Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Нелокальная краевая задача с условием четности .
1. Постановка задачи. 20
2.Сведение задачи (1.1-1.5) к задачам Трикоми и Неймана-Трикоми. 22
3. Собственные значения и собственные функции задачи (1.1-1.4). 24
4. Построение собственной функции в случае , когда спектральный параметр ц2 является собственным значением задачи Трикоми 28
5.Полнота собственных функций. 33
6.Исследование разрешимости задачи (1.1-1.5) 34
ГЛАВА 2. Решение нелокальной краевой задачи с условием нечетности .
1.Постановка задачи. 39
2. Сведение задачи (2.1-2.5) к решению смешанной краевой задачи 41
3.Собственные значения и собственные функции задачи (2.1-2.4) 43
4.Отсутствие кратных корней у уравнений для собственных значений 45
5. Построение собственной функции в случае, когда спектральный параметр /г2 является корнем уравнения (2.21) 48
6.Полнота собственных функций о
7. Исследование разрешимости задачи (2.1-2.5) 55
ГЛАВА 3. Решение одной нелокальной сопряженной задачи .
1. Постановка задачи 60
2. Доказательство теоремы
3.Доказательство теоремы
3.1 О единственности регулярного решения 62
3.2 Существования решения 64
Выводы 70
Литература 71
- Построение собственной функции в случае , когда спектральный параметр ц2 является собственным значением задачи Трикоми
- Сведение задачи (2.1-2.5) к решению смешанной краевой задачи
- Построение собственной функции в случае, когда спектральный параметр /г2 является корнем уравнения (2.21)
- Исследование разрешимости задачи (2.1-2.5)
Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются уравнения смешанного (эллиптико-гиперболического) типа с одной линией изменения типа уравнения и с заданием нелокального краевого условия на границе эллиптической части области. Начало исследованию уравнений смешанного типа положили работы Ф.Трикоми [36,37 ] , который впервые выписал уравнение , ныне носящее его имя , и работа С.Геллерстедта [41] . Ф.И. Франкль [38,39] обнаружил , что уравнения смешанного типа имеют приложения в околозвуковой газовой динамике, теории сопел Л аваля. Им же были поставлены и ислледованы новые краевые задачи для уравнения смешанного типа [40]. На важность приложения уравнений смешанного типа указывали и другие авторы см. [3,8].Тематикой уравнений смешанного типа занимались А.В.Бицадзе [4,5] , К.И.Вабснко [1] и М.М.Смирнов [34].Ими были поставлены и исследованы ряд новых задач для уравнений смешанного типа. Лаврентьев М.А.и Бицадзе А.В. [19 ] предложили для простоты исследования модельное уравнение (sgny)uxx + иуу — 0.
В середине 50-ых годов А.В.Бицадзе доказал принцип экстремума для задачи Трикоми и ряда родственных задач. С конца 70-ых годов по инициативе А.В.Бицадзе , Кальменовым Т.Ш.[17,18], Пономаревым СМ.[29] , Моисеевым Е.И.[23] были исследованы спектральные свойства уравнений смешаннного типа ( было доказано, что существует хотя бы одно собственное значение [17] , были указаны области на комплексной плоскости, где отсутствует спектр задачи Трикоми [23], были найдены и выписаны собственные функции , доказана их полнота [29]).
В течение последних двух десятилетий эти подходы успешно развивались в трудах других авторов ( Мамедов Я.Н.,[20] Сабитов К.Б. [31-32]).
В последние годы активно изучаются уравнения смешанного типа с запаздывающей переменной в работах А.Н.Зарубина [9] и его учеников.
Активному изучению нелокальных краевых задач положила работа А.В.Бицадзе и А.А.Самарского в 1969 г.[6] . В этой работе были даны две постановки нелокальных краевых задач для уравнений эллиптического типа в классе регулярных решений. В дальнейшем эти исследования развивались В.А.Ильиным и Е.И.Моисеевым [11-12] для случая многоточечных задач. На важность изучения нелокальных краевых задач, возникающих в физике, было указано в работе А.А.Самарского [30]. А.Л.Скубачевский [33] и его ученики получили теоремы о разрешимости для обобщенных решений уравнений эллиптического типа. Н.И.Ионкин [14-16] исследовал нелокальную краевую задачу для уравнений параболического типа. В своих работах он исследовал аналитическое решение ,а затем разностное (численное) решение. Н.И.Ионкиным были получены априорные оценки для решения как для точного , так и для разностного решения .
Для уравнений смешанного типа А.М.Нахушевым [28] и его учениками изучались краевые задачи с нелокальными краевыми условиями, заданными либо в гиперболической части области, либо на линии изменения типа.
В настоящей работе нелокальные краевые условия задаются на границе эллиптической части области, что ранее не было изучено.
Цель работы- исследование вопросов разрешимости и построение решений новых нелокальных краевых задач для уравнений эллиптико-гиперболического типа ( в частности для уравнения Лаврентьева-Бицадзе), нахождение собственных значений и собственных функций этих краевых задач, исследование полноты систем собственных функций в различных областях.
Основные результаты.
1. В работе для уравнения Лаврентьева-Бицадзе исследована задача Геллерстедта с нелокальным краевым условием в виде требования четности на границе области в эллиптической части . Выписаны явно вес собственные значения и собственные функции, доказано, что система собственных функций полна в эллиптической части области и неполна во всей области.
Для спектрального параметра не равного собственному значению доказана однозначная разрешимость и решение выписано в виде ряда.
Для спектрального параметра, совпадающего с собственным значением, получены условия разрешимости , и при выполнении условий разрешимости выписано семейство решений в виде ряда. Указано , для каких собственных значений возникает условие разрешимости , а для каких не возникает.
