Введение к работе
Диссертация посвящена развитию математической теории субоптималь-ного управления распределенными системами (т.е. системами, описываемыми уравнениями с частными производными) или, другими словами, математической теории оптимального управления распределенными системами, в которой "базовым элементом" теории является не оптимальное управление (обычное, т.е. измеримое по Лебегу, или обобщенное1), а минимизирующая последовательность (м.п.) обычных управлений.
Актуальность темы. Центральный результат математической теории оптимального управления - принцип максимума Л.С.Понтрягина. После его открытия последовали всевозможные обобщения. Во первых, были созданы различные общие схемы получения необходимых условий экстремума в абстрактных задачах с ограничениями (А.Я.Дубовицкий и А.А.Милютин, В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе и Г.Л.Харатишвили, L.W.Neus-tadt и др.). В дальнейшем эти схемы постоянно развивались, с их помощью решались все более сложные задачи оптимального управления (А.В.Дми-трук, А.Я.Дубовицкий, А.А.Милютин, Н.П.Осмоловский и др.).
Одновременно с созданием абстрактных схем интенсивно развивается также и теория " собственно задач" оптимального управления разнообразными сосредоточенными и распределенными системами (А.В.Арутюнов, С.М.Асеев, В.И.Благодатских, А.Г.Бутковский, Ф.П.Васильев, С.А.Вах-рамеев, Р.Габасов, В.И.Гурман, В.Ф.Демьянов, А.И.Егоров, Ю.В.Егоров, М.И.Зеликин, А.Д.Иоффе, Ф.М.Кириллова, Ю.Н.Киселев, Н.Н.Красовский, В.Ф.Кротов, А.В.Кряжимский, А.Б.Куржанский, К.А.Лурье, Б.Ш.Морду-хович, М.С.Никольский, Ю.С.Осипов, В.И.Плотников, Л.И.Розоноэр, Т.К. Сиразетдинов, В.М.Тихомиров, Е.Л.Тонков, В.А.Троицкий, А.Ф.Филиппов, А.В.Фурсиков, F.H.Clarke, J.L.Lions, J.Warga, L.J.Young, и др.).
В то же время появляются и различные общие подходы к получению принципа максимума для систем с распределенными параметрами (Ю.В. Егоров, А.С.Матвеев, В.И.Плотников, В.А.Якубович, H.O.Fattorini и др.). Теория оптимального управления распределенными системами быстро развивается в самых разных направлениях (С.А.Авдонин, Л.Т.Ащепков, О.В. Васильев, Ф.П.Васильев, А.И.Егоров, С.А.Иванов, А.З.Ишмухаметов, А.В. Кряжимский, А.И.Короткий, В.И.Максимов, А.С.Матвеев, С.Ф.Морозов, Ю.В.Орлов, Ю.С.Осипов, М.М.Потапов, С.Н.Слугин, В.А.Срочко, В.И.Сумин, А.В.Фурсиков, В.А.Якубович, V.Barbu, H.O.Fattorini, H.Frankowska, B.S.Mordukhovich, J.L.Lions и др.).
'Здесь щ шшжм обобщено* управлене, а также расшареаае еадачв оптаиальяого тдравлевві воаамается смысле РЗТаяткрелвдіе, Дж.Варгв:
[Г] Гамкрелядэ* Р.В. Освови оатвиальвого увравлевае. Тбілісі: Иід-во Тбал. уя-та, 1977.
[В] Варга Дж. Оптимально* твржялеяя* дяффереяцяальиымя фтикалоиальяыня траяяеяяіаш. M.: Наука, 1977.
Диссертация посвящена различным аспектам теории субоптимального управления распределенными системами, связанным так или иначе с принципом максимума Л.С.Понтрягина, который для краткости мы будем называть ниже просто принципом максимума.
Как уже отмечено выше, существующие в теории оптимального управления абстрактные подходы (схемы) позволяют эффективно получать в различных сложных задачах оптимального управления с ограничениями условия оптимальности как первого, так и более высоких порядков, а также результаты так или иначе связанные с условиями оптимальности (принципом максимума). Однако все эти подходы предполагают наличие по крайней мере одного очень существенного обстоятельства
(I): существование оптимального элемента, каковым может являться как обычное, так и обобщенное управление.
