Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Регулярные и сингулярные системы линейных дифференциальных уравнений .10
1. Сведение краевых задач для сингулярных систем дифференциальных уравнений к интегральному уравнению 12
2. О других способах сведения краевых задач к интегральным уравнениям 17
Глава II. Интегральные уравнения перрона-стилтьеса 23
1. Интеграл Перрона-Стилтьеса 25
2. Предельный переход под знаком интеграла Перрона-Стилтьеса 33
3. Интегральные операторы Перрона-Стилтьеса 39
4. Интегральное уравнение типа Фредгольма 45
5. Интегральное уравнение 48
6. Резольвента
7. Построение резольвенты уравнения Фредгольма 57
8. Построение резольвенты уравнения Вольтерра 60
9. О представлении решений некоторых уравнений типа Вольтерра в условиях отсутствия резольвенты 65
Глава III. Применение теории интегральных уравнений перрона-стилтьеса к линейным дифференциальным уравнениям 69
1. Краевые задачи 72
2. Решение задачи Коши для регулярных и сингулярных систем линейных дифференциальных уравнений 75
3. Примеры 94
4. Представление решений задачи Коши для линейных систем с обобщенными функциями в коэффициентах и правой части 96
Литература
- О других способах сведения краевых задач к интегральным уравнениям
- Предельный переход под знаком интеграла Перрона-Стилтьеса
- Построение резольвенты уравнения Фредгольма
- Решение задачи Коши для регулярных и сингулярных систем линейных дифференциальных уравнений
Введение к работе
1. Сингулярные дифференциальные уравнения уже очень давно привлекают внимание исследователей. Интерес к различным задачам для таких уравнений обусловлен широкими приложениями в различных областях математики, физики, техники (например, в теории автоматического регулирования). В последние 3-4 десятилетия появился целый ряд работ, свидетельствующий о том, что исследование сингулярных дифференциальных уравнений по-прежнему актуально. Укажем на работы [41] (в которой рассматривается задача Коши для сингулярного дифференциального уравнения), [47] (задача Коши), [20, 21, 24] (задача Коши, краевые задачи Коши-Николетти, Балле Пуссена, различные двухточечные задачи), [29] (задача Коши), [45, 46] (задача Коши), [2] (задача Коши), [5] (различные краевые задачи), [7, 26, 3. 43, 34, 6. 18] (задача Коши и различные краевые задачи). Отметим также работы Н.В.Азбелева и его учеников [44, 42, 4, 22], посвященные сингулярным краевым задачам для функционально-дифференциальных уравнений (в основном для скалярных). Для указанных работ характерна своеобразная регуляризация, учитывающая характер краевых условий и свойства функции Грина линейной краевой задачи по второму аргументу.
Ряд задач теории автоматического регулирования приводят к необходимости решения краевых и начальных задач для систем дифференциальных уравнений A{t)x' = B(t)x + f(t) (1) (A(t)x)' = B(t)x + f(t) (2) с, вообще говоря, прямоугольными матрицами А(-) и В(-): в случае, когда А(-) и В(-) — квадратные матрицы, то А(-) может вырождаться в отдельных точках или даже на целых промежутках. Системы вида (1) или (2) возникают и при применении различных приближенных методов решения краевых задач для уравнений в частных производных (см., например, [26, 43, 34]).
Случаю, когда матрицы А(-) и В(-) постоянные, посвящено достаточно большое число работ (см., например, [6, 45, 46, 47, 3, 18, 39]). Для работ этого цикла характерен чисто алгебраический подход. Так, в монографии [6, с. 348] общее решение системы (1) с постоянными т х ?г-матрицами А(-) и В(-) построено на основе теории элементарных делителей для регулярного и сингулярного пучка матриц А+ХВ. Большинство авторов (см., например, [45, 46, 3, 39]), изучающих систему (1) с постоянными матрицами А(-) и
В(-) сводят задачу для системы (1) к соответствующей задаче для системы х' = M{t)x + g(t) (3) с помощью различных обобщений понятия обратной матрицы (полуобратная матрица, обратная матрица Дразина и др., см. [6, 3]).