2. В работе для уравнения Лаврентьева-Бицадзе исследована также за дача Геллерстедта с нелокальным краевым условием в виде требования нечетности на границе области в эллиптической части. Для этой задачи получены результаты, аналогичные п.1.
3. В работе для уравнения Лаврентьева-Бицадзе исследована "сопря женная" задача Геллерстедта ( с заданием краевых условий на других ха рактеристиках) с нелокальным условием типа нечетности на границе эл липтической части области; спектральный параметр в этом случае равен нулю. Доказана однозначная разрешимость задачи и получено решение в виде ряда, кроме того, получено интегральное представление решения.
Научная новизна работы. Исследована разрешимость новых нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа с условием в виде четности и нечетности на границе в эллиптической части области, найдены собственныые значения и собственные функции указанных задач, доказана полнота систем собственных функций .
Теоретическая и практическая ценность работы. Научные результаты диссертации имеют теоретическую значимость и могут быть использованы в научных исследованиях , проводимых в Московском, Новосибирском государственных университетах, институте Математического моделирования РАН, ВЦ РАН, институте Прикладной математики. Построенные аналитические решения могут служить эффективным тестом при численном моделировании задач трансзвуковой газовой динамики.
Методы исследования. Основным методом исследования является представление решения в виде биортогонального ряда, с последующим изучением его сходимости и с использованием теории специальных функций. При изучении единствености активно используются методы функционального анализа, принцип экстремума,принцип Зарембо-Жиро .
Апробация работы. Работа неоднократно докладывалась на семинаре кафедры вычислительных методов под рук. проф. Гулина А.В..
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в журнале "Дифференциальные уравнения".Все результаты строго научно обоснованы, получены автором самостоятельно и являются новыми.
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения , трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации 75 страниц. Библиография включает 41 наименование.
Краткое содержание работы Первая глава посвящена исследованию решения уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром. 1. Постановка задачи и результаты.
В первой главе в области D = D+ UDi_ U D2-, где D+ = {(г, 0) : О < г < 1, О<0<7г}- полукруг в верхней полуплоскости, D\- = {(х,у) : -у < х < у + 1, -1/2 < у < 0}, D2- = {(х,у) : -у - 1 < х < у, —1/2 < у < 0} - равнобедренные прямоугольные треугольники в нижней полуплоскости, требуется определить регулярное решение уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром иХх + (sgny)uyy + fJ?u = 0 б D+UDi- UD2-, (0.1) которое удовлетворяет следующим краевым условиям: на границе области D+ задается нелокальное условие (2), и(1, 0) = «(1, 7Г - 0), 0 Є [0, тг/2] (0.2). и нормальная производная — |г=1 = /(0), для 0 Є (0,тг/2). (0.3)
В гиперболической части области задаются условия Геллерстедта. и(х, -х) = 0 для х Є [0,1/2], (0.4) и(х, х) = 0 для х Є [-1/2,0]. (0.5)
Регулярное решение задачи (0.1-0.5) изучается в следующем классе функций: и Є C(D) П C2{D+) П C2(>i_) П С2(>2-), где U - замыкание области D, и предполагается, что функция и(х, у) непрерывно дифференцируема при переходе через отрезки (0,1) и (—1,0) действительной оси и grad и может обращаться в бесконечность медленнее первой степени в точках (—1,0), (0,0) и (1,0). Для дальнейшего изложения удобно определить область Di+ = {(г,0) : 0 < г < 1, О<0< 7г/2} - a Z)1+ будет соответственно замыканием области Di+.
Доказано, что собственные значения задачи (0.1-0.5) удовлетворяют двум уравнениям J2k-i/2{Vkn) = 0, к,п = 1,2.... (0.6), JL+i/2(Pmi) = 0> m,/= 0,1,2,., (0.7). где J2fc-i/2- функция Бесселя первого рода, «^2m+i/2" производная функции Бесселя первого рода. Справедлива
Теорема 1.1 Уравнения (0.6) и (0.7) не имеют общих корней, за исключением нуля.
При доказательстве этой теоремы используются различные реккурент-ные формулы для функции Бесселя и ее производной. Одна из этих формул имеет вид. ^2га-1/2Й = J2k+l/2+2p-l(z) = <^2А;+1/2 (z)R-2p-l,2k+ ll2\z) ~ J2k-l/2(z)R2p-2,2k+3/2 где R2p-i,2k+i/2(z)— полиномы Ломмеля . Используется теорема Зигеля о нулях функции Бесселя.
Теорема 1.3. Собственные функции задачи (0.1-0.5), отвечающие собственным значениям fi2, где fi определяется из уравнения (0.6) , вычисляются по формуле (0.9). Если [і определяются из уравнения (0.7), то собственные функции вычисляются по формуле (0.8). Других собственных значений и собственных функций, а также присоединенных функций нелокальная краевая задача (0.1-0.5) не имеет.
Приведем вид собственных функций, указанных в теореме 1.3.