Указанное обстоятельство обеспечивается в случае обычного оптимального управления во всех упомянутых выше схемах посредством постулирования факта существования (как известно2, именно это привело к возникновению словосочетания " наивная теория оптимального управления"), если на задачу не наложены дополнительные и, как правило, весьма жесткие условия существования оптимального элемента. При этом для задач оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями, а также в случае управляемых уравнений из весьма широкого класса так называемых полулинейных уравнений в частных производных существование оптимальных обобщенных элементов дается "практически даром".
В то же время, в теории оптимального управления распределенными системами несуществование обычного оптимального управления и одновременно невозможность расширения задачи в том или ином смысле (Р.В.Гам-крелидзе, Дж.Варга, А.Ф.Филиппов, Л.Янг) не является каким-либо редким и патологическим событием. Приведем для иллюстрации следующий продетой пример, связанный с одномерной задачей Гурса-Дарбу. Пример 1. Рассмотрим задачу оптимального управления
10(и) = Ja J0 {z2{x,y) - и2{х, у)) dxdy -+ inf, и Є V,
V = {и Є Іоо(П) : и(г,у)є[-1,1]п.в. но П}, П = [0,1] X [0,1],
«ху = u(x,y)zx + и(х,у), z(x,Q) = z(0,y) = 0.
Специфика такой хорошо известной конструкции функционала такова, что в этой задаче нижняя грань равна —1. Очевидно, что она не достигается ни на каком обычном управлении. Т.к.
z[u](x, у) = //(exptjj" «(ft, 6) () - 1) <%,
2 [Я] Яиг Л. Jit тім по віріациоииому ечіслеїшю в корн оотвндлыого jnpauitHii. М.: Мір, 1974.
то можно заметить, что последовательность
u4* ,/1 = /1 »Є (#) *[0,1], i = l,3 2.--1,
"^'^-1-1 у Є (#,), *Є[0,1], j = 2,4,...,2,, 1 = 1,2,...
является минимизирующей и для нее выполняется предельное соотношение 1а{и') -+-1, !і —> со, в то время как для последовательности
l,i,J"i-l * Є (#,), у Є [0,1], І = 2,4,...,2І, 1 = 1,2,...
указанное предельное соотношение не выполняется. Можно утверждать также, что первая из отмеченных последовательностей удовлетворяет принципу максимума для м.п. [1], а вторая - нет. В то же время, обе эти последовательности управлений, как нетрудно заметить, сходятся (в слабой норме | |ш, см. [В], [Г]) к одному и тому же обобщенному управлению v(x,y) = ^-і + |5+,.
Подобные примеры говорят о том, что в теории оптимизации распределенных систем в общей ситуации "единственным выходом" для получения "каких-либо" условий оптимальности является рассмотрение именно м.п. в качестве "базового элемента" теории.
Представляется целесообразным здесь также отметить и еще одно обстоятельство, с которым приходится неизбежно сталкиваться в теории оптимального управления системами с операторными ограничениями3. Оно связано с возможпой невыполнимостью принципа максимума4. Многие примеры задач оптимального управления с операторными ограничениями, в которых не справедлив принцип максимума, достаточпо хорошо известны (см. также пример невыполнимости принципа Лагранжа в книге5, С.261). Одпим из них является ставший уже классическим пример Ю.В.Егорова6, С.42, другой может быть найден, например, в монографии7, п.5.6, С.313. Аналогичные примеры, связанные с простейшими задачами оптимальпого управления как для обыкновенного дифференциального уравнения, так и для уравнения теплопроводности с фазовым (полуфазовым) ограничением типа равенства, в которых в качестве целевого выступает пространство Ьї(0, 1), можпо найти, например, в [28, 29, 31]. Эти, а также другие подобные примеры (естественно, их число можно неограниченно увеличивать) объединяет одно очень важное обстоятельство: выполнимость принципа
'Здесь ниже под операторный! ограничениями ны понимаем ограничена!, задаваемые оператором с бесконечномерным образом; н протяжном же случае ограниченна называем функциональными.