В монографии [3] системы (1) и (2) с переменными А(-) и В(-) рассматриваются в предположении, что выполнено некоторое условие регулярности (условие Q, см. [3, с.5,с.90]). Условие Q заключается в том, что либо А(-) невырождена, либо в жордановом представлении A(t) = TJ{i)T~l (4) матрица Т постоянна. Условие Q не выполняется, например, для системы (см. [3, с.5]) A(t)x' = x, 0<*<1, (5) A(t)=(1 + t -*1+ <>2
Матрица А(-) имеет двукратное нулевое собственное значение, а представление (4) имеет место при (a{i) ^ + (l + t)e(t)\ где a(-) и /3(-) — произвольные функции, обеспечивающие невырожденность Т. Непосредственно из представления видно, что Т не может быть постоянной.
Вопрос о существовании решения задачи Коши и некоторых краевых задач для систем (1) и (2) в монографии [3] конструктивно решен лишь для постоянных А и В, удовлетворяющих к тому же некоторому дополнительному условию совершенства.
В настоящей диссертации системы вида (1) и (2) изучаются при более широких, чем в [3] предположениях.
2. Не ослабевает интерес к дифференциальным уравнениям с обобщенными функциями в коэффициентах. Наряду со ставшими уже классикой работами [48, 31, 40, 23, 39] укажем на работы [15, 14, 13, 32, 33, 8, 28, 9, 10, 12, 30, 1, 27, 50] (более полно см. обзор по этой тематике в диссертации [11]; см. также библиографию в [33]).
Традиционно системы таких уравнений принято записывать в виде (см. [48, 23, 39, 9, 10]) x = B(t)x + №, (6) где точка означает дифференцирование в смысле обобщенных функций. Если матрица В(-) и вектор-функция /() абсолютно непрерывны, то (6) — классическая система Каратеодори; в случае, если В(-) и /() не обладают свойством абсолютной непрерывности, то В(-) и /() представляют собой сингулярные обобщенные функции, так что возникает целый ряд проблем, среди которых — проблема умножения сингулярной обобщенной функции на разрывную функцию. Каждое определение решения задачи Коши или краевой задачи для системы (6) представляет собой по существу некоторое определение такого умножения. По поводу анализа различных подходов к определению решения системы (6) см. [11].
Между системами (1) и (2) с одной стороны и системой (6) с другой имеется определенная связь. Решения линейной системы (1) или (2) даже с постоянными коэффициентами, так же, как и решения системы (6), могут оказаться разрывными или обобщенными функциями [47],[39, с.23]. Поэтому имеет смысл разработать единый подход к одновременному изучению указанных систем.
3. Целью настоящей диссертации является исследование начальной и краевых задач для систем A(t)x' = B'(t)x + f'(t) (7) (A(t)x)' = B'(t)x + f'(t), (8) где п х n-матрицы .,4(-) и В(-) и п-вектор-функция /(), вообще говоря, не предполагаются абсолютно непрерывными, а штрих означает дифференцирование в смысле теории обобщенных функций. Заметим, что (6) содержится в (7) (и в (8)) при A(t) = Е (Е — единичная п х.п-матрица). Поэтому рассматриваются как регулярный случай (det Л (і) ф 0), так и сингулярный, когда ,4(-) может вырождаться в отдельных точках.
В целом наш подход заключается в следующем. Вначале предполагаем, что В(-), /() и А(-) абсолютно непрерывны и det A(t) ф 0. При этих условиях краевая задача для системы (7) или (8) эквивалентна интегральному уравнению y(t) = JK(t,s)dy(s) + g(t), (9) где интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса, а у(-) связана с ж(-): K(t, s) и g(t) строятся по .4(-), В(-) и /(). Затем замечается, что уравнение (9) имеет смысл рассматривать при исходных предположениях, если в (9) (и в формулах, выражающих К(-, ) и д(-) через .4(-), В(-) и /()).толковать интеграл шире, а именно в смысле Перрона-Стилтьеса. Решение уравнения (9) при этой расширенной интерпретации интеграла и определяет решение исходной задачи.
Выяснилось, что уравнение (9) мало изучено. Можно указать лишь книгу [49], где уравнение (9) рассматривается в предположении, что ядро К(-, ) имеет ограниченную по совокупности переменных вариацию, что для наших задач является неприемлемым. Поэтому уравнение (9) и близкие к нему изучаются в диссертации и как самостоятельный объект, вне их связи с системами (7) и (8).
Несколько слов о нумерации формул и организации ссылок в диссертации. Внутри каждого параграфа применяется одинарная нумерация формул. Ссылки на формулы, теоремы и другие утверждения текущего параграфа производятся просто указанием порядкового номера формулы в тексте параграфа. Ссылки на формулы и утверждения другого параграфа текущей главы производятся путем двойной нумерации. Например, ссылка на формулу (1) введения к текущей главе записывается как (0.1). Наконец, ссылки на формулы и утверждения, расположенные в другой главе, производятся с помощью тройной нумерации (указывается номер главы, номер параграфа в главе и порядковый номер формулы в параграфе).