Г C(-l)-x/2co52(m + l/4)(7r/2-0)J2m+1/2(r/ImZ), в Dl+ Vml={ /;r + jA(TO+1/4) _ (0.8) l С Yx^y) J2m+l/2(Vml\/x2-y2)> в Dl-> где Jtmi— корни уравнения (0.7). Тот факт, что формула (0.8) является собственной функцией, проверяется непосредственно. Другая серия собственных функций, отвечающая корням уравнения (0.6), уже выписывается в виде ряда ( U(x,y) + V(x,y) прих>0,
Ф,У) = і гтґ \ лгг \ п (*9) L и(-х,у) - V(-xiу) при х < 0, где U(x,y) определяется по формуле (0.10), a V(x,y) берется из формулы Г C(-l)fc+1v^2sin(2A; - 1/2)(тг/2 - 0)J2fc_1/2(r/i), в D1+ где к,п = 1,2,..., ооU = ^т, (0.10) C(-l)mx/2Cos2(m + 1/4)(тг/2 - 0) J2m+i/2M, г/ > 0 / л- \m+1/4 (ОН) с (jrf J ^+i/2(/^V^:::^'), У < о, а Лт - коэффициенты , которые определяются из условия Am(-l)mV2cos2(m + 1/4)(тг/2 - 0)1/^+1/2 (/'))] = -(-l)k+1V2sm(2k - 1/2)(тг/2 - 0)^_1/2(/х), где 0 Є [0,7г/2]. Отметим, что система функций {cos2(m + l/4)(7r/2-0)}-=o. не является ортогональной на [0, тг/2], поэтому для нахождения коэффициентов Ат используется специальная биортогональная система.
Теорема 1.4 Система собственных функций задачи (0.1-0.5) полна в Z<2(./}+), т.е. полна в эллиптической части области.
Здесь были приведены основные результаты относительно собственных функций нелокальной краевой задачи, т.е., когда в условии (0.3) стоит в правой части нуль.
Теперь приведем основные результаты относительно разрешимости нелокальной краевой задачи (0.1-0.5) с правой частью /(0) в условии (0.3).
Теорема 1.5 Если функция /(#) — непрерывно дифференцируема и ее производная принадлежит классу Гельдера /'(#) Є CQ[0,7r/2] с некоторым показателем а большим нуля, то ряд определяемый по формуле (0.12) является решением задачи (0.1-0.5) и является равномерно сходящимся в Di+ UDi_ вместе с производной по г.
Приведем указанный в теореме ряд (0.12) U=J2AmVm, (0.12) где vm определяется по формуле (0.11) а коэффициенты Ат определяются из соотношения Y, Ап(-1)тл/2 cos2(m + 1/4)(тг/2 - 0)HL+i/2M)] = Л*). где 0 Є [0,7г/2]. Отметим опять, что система функций {соз2(т + 1/4)(тг/2-0)}~=о не является ортогональной на [0,7г/2], поэтому для нахождения коэффициентов Ат также используется специальная биортогональная система.
Основная трудность при доказательстве теоремы 1.5 состоит в изучении равномерной сходимости не только ряда (0.12), но и продифференцированного по г ряда (0.12), что необходимо для проверки условия (0.3).
Заметим, что ряд (0.12) определен в диссертации при х > 0, но при х < 0 он определяется как четное продолжение ряда (0.12).
Рассмотрим теперь вопрос о разрешимости задачи (0.1-0.5) в случае, когда спектральный параметр /і2 совпадает с каким-то собственным значением.
Теорема 1.6. Если fi является корнем уравнения (0.7) при некотором т = р, функция f(0)— непрерывно дифференцируема и производная принадлежит классу Гельдера f Є Са[0,тг/2], то задача (0.1-0.5) разрешима ; если выполнено следующее условие /(тс/2-ф/2)1гсрс1ф = 0. (0.13)
В случае выполнения условия (0.13) решение задачи (0.1-0.5) неединстпвен-но и определяется с точностью до собственной функции (0.8), отвечающей собственному значению из уравнения (0.7).
Отметим, что функция Лр— это функция с номером р из биортонормирований системы к системе (cos2(m + 1/4)<)^_0 и имеет вид к=V2co;W2)(E <*./2«»(р - w - с!1/2/2).
Теорема 1.7. Если \i является корнем уравнения (0.6), функция /(#)— непрерывно дифференцируема, и производная принадлежит классу Гельдера f Е Са[0,7г/2], то задача (0.1-0.5) разрешима , решение задачи (0.1-0.5) неединственно и определяется с точностью до собственной функции (0.9), отвечающей собственному значению из уравнения (0.6).
Решение задачи (0.1-0.5) и в случае теоремы 1.6 и в случае теоремы 1.7 выписывается в виде формулы (0.12) с точностью до соответствующей собственной функции , только в случае теоремы 1.6 в формуле (0.12) отсутствует слагаемое с индексом та — р.
