Введение к работе
Состояние вопроса и актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию корректности краевых задач для некоторых эволюционных уравнений, тип которых зависит от самого искомого решения. Такие уравнения, очевидно, обязаны быть нелинейными с нелинейностью в главной части. По аналогии с подклассом таких уравнений, вырождающимися уравнениями, такие уравнения можно назвать уравнениями с неявной сменой типа.
В настоящее время наиболее разработана теория краевых задач для уравнений, тип которых меняется в рассматриваемой области при переходе через заранее заданные линии или поверхности или при достижении граничных точек. Это. прежде всего, линейные уравнения смешанного типа, исследования которых начались с работ Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля. Последним обнаружены важные приложения задач Трикоми и родственных задач к газовой динамике. Получив жизнь, этот новый объект стал обнаруживаемым и во многих других областях, ставя задачи совершенно нового типа. Это стало причиной возникновения широкого фронта исследований и больших научных групп.
В нашей стране наиболее существенное влияние в этом направлении оказали работы М.А. Лаврентьева, А. В. Бицадзе, М.В. Келдыша, А. В. Овсянникова, И.Н. Векуа, С.А. Чаплыгина, В. П. Ильина, Е.И. Моисеева, А. П. Солдатова, Т.Ш. Кальменова, И.М. Петрушко, М.М. Смирнова, В.П. Диденко, СМ. Пономарева и их научных школ. В.Н. Враговым и рядом авторов построена общая теория краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа. Эти исследо-
вания были продолжены в работах Г. Д. Каратопраклиева, А. Г. Кузьмина, Д.М. Расьяса, Н.А. Ларькина, С. Г. Пяткова, И.Е. Егорова и других. Отметим, что некоторые ранние работы автора также посвящены (нелинейным) уравнениям смешанного типа.
К классу уравнений с изменением типа относятся и вырождающиеся уравнения, к настоящему времени из неклассических уравнений, видимо, наиболее изученные. Ввиду большого объема работ в этом направлении укажем только, что наиболее близкие нашим интересам исследования проведены в работах отечественных ученых: СМ. Никольского, П.И. Лизоркина, С.Г. Крейна, В.П. Глушко, П.Е. Соболевского, О.А. Олейник, Е.В. Радкевича, В. В. Катрахова, А.И. Кожанова, Н.В. Кислова, С.А. Терсенова, A.M. Нахушева, Хе Кан Чера, И.М. Петрушко, Б.А. Бубнова, Ю.М. Крикунова, Ю.М. Березанского и многих других.
Единственный класс уравнений с неявным изменением типа, который поддался исследованию сравнительно давно, это нелинейные уравнения с вырождением на решении. Библиография этих исследований уже очень богата. Некоторые особые случаи таких уравнений рассмотрены и в диссертации. Первые результаты по таким уравнениям получены в работах О.А. Олейник, А.С. Калашникова, Чжоу Юй-Линь в 1958 году. Среди авторов, внесших существенный вклад в этой области, предложивших новые подходы и методы построения единой теории, отметим Л.А. Пелетье, Ж.-Л. Лионса, Ф.Е. Браудера, X. Брезиса, X. Трибе ля, Г.И. Баренблатта, Д.Г. Аронсона, Л. Каффарелли, М.И. Вишика, Р. Темама, Ю.А. Дубинского, П.А. Равьяра, А. А. Самарского, А.П. Михайлова, Т.И. Зеленяка, М.М. Лаврентьева-мл., С.Н. Кружкова, СП. Курдюмова, О.А.Ладыженскую, СИ. Похожае-ва, Н.Н. Яненко, К. Л. Васкеса, В.А. Галактионова, С.Н. Антон-
цева, В. Штраусса, Ю.Я. Белова, Р. Кершнера, Л.К. Эванса, Ж.И. Диза и других. Особенно большое внимание уделено свойствам неотрицательных решений уравнений пористой среды, то есть решениям уравнений вида и^ = Др(и) + ^(и.ц,), где <р(в) = |s|"signs. Соответствующую библиографию и многие результаты можно найти в монографии А.А. Самарского, В.А. Галак-тионова, СП. Курдюмова и А.П. Михайлова "Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений". М.:Наука. 1987.