'Здесь речь ядет о том, что задачах оптимального управлення с операторными ограничениями (для простоты рассматриваем лишь случай огранкченяй-рааенств) lo(v) -t min, /i(u) - 0, u 6 V, где la : T> -+ В} - минимизируемый функционал, /і : V -* В - оператор, задающий ограничение, V - множество допустимых управленні, В - бесковечномерное банахово пространство, вообще говоря, не верва вмплякацяя, согласно которой оптимальное управленве п є V в задаче на условный экстремум удовлетворяет прннцнпу максимума в задаче "безусловной мвнвынэацин" функционала Лагранжа А0/о(п) + (А1.ЛО)) -+ min, и Є Т>, Ао > 0, А, є В*, (Aq.A,) t 0-
Б[ЛТ<Х>] Алексеев В.М., Тихомиров B.M., Фомин СВ. Оптимальное управлевве. М.: Наука, 1979.
б[В1] Васильев Ф.П. Методы решении экстремальных задач. М.: Наука, 1981.
7Балакришиан А.В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
максимума в них и, более того, регулярного принципа максимума (т.е. с непулевым множителем, соответствующим функционалу качества) жестко связано с дифференциальными свойствами функций значений задач как функций параметра, аддитивно входящего в ограничение - наличие нормали в каком-либо естественном смысле к надграфику функции значений при некотором выбранном значении параметра гарантирует выполнимость в соответствующей задаче регулярного принципа максимума.
Сказанное выше служит мотивацией отказа в настоящей работе от традиционного требования выполнимости в задачах оптимального управления отмеченного выше обстоятельства (I) и рассмотрения, в контексте общей идеологии метода возмущений (см., например, [АТФ], С.263), задачи оптимального управления как элемента семейства задач, зависящих от параметра, аддитивно входящего в ограничение. Говоря конкретнее, мы рассматриваем задачу минимизации
(Aq) /o(u) —> inf, h{u) Є M + q, u Є Х>, q Є В — параметр,
где D - полное метрическое пространство называемых управлениями элементов и с метрикой d(-,-), В - равномерно выпуклое банахово пространство с дифференцируемой по Фреше нормой, /о : Т> — R1 - непрерывный ограниченный снизу функционал, I\ : "D —+ В - непрерывный оператор, М С В - выпуклое замкнутое (вообще говоря, без внутренних точек) множество. В соответствии со сказанным основным "объектом", подлежащим "нахождению", является м.п. - мипимизирующее приближенное решение (м.п.р.) в смысле Дж.Варги [В], т.е. последовательность элементов и' Є Т>, 11 = 1, 2,..., такая, что
1оЫ)<р(д) + г, "'єі>;'
для некоторых последовательностей сходящихся к нулю неотрицательных чисел &', с', г = 1,2,..., где
/3(q) = /9+0(9) = Km A(g), Ш = и./о(и),
Mq) ЕЕ +оо, если Ц = 0, V\ ЕЕ {и Є V : p(h(u) -q,M)< є}, є > 0,
р{-,М) - функция расстояния. Возникающая здесь функция /3 : В —> R1 U {+со} называется функцией значений задачи (Ая) и для нее справедливо неравенство fi(q) < /?о(?) Vg Є В, где / : В -4 R1 - классическая функция значений. В связи с задачей (Ая), которая имеет вид абстрактной задачи минимизации с ограничением в банаховом пространстве, но аксиоматика которой нацелена прежде всего на задачи оптимального управления, и в связи с введенным понятием м.п.р. отметим следующие обстоятельства: (а) м.п.р. всегда существует; (Ь) функция значений /?, "согласованная"
именпо с понятием м.п.р. (а не с понятием классического оптимального управления) является, в отличие от функции значений /. всегда полунепрерывной снизу; (с) использование понятия м.п.р. позволяет записывать все результаты для задачи (^4,) в терминах расширенной задачи, если такое расширение возможно; (d) именно понятие м.п.р. существенно используется в теории численных методов оптимального управления, а также в теории задач оптимального управления с приближенно известными исходными данными; (е) понятие м.п.р. несет в себе регуляризирующее начало; (f) понятие м.п.р. является удобным с прикладной (инженерной) точки зрения (подробности см., например, в [В]).