Построение собственной функции в случае , когда спектральный параметр ц2 является собственным значением задачи Трикоми
Отметим , что область D является симметричной по х , то есть, если точка М с координатами (хо,уо) принадлежит области D, то и точка М\ с координатами (—хо,уо) также принадлежит области D. Это позволяет представить решение задачи (1.1-1.5) в следующем виде
где и(х,у) - решение задачи (1.1-1.5), Справедлива следующая лемма 1.2 Лемма 1.2 Если (і2 не является собственным значением задачи Трикоми (1.12-1.15), то функция V = 0 в D+ и решение задачи (1.1-1.5) в этом случае является четной по х функцией. Доказательство. Функция V(x, у) является нечетной по аргументу х , поэтому достаточно доказать , что функция V = 0 в области i+ = {(г, 0) : 0 г 1, О 0 7г/2} . Как уже отмечалось , функция V является решением Из условия (1.2) следует При х = 0 из формулы (1.11) следует условие (1.14) Полагая в формуле (1.11) у = —х, и учитывая условия (1.4-1.5), получаем Итак мы получили , что функция V - решение задачи Трикоми (1.12-1.15). Задача (1.12-1.15) обладает только тривиальным (нулевым) решением когда /І2 не является точкой спектра задачи Трикоми.Отсюда следует , что решение и(х, у) четная по х функция в D+ и справедливо равенство и(х,у) = U(х,у).Следовательно и(х,у)- четная по х функция. Лемма 1.1 доказана Справедлива лемма 2.2 Лемма 2.2 Если ц2 не является собственным значением задачи Трикоми (1.12-1.15), то решение и задачи (1.1-1.5) является решением задачи Неймана-Трико ми (1.16-1.19) в области Z i+ U Д. Доказательство. В силу Леммы 1.2 имеем и(х,у) = U(x,y). Как уже отмечалось, функция U является решением уравнения (1.1) во всей области D , значит она будет решением уравнения в области Z i+ U D\- то есть Из формулы (1.10) вытекает условие (1.17) Так как и(х,у) = U(x,y),TO для функции U{x,y) будет выполняться условие (1.18) Наконец пользуясь условиями (1.4-1.5) находим , Лемма 2.2 доказана. Итак решение задачи (1.1-1.5) представимо в виде суммы решения задачи Трикоми (1.12-1.15) и задачи Неймана - Трикоми , причем если /І2 не является собственным значением задачи (1.12-1.15) то задача Трикоми имеет только нулевое решение(смотри лемму 2.1). где к,п = 1,2,..., С— произвольная постоянная отличная от нуля , 2Jb-i/2(r/ fcn)- функция
Бесселя первого рода. Собственные значения зада чи Трикоми (1.12-1.15) fikn определяются как корни уравнения [29] где, J2k-i/2(rfJ kn)- функция Бесселя первого рода. Аналогично выписываются собственные функции задачи Неймана- Трикоми (1.16-1.19) где m,l = 0,1,2..., С— произвольная постоянная, отличная от нуля. Собственные значения задачи Неймана-Трикоми (1.16-1.19) /7т/ определяются как корни следующего уравнения для производной функциии Бесселя первого рода (1.23). Нетрудно видеть , что если спектральный параметр ц2 не является корнем а Ux,y) и V(x, у) определяются по формулам (1.10-1.11) Замечание 1.В дальнейшем, когда нам будет удобно мы будем вместо функций U(x, y)uV(x, у) писать соотвветственно UuV. Непосредственно проверяется , что функции UuV являются решениями уравнения (1.1). Справедлива следующая лемма 1.2 Лемма 1.2 Если (і2 не является собственным значением задачи Трикоми (1.12-1.15), то функция V = 0 в D+ и решение задачи (1.1-1.5) в этом случае является четной по х функцией. Доказательство. Функция V(x, у) является нечетной по аргументу х , поэтому достаточно доказать , что функция V = 0 в области i+ = {(г, 0) : 0 г 1, О 0 7г/2} . Как уже отмечалось , функция V является решением Из условия (1.2) следует При х = 0 из формулы (1.11) следует условие (1.14) Полагая в формуле (1.11) у = —х, и учитывая условия (1.4-1.5), получаем Итак мы получили , что функция V - решение задачи Трикоми (1.12-1.15). Задача (1.12-1.15) обладает только тривиальным (нулевым) решением когда /І2 не является точкой спектра задачи Трикоми.Отсюда следует , что решение и(х, у) четная по х функция в D+ и справедливо равенство и(х,у) = U(х,у).Следовательно и(х,у)- четная по х функция. Лемма 1.1 доказана Справедлива лемма 2.2 Лемма 2.2 Если ц2 не является собственным значением задачи Трикоми (1.12-1.15), то решение и задачи (1.1-1.5) является решением задачи Неймана-Трико ми (1.16-1.19) в области Z i+ U Д. Доказательство. В силу Леммы 1.2 имеем и(х,у) = U(x,y). Как уже отмечалось, функция U является решением уравнения (1.1) во всей области D , значит она будет решением уравнения в области Z i+ U D\- то есть Из формулы (1.10) вытекает условие (1.17) Так как и(х,у) = U(x,y),TO для функции U{x,y) будет выполняться условие (1.18) Наконец пользуясь условиями (1.4-1.5) находим , Лемма 2.2 доказана. Итак решение задачи (1.1-1.5) представимо в виде суммы решения задачи Трикоми (1.12-1.15) и задачи Неймана - Трикоми , причем если /І2 не является собственным значением задачи (1.12-1.15) то задача Трикоми имеет