Кроме уравнений с неявным вырождением фактически единственным классом с переменой типа на решении, для которого удалось обосновать корректность краевых задач, является класс уравнений, меняющих направление параболичности на решении. Такие уравнения и рассматриваются в диссертации. Их линейным аналогом является класс неклассических уравнений - уравнения с переменным направлением времени. Простейшей моделью является уравнение а(х)іц = u^, где ха(х) > о при х*0 И а(О) = о или га. Это уравнение при х * 0 является параболическим, однако для него задача Копш с данными при t = 0 не корректна. Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений была построена в работах С.А. Терсенова, A.M. Нахушева, Н.В. Кислова, И.Е. Егорова, С. Г. Пяткова, М.С. Бауэнди, С. Д. Пагани, Г. Таленти и других. Качественные свойства этих уравнений оказались довольно необычными. Так, если рассматривать краевые задачи с данными частично при t = 0 и частично при t = т , то в классах типа wj решение существует и единственно. Но более гладкие решения существуют только при условиях выполнения конечного числа связей интегрального характера между входными данными. Если же решать задачу Коши при t > 0 с
данными при t = о в случае а(х)»-1, то, как известно, начальная функция не может быть произвольной, а обязана быть, по крайней мере, аналитической, и задача не корректна в классах
КОНеЧНОЙ ГЛаДКОСТИ. С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, W.L. Miranker (1961 г.)
нашел пространство аналитических функций, в котором эта задача в смысле Адамара корректно поставлена. А Т. И. Зеленяком и М.М. Лаврентьевым-мл. приведен пример уравнения ut = k(t)ихх с коэффициентом k(t) = (1 + l_t)sint, меняющим знак, имеющего (явно выписанное) бесконечно дифференцируемое решение первой краевой задачи с произвольной начальной функцией Uo(x) из ьг.
В уравнениях с неявным изменением возможности еще более разнообразны,сама постановка задачи зависит от входных данных.
Так, в модельном уравнении погранслоя иц, = Uyy смена направления параболичности происходит там, где решение и(х,у) меняет знак. Очевидно, что для этого уравнения можно поставить краевые задачи с неотрицательными данными при х = 0 и найти неотрицательные решения при х > 0. О.Б. Бочаровым (1979) показано, что для этого уравнения может оказаться разрешимой и задача Дирихле, когда данные разных знаков задаются на всей границе прямоугольника (0,1)х(0,а). Аналогичная ситуация имеет место и для уравнения вида ^(uju,, = u^ (О.Б. Бочаров, 1982).
Интерес к этим уравнениям инициировал Н.Н. Яненко в 70-х годах, когда, накопив определенный теоретический и численный материал, он пришел к выводу, что эти уравнения должны быть основой построения строгой модели турбулентности. (См. ЛарькинН.А., Новиков В. А., Яненко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. М.: Наука, 1983.)
Изучение этих уравнений оказалось весьма непростой задачей. В качестве первой модели в 1973 г. в работах Н.Н. Яненко
и В. А. Новикова было предложено уравнение Бюргерса
Ut = u' (uju^ + ии* , (1)
с функцией w'(p), положительной только при больших |р| и имеющей интервал отрицательных значений. Свою уверенность в том, что для этого уравнения должна быть корректна задача с данными при t=0 Н.Н. Яненко объяснял следующими эвристическими соображениями: как только у решения градиент, и,, попадает в плохую зону, где ь>' (и,) < о и нет устойчивости, происходит разболтка решения, резкий рост градиента и он "выскакивает" в хорошую область, где ы'(ц,)>о. Им же был предложен термин "уравнения переменного типа" для подобных уравнений. Другую встречающуюся терминологию мы уже упоминали по ходу изложения: уравнения смешанного типа, уравнения с переменным направлением времени (или параболичности), уравнение диффузии с немонотонной функцией состояния, уравнения со знакопеременным коэффициентом при старшей производной. За рубежом часто используется
также термин forward-backward heat equation.
Разработке методов исследования и обоснованию корректности различных краевых задач для подобных уравнений, их регуляризации и систем посвящена данная диссертация.
Цель работы состоит в разработке методов обоснования корректности краевых задач в нелинейных уравнениях переменного типа, поиске новых корректных задач для этих уравнений, доказательств теорем существования решений.
Методика исследований. В диссертации используются методы линейного и нелинейного функционального анализа, теория обобщенных функций и распределений, теория операторов, методы теории уравнений с частными производными: метод регуляризации, Фаэдо-Галеркина и его модификации, метод дискретизации, методы
компактности, монотонности, сравнения, используется техника, основанная на получении и применении априорных оценок.
Научная новизна и практическая ценность. Исследования, изложенные в диссертации, проводились в соответствии с темами НИР Института теоретической и прикладной механики СО РАН, Института прикладной математики ДВО РАН и Хабаровского государственного технического университета. В диссертации получены следущие основные результаты.
-
Получены результаты об относительной компактности абстрактных функций со значениями в банаховых пространствах и их шкалах. Их применение возможно при доказательствах теорем разрешимости в широком классе нестационарных задачах для уравнений со сложными нелинейностями.
-
Обоснована разрешимость краевых задач в классах с неограниченным градиентом для вырождающихся (на решении) уравнений, имеющих экспоненциально растущий по градиенту коэффициент при старшей производной, либо коэффициент, обращающийся в бесконечность.
