Введение к работе
Актуальность темы исследования. Уравнения с отклоняющимся (запаздывающим) аргументом давно привлекли внимание исследователей. Первые результаты датируются XVIII веком (Кондорсе, 1771 г.). Систематическое изучение дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом было начато в середине XX столетия в СССР А.Д. Мыш-кисом и в США Р. Беллманом. Уравнения с отклоняющимся аргументом и другие представители многочисленного семейства функционально-дифференциальных уравнений возникают в моделях, учитывающих конечность скоростей распространения сигналов, инерцию конкретных объектов и т.д. Эти уравнения нашли многочисленные приложения в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении процесса сгорания топлива в ракетных двигателях, в экономических моделях долгосрочного прогнозирования, в задачах электродинамики, биологии, медицины, во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно увеличивается1. Актуальность приложений, сложность и новизна проблем, серия загадок и парадоксов привлекают к функционально-дифференциальным уравнениям многочисленных исследователей. Их усилиями теория функционально-дифференциальных уравнений прошла путь от первых разрозненных результатов до самостоятельного, имеющего многочисленные приложения, давшего новые идеи и методы, обширного раздела современной математики. Большой вклад в развитие теории функционально-дифференциальных уравнений внесли Н.В. Азбелев, Б.И. Ананьев, P.P. Ахмеров, ЕА. Барбашин, Л.А. Бекларян, С.А. Брыкалов, А.И. Булгаков, Ю.Ф. Долгий, М.И. Каменский, А.В. Ким, В.Б. Колмановский, Н.Н. Красовский, А.В. Кря-жимский, А.Б. Куржанский, В.П. Максимов, А.А. Мартынюк, Г.И. Мар-
^Іодели реальных явлений и процессов, библиографию можно найти, например, в
Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия // В кн. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М: Мир, 1983. С. 383-394.
Ким А.В., Пименов В.Г. г—Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004. 256 с.
Копелович А.П. Автоматическое регулирование в черной металлургии. Краткий справочник. М.: Гос. научно-техн. изд-во по черной и цветной металлургии, 1963. 408 с.
Мееров М.В. О стабилизации систем, содержащих элементы с запаздыванием // Автом. и телемех. 1953. Т.14, № 5. С. 87-91
Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961. 248 с.
Титов Н.И., Успенский В.К. Моделирование систем с запаздыванием. Л.: Энергия, 1969. 97 с.
чук, А.Д. Мышкис, СБ. Норкин, В.Р. Носов, Ю.С. Осипов, В.Г. Пименов, В.П. Рубаник, Б.Н. Садовский, А.Л. Скубачевский, Т.А. Таду-мадзе, Г.Л. Харатишвили, А.Г. Ченцов, С.Н. Шиманов, Л.Э. Эль-сгольц, D.D. Bainov, С.Н.Т. Baker, R. Bellman, Н.Т. Banks, К. Cooke, С. Cordimeanu, М. Delfour, R.D. Driver, S.I. Grossman, A. Halanay, N.G. Kazakova, V. Lakshmikantham, R.K. Miller, многие другие авторы.
H.B. Азбелевым, А.В. Анохиным, Л.Ф. Рахматуллиной была разработана теория линейных "абстрактных" (по терминологии авторов) функционально-дифференциальных уравнений, сводящихся к операторным уравнениям в банаховом пространстве. Ее основным результатом стало всестороннее изучение общей линейной краевой задачи. Для применения этой теории к конкретным уравнениям необходим удачный выбор пространства, в котором будет рассматриваться соответствующее операторное уравнение, после чего появляется возможность "применять стандартные схемы и теоремы анализа к задачам, исследование которых требовало ранее индивидуального подхода и специальных построений".2 Отметим, что общность рассматриваемых абстрактных уравнений не позволяет формулировать конкретные признаки разрешимости линейных уравнений, определить оператор Коши, получить представление операторов Грина и Коши, строить приближенные решения. Как показано в диссертации, перечисленные проблемы удается решить, если рассматривать абстрактные уравнения в функциональных пространствах с операторами, обладающими определенным в работе свойством обобщенной вольтерровости. Более того, при таком предположении, открывается возможность исследования нелинейных абстрактных уравнений, изучение которых в общем случае "встречает многочисленные затруднения".2
Диссертация посвящена построению теории линейных и нелинейных абстрактных функционально-дифференциальных уравнений с обобщенно вольтерровыми операторами (называемых эволюционными уравнениями, уравнениями с наследственностью, с последействием) и ее приложениям. Свойство вольтерровости операторов впервые определил А.Н. Тихонов3. Вольтерровые операторы широко применяются при описании динамики явлений, процессов, поскольку они отражают зависимость насто-
2Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.