только нулевое решение(смотри лемму 2.1). где к,п = 1,2,..., С— произвольная постоянная отличная от нуля , 2Jb-i/2(r/ fcn)- функция Бесселя первого рода. Собственные значения зада чи Трикоми (1.12-1.15) fikn определяются как корни уравнения [29] где, J2k-i/2(rfJ kn)- функция Бесселя первого рода. Аналогично выписываются собственные функции задачи Неймана- Трикоми (1.16-1.19) где m,l = 0,1,2..., С— произвольная постоянная, отличная от нуля. Собственные значения задачи Неймана-Трикоми (1.16-1.19) /7т/ определяются как корни следующего уравнения для производной функциии Бесселя первого рода (1.23). Нетрудно видеть , что если спектральный параметр ц2 не является корнем уравнения (1.21), а является корнем уравнения (1.23) - то собственные функции задачи (1.1-1.5) будут иметь вид;
Сведение задачи (2.1-2.5) к решению смешанной краевой задачи
Итак, мы получили , что функция V - решение смешанной краевой задачи (2.12-2.15) . Задача (2.12-2.15) обладает только тривиальным (нулевым) решением , если только /І2 не является точкой спектра [29 ] . Отсюда, следует , что решение и(х,у)— нечетная по х функция, и справедливо равенство и(х,у) = V(x,y). Лемма 2.1 доказана. Справедлива лемма 2.2 . Лемма 2.2 Если /І2 не является собственным значением задачи смешанной краевой задачи (2.12-2.15), то решение и задачи (2.1-2.5) является решением задачи Неймана-Трикоми (2.16-2.19) в области Di+ U D\-. Доказательство. В силу Леммы 2.1 имеем и(х,у) = V(x,tj). Как уже отмечалось, функция V является решением уравнения (2.1) во всей области D , значит она будет решением уравнения в области Di+ U D\-, то есть Полагая в формуле (2.11) х = 0, получаем Так как и(х,у) = V(X,IJ),TO для функции V(x, у) будет выполняться условие Наконец, пользуясь условиями (2.4-2.5) находим , Лемма 2.2 доказана. Итак, решение задачи (2.1-2.5) представимо в виде суммы решения смешанной краевой задачи (2.12-2.15) и задачи Неймана - Трикоми (2.16-2.19) Пункт 3. Собственные значения и собственные функции задачи (2.1-2.4). Собственные функции смешанной краевой задачи (2.12-2.15) могут быть записаны в виде где т — 0,1,2,..., Собственные значения смешанной краевой задачи (2.12-2.15) цтп опре ГДЄ 2т+1/2(г/ тп)" ФУНКЦИЯ БЄССЄЛЯ ПСрВОГО рода. Аналогично выписываются собственные Неймана-Трикоми (2.16-2.19) функции задачи где А; = 1,2..., С— произвольная постоянная отличная от нуля. Собственные значения задачи Неймана-Трикоми (2.16-2.19) ]їкі определяются как корни следующего уравнения (2.23) Нетрудно видеть , что если спектральный параметр /І2 не является корнем уравнения (2.21), а является корнем уравнения (2.23) - то собственные (2.24) где т, / = 0,1,2..., Перед тем , как переходить к построению собственной функции, в случае , когда /І2 является точкой спектра задачи Трикоми, то есть [І2 является одним из корней уравнения (2.21), докажем важную теорему , из которой будет следовать полнота собственных функций в эллиптической части области. Пункт 4.Отсутствие кратных корней у уравнений для собственных значений. Теорема 2.1 Уравнения (2.21) и (2.23) не имеют общих корней, за исключением может быть нуля. Доказательство . Предположим , что нашлась такая точка z, что для некоторого числа А; = 1,2,... и для некоторого числа т = 0,1,2,... справедливы равенства Рассмотрим сначала случай k = т
Справедлива следующая формула [35, с.628 поэтому с учетом (2.26) число z является кратным корнем уравнения Но функция Бесселя может иметь кратный корень , только в случае z — О.Итак, в случае к = т мы доказали наше утверждение. Пусть к т, то есть к = т + р ,где р— натуральное число.Тогда из формулы (2.28) получаем Используя полиномы Ломмеля [7, с.322, 2, с.43 ], запишем две формулы ГДЄ R2p-2,2m+3/2{z)iR2p-l,2m+l/2(z) МНОГОЧЛЄНЬІ ЛОММЄЛЯ СТЄПЄНИ 2р 2 и 2р — 1 соответственно относительно переменной 1/z. Подставляя формулы (2.30), (2.31) в формулу (2.29), получим Из последнего равенства следует, что либо Лт-1/2(2) = 0, либо выражение в квадратной скобке равно нулю. Если J2m-i/2(z) = 0» то из формулы (2.28) с учетом (2.25) следует, что 2m-l/2(Z) Н0 Т0ГДа z КраТНЫЙ КОреНЬ уравнения J2m-l/2(z) = 0j но этого быть не может. Остается рассмотреть случай, когда квадратная скобка равна нулю , или В этом случае z— алгебраическое число, но по теореме Зигеля [2,с.74 ] с учетом (2.25) этого быть не может. Рассмотрим теперь случай к т, тогда тп = к + р, где р— натуральное число. Из уравнения (2.25) с использованием полиномов Ломмеля [7, с.322, 2, с.43 ] получаем далее, из равенства (2.28) при т = к с учетом (2.26) сразу получаем то z является рациональным числом и одновременно является корнем уравнения (2.25), но это противоречит теореме Зигеля [2, с.74 ]. Теорема 2.1 доказана. Пункт 5 Построение собственной функции в случае когда спектральный параметр fi2 является корнем уравнения (2.21). В случае , если /І2 