Следует отметить, что различные аспекты теории оптимального управления, связанные с субоптимальностью и м.п., постоянно привлекали внимание исследователей (Дж.Варга, Р.Габасов, Ф.М.Кириллова, Б.Ш.Морду-хович, V.Barbu, I.Ekeland, H.O.Fattorini и др.). Однако практически до последнего времени все результаты работ по м.п. группировались лишь вокруг получения необходимых условий. В цикле работ H.O.Fattorini (см., например, работу8) изучались необходимые условия для м.п., а также вопросы сходимости м.п. для целого класса задач оптимального управления абстрактными полулинейными дифференциальными уравнениями в банаховом пространстве с терминальным ограничением и нефиксированным временем. В самое последнее время интерес к проблеме необходимых условий субоптималыюсти и для м.п. был проявлен авторами работы9 (см. также ряд последующих работ тех же авторов).
Полунепрерывность спизу функции значений р является наиважнейшим обстоятельством в теории оптимального управления, т.к. позволяет "подключить" к исследованию оптимизационных задач интенсивно развивающийся в последние годы аппарат негладкого анализа, а, именно, анализа нормалей (проксимальных нормалей) к замкнутым множествам в банаховых пространствах и обобщенного дифференцирования негладких функций в банаховых пространствах. Различные важные результаты по негладкому анализу были получены в работах целого ряда авторов (В.Ш.Мор-духович, J.M.Borwein, F.H.Clarke, A.D.Ioffe, P.D.Loewen, R.T.Rockafellar, Y.Shao, H.M.Strojwas и др.). Именно использование негладкого нормального анализа и теории обобщенного дифференцирования полунепрерывных снизу функций позволяет рассматривать любую задачу оптимального управления "не изолированно", а как элемент семейства аналогичных задач и получать информацию "в целом" о семействе и, как следствие, во мпо-
8Fattorini Н.О. Coimrgcnct of tuboptimal tontroli: the point target case // S1AM J. Control Optirn. 1990. V.28. No.2. P.320-341.
'Mordukhovich B.S., Zhang K. Exiitcnct, Approximation, and Suboptimalitj Conditioni for Minimax Control of Htat TV&nfftr S^ttemi with Statt Conitraintf // Lictun Notei in Pur* and Applitd Mathematics. Marcel DcLicr, N«w York. 1994. V.160. P.251-270.
гих важных частных случаях о каждой конкретной задаче отдельно. Такой подход приводит к возможности изучения условий регулярности, нормальности, проблемы чувствительности для широкого класса задач оптимального управления, а также позволяет "сблизить" теорию необходимых условий (теорию принципа максимума) и теорию численных методов оптимального управления. При этом важно подчеркнуть, что первые результаты в этом направлении были получены в работах таких авторов как F.H.Clarke, P.D.Loewen (см., например, монографию10 и статью11) для задач оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. В этих работах были получены полезные представления для обобщенных градиентов в смысле Кларка функций значений в терминах множителей Лагранжа. Однако в них рассматривались классические оптимальные управления и функции значений, а на задачи накладывались специальные условия для обеспечения полунепрерывпости снизу классической функции значений в окрестности рассматриваемого фиксированного значения параметра.
Рассмотрение задачи (семейства задач) (Aq) дает возможность изучения широкого спектра различных классических вопросов теории оптимизации, к которым можно отнести: 1) необходимые и достаточные условия для м.п.р. (в частности, для обычных или обобщенных оптимальных управлений); 2) различные свойства регулярности, нормальности, их связь с множителями Лагранжа, с дифференциальными свойствами функции значений, с векторами Куна-Таккера; 3) свойства чувствительности; 4) негладкие задачи; 5) числеппые методы оптимального управления; 6) методы решения задач с приближенно известными исходными данными, регуляризация в задачах оптимального управления и др..
В результате "расшифровки" абстрактных результатов для задачи (Aq) в диссертации получаются конкретные результаты по указанным вопросам для распределенных задач оптимального управления системами, описываемыми линейными, полулинейными и квазилинейными параболическими, эллиптическими и гиперболическими уравнениями с различными функциональными и операторными ограничениями. При этом, несмотря на то, что целевое пространство задачи (Aq) является равномерно выпуклым, мы показываем как на основе этих результатов получаются результаты, связанные с перечисленными выше вопросами, также и для задач вида (Ая) с нерефлексивными целевыми пространствами.