3А.Н. Тихонов. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюллютень Московского университета. 1938. Т. 1. Вып. 8. С. 1-25
ящего состояния объекта от его развития, его "прошлого" и независимость от "будущего". Эти операторы подробно изучены благодаря исследованиям А.Н. Тихонова, Н.Н. Красовского, С.Н. Шиманова, V. Volterra, L. Tonelli. Абстрактные трактовки свойства вольтерровости операторов предложены в работах М.С. Бродского, А.И. Булгакова, А.Л. Бухгейма, Ю.А. Дядченко, И.Ц. Гохберга, С.А. Гусаренко, П.П. Забрейко, Г.Э. Киселевского, М.С. Крейна, В.Г. Курбатова, М.С. Лившица, В.И. Сумина, С. Corduneanu,A. Feintuch, R. Saeks, M. Vath, других авторов.
Предлагаемая в диссертации теория эволюционных абстрактных функционально-дифференциальных уравнений применима к линейным и нелинейным уравнениям с отклоняющимся аргументом, интегро-дифференциальным уравнениям, уравнениям нейтрального типа, другим классам функционально-дифференциальных уравнений относительно абсолютно непрерывных неизвестных функций, а также к сингулярным уравнениям, уравнениям с импульсными воздействиями, уравнениям на графах, гибридным системам и т.д.
Объектом исследования являются линейные и нелинейные эволюционные функционально-дифференциальные уравнения. Наряду с абстрактными уравнениями общего вида рассматриваются их конкретные реализации: интегро-дифференциальное уравнение и уравнение нейтрального типа в пространстве абсолютно непрерывных функций, уравнение нейтрального типа с несуммируемыми коэффициентами, уравнение нейтрального типа с сингулярным оператором внутренней суперпозиции, обыкновенное дифференциальное уравнение с разрывной правой частью, уравнение с авторегулируемым запаздыванием.
Цель диссертационной работы состоит в разработке общей теории эволюционных функционально-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, исследовании разрешимости, непрерывной зависимости решений от параметров, построении оценок решений, нахождении приближенных решений и применении полученных результатов к конкретным уравнениям, ранее не поддававшимся исследованию.