является собственным значением смешанной задачи (2.12-2.15), функции определяемые по формуле (2.24) не являются собственными для задачи (2.1-2.5) (следствие теоремы (2.1)). В этом случае задача (2.12-2.15) имеет нетривиальное решение U(x,y). Поставим теперь задачу для определения функции V(x, у) (формула(2.10)) . Заметим , что это функция нечетная ,поэтому будет выполнено условие На характеристике у = —х функция обращается ноль Нормальная производная функция V удовлетворяет условию где функция U- собственная функция задачи (2.12-2.15) (формула (2.20)) Будем искать решение этой задачи(задачи Неймана-Трикоми) в виде Теорема 2.2 Ряд, определяемый по формуле (2.39), является решением задачи (2.1) (2.36-2.38) и является равномерно сходящимся в D вместе с Производной ПО Г в При // = flkn Доказательство. Непосредственно проверяется , что функция Uk удовлетворяет условиям (2.36),(2.37).Проверка условия (2.38) приводит к условию Если мы докажем равномерную сходимость ряда в левой части равенства, то мы построим собственную функцию . Исследуем на равномерную сходимость ряд стоящий в (2.39) . Для удобства изложения введем новые переменные и обозначим правую часть в (2.41) через получаем явное выражение для В к в следующем виде где - биортогональная система к (sin(A; — 1/4)т/ )і. Далее, из формулы (16) [24] получаем где Заметим , что биноминальный коэффициент СД1, при /3 = -1/2 ведет себя при т — со как 1/л/тп [2, стр.67]. Далее, подставляя формулу (2.43) в (2.42) и интегрируя по частям полученное выражение с учетом равенства Ни3 (т) = 0, вытекающего из (2.44), получим Оценим скорость убывания второго слагаемого в (2.45) ; для этого подставим во второе слагаемое (2.45) формулу (11) из [25];в результате получим 7Г Заметим , что первое слагаемое есть величина порядка 0(1/A;Q), [ 10, т.1], а внутренний интеграл второго слагаемого можно оценить через Бета-функцию Эйлера
Построение собственной функции в случае, когда спектральный параметр /г2 является корнем уравнения (2.21)
Доказательство . Предположим , что нашлась такая точка z, что для некоторого числа А; = 1,2,... и для некоторого числа т = 0,1,2,... справедливы равенства Рассмотрим сначала случай k = т Справедлива следующая формула [35, с.628 поэтому с учетом (2.26) число z является кратным корнем уравнения Но функция Бесселя может иметь кратный корень , только в случае z — О.Итак, в случае к = т мы доказали наше утверждение. Пусть к т, то есть к = т + р ,где р— натуральное число.Тогда из формулы (2.28) получаем Используя полиномы Ломмеля [7, с.322, 2, с.43 ], запишем две формулы ГДЄ R2p-2,2m+3/2{z)iR2p-l,2m+l/2(z) МНОГОЧЛЄНЬІ ЛОММЄЛЯ СТЄПЄНИ 2р 2 и 2р — 1 соответственно относительно переменной 1/z. Подставляя формулы (2.30), (2.31) в формулу (2.29), получим Из последнего равенства следует, что либо Лт-1/2(2) = 0, либо выражение в квадратной скобке равно нулю. Если J2m-i/2(z) = 0» то из формулы (2.28) с учетом (2.25) следует, что 2m-l/2(Z) Н0 Т0ГДа z КраТНЫЙ КОреНЬ уравнения J2m-l/2(z) = 0j но этого быть не может. Остается рассмотреть случай, когда квадратная скобка равна нулю , или В этом случае z— алгебраическое число, но по теореме Зигеля [2,с.74 ] с учетом (2.25) этого быть не может. Рассмотрим теперь случай к т, тогда тп = к + р, где р— натуральное число. Из уравнения (2.25) с использованием полиномов Ломмеля [7, с.322, 2, с.43 ] получаем далее, из равенства (2.28) при т = к с учетом (2.26) сразу получаем то z является рациональным числом и одновременно является корнем уравнения (2.25), но это противоречит теореме Зигеля [2, с.74 ]. Теорема 2.1 доказана. Пункт 5 Построение собственной функции в случае когда спектральный параметр fi2 является корнем уравнения (2.21). В случае , если /І2 является собственным значением смешанной задачи (2.12-2.15), функции определяемые по формуле (2.24) не являются собственными для задачи (2.1-2.5) (следствие теоремы (2.1)). В этом случае задача (2.12-2.15) имеет нетривиальное решение U(x,y). Поставим теперь задачу для определения функции V(x, у) (формула(2.10)) . Заметим , что это функция нечетная ,поэтому будет выполнено условие На характеристике у = —х функция обращается ноль Нормальная производная функция V удовлетворяет условию где функция U- собственная функция задачи (2.12-2.15) (формула (2.20)) Будем искать решение этой задачи(задачи Неймана-Трикоми) в виде Теорема 2.2 Ряд, определяемый по формуле (2.39), является решением задачи (2.1) (2.36-2.38) и является равномерно сходящимся в D вместе с Производной ПО Г в При // = flkn Доказательство. Непосредственно проверяется , что функция Uk удовлетворяет условиям (2.36),(2.37).Проверка условия (2.38) приводит к условию Если мы докажем равномерную сходимость ряда в левой части равенства, то мы построим собственную функцию . Исследуем на равномерную сходимость ряд стоящий в (2.39) .