Подытоживая сказанное, можно утверждать, что переход к рассмотрению м.п.р., представляющий собой в известном смысле "максимальное"
І0[К] Клерк Ф. Оотямяэаяпя негладіпі ая&лпэ. М.: Натж», 1988.
uClark« Р.Н., Lotwen P.D. The Value Function in Optimal Control: Seniitivitj, Controllability and Time-Optimality // SIAM J. Control Optim. 1986. V.M, No.J. P.243-S63.
расширение исходной задачи, находится в согласии с известным высказыванием Д.Гильберта [Я] о том, что "каждая задача вариационного исчисления имеет решение, если слово "решение" понимать подходящим образом". Понимая здесь под решением м.п., мы показываем, что основанная на этом понятии теория, обобщая традиционную, дает возможность получить новую полезную информацию о задаче, что вполне схоже с ситуацией, возникающей при переходе от обычных управлений к обобщенным [В], [Г].
Цель диссертационной работы. Цель работы состоит в разработке методов теории субоптимального управления распределенными системами, предназначенных для решения вопросов указанной теории, связанных с необходимыми и достаточными условиями на м.п., с различными свойствами регулярности и нормальности, с проблемой чувствительности, с негладкими задачами, с численными методами, с задачами с приближенно известными исходными данными.
Методы исследования. В диссертации использованы методы оптимизации, оптимального управления, негладкого анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа и теории функций действительного переменного.
Научная новизна. В диссертации разработаны основы математической теории субоптимального управления системами с распределенными параметрами. Показано, что на основе этой теории получаются новые для оптимального управления результаты, относящиеся как к собственно теории, так и к теории численных методов. Все результаты диссертации (главы 1-7) являются новыми.
Степень обоснования результатов диссертации. Все научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы. Результаты, полученные в диссертации, хорошо согласуются с работами других авторов как отечественных, так и зарубежных.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученпые в ней результаты и методы могут быть применены в теории оптимального управления: 1) при теоретическом исследовании многих сложных конкретных задач с различного рода функциональными и операторными ограничениями; 2) при численном решении различных задач оптимального управления распределенными системами с помощью предложенных в диссертации двойственных численных методов.
Результаты диссертации вошли в отчет о НИР12, учебное пособие13 и
1 Теорії оптимального управления распределенными системами: субоптимальность, минимизирующие последовательности, численные методы. Отчет о НИР ио гранту Конкурсного аентра при С.-Петербургском университете Госкомитета РФ по высшему образованию (ЛІ093-1-71-19), Л/о госрегистрации 01 9.40006443.1994, 74 с.
1эНовоженов ММ., Сумин ВИ., Сумин М.И. Методы оптимального управления системами математической физики. Учебное пособие. Горький: Изд-во ГГУ. 1986.-87 с.
были включены в спецкурсы, читаемые студентам Нижегородского государственного упиверситета им. Н.И.Лобачевского.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Международной конференции "Распределенные системы: оптимизация и приложения в экономике и науках об окружающей среде" (Екатеринбург, 2000); на Симпозиуме "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках", посвященном 80-летию М.А.Красносельского (Воронеж, 2000); на Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина (Москва, 1998); на IV, VI, VII, VIII, IX, X, XI весенних воронежских школах "Понтрягинские чтения" (Воронеж, 1993, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000); на Международной конференции ИФИП "Моделирование и оптимизация систем с распределенными параметрами с приложениями к инженерии" (Варшава, 1995); на III Всесоюзной школе "Понтрягинские чтения. Оптимальное управление. Геометрия и анализ" (Кемерово, 1990); на школе "Современные методы в теории краевых задач" (Воропеж, 1992); на XIV Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Н.Новгород, 1991); на Первом Международном семинаре ИФАК "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Владивосток, 1991); на 1,11 Международных конференциях "Математические алгоритмы" (Н.Новгород, 1994,1995); на Международной научной конференции "Экстремальные задачи и их приложения" (Н.Новгород, 1992); на Всесоюзной конференции "Негладкий анализ и его приложения к математической экономике" (Баку, 1991); на Научной школе-семинаре "Разрывные динамические системы" (Ужгород, 1991); на VII,IX Всесоюзных конференциях "Проблемы теоретической кибернетики" (Иркутск, 1985; Волгоград, 1990); на Всесоюзной конференции "Теория, методология и практика системных исследований" (Москва, 1985); на Итоговых научных конференциях Горьковского госуниверситета (1986-1990).