Научная новизна. В диссертации сформулированы положения общей теории эволюционных функционально-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Эта теория позволила получить новые утверждения о разрешимости и свойствах решений конкретных функционально-дифференциальных уравнений. Наиболее значимыми являются следующие результаты:
- для операторов, действующих в банаховых пространствах опреде-
ленных на [а, Ь] функций, предложено определение вольтерровости на совокупности подмножеств отрезка [а, &], обобщающее известное определение А.Н. Тихонова, изучены свойства линейных вольтерровых операторов, получены утверждения о вольтерровости и спектре интегрального оператора и оператора внутренней суперпозиции в конкретных функциональных пространствах;
для линейного функционально-дифференциального уравнения в банаховом пространстве дано определение абстрактных функций Грина и Копій, которое в случае обыкновенного дифференциального уравнения, других уравнений относительно абсолютно непрерывных функций равносильно классическому определению, исследованы свойства абстрактных функций Грина и Коши;
предложен метод приближенного нахождения абстрактной функции Коши и общего решения линейного эволюционного функционально-дифференциального уравнения в банаховом пространстве, доказана сходимость;
для уравнения нейтрального типа при различных условиях (с суммируемыми коэффициентами, с несуммируемыми коэффициентами, с сингулярным оператором внутренней суперпозиции) сформулированы новые признаки разрешимости, исследована функция Коши и предложены алгоритмы ее приближенного нахождения;
исследована разрешимость в банаховом пространстве нелинейного уравнения с вольтерровым на совокупности подмножеств отрезка [а, Ь] оператором, получены утверждения о существовании локальных решений, о продолжении решений, о единственности решения, доказаны теоремы о компактности множества решений и о непрерывной зависимости решений от параметров, найдены оценки области определения предельно продолженных решений; следствием этих результатов являются известные и новые утверждения об уравнениях с вольтерровыми по А.Н. Тихонову операторами; во всех доказанных утверждениях главными требованиями являются предложенные в работе условие локальной сжимаемости или условие улучшаемости операторов;
предложено новое понятие вольтеррового конуса, определяющего полуупорядоченность в банаховом функциональном пространстве, исследованы свойства таких конусов, доказаны утверждения о локальной разрешимости уравнения с монотонным вольтерровым на совокупности подмножеств отрезка [а, Ь] оператором, о продолжаемости решений, их оценке, о существовании нижнего и верхнего решений;
исследована разрешимость задачи Коши для нелинейного эволюционного функционально-дифференциального уравнения, получены утверждения о существовании локальных решений, о продолжении решений, о единственности решения, о непрерывной зависимости решений от начальных условий, найдены оценки области определения предельно продолженных решений, доказаны теоремы о дифференциальных неравенствах, все полученные утверждения применены к дифференциальному уравнению с авторегулируемым запаздыванием, к обыкновенному дифференциальному уравнению с разрывной правой частью;
предложен общий метод приближенного решения эволюционного функционально-дифференциального уравнения, частными случаями которого являются известные методы решения дифференциальных уравнений (методы Тонелли, Эйлера, Рунге-Кутта) и новые методы, найдены условия сходимости, получена модификация численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющая за счет автоматического выбора шага находить решения, имеющие вертикальные асимптоты, (без обычно применяемой предварительной оценки максимального промежутка существования решения).
Все вошедшие в диссертацию результаты являются новыми.
Методы исследования. Используется методика сведения задачи Коши и краевых задач общего вида к операторному уравнению в банаховом пространстве. Систематически применяются предложеннные автором методы анализа вольтерровых операторов. Основным инструментом исследования являются методы функционального анализа, теории функций действительного переменного, теории функционально-дифференциальных уравнений.
Теоретическая и практическая значимость. Предложенные в диссертации понятия, полученные результаты открывают новые возможности при исследовании устойчивости решений, задач управления для линейных и нелинейных эволюционных функционально-дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. При решении самых разных вопросов теории функционально-дифференциальных уравнений найдут широкое применение абстрактные функция Грина и функция Коши, утверждения о разрешимости, о непрерывной зависимости решений от параметров, теоремы о неравенствах. Полученные результаты исследования обобщенно вольтерровых операторов могут быть использованы в функциональном анализе, теории интегральных уравнений, теории численных методов, в математической физике и т.д. Предложенные в работе приближенные методы нахождения функции Коши позволяют ре-
шать задачу построения общего решения линейного уравнения. Такая проблема возникает при расчетах траекторий движения небесных тел4, в теории управления5, в теории устойчивости6. Разработанные в диссертации методы численного решения нелинейных уравнений также можно использовать в прикладных задачах. Практический интерес представляет исследование рассмотренных в диссертации конкретных уравнений, возникших в приложениях, например, уравнения с авторегулируемым запаздыванием, описывающего взаимодействие быстро движущихся материальных точек или зарядов7.
Результаты диссертации включены в спецкурсы, читаемые студентам Тамбовского государственного университета им. Г. Р. Державина-Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на II Всесоюзном совещании по гравитации и объединению фундаментальных полей (Киев, 1982), на VII Школе по теории операторов в функциональных пространствах (Рига, 1983), VI Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1986), на I Северо-Кавказской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Махачкала, 1986), на Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 1988), на XVI Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Нижний Новгород, 1991), на I Научной конференции ТГТУ (Тамбов, 1994), на IV Всероссийской конференции "Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования" (Тамбов, 1995), на ежегодных научных конференциях ТГУ "Державинские чтения" (Тамбов, 1996-2006), на Воронежских весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения VIII-XVI" (Воронеж, 1997-2005), на Воронежских зимних математических школах "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1999-2001), на Всерос-
4Бахвалов Н.С. Численные методы. 4.1. М.: Наука, 1975. 632 с.
5Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1972. 476 с.
6Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Перм, ун-та, 2001. 230 с.
7Писаренко В.Г. Уравнения с отклоняющимся аргументом, возникающие в проблеме многих тяготеющих электрически заряженных тел при учете запаздывания сил взаимодействия // Дифференц. уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1977. С. 255-269.
Driver R.D. A functional-differential system of neutral type arising in a two body-problem of classical electrodynamics // Internat. Sympos. Nonlinear Differential Equations and Nonlinear Mechanics, 1961. Acad. Press, New York, 1963. P. 474-484.
сийской конференции "Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике" (Тамбов, 2000), на Всероссийской конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения" (Рязань, 2001), на Международной конференции "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики", посвященной 100-летию А.Н. Колмогорова (Тамбов, 2003), на Международном семинаре "Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби", посвященном 60-летию А.И. Субботина (Екатеринбург, 2005), на I, II Всероссийских конференциях "Теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, февраль, июль 2006), на Международной конференции "Тихонов и современная математика", посвященной 100-летию А.Н. Тихонова (Москва, июнь 2006), на семинаре профессора В.Г. Писаренко (Киев, 1983), на Пермском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора Н.В. Азбелева (Пермь, 1983-1986, 2004), на Ижевском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления под руководством профессора Е.Л. Тонкова (Ижевск, 2003), на Тамбовском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям и включениям под руководством профессора А.И. Булгакова (Тамбов, 1999-2006), на совместном семинаре отдела управляемых систем, возглавляемого член-корреспондентом РАН А.Г. Ченцовым, и отдела динамических систем, возглавляемого член-корреспондентом РАН В.Н. Ушаковым, в Институте математики и механики Уральского отделения РАН (Екатеринбург, 2004), на семинаре кафедры общих проблем управления Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова под руководством профессора В.М. Тихомирова (Москва, 2004, 2005), на семинаре по математической теории оптимального управления в Нижегородском государственном университете под руководством профессоров В.И. Сумина, М.И. Сумина (Нижний Новгород, 2005), на семинаре кафедры вычислительной математики Уральского государственного университета под руководством профессора В.Г. Пиме-нова (Екатеринбург, 2005), на семинаре кафедры вычислительной математики Челябинского государственного университета под руководством профессора В.Н. Павленко (Челябинск, 2006), на семинаре в Universidade Eduardo Mondlane под руководством профессоров М. Alves, A. Shindiapin (Мапуто, Мозамбик, 2006), на семинаре в Norwegian University of Life Sciences под руководством профессора A. Ponossov (Аас, Норвегия, 2006). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ра-
ботах [1]-[46]. Предложенные понятия, утверждения, методы исследования вошли в отчеты по грантам Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 01-01-00140, № 04-01-00324), Министерства Образования РФ (проект № Е02-1.0-212), Норвежского Комитета по развитию университетской науки и образования NUFU (проект PRO 06/02).
Все включенные в диссертацию результаты получены автором.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух частей, разбитых на главы, которые в свою очередь делятся на параграфы, списка литературы, включающего 253 наименования, предметного указателя и обозначений. Общий объем работы - 301 страница.
Похожие диссертации на Эволюционные функционально-дифференциальные уравнения