Для удобства изложения введем новые переменные и обозначим правую часть в (2.41) через получаем явное выражение для В к в следующем виде где - биортогональная система к (sin(A; — 1/4)т/ )і. Далее, из формулы (16) [24] получаем где Заметим , что биноминальный коэффициент СД1, при /3 = -1/2 ведет себя при т — со как 1/л/тп [2, стр.67]. Далее, подставляя формулу (2.43) в (2.42) и интегрируя по частям полученное выражение с учетом равенства Ни3 (т) = 0, вытекающего из (2.44), получим Оценим скорость убывания второго слагаемого в (2.45) ; для этого подставим во второе слагаемое (2.45) формулу (11) из [25];в результате получим 7Г Заметим , что первое слагаемое есть величина порядка 0(1/A;Q), [ 10, т.1], а внутренний интеграл второго слагаемого можно оценить через Бета-функцию Эйлера По формуле , связывающей Бета и Гамму-функцию Эйлера Г(&-1/4-є)Г(2є) Г(Л - 1/4 + е) В(Л-1/4-,2є) = величина j стоящая в правой части равенства имеет порядок 1/к2с при А; — со. Отсюда следует ,что \Bl\ - 57. (2-48) где с— некоторая положительная постоянная. Оценим скорость убывания первого слагаемого в (2.45). С этой целью о In достаточно оценить Нк_[ (0). Опять используя формулу (11) [25], получим я" (0) - к+ —ж— J —ото5—dL (2-49) О Нетрудно видеть, что интеграл в формуле (2.49) допускает оценку / "+1/(2і(1+ і? 1 dt - / "+1/2(1 - "1/2 dt = о о + 3/2,1/2)= Г(п + 3/2)Г(1/3) С т(« + 2) - V2 Из последний оценки и оценки (2.48), получаем Вк = - + Вк, (2.50). где Вк удовлетворяет оценке (2.48). Ряд (2.39) можно переписать следующим образом , через коэффициенты Вк V = ТАкщ = TBkJ -1/2 вт(2к - 1/2)0/2, (2.51) Используя асимптотическое выражение i M -й щЬ+оыы (2 52) справедливое для больших к, ряд (2.51) перепишем следующим образом с учетом (2.50) оо «Тгіь-і/гОтО = Е ;Г1/2Г Ь(2 -1/2)0/2 = оо 2А; 1 /2 2к—1/2 fc=l A;=l _ (2.53) Из этой оценки (2.53) и из формулы (2.48) для Вк следует равномерная сходимость ряда (2.39) и продифференцированного по г ряда (2.39), то есть ряд (2.39) является решением задачи (2.1) (2.36-2.38) . Теорема 2.5 доказана. Следствие. Если /І является корнем уравнения (2.21), то собственная функция нелокальной краевой задачи (2.1-2.5) имеет вид , ч ( U(x,y) + V(x,rj) прих 0, I U(-x,y)-V(-x,y) при х 0, где U(x,y) определяется по формуле (2.39), a V(x,y) берется из формулы (2.20). Подытожим результаты этого раздела. Теорема 2.3. Собственные функции задачи (2.1-2.5) отвечающие собственным значениям /І2, где ц определяется из уравнения (2.21) , вычисляются по формуле (2.54), если оке /І определяются из уравнения (2.23), то собственные функции вычисляются по формуле (2.22). Других собственных значений и собственных функций, а также присоединенных функций нелокальная краевая задача (2.1-2.5) не имеет. Доказательство теоремы. Для доказательства теоремы достаточно доказать , что нет других собственных значений и других собственных функций. Это сразу следует из работы [29], где это было доказано для задачи Трикоми и Неймана-Трикоми. Пункт 6. Полнота собственных функций. Теорема 2.4 Система собственных функций задачи (2.1-2.5) полна в L,2(D+), т.е. полна в эллиптической части области. Доказательство. Достаточно доказать, что не существует функции из пространства 2( +)5 которая ортогональна всем собственным функциям. Пусть такая функция / Є І2 ( +) существует. Обозначим через F(x, у) = [f{x, у) + f(-x, 2/)]/2, L(x, у) = [/( , у) - f(-x, у)]/2. (2.55) Очевидно, что F(x,y) — четная по х функция, a L(x,y)— нечетная по х функция.При этом f(x,y) = F(x,y) + L(xty). (2.56) Функция f{x,y) ортогональна всем собственным функциям, определяемым равенством (2.22). Отметим,что функции (2.22) - нечетные по х, поэтому / f(x, y)uk dxdy = j F(x, y)uk dxdy + I L(x, y)vmi dxdy = J D+ J D+ J D+ 2 / L(x, y)vmi dxdy = 0. Итак, собственные функции задачи Неймана-Трикоми ортогональны функции L(x, у) в области Di+. Так как собственные функции задачи Неймана-Трикоми полны в L2(Di+), ТО L(x,y) = 0в области D+. Поэтому f(x,y) = F(x,y). Далее, функция f(x,y) также ортогональна всем функциям вида (2.54). Так как функция F(x,y) - четная в +, то с учетом вида (2.54), получаем 0= / f(x,y)u(x,y)dxdy = / F(x,y)u(x.y)dxdy = D+ D+ 2 I F(x,y)U{x,y)dxdy. Учитывая, что V(x, у)— собственные функции смешанной краевой задачи (2.12-2.15) и они согласно [ 29] полны в L2(Di+) , получаем Л(х,у) — 0. Поэтому функция f(x, у) = 0. Теорема доказана.