По теме диссертации были также сделаны доклады па семинаре по оптимальному управлению (ННГУ, рук. проф. В.И.Плотников, 1977-1988), на Волго-Вятском региональном семинаре по математической физике и оптимальному управлению (рук. проф. С.Ф.Морозов, 1990-1992), на семинарах в Московском государственном университете (рук. проф. Ф.П.Васильев, 1987, 1993, 2000; рук. проф. М.И.Зеликин, 2000; рук. проф. М.С.Никольский, 1988, 1990; рук. проф. А.В.Фурсиков, 2000), на семинаре в Институте математики и механики УРО РАН (рук. акад. РАН Ю.С.Осипов, чл.-корр. РАН А.В.Кряжимский, 1991,1993), насеминарев Институте проблем управления (рук. проф. В.И.Уткин, 1986).
Результаты диссертации на протяжении ряда лет являлись составной частью результатов работы, выполняющейся при финансовой поддержке
различных научных Фондов:
1993 - 1994 г.г. - грант Международного Научного Фонда (фонд Дж.Сороса) и Российской Академии Естественных Наук (РАЕН);
1993 - 1995 г.г. - грант Конкурсного центра при С.-Петербургском университете Госкомитета РФ по высшему образованию (проект Л/Ь 93-1-71-19), тема "Теория оптимального управления распределенными системами: субоптпмальность, минимизирующие последовательности, численные методы" ;
1995 - 1997 г.г. - грант Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект Л/о 95-01-00701), тема "Теория субоптимального управления распределенными системами и функциональные вольтерровы уравнения";
1998 - 2000 г.г. - грант Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект Afo 98-01-00793), тема "Теория субоптимального управления распределенными системами: минимизирующие последовательности, операторные ограничения, граничные управления, численные методы".
Публикации. Все результаты, вошедшие в диссертацию (главы 1 -7), являются новыми, изложены в работах [1] - [36] и целиком принадлежат автору диссертации. В трех совместных с В.И.Плотниковым работах [1, 3, 5] рассматривались лишь необходимые условия, причем только для классических м.п., т.е. для м.п. управлений, удовлетворяющих ограничениям в точном смысле. Из этих, по сути дела, первых работ по м.п. в оптимальном управлении автором используется лишь общая идея перехода в распределенных задачах оптимального управления к рассмотрению в качестве "базового элемента" теории именно м.п., а не оптимального управления. В диссертации же в качестве "базового элемента" используется м.п.р. в смысле Дж.Варги. Это позволило построить совершенно новую теорию субоптимального управления и рассмотреть при этом весьма широкий спектр оптимизационных вопросов, изучение которых было бы совершенно невозможно в рамках классических м.п..
В двух других совместных с В.И.Плотниковым работах [2, 4], а также в двух совместных работах с С.Ф.Морозовым [7, 11] авторами были предложены методы получения необходимых условий оптимальности в негладких (разрывных) задачах оптимального управления, одними из составных частей которых являются процедуры сглаживания исходных данных. Эти процедуры сглаживания, в равной мере принадлежащие авторам указанных работ, используются в главе 5 для изучения новых вопросов, совершенно не затрагиваемых в указанных совместных статьях.
В совместной с В.И.Сумипым работе [21] содержатся результаты, иллюстрирующие эффективность предлагаемых в диссертации методов и показывающие возможность их применения и к такому достаточно широкому
кругу задач субоптимального управления распределенными системами, как задачи, описываемые так называемыми функциональными вольтерровыми уравнениями, теория которых разрабатывается в работах В.И.Сумина. Все результаты [21], связанные со свойствами регулярности, нормальности, чувствительности и т.п., получены методами, разработанными автором диссертации. При этом, естественно, использовались результаты, связанные с существованием и устойчивостью решений указанных уравнений, принадлежащие В.И.Сумину.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 7 глав и списка литературы. Содержание изложено на 350 страницах, включая список литературы из 255 наименований.