4. Объектом изучения первой главы диссертации являются краевые задачи для линейных систем (1), (7) и (8). рассматриваемые на конечном отрезке [а.Ь]. При этом отдельно рассматривается задача Коши с начальным условием в точке а. Цель первой главы заключается в построении и обосновании методов преобразования краевых задач к интегральному уравнению вида (9). В выражении для ядра K(t,s) этого уравнения и правой части g(t) участвуют как матрицы Л(-), В(-) и вектор /() исходных систем, так и краевые условия задачи. Предполагая выполненными условия гладкости коэффициентов и правой части систем (7) и (8), приходим к следующим результатам.
1. Задача для системы (1) с краевыми условиями х = а, а Є Ж', (10) где — линейный п-вектор-функционал, действующий на множестве абсолютно непрерывных на [а, Ь] п-вектор-функций, сводится к уравнению (9), если у (i) = x(t) и ь K(L s) = G(t, s)(E - A(s)), g(t) = X(t)p + J G(t, s)f{s)ds.
Здесь G(t, s) — функция Грина системы х' — Вх с краевыми условиями (10), Х(-) — фундаментальная матрица этой системы, а вектор р Є R" определяется как решение системы линейных алгебраических уравнений {Х)р = а.
2. Краевая задача (7),(10) приводится к уравнению (9) двумя способа ми: a) y(t) = B(t)x(t), K{t s) = B{t)G(t, s)(A(s) + B(s))~\ g(t) = B(t)p+fK(t,s)df(s).
Здесь G(t, s) — функция Грина системы x' — F(t) с краевыми условиями (10), вектор р Є Шп — решение линейной системы (Е)р = а. Задача (7),(10) эквивалентна уравнению (9) при дополнительных предположениях, что матрицы В~1(-) и (А(-) + В(-))~1 абсолютно непрерывны на [а, 6]. б) y(t) = x(t), K(t, s) = B~[(t)G(L s)(A(s) + B(s)), g(t) = B~\t)p - J B-\t)G(t, s)df(s).
Здесь G(t.s) — функция Грина задачи у' = F(t), l(B~ly) = 0, вектор p Є W' — решение линейной системы (B~l)p = а. Эквивалентность задачи (7),(10) и уравнения (9) имеет место, если матрица В~1(-) абсолютно непрерывна на [а, Ь].
3. Краевая задача (8),(10) сводится к уравнению (9) если положить y(t) = x(t), K(t: s) = -(A(t) - В(І)У1С(І, s)B(s): ь g(t) = (Ait) - B(t))-lp + $(Ait) - B(t))-lG(tiS)df(s).
Здесь G(t. s) — функция Грина задачи у' — Fit), ((А — В)~1у) = 0, вектор р Є Ш1' — решение линейной системы ((,4 — В)~1)р = а. Задача (8),(10) эквивалентна уравнению (9), если матрица (А(-) — В(-))~х абсолютно непрерывна на [а, Ъ].
Кроме того, задача Коши для систем (7) и (8) допускают специфичную для этой задачи форму записи в виде уравнения типа (9).
При условиях гладкости коэффициентов систем (7) и (8) интеграл в (9) понимается в смысле Римана-Стилтьеса. Отказываясь от условий гладкости с целью охватить линейные системы с обобщенными функциями в коэффициентах, интеграл в (9) нужно толковать шире. Поэтому в дальнейшем предполагается, что коэффициенты систем (7) и (8) имеют ограниченную вариацию на [a, b], а интеграл в уравнении (9) понимается в смысле
Перрона-Стилтьеса. При этом действие функционала расширяется на множество вектор-функций с элементами, имеющими ограниченную вариацию на [а, Ъ]. Решение задачи (7),(10) или (8),(10) определяется как решение соответствующего интегрального уравнения типа (9).