Исследование разрешимости задачи (2.1-2.5)
Заметим , что биноминальный коэффициент CJ1, при (3 = —1/2 ведет себя при m — оо как 1/у/тп [2 , стр.67]. Далее, подставляя формулу (2.63) в (2.62 ) и интегрируя по частям полученное выражение с учетом равенства Ни3 (к) = 0, вытекающего из (2.64), и равенства /(тг/2) = О, получим Ат-і/гМ Из этой оценки и из формулы (2.68) следует равномерная сходимость ряда (2.60), продифференцированного по г ряда (2.60), то есть функция пред-ставимая рядом (2.60) является решением задачи (2.56-2.59) . Теорема 2.5 доказана. Теперь рассмотрим случаи, когда /х2 является собственным значением задачи (2.1-2.5), т.е. корнем уравнения (2.21) или уравнения (2.23). Теорема 2.6. Если /І является корнем уравнения (2.23) при некотором k = р, функция /(в)— непрерывно дифференцируема и производная принадлежит классу Гелъдера f Є С[0,7г/2], /(7г/2) = 0, то задача (2.1-2.5) разрешима , если выполнено следующее условие где hp — функция из (2.44 ). В случае выполнения условия (2.69) решение задачи (2.1-2.5) неединственно и определяется с точностью до собственной функции (2.22), отвечающей собственному значению из уравнения (2.23). Теорема 2.7. Если fi является корнем уравнения (2.21), функция f(0)— непрерывно дифференцируема и производная принадлежит классу Гелъдера р Є Са[0,тг/2], /(я /2) = 0, то задача (2.1-2.5) разрешима , решение задачи (2.1-2.5) неединственно и определяется с точностью до собственной функции (2.54), отвечающей собственному значению из уравнения (2.21). Глава 3. Решение одной нелокальной сопряженной задачи 1.Постановка задачи. Рассмотрим область D = D+UD\-UD2-, где JD+ = {(х, у) : х2 +у2 1} - полукруг единичного радиуса в верхней полуплоскости, D\- = {(х,у) : -1-у х у+1, -0.5 у 0} , Д - = {(я:, у) :-у х у, -0.5 у 0} - равнобедренные прямоугольные треугольники с гипотенузами соответственно (0,1) и (—1,0) на оси абцисс. Требуется найти регулярное решение уравнения смешанного типа (sgny)uxx + uyy = 0. в D+UDi-UD2- (3.1) в классе функций непрерывных в D ( замыкание области D), дважды непрерывно дифференцируемых в D+,Di-,D2-, непрерывно -дифференцируемых при переходе через линию изменения типа уравнения (3.1). Функция и(х, у) должна удовлетворять следующим краевым условиям (3.2): и(х,х-1) = 0 0.5 я 1 , и{х, -х - 1) = 0 -1 я -0.5 (3.2) и краевым условиям (3.3) в эллиптической части области D+ записанных в полярных координатах и нелокальному краевому условию и(1,0) = -и(1,тг-0), О 0 . (3.4) В главе 3 получены следующие два результата
Теорема 3.1 Регулярное решение задачи (3.1)-(3.4) единственно. Теорема 3.2 Если /(0) удовлетворяет условию Гелъдера на [0, —] с некоторым показателем больше нуля и /(—) = 0 ,то решение задачи (3.1)-(3.4) существует и может быть записано в следующем виде в D+ Это доказательство опирается на принцип максимума и принцип Зарембо-Жиро [4,с.26]. Задача (3.1)-(3.4) сводится к следующей задаче : в D+ для гармонической функции и(х, у) найти непрерывную в D+ функцию и(х,у), дважды непрерывно дифференцируемую в открытой области D+ и непрерывно дифференцируемую вплоть до интервалов (—1,0) и (0,1) действительной оси и удовлетворяющую условиям Аи = 0, в D+ (3.6) ,ди ди., п ,. ,п „ч fe + )lj/=0 = гдеХ Є(0,1) ди ди ( )у=0 = 0 2 е (-1,0) , г/(-1,0) = u(l,0) = 0 (3.7) и краевым условиям (3.3) и (3.4) . Для доказательства единственности предположим, что / = О.Если и = 0 то теорема доказана. Если и ф 0 eD+, функция и принимает как положительные, так и отрицательные значения ( следствие нелокального условия (4)). Отсюда следует , что максимум М и минимум m функции и соответственно положителен и отрицателен. В силу принципа Зарембо-Жиро [4] экстремум отличный от нуля может достигаться при г = 1, 7г/2 7Г и в точке (0,0). Заметим , что экстремум в начале координат достигаться не может в силу формулы среднего значения [20] Отметим, что и(1,7г) = 0 , и(1,0) = 0и и(1,7г/2) = 0. Последнее равенство следует из условия (4) , если в нем положить 0 = 7г/2.Пусть в точке 0 Є (7г/2,7г), достигается максимум функции и то есть u(l,0 ) = М, пользуясь условием (4) будем иметь и(1,7Г 0 ) = -и(1,0 ) = — М. Из принципа Зарембо-Жиро следует , что минимум функции тп меньше — М. Пусть в точке 0 Є (7г/2,7г),г = 1 функция достигает минимума т. Тогда в силу условия (3.4) имеем, м(1,7Г - 0) = -«(1,0) = -т М Это противоречит тому , что М - максимум функции и. Теорема доказана. 3. Доказательство теоремы существования решения. Будем искать решение уравнения задачи (3.6) удовлетворяющее условию (3.7) и условиям (3.3) и (3.4). Это решение может быть выписано непосредственно в виде ряда Из оценки(ЗЛЗ) следует , что ряд (3.8) сходится равномерно и абсолютно при 0 г 1,0 Є [0,7г], поэтому функция u(r, О) непрерывна в D+ и является гармонической в D+. Далее , очевидно , что ряд (3.8) при г 1 можно дифференцировать почленно сколько угодно раз .Проверим условия (3.7), записанные в полярной системе координат для ряда (3.8) (; + 1 У(1/2+2к) sin[(l/2 + 2k)Q - тг/4]е=о = r 1/2+2jfe) (-sin(7r/4) + cos(?r/4)) = 0. АнаЛОГИЧНО Проверяется уСЛОВИе При 0 = 7Г. (г - -) ) ((1/2 + 2ЦЄ - V4]e=. = г№» (sin[(l/2 + 2к)тг - тг/4] - cos[(l/2 + 2А:)тг - яг/4]) = 0 при 0 г 1. Итак , функция и удовлетворяет условию (3.7). Проверим удовлетворение условия (3.4). Достаточно проверить условие (3.4) для синусов sin[(l/2 + 2k)Q - тг/4] = -sm[(l/2 + 2к)(тт -0)- тг/4] = -sin{it/2 - тг/4 - (1/2 + 2&)0] = 5m[(l/2 + 2к) - тг/4]. Итак условие (3.4) также выполнено. Остается проверить условие (3.3), то есть gr=1 =/(0),0 Є (О.іг/2). С этой целью продифференцируем ряд (3.8) по г при г 1
Похожие диссертации на О разрешимости одного нелокального варианта задачи Геллерстедта
