Содержание к диссертации
Введение
1 Допускаемые алгебры Ли для различных моделей турбулентности 14
1.1 Некоторые модели турбулентности 14
1.2 Дальний турбулентный след за телом 25
1.3 Нахождение алгебр Ли для различных моделей дальнего турбулентного следа 32
1.3.1 (к — є) модель в приближении дальнего следа . 32
1.3.2 Трехпараметрическая (к — є — u[u'j) модель в приближении дальнего следа 41
1.3.3 Модифицированная (к — є — и[и'Л модель (модель Роди) в приближении дальнего следа 47
1.3.4 Модель третьего порядка в приближении дальнего следа 49
1.3.5 Плоский турбулентный след в пассивно стратифицированной среде 51
1.3.6 Плоский турбулентный след за нагретым цилиндром 53
1.3.7 Безымпульсный след 55
2 Расчет моделей дальнего турбулентного следа 58
2.1 (к — є) модель в приближении дальнего следа 58
2.2 Трехпараметрическая (к — є — u'v') модель в приближении дальнего следа 66
2.3 Турбулентные следы в пассивно стратифицированной среде 75
2.4 Безымпульсный след 87
Литература 91
- Нахождение алгебр Ли для различных моделей дальнего турбулентного следа
- Модифицированная (к — є — и[и'Л модель (модель Роди) в приближении дальнего следа
- Плоский турбулентный след за нагретым цилиндром
- Трехпараметрическая (к — є — u'v') модель в приближении дальнего следа
Введение к работе
Актуальность исследований. Моделирование турбулентности -это одна из наиболее сложных и нерешенных проблем в гидродинамике и теоретической физике. В настоящее время существует достаточно большое количество полуэмпирических математических моделей, которые с различной степенью приближения описывают турбулентность в жидкостях и газах. Это градиентные модели (модели первого приближения), дифференциальные модели (модели второго приближения), а также модели, в которых учитываются уравнения на третьи моменты. Широкая распространенность турбулентных течений, их большое значение для множества разнообразных практических задач и интерес к ним теоретиков говорит об актуальности исследований в этом направлении. Для нахождения решений данных моделей обычно применяются конечно-разностные алгоритмы. Представляет большой интерес редуцировать системы уравнений с частными производными к обыкновенным дифференциальным уравнениям и построить решения полученных систем, которые удовлетворительно согласовываются с экспериментальными данными.
Цель диссертационной работы:
провести групповой анализ моделей турбулентности в однородной и в пассивно стратифицированной среде в приближении дальнего следа;
получить представления для инвариантных решений, построить решения редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, провести сравнение полученных решений с экспериментальными данными.
Научная новизна работы. В диссертации построены и исследованы автомодельные решения иерархии моделей дальнего турбулентного следа. Выполнен теоретико-групповой анализ соответствующих моделей. Построенные автомодельные решения удовлетворяют всем граничным условиям. Найдены первые интегралы редуцированных систем. Полученные решения удовлетворительно согласуются с экспериментальными
данными на качественном и количественном уровнях.
Теоретическая и практическая ценность работы. Найдены базисы допускаемых алгебр Ли операторов, позволяющие найти преобразования для перехода от систем уравнений с частными производными к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены первые интегралы для некоторых рассмотренных систем и построены решения редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих естественным краевым условиям. Полученные решения адекватно описывают наблюдаемые процессы на качественном и количественном уровне. Предложенные подходы и варианты решений могут использоваться в теории и практике при моделировании и описании природы дальнего турбулентного следа.
Личное участие автора в получении представленных научных результатов. Все результаты, включенные в диссертацию, принадлежат лично автору. В совместных работах вклад соавторов равнозначен.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:
на VI международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике"(Новосибирск, 2005);
на VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006);
на VIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007);
на международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях" (Санкт-Петербург, 2007);
на международной конференции "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2007).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях [1-4], 2 из них - в журналах из списка ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, списка используемых литературных источников. Работа изложена на 97 страницах, иллюстрируется 25 рисунками. Список цитируемой литературы включает 55 наименование.
Нахождение алгебр Ли для различных моделей дальнего турбулентного следа
Далее на основе этих утверждений построены представления для решений, редуцирующие системы уравнений с частными производными, описанные выше, к системам обыкновенных дифференциальных уравнений и выписаны соответствующие краевые условия для всех моделей.