Объектом изучения второй главы диссертации являются интегральные уравнения вида x(t) = A J K{t, s)dx{s) + f(t\ xit) = Л J Q{t, s)dx(s) + f(t) (11) с интерпретацией интеграла в смысле Перрона-Стилтьеса вне их связи с дифференциальными уравнениями, о которой шла речь выше. Уравнения (11) называются интегральными уравнениями Перрона-Стилтьеса, причем первое из них называется уравнением типа Фредгольма (подчеркивая тем самым, что верхний предел в интеграле постоянный), а второе — типа Вольтерра. Предполагается, что элементы матриц K(t,s) и Q(t,s) удовлетворяют условиям sup V(k-;;(*> О) + sup V(M-, s)) < +oo, f b b sup Vfe(*> )) + sup Vfej(-, -s)) < +00» Vfej('5 )) < +. t (I *>' * (I a /() — вектор-функция с элементами, имеющими ограниченную вариацию на [а,Ь]. С помощью простых примеров нетрудно убедиться, что интегральные операторы, стоящие в правой части уравнений (11), могут как обладать свойством полной непрерывности, так и не обладать им. В частности, не являются вполне непрерывными интегральные операторы типа Фредгольма, порожденные ядрами, имеющими разрыв на диагонали, т.е. K(t + 0, t) — K{t — 0, t) ф 0 при t Є [а, Ь]. Таким образом, в вопросах разрешимости уравнений (11) и представлении их решений теория Фредгольма линейных уравнений с вполне непрерывными операторами в общем случае оказывается неприменимой.
В некоторых случаях уравнения (11) имеют единственное решение, допускающее представление в резольвентном виде . xit) = A J RK(t, s, X)df(s) + f(t), xit) = A J RQit, s, X)df(s) + fit).
Резольвента Як{і. s) ядра K{t, s) допускает представление, в некотором смысле аналогичное представлению резольвенты для классических интег- ральных уравнений в виде рядов Фредгольма: RK(t, s, А) - 9){t, s.X^-'is. A), 9(t. s. X) = Z Bk{t, s)X'\ 9(s,X)=tck(s)X\ BQ(t,s) = K(t,s), Bk(t, s) = K(t, s)Ck(s) + J K{t. т)сіВ,^(т, s), к = 1,2,..:
Последовательность Ck{s) выбирается так, чтобы указанные ряды поточечно сходились. Необходимым условием существования резольвенты Rq{t,s,X) ядра Q(t,s) является условие ограниченности вариации элементов матриц (Е-XQ{t,t))~l и (Е — XQ(t-hO,t))~1. Если это уравнение имеет особенность в точке а, т.е. dei(E — Q(a -f 0, а)) = 0. то его решения можно получить в виде x(t) = l /(а)' t = " (12) U 1 f(t) + Q(t,a)u(+Q) + F(t), t>o, [ } [ 0. t
Здесь R(t,s) — «слабая резольвента» ядра Q{t,s), т.е. функция, имеющая ограниченную вариацию по каждой из переменных t и s на любом отрезке [а + 5,Ь], 5 (0.6 — а). Функция «() в (12),(13) подбирается специальным образом так, чтобы существовал предел в равенстве (13) и выполнялось равенство (Е — Q(a -f 0, а))и(+0) = A+f(a).
В третьей главе получены представления решений краевых задач с использованием резольвентного представления решений соответствующих интегральных уравнений Перрона-Стилтьеса. Наиболее обозримыми выглядят результаты, полученные для задачи Ноши. Оказывается, интегральное PSV-уравнение разрешимо в резольвентном виде лишь в том случае, когда исходная система дифференциальных уравнений регулярна, т.е. матрица -4_1(-) имеет ограниченную вариацию на [а,Ь]. В этом случае получается классическое представление решения в форме Коши. Например, для системы (1) t x(t) = U(t)a + J U(t)irl(s)jr1(s)f(s)ds, где [/() — фундаментальная матрица системы и' = А'1 Ви, U{a) = Е. Для линейной системы с особенностью в точке а (в которой ставится начальное условие), получено представление решения в виде х(а) = а, x{t)= lim. \u{t)U-l{a + 5)ia + u{S))-{- {U{t)U-l{s)A-l{s)df{s) , t > a.
Здесь [/() — фундаментальная матрица системы г// = А~гВи, нормированная в произвольной точке to Є (а. 6], а функция и(-) подобрана так, чтобы указанный предел существовал и при этом выполнялось равенство
А{а)и{+0) = {В{а + 0) - В {а)) {а + и{+0)) + f{a + 0)- /(а).
Таким образом, решение задачи Коши для системы (1) с начальным условием в точке а получается как предел решений задачи для этой же системы с начальным условием в точке а + 6 при S —» +0. При этом величина и(+0) равна правому скачку решения х(-) в точке а, т.е. г/(Ч-0) = х(а + 0) — х(а).