-
Исследована аппроксимирующая модель уравнения переменного типа. Предложена новая корректная краевая задача для уравнения Кортвега-де Вриза. Доказаны теоремы существования слабых и сильных решений уравнения Кортвега-де Вриза-Бюр-герса с немонотонной функцией состояния конкретного вида.
-
Для однородного уравнения диффузии с произвольной не монотонной функцией состояния построены сильно колеблющиеся решения первой краевой задачи, выделен класс единственности, обоснован принцип максимума для градиента решений.
-
Для широкого класса неоднородных диффузионных уравнений с немонотонной функцией состояния и начальной функцией с
суммируемым градиентом показано, что априорных оценок, справедливых для решений этих уравнений, достаточно для обоснования предельного перехода.
-
Рассмотрены новые двухточечные неклассические задачи для двух видов уравнений, меняющих направление параболичности на решении. Их корректность предложено обосновывать используя факт конечной скорости распространения возмущений.
-
Обоснована корректность краевой и начально - краевой задачи для системы обобщенных уравнений Прандтля, содержащей уравнения переменного типа. В стационарном случае представлены достаточные условия разрешимости. В нестационарном случае задача безусловно разрешима.
-
Исследована задача Стефана для нелинейного уравнения теплопроводности с вырождением на решении. Доказана разрешимость нового типа краевых задач с неизвестной границей.
-
Для уравнений переменного типа предложена новая постановка задачи с неизвестной границей (являщейся линией смены типа) и с неизвестным коэффицинтом в условии Стефана.
Все результаты диссертации являются новыми. Исследованные уравнения взяты из той или другой области механики, математической физики. В диссертации, в основном, рассмотрены уравнения с одной пространственной переменной. Это следствие новизны темы. Но разработанная методика может быть применена и при исследовании многомерных уравнений и уравнений других типов и порядков.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по неклассическим уравнениям математической физики в институте математики СО РАН (1979 - 1995 гг) (рук. акад. АТН, проф. В.Н. Врагов), на семинарах кафедры теории функций НГУ
(рук. проф. С.А. Терсенов), на семинарах отдела вычислительной физики ИТШ СО РАН (рук. акад. Н.Н. Яненко), на семинаре по некорректным задачам маттематической физики в ИМ СО РАН (рук. акад. М.Ы. Лаврентьев), на семинарах Института прикладной математики ДВО РАН (рук. чл.-корр. Н.В.Кузнецов), на семинаре лаборатории ОПМА ИПЫ ДВО РАН (рук. проф. В.Д.Степанов), на семинаре математ. факультета Красноярского госуниверситета (рук. проф. Ю.Я.Белов), на семинарах "Функциональный анализ" (рук. проф. В. Д. Степанов) и "Дифференциальные уравнения" (рук. проф. А. Г. Зарубин) в Хабаровском государственном техническом университете, на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными в ИМ СО РАН (рук. проф. Т. И. Зеленяк) , на семинаре "Математические модели механики сплошных сред" (рук. чл.-корр. РАН П.И.Плотников) в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, в Московском энергетическом институте на семинаре под рук. проф. Ю.А. Дубинского, в Московском государственном университете на семинаре кафедры общей математики (рук. проф. Е.И. Моисеев).
Основные положения докладывались на Всесоюзных школах-семинарах по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, 1980, 1981, 1989 гг.), на Всесоюзном семинаре "Некорректные задачи математической физики и анализа" (Новосибирск, 1982), на Международной конференции по дифференциальным уравнениям с частными производными, посвященной 75- летию акад. С.Л.Соболева (Новосибирск, 1983), на Всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными (Улан-Удэ, 1985), на Всесоюзной школе-семинаре, посвященной Н.Н. Лузину (Кемерово, 1983). на Всесоюзной школе-семинаре по некорректным задачам (Самарканд, 1983). на Советско-Чехословацком совещании по
дифференциалышм уравнениям и функциональному анализу, на 16 и 17 Дальневосточной математической школе-семинаре (Находка, 1986, 1988), на Всесоюзной конференции по условно-корректным задачам математической физики и анализа (Новосибирск, 1992), на Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1994) , на Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, 1995), на Международной конференции "Современные проблемы прикладной и вычислительной математики" АМСА-95, посвященной 70-летнему юбилею акад. Г.И. Марчука (Новосибирск, 1995) и др.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 работах, список которых приведен в конце автореферата. Результаты работы [10] получены совместно с С. Г. Пятковым. Из совместной работы [2] с В.Н. Враговым в диссертацию включены результаты, непосредственно полученные автором.
Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 280 страницах машинописного текста и состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 218 наименований.
