результат расчет; приближается к реальной картине напряженного состояния в клеевоъ соединении. В свою очередь, не принятие во внимание каких-либо силовы; факторов либо тангенциальных (работающих на срез), либо нормальны: (работающих на отрыв), усилий, может дать большую погрешность при расчете и не позволит правильно оценить запас прочности конструкции.
Научная новизна работы заключена в разработке метода решения зада контактного взаимодействия тонкостенных оболочек вращения с учетої тангенциальных контактных усилий; в построении разрешающей системы уравнений и построении итерационного процесса нахождения контактных усилий для одномерной контактной задачи; в построении разрешающей системы уравнений и построении итерационного процесса нахождения контактных усилий, для двумерной контактной задачи; реализации на ЭВМ алгоритма численного решения контактных задач для тонкостенных оболочек вращения.
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.
В первой главе дана постановка решаемых задач контактного взаимодействия оболочек. Рассматриваются статические задачи контактного взаимодействия замкнутых в окружном направлении ортотропных оболочек вращения, взаимодействующих с упругими и жесткими конструкционными элементами, и многослойные оболочки вращения. В главе записана система дифференциальных уравнений, использованная для нахождения напряженно-деформированного состояния оболочек вращения от приложенных внешних нагрузок, нормальных и тангенциальных контактных усилий. Приведены допущения и уравнения общей теории оболочек. Выведены уравнения теории оболочек вращения с произвольной образующей срединной поверхности.
Во второй главе рассмотрены одномерные контактные задачи для тонкостенных упругих оболочек вращения. Конструктивная схема одномерных задач характеризуется тем, что размер области контакта известен в меридиональном направлении и неизвестен в окружном направлении. Для данного случая получена разрешающая система уравнений и построен итерационный процесс нахождения нормальных и тангенциальных контактных усилий.
В третьей главе рассмотрены двумерные контактные задачи для тонкостенных упругих оболочек вращения. Конструктивная схема двумерных задач характеризуется тем, что размер области контакта неизвестен как і окружном, так и в меридиональном направлении. Для данного случая получен* разрешающая система уравнений и построен итерационный процесс нахождения нормальных и тангенциальных контактных усилий.
В четвертой главе с помощью изложенного выше метода контактных элементов решен ряд контактных задач для тонкостенных, упругих оболочек вращения. В главе приведены полученные результаты и сделана оценка их правильности. Проведено исследование зависимости распределения нормальных и тангенциальных контактных усилий от параметров разбиения, приложенного к оболочке внешнего усилия, коэффициента трения и начального зазора межд> контактирующими поверхностями.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные і работе.
В приложении приведен акт внедрения.
Основное содержание диссертационной работы отражено в работах [49 -53 55-59,67].
Результаты диссертационной работы докладывались автором н; всероссийском научном семинаре «Механика микронеоднородных материалов і разрушение» (Екатеринбург 1999), международной конференции «Актуальны» проблемы механики оболочек» (Казань 2000), международной конференциі «Разрушение и мониторинг свойств металлов» (Екатеринбург 2001) международной конференции «Архитектура оболочек и расчет строительны: конструкций сложной формы» (Москва 2001), восьмом всероссийском съезде п« теоретической и прикладной механике (Пермь 2001), международной научно технической конференции «Современные проблемы совершенствования і развития металлических, деревянных, пластмассовых конструкций строительстве и на транспорте» (Самара 2002).
Допущения и уравнения общей теории оболочек
Рассматриваемые в работе контактные задачи для оболочек решаются Е предположении справедливости гипотез Кирхгоффа-Лява [1]. С учетом этих гипотез трехмерная задача теории упругости сводится к двумерной задаче с деформации срединной поверхности оболочки. Задачи решаются в геометрически линейной постановке. Предполагается что перемещения малы по сравнению с толщиной оболочки, а косинусы углоЕ поворота - по сравнению с единицей [27, 33, 78]. Связь между напряжениями и деформациями оболочки описываете обобщенным законом Гука с учетом гипотезы Дюамеля-Неймана. В оболочке действуют нулевые начальные напряжения и деформации v постоянное поле температур. Для записи уравнений общей теории тонких оболочек за поверхності приведения выберем срединную поверхность оболочки. Толщина оболочки равш h и является функцией от введенных выше координат а, (3 Главные кривизны срединной поверхности оболочки обозначим k,, к2. С параметрами Ляме А и В главные кривизны связаны соотношениями Кодации Гаусса. Эти соотношения имеют вид: Деформированное состояние срединной поверхности определяется тремя компонентами перемещений и шестью компонентами деформаций. Перемещения обозначены u(a,p), v(a,(3), w(a,p) и совпадают по направлению с направлениями координатных линий а, (3, у. Компоненты деформаций обозначены єа, єр, Бар, ха Хр Х«р Здесь єа, єр и sap характеризуют изменение линейных размеров, а %а, %р и хар " искривления малого элементе срединной поверхности. Для многослойной оболочки, состоящей из нескольких слоев переменно? толщины Yj_, у уі? (і = 1,2,...,п), где n - это количество слоев, удлинения I нормальном направлении е1у и поперечные сдвиги е у, еру равны нулю. Запишет Перемещения U„, Up, Uy и деформации ela, ep, e p точек, не лежащих НІ срединной поверхности, находятся через перемещения и деформации ерединноі поверхности оболочки [27, 37]. Эти перемещения и деформации определяются формулами: где 9a и 0p - углы поворота нормального элемента в плоскостях a = const и Р = const. Углы 9а и 9р находятся из формул: Деформации срединной поверхности sa, 8р, єар, ха Хр, Хар определяются из геометрических соотношений: А да АВ Эр 1 ЭУ 1 ЭВ u + k2w,
Деформации срединной поверхности sa, єр, єар, %а, Хр, Хар связаны между собой условиями совместимости деформаций [33]: где F/, F2, F3 - компоненты вектора напряжений на поверхности контакта і-го і (і+1) - го слоя, п - число слоев оболочки. Здесь предполагается, что слог оболочки взаимодействуют без скольжения и отрыва. Поскольку приложенная нагрузка действует на внешних и внутренни? поверхностях многослойной оболочечной конструкции, то на этих поверхностя? должны выполнятся условия где q , (j = 1,2,3) - это компоненты приложенной к оболочке внешней нагрузки. Выделим из срединной поверхности малый элемент, ограниченны! координатными линиями a = const и (3 = const. Дифференциальные уравнени: равновесия для данного элемента имеют вид [27, 33, 78]: где qa, qp, qY, ma, mp - поверхностные нагрузки, отнесенные к срединно поверхности, Kw - модуль упругости основания. В общем случае деформация состоит из упругой и тепловой составляющеі Для многослойной оболочки, состоящей из ортотропных слоев, главнь: направления упругости в которых совпадают с направлениями координатны линий, соотношения упругости имеют вид [37]: где Еа, Ер - модули упругости в направлениях а, (3 соответственно; Gap модуль сдвига в плоскости, параллельной координатной поверхности; va, vp коэффициенты Пуассона. Если главные направления упругости материала повернуты вокруг оси у на некоторый угол ф, то, в случае ортотропных оболочек, величины В в каждом слое в системе координат a, Р связаны со значениями этих величин В в системе координат главных направлений упругости формулами: Тепловые составляющие в уравнениях (1.26) определяются формулами i=1 Yi-i Здесь aj, a2 - коэффициенты линейного температурного расширения і-го слоя оболочки в направлении аир соответственно.
Построение разрешающей системы уравнений для нахождения нормальных и тангенциальных контактных усилий в одномерных задачах
Для нахождения распределения нормальных и окружных контактны; усилий и области взаимодействия используем метод контактных элементов [43 48]. При изменении внешней нагрузки на оболочку, область контакта fiH может изменяться, увеличиваться или уменьшаться с образованием возможны; зон отставания в окружном направлении. В рассматриваемой задаче і неизвестной областью контакта С1+, можно данную область дополнить областьк Q_, до некоторой известной, максимально физически допустимой области Q таким образом, что где 2te, - искомые линейные размеры области контакта в окружноіу направлении. Используя метод контактных элементов, разобьем всю физически допустимую область контакта Q в окружном направлении на N контактны? элементов длиной ае. Каждый элемент стянут центральным углом А0. Длин} контактных элементов в меридиональном направлении примем равной длин оболочки L, либо равной длине подкрепляющего элемента - Ь. Разбиение н; контактные элементы симметрично относительно 0=0. Предполагается, что на каждом контактном элементе взаимодействш осуществляется через неизвестные, но равномерно распределенные на BceN элементе, нормальные и окружные контактные усилия Xj и у;, совпадающие направлениями С, и 0 соответственно.
Поскольку рассматривается плоскої напряженное состояние, меридиональные контактные усилия принимаются равными нулю. Таким образом, контактная нагрузка представлена определенньв конечным количеством неизвестных связей. Для их определения использоваї смешанный метод. Нормальные и окружные контактные усилия связаны межд; собой законом трения Амонтона - Кулона [31] где X; и уj - соответственно нормальное и окружное контактное усилие; і номер элемента; f - коэффициент трения. Разрешающую систему уравнений одномерной контактной задачи дл: оболочки с учетом действующих в области контакта окружных контактны: усилий построена на основе системы уравнений, описывающей контакт только з счет нормальных усилий взаимодействия. Каноническая система уравнений описывающая контакт в направлении координаты С, за счет нормальных усили] s? взаимодействия, построена с учетом симметрии оболочки относительно 9=0, и имеет вид [44, 45]: Здесь Wj - суммарные, нормальные перемещения на і - ом контактном элементе. в общем случае находимые по формулам: где Ujll и U - нормальные перемещения внешнего и внутреннего слоеі оболочки на 1 - ом контактном элементе. Поскольку рассматриваете однослойная оболочка, то Ux- = 0. Перемещения строятся путем численногс интегрирования оболочки, с использованием (1.49), от единичного, нормальногс усилия, равномерно распределенного на контактном элементе. Нормальны перемещения, найденные для всех контактных элементов, записываются в вид векторов где Ux1}, Ux2)- векторы нормальных перемещений внешнего и внутреннего слоев оболочки. Нормальное единичное усилие, используемое для построения векторов (2.6), представляется в виде разложения в ряд Фурье по окружной координате 0. Разложение имеет вид: Здесь п - количество удерживаемых в рядах гармоник. В матрице (2.4) оператор D, связывает нормальное усилие, приложенное в і-ой точке поверхности основания (упругой прослойки), и нормальное перемещение в данной точке. Оператор D является параметром регуляризации и состоит из двух слагаемых, D, и D2, и определяется выражением где оператор D, - характеризует изменение толщины оболочки за счет обжатия а оператор D2 - характеризует свойства упругой прокладки между оболочкой к основанием, на котором покоится оболочка. Численное значение оператора D, может выбираться различными способами.
При решении контактных зада классической теории оболочек, основанной на гипотезах Кирхгоффа - Лява наиболее часто используется винклеровская связь между контактным нагрузками и обжатием оболочки. В работах [4, 36, 84] приведена связь междз нормальными контактными давлениями и нормальными перемещениями. Этг связь определяется по формуле: где Е и h - модуль упругости изотропного материала и толщина оболочек, a w -нормальное перемещение срединной поверхности оболочки. Как показано Е работе [62], коэффициент жесткости трансверсального обжатия оболочки можнс определять по формуле: Значит, оператор D, определяется выражением: В работе [8] показано, коэффициент k6 , определяется выражением:
Построение разрешающей системы уравнений для нахождения нормальных и тангенциальных контактных усилий в двумерных задачах
Для нахождения распределения нормальных и тангенциальных контактны: усилий и области контакта при решении двумерных контактных задач дл: оболочек использован как и в предыдущей главе, метод контактных элементов. При изменении внешней нагрузки на оболочку, область контакта Q. между слоями может изменяться, (увеличиваться или уменьшаться) образованием возможных зон отставания в окружном и меридионально? направлениях. В рассматриваемой задаче для двухслойной оболочки неизвестна область контакта Q+, дополняется областью Q,_ до некоторой известной і физически допустимой области Q, таким образом, что где 2te,ts - искомые линейные размеры области контакта в окружном и меридиональном направлениях; Q- физически допустимая область контакта Q = 27iR,xL. Для определения контактных усилий взаимодействия проводится дискретизация всей физически допустимой области контакта Q прямоугольными контактными элементами. Для этого область Q разбивается на равные участки в меридиональном направлении, а полученные при этом «кольца» делятся на одинаковое количество элементов по окружности. На каждом полученном элементе, учитывая его малые размеры, принимается постоянное значение контактных усилий. Размер элементов, на которых контактные усилия аппроксимируется постоянными значениями, должен определятся применяемой при решении теорией оболочек. Для задач в классической постановке, использующих гипотезы Кирхгоффа-Лява, линейный размер площадки не можеі быть меньше толщины оболочки, поскольку это противоречило бы данной теории.
Площадь получаемых контактных элементов определяется формулой F = aexas, где ае, as,- линейные размеры элементов по окружности и меридиану. Площадь физически допустимой области контакта определяется пс формуле: где N - число элементов по окружности; К - число элементов по меридиану. Исходные уравнения, описывающие взаимодействие оболочек, формулируются ОТНОСИТеЛЬНО ИХ НОрмаЛЬНЫХ, ОКруЖНЫХ И МерИДИОНаЛЬНЫХ Перемещений Wjj. Vy, Ujj, в центре каждого элемента и контактных усилий x y Zy (i=l, ... , N: j=l, ... , К), равномерно распределенных на контактных элементах. Таким образом, на каждом элементе действуют контактные давления, находимые и: Поскольку взаимодействие между слоями представлено определенньа КОНеЧНЫМ КОЛИЧеСТВОМ КОНТаКТНЫХ УСИЛИЙ Xjj.y Zjj , то для их определенш возможно, как и в предыдущей главе, использовать метод сил. Каноническаз система уравнений, описывающая условие контакта в направлении нормали і поверхности контакта Q, выделенного из оболочки «кольца» с номером один подобно системе, учитывающей контакт только за счет нормальных контактные усилий [45], имеет вид: Здесь 8jj, (ijj, г)jj - перемещения в основной системе по направлении нормали в связи j от единичного усилия, введенного по направлении отброшенной связи і к С,, 8 и s (суммарные податливости обоих слоев); Д перемещение по направлению связи і, вызванное действием заданной внешне! нагрузки на оболочку в направлении нормали; ARi - величина зазора в і - ой связі между оболочкой и основанием. Коэффициенты Sj fijjjTijj находятся, как и в предыдущей главе, путек интегрирования уравнений (1.49) от единичных нормальных, окружных і меридиональных усилий, распределенных на каждом контактном элементе і представленных соответственно в виде разложения в ряды Фурье где к - количество удерживаемых гармоник; А9 - центральный угол разбиения г - радиус поверхности контакта. В системе (3.3) оператор D связывает нормальное усилие на контактної элементе с его нормальным перемещением. Оператор D и является параметров регуляризации и определяется выражением (2.7). С учетом симметрии задачи относительно вертикальной оси 9=0 систем (3.3) примет вид:
Исследование контактного взаимодействия двухслойной цилиндрической оболочки с адгезионной прослойкой между слоями
Рассмотрена оболочка из двух тонких эквидестантных цилиндрических слоев, связанных между собой межслоевой адгезионной прослойкой. Задача является двумерной, а конструктивная схема оболочки повторяет предыдущий случай (рис. 4.6). Отличием является наличие межслоевой адгезионной прослойки, воспринимающей нормальные растягивающие напряжения, что влияет на условия контакта между слоями оболочки. Длина конструкции равна L = 0,08M. Толщина каждого из слоев lr1 =lr2 =1,0x10-3 м, радиус поверхности контакта между взаимодействующими слоями равен г = 1,45 х 10 м. Рассматриваемая оболочка, в отличие от предыдущей, относится к числу «длинных» оболочек. Модуль упругости и коэффициент Пуассона приняты одинаковыми для обоих слоев оболочки Е(1) = Е(2)=1,2хЮ5МПа и v(1) = v(2)=0,3; D,=0. Коэффициенты постели упругой прослойки между слоями равны C = 0,8X109H/M3;G=0,25X109H/M3; G, =0,25ХЮ9 H/M3. Левый край конструкции жестко защемлен и перемещения на данном краю равны ux=uz=v = 0s=O. Правый край конструкции свободен. Усилия и моменты на правом краю равны Nx = Nz = S = Ms=0. Внешняя сосредоточенная нагрузка Р = 4х103Н приложена к правому свободному краю оболочки при 0=0 и s = L = 0,08 м. Контактное взаимодействие между слоями происходит за счет нормальных и тангенциальных (окружных и меридиональных) контактных усилий. Шаг разбиения по окружности принимался равным А0=9. В меридиональном направлении оболочка делилась на 23 контактных элемента. При этом половина области Q аппроксимировалась 460 прямоугольными контактными элементами постоянной площади. Площадь каждого контактного элемента определялась как F = as ха0 = 0,084x10 м . Дискретизация области контакта таким сравнительно большим числом контактных элементов в данном случае привела к построению системы линейных алгебраических уравнений 1380 - го порядка и значительным вычислительным сложностям при ее решении.
Результатом расчета стало получение распределения нормальных, окружных и меридиональных контактных усилий и расчет напряженно-деформированного состояния оболочечной конструкции. Численные результаты, показывающие распределение контактных давлений q, р0 и ps на половине развернутой поверхности Q, представлены на рис. 4.15 рис. 4.16 и рис. 4.17 соответственно. В силу симметрии оболочки результаты показаны только на половине развернутой поверхности Q. Поскольку моделируется расчетный случай с межслоевой адгезионной прослойкой, полностью воспринимающей нормальные растягивающие напряжения, то контактные давления имеют как положительные, так и отрицательные значения, что моделирует работу адгезионного соединения. Наибольших значений нормальные контактные давления достигают в точке приложения внешней нагрузки при 6=0, s=L и в точке, ей противоположенной, при 0=тг, s=L. На левом, защемленном, краю оболочки нормальные и тангенциальные контактные давления равны нулю. По найденным внешним нагрузкам и контактным давлениям определялось напряженно-деформированное состояние конструкции. На рис. 4.18 показано распределение меридиональных напряжений as по координате s для внешнего слоя конструкции при 0=0, полученное по предлагаемой методике. Данное распределение показано кривой 1. Полученные результаты удовлетворительно согласуются с результатами, найденными для расчетного случая, когда двухслойная оболочка представлена единой конструкцией, а методика расчета соответствует методике, предложенной в работе [38]. Кривая 2 иллюстрирует найденные для этого случая меридиональные напряжения crs, распределенные по координате s для внешнего слоя конструкции, при 9=0. Меридиональные напряжения, найденные в заделке, на левом краю оболочки, сравнивались с меридиональными напряжениями, определенными по формуле: Здесь a = —; dB и d - внешний и внутренний диаметр конструкции. dB Напряжение as =250,6 МПа, полученное по формуле (4.1), сопоставимо с напряжением, полученным в ходе расчета as =232,93 МПа. Погрешность составила 7,1 %, что показывает достоверность применяемого подхода.
На этом же рисунке кривой 3 показано распределение окружных напряжений ае по длине оболочки на внутренней поверхности внешнего слоя для 0=0. Кривой 4 показано нормальное перемещение срединной поверхности w внешнего слоя конструкции, при 0=0, по длине оболочки. Найденные перемещения соответствуют характеру нагружения конструкции, имеют наибольшее значение на свободном краю оболочки и равны нулю на закрепленном. Таким образом, разработанный метод применим для исследования контактного взаимодействия оболочек с адгезионной прослойкой между контактирующими поверхностями. Найденные при решении нормальные усилия взаимодействия имеют как положительные, так и отрицательные значения, что не характерно для контактных задач, но объясняется наличием тонкой клеевой прослойки, воспринимающей растягивающие нормальные усилия. Как отмечено выше, при расчете адгезионных соединений следует учитывать прочность соединения на сдвиг. Если таковая работа соединения является преимущественной, то итерационный процесс по нахождению области расслоения следует строить с учетом прочности клеевого соединения под
Похожие диссертации на Решение контактных задач для оболочек с учетом тангенциальных усилий взаимодействия