В начале первой главы диссертационной работы приводятся основные классические математические модели турбулентности. Далее рассматриваются "упрощенные" модели в приближении дальнего турбулентного следа. Проводится групповой анализ этих моделей по известной схеме [30], строятся базисы допускаемых алгебр Ли для плоских и осесиммет-ричных случаев, и соответствующие таблицы коммутаторов. Для двух моделей подробно доказаны теоремы о базисах допускаемых алгебр Ли. Результаты, полученные в главе 1, используются далее.
Во второй главе данной работы изучаются решения моделей дальнего турбулентного следа. Получить решения помогают допускаемые операторы растяжения. Система уравнений с частными производными редуцируется к системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Из физических соображений выбираются краевые условия, удовлетворяющие условиям задачи. Далее решается краевая задача "методом стрельбы". Сложность решения задачи заключается в нелинейности обыкновенных дифференциальных уравнений, но эту сложность, по-видимому, можно обойти разложением решения к окрестности особой точки в ряд, как это было показано в статье [20]. Данный метод применяется для выбора начальных данных при использовании "метода стрельбы". Стоит отметить, что системы особо чувствительны к начальным данным. Приведены графики решений редуцированных систем и произведен сравнительный анализ с доступными экспериментальными данными.
Основные результаты диссертационной работы: - проведен теоретико-групповой анализ для шести моделей турбулентности в приближении дальнего следа; - на основе допускаемых операторов построены представления для решений, получены редуцированные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены первые интегралы для этих систем; - построены решения редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющие естественным краевым условиям. Найденные решения согласуются с экспериментальными данными на качественном и количественном уровнях. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12, 13, 17, 18], а также докладывались на VI Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005) [16], VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006) [9], Международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях" (Санкт-Петербург, 2007) [19], Международной конференции "Алгебра и ее приложения"(Красноярск, 2007) [10], VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007) [11]. Данная работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 07-01-00489, 04-01-00130, 04-01-00209).
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Капцову Олегу Викторовичу за постановку задач и ценные советы, а профессору Г.Г. Черных и доктору физико-математических наук В.Н. Гребеневу за предоставленные материалы и внимание к работе.
Модифицированная (к — є — и[и'Л модель (модель Роди) в приближении дальнего следа
В полученных уравнениях (1.28), (1.29) появилась новая величина и\Т . Чтобы замкнуть данные уравнения можно использовать, по аналогии с (1.10), следующую гипотезу где at - турбулентное число Прандтля-Шмидта, либо выписывать дифференциальные уравнения на эту неизвестную величину. Используя уравнения (1.8), (1.29), можно получить уравнения переноса компонент вектора потоков и[Т и дисперсии флуктуации температуры Т 2
Система уравнений по-прежнему незамкнута: появились как новые одноточечные корреляционные моменты второго порядка, так и моменты третьего порядка. Для последних можно также получить дифференциальные уравнения. Однако, это не сделает задачу замкнутой, и из соображений простоты мы ограничимся лишь моделями, включающими уравнения переноса моментов второго порядка. Во многих моделях турбулентности вязкость и диффузия предполагаются изотропными. Это допущение для некоторых течений является слишком грубым. Модели турбулентности второго приближения позволяют отказаться от этого допущения, если дополнительно учесть уравне- ния переноса для всех компонент напряжений Рейнольдса, которые будут учитывать анизотропную природу турбулентности. Однако, задача в этом случае становится довольной сложной. Поэтому для выполнения практических расчетов на основе полных модельных уравнений целесообразно прибегнуть к дальнейшему, хорошо зарекомендовавшему себя, упрощению исходных уравнений. Покажем, что уравнения для напряжений можно упростить до алгебраических соотношений, сохранив фундаментальные свойства этих уравнений, что позволяет получить выражения для неизотропных коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии. Рассмотрим случай так называемых равновесных стратифицированных течений, т.е. таких течений, где скорости производства и диссипации энергии турбулентности равны [3, 39]. Такое условие локального равновесия, подтвержденного экспериментом в трубах, каналах и пограничном слое, позволяет определить корреляционные моменты и[и л не из дифференциальных уравнений переноса (1.23), а более простым способом.
В этом случае конвективные и диффузионные члены в уравнениях переноса корреляционных моментов (1.23) уравновешивают друг друга, так как они примерно равны по величине и противоположны по знаку. Поскольку это единственные члены, содержащие производные от турбулентных напряжений и и ,, то уравнения переноса (1.23) относительно u{Uj превращаются из дифференциальных в алгебраические где P, P{j представлены на стр. 20.
Полученное соотношение определяет связь между корреляционными моментами второго порядка и градиентами скорости осредненного течения. Эта связь представляет собой систему алгебраических соотношений, которую можно использовать для построения зависимости корреляционных моментов от градиентов средней скорости.
При более строгом рассмотрении процессов переноса импульса в турбулеытных потоках со сдвигом желательно учесть неравновесность течения. Это замечание особенно относится к случаю свободных слоев смешения, где, как показали измерения баланса турбулентной энергии, нет равенства порождения и диссипации [15, 37]. Предложенный Гибсоном и Лоундером подход [3] и соответствующие аппроксимации позволили по лучить алгебраические выражения для турбулентных напряжений щи В качестве основного допущения принимается, что
Тогда, используя уравнения (1.21) и (1.23), после простых преобразований получаем алгебраические выражения для напряжений Рейнольдса
Таким образом, и в случае неравновесных течений получена система алгебраических уравнений для определения компонент турбулентных напряжений u iUj. Особенностью данной неравновесной модели является то, что она содержит отношение Р/е в качестве параметра. В. Роди [52], по-видимому, первым осознал важность этого параметра при определении турбулентных напряжений в свободных турбулентных потоках со сдвигом.
При расчетах турбулентных стратифицированных течений с помощью моделей турбулентности второго приближения многие факторы, влияющие на турбулентность, учитываются более полно, чем в моделях первого приближения. Однако, при всем этом следует помнить, что и эти более сложные модели по-прежнему остаются приближенными, полуэмпирическими.
Плоский турбулентный след за нагретым цилиндром
В начале рассматривается (к — є) модель, которая используется для описания дальнего турбулентного следа. Выпишем эту систему: где щ - скорость набегающего потока, и - дефект скорости, к - кинетическая энергия турбулентности, є - скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, с , сєі, с2, сге - эмпирические константы; S = О для плоского течения и s = 1 в осесимметричном случае. В дальнейшем будем считать скорость набегающего потока равной единице. Для системы (2.1) ставятся следующие краевые условия: а) условия невозмущенного потока Перейдем к редукции системы (2.1) и построению инвариантных решений. Нас интересуют прежде всего автомодельные решения системы (2.1), поскольку в дальнем турбулентном следе экспериментально наблюдаются автомодельные режимы. В главе 1 был построен базис алгебры Ли для дайной системы (2.1), на основе этого базиса выпишем допускаемый оператор растяжения вида Z = xdx + ауду 4- (а - 1)иди + (2а - 2)кдк + (2а - 3)єдє. (2.2) где а - произвольная постоянная. Решение системы (2.1), инвариантное относительно преобразования, порожденного этим оператором имеет вид где t = у/ха — автомодельная переменная, а а - параметр автомодельно-сти. Подставляя представление (2.3) в исходную модель (2.1), приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений: Система (2.4) в плоском случае, то есть при 5 = 0, имеет первый интеграл вида [20] г ТІ К2 ц _ +оЛи = Ъъ біЄД, а в осесимметричном случае, при s = 1, первый интеграл выглядет следующим образом w±± + at2u = Ь2, b2 Є і?. .С/ Доказательство проводится прямым вычислением. В силу граничных условий константы Ъ\, 62 равны нулю. Эмпирические константы, входящие в систему (2.4), выбираются согласно [40] следующим образом: см = 0,09, с\ = 1,43, се2 = 1,92, а = 1, 3. Рассмотрим сначала плоский случай, т.е. будем предполагать, что s = 0. Пусть выполняется следующее условие Для того, чтобы левая часть равенства (2.7) не зависела от х, при U О, необходимо взять а = 0, 5. Поэтому решения системы (2.4) ищутся при а — 0,5. Решения системы (2.4) должны удовлетворять краевым условиям Условие (2.9) мы заменяем более жесткими Решения системы (2.4), удовлетворяющие условиям (2.8) и (2.10), находятся с помощью "метода стрельбы". Для нахождения начальных данных удобно использовать следующий способ [20]. Решения системы (2.4) разлагались в ряд в окрестности особой точки h. Рассматривался случай, когда h = 1, тогда После подстановки (2.11) в систему (2.4) приравняем все слагаемые с наименьшей степенью. Предполагается, что слагаемые с большими степенями сократятся при дальнейшем разложении решений в ряд. В результате можно получить следующие соотношения: Разложения (2.11), и полученные соотношения (2.12), позволяют упростить поиск начальных данных в точке t = 0: [/(0)-4,50; #(0) = 2,23; (0) = 3,29. (2.13) Типичные графики решений представлены на рис. 2.1-2.3. Следует отметить, что решения системы (2.4) весьма чувствительны к изменениям начальных данных. Небольшое изменение начальных данных приводит, например, к тому, что решения перестают удовлетворять условиям (2.9). Дополнительно заметим, что система (2.4) допускает оператор растяжения вида: д д д д dt dU дК дЕ Поэтому, в качестве h для определения начальных данных можно брать любое положительное значение, в этом случае условие (2.10) будет выполняться автоматически. Конечно, начальные условия (2.13) тогда будут другими, но они зависят от h и могут быть легко найдены из условия (2.13). В осесимметричном случае вместо (2.6) имеет место закон сохранения Этот закон справедлив при условии Используя условие (2.14), и повторяя приведенные ранее рассуждения, легко показать, что автомодельные решения вида (2.3) с неотрицательной функцией U(t) возможны только при а — 1/3. Явных решений системы (2.4) нам не удалось найти и мы использовали численные методы. Повторяя весь процесс, описанный выше, подбираем начальные данные. В осесимметричном случае система (2.4) имеет особенность при t — 0, поэтому начальные данные задавались при to = 10_3. Типичные графики решений представлены на рис. 2.4-2.6.
Трехпараметрическая (к — є — u'v') модель в приближении дальнего следа
Рассматривается модель турбулентного следа за телом вращения, где величина продольной компоненты суммарного избыточного импульса равна нулю. Система уравнений имеет следующий вид [45]: где щ - скорость набегающего потока, и - дефект скорости, к - кинетическая энергия турбулентности, є - скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, см = 0,09, с2 = 1,92, о — 1,3 - эмпирические константы; s — 0 для плоского течения и s = 1 в осесимметричном случае. Перейдем к редукции системы (2.67) и построению инвариантных решений. Для этого построим допускаемый оператор растяжения вида: где а, 7 - произвольные постоянные. Решение системы (2.67), инвариантное относительно преобразования порожденного этим оператором, имеет вид где t = у/ха - автомодельная переменная. Подставляя представление (2.69) в исходную модель (2.67), приходим к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений Условие (2.72) можно заменить на аналогичное в любой другой положительной точке, поскольку система (2.70) допускает оператор растяжения вида: dt dU дК дЕ Рис. 2.25: Нормированные графики решений системы (2.70) для осесим-метричного случая. 1 - U/Umax, 2 - К/и ах, 3 - Е/Етах. Решения системы (2.70), удовлетворяющие условиям (2.71), (2.72), находились "методом стрельбы". Начальные условия выбирались следующие: Нормированные графики решений системы (2.70) для осесимметричного случая представлены на рисунке 2.25. Комментируя результаты расчетов, представленные на рисунках, отметим следующее. Ранее (см., например, [34, 42]) автомодельное решение задачи о плоском турбулентном следе получалось путем решения нестационарной задачи [х играет роль времени) о вырождении следа. При этом на некотором расстоянии х = хо от тела задавались начальные условия, согласующиеся с экспериментальными данными. Как правило [34, 42], для удовлетворительного соответствия рассчитанных автомодельных решений и экспериментальных данных приходилось решать уравнения с частными производными. Для этих целей применялись конечно-разностные алгоритмы. В работе предлагается редуцировать системы уравнений с частными производными в системы обыкновенных дифференциальных уравнений. На основе [20], предлагается находить начальные условия и строить решения для редуцированных систем. Основные результаты диссертационной работы: - проведен теоретико-групповой анализ шести моделей турбулентности в приближении дальнего следа; - на основе допускаемых операторов построены представления для решений, получены редуцированные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены первые интегралы для этих систем; . - построены решения редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющие естественным краевым условиям. Найденные решения согласуются с экспериментальными данными на качественном и количественном уровнях.