О других способах сведения краевых задач к интегральным уравнениям
В предыдущем параграфе было показано, что краевую задачу и задачу Коши для уравнений (0.4) и (0.5) можно записать в виде интегрального уравнения вида (1.10) и (1.13) при некоторых предположениях относительно матриц коэффициентов А(-) и В(-). В данном параграфе продолжается такое исследование и показывается, что краевая задача и задача Коши для системы (0.1) также могут быть записаны в виде уравнений (1.10) и (1.13) соответственно. Кроме того, предлагаются другие способы сведения краевых задач для уравнений (0.4) и (0.5) к интегральным уравнениям такого вида при условиях отличных от 21 и 5321 (см. 1). Как и ранее, переход от условий 21 к условиям В и толкование интеграла в смысле Перрона-Стилтьеса позволяет дать определение обобщенного решения уравнения (0.4) или (0.5).
Рассмотрим сингулярную систему (0.1) в предположении, что /1(-),/3(-) — суммируемые на [а,Ь] квадратные матрицы-функции, а /() — суммируемая на [а, 6] вектор-функция. Пусть задача (0.1), (0.6) имеет абсолютно непрерывное на [а, Ь] решение х(-). Система (0.1), очевидно, эквивалентна системе x (t) = B(t)x(t) + [Е A(t))x (t) + /(і), t Є [a, b]. Пусть X(t) — фундаментальная матрица системы x = B{t)x, te[a,b], (1) и G(t,s) — функция Грина задачи (1),(0.6). Тогда функция x(t) должна удовлетворять уравнению ь x(t) = X(t)p + J G{t, s)((E - A(s))x {s) + f(s))ds = a t h = X(t)p + j G(t, s)(E - A(s))dx(s) + J G(t, s)f(s)ds, где вектор pGi" — решение системы (X)p = a. Таким образом, x(-) удовлетворяет уравнению b x(t) = fK0(t,s)(h(s)+g0{t), (2) о где KQ{t,s) = G(t,s)(E-A(s)), g0(t) = X(t)p + fG{t,s)f(s)ds. (3) Интеграл в равенствах (2) и (3) можно понимать в смысле Римана-Стилтьеса. Очевидно верно и обратное: всякая абсолютно непрерывная на [а,Ь] функция т(-), удовлетворяющая равенству (2), является решением уравнения (0.1).
Если матрица Х(-) нормирована в точке а, т.е. Х(а) = Е, то решение задачи (0.1).(4) удовлетворяет уравнению t x(t) = fQ0(ts)dx(s) + ho(t), (5) где Qo(t,s) = X(t)X-1(s)(E-A(s)), , ho(t) = X(t)a + J X(t)X-1(s)f(s)ds. (6) a Интеграл в равенствах (5) и (6) также можно понимать в смысле Римана-Стилтьеса. Таким образом, вопрос о разрешимости уравнения (0.1) сводится к разрешимости уравнения (2) или (5) в классе абсолютно непрерывных функций.
Вернемся к задаче (0.4),(0.6). удовлетворяющей условиям 21, а также дополнительному условию $21, заключающемуся в том, что матрица В(-) обратима на J — [a.b] и B l{t) локально абсолютно непрерывна на J. Используя преобразование (1.4) систему (0.4) можно записать в виде
В случае вектор-функционала (0.7) функция Грина G\{t, s) имеет представление где Qi(s) = J(dQ(t))5_1(t); в случае функционала (0.8) представление .4 [ -(мВ-На)+ (6)) (6), а 5 0, Gi(M) = v Zi (10) -(А/Б а) + Л-Б Ш NB- b), a t s b, имеет место, если detf МБ-4а) + NB l(b)j ф 0. Представления (9) и (10) функции Грина показывают, что при условиях 21 и $21 интегралы в (7) и (8) могут пониматься в смысле Римана-Стилтьеса. Таким образом, решение задачи (0.4),(0.6) удовлетворяет уравнению (7) и обратно, всякое локально абсолютно непрерывное решение ./:() уравнения (7) есть решение задачи (0.4),(0.6). Для задачи Коши їх = х(а), и тогда ш ч п ,. ч j Е, a s t b, р = В{а)а, Gi[t,s) = \ [ 0, о : t s 6. а задача Коши сводится к уравнению t x{t) = JQ1{t,s)dx{s) + h1{t), (11) где ,5) = 5-40(-4(5) + 5(5)), МО = Б-4Ф-]Б-40#(5). 3. Следующий подход позволяет вовсе отказаться от дополнительных условий типа $21, однако пригоден лишь для задачи Коши. Рассмотрим задачу Коши для системы (0.4) с начальным условием х{а) = а: aeJ: аЄШп. (12) Применяя преобразование (1.4), систему (0.4) запишем в виде х = {{Е + B{t))x) - (A{t) + B{t))x + f (t) и проинтегрируем ее от а до t Є J: t x(t) = x(a) + (E+B(t))x(t)-(E+B(a))x(a)-j{A(s)+B(s))dx(s)+f(t)-f(a). a t Учитывая равенство x(t) = x(a) + j dx(s), получим a t x(t) = x(a) + (B{t) - B(a))x(a) + J (E + B(t) - B(s) - A(s))dx(s) + a t +/( ) - /M = J Q2(t s)dx(s) + g2{t), (13) о где Q2(f,S) = E + S(t)-5(s)-A(8), g2{t) = (Д + J3( ) - B(a))a + / (f) - Да). Очевидно при условиях 21 интегралы в (13) существуют в смысле Римана-Стилтьеса. Решение задачи (0.4),(12) удовлетворяет уравнению (13) и обратно, всякое локально абсолютно непрерывное решение х(-) уравнения (13) есть решение задачи (0.4),(12). Легко видеть, что уравнение (13) не зависит от выбора первообразных матрицы коэффициентов В(-) и вектора /(). 4. Подобные преобразования можно провести для задачи Коши для системы (0.5). Пусть система (0.5) удовлетворяет условиям 21. Тогда, применяя снова преобразование (1.4), перепишем ее следующим образом
Очевидно при условиях 21 интегралы в (14) существуют в смысле Римана-Стилтьеса. Решение задачи (0.5),(12) удовлетворяет уравнению (14) и обратно, всякое локально абсолютно непрерывное решение х(-) уравнения (14) есть решение задачи (0.5).(12). Легко видеть, что уравнение (14) не зависит от выбора первообразных матрицы коэффициентов В(-) и вектора
В этой главе вводится понятие интегральных операторов Перрона-Стилтьеса, интегральных уравнений Перрона-Стилтьеса и изучается вопрос о разрешимости таких уравнений и представлении их решений.
Отметим, что кроме приложений к краевым задачам для линейных систем дифференциальных уравнений, интегральные уравнения Перрона-Стилтьеса имеют тесную связь с некоторыми задачами для классических интегральных уравнений. Так, например, в 4,5 настоящей главы показано, что в случае гладкого ядра решения интегральных уравнений Перрона-Стилтьеса (типа Фредгольма и типа Вольтерра) непосредственно выража-т ются через решения классичесих интегральных уравнений II рода (Фредгольма и Вольтерра соответственно) с суммируемым ядром. Очевидно, эту связь можно обратить, и тем самым решение классического интегрального уравнения II рода выразить через решение соответствующего интегрального уравнения Перрона-Стилтьеса.
Предельный переход под знаком интеграла Перрона-Стилтьеса
В доказательстве теоремы была использована возможность сведения PSV-оператора к PSF-оператору. Нетрудно также показать, что такая возможность имеет место и тогда, когда PSV-оператор действует на множестве функций ограниченной вариации и непрерывных слева. В дальнейшем, однако, мы этим пользоваться не будем, т.е. предполагаем, что PSV-оператор действует на всем пространстве BVn[a,b].
Рассмотрим вкратце вопрос о полной непрерывности операторов Перрона-Стилтьеса. В книге [49] показано, что PSF-оператор вполне непрерывен, если от ядра этого оператора потребовать ограниченности вариации по совокупности переменных (см.[49], с.79-83). Однако для исследования приложений, описанных в первой главе, это условие оказывается чрезмерно жестким. Легко показать, что условия (1)-(2) не обеспечивают полной непрерывности оператора К. Например, ядро H(t. s) = { . . v ; } 0, s t, s, t Є [0,1] удовлетворяет этим условиям, однако уравнение і х = Их, (Hx){t) = J H(t, s)dx(s), t Є [0,1] (9) о имеет бесконечное (и даже несчетное) число линейно независимых решений. Это следует из равенства і J H(t. s)dx(s) = x(t + 0)- ;r(0), (.r(l + 0) = ar(l)), b из которого видно, что решением уравнения (9) будет всякая функция непрерывная справа и аннулирующаяся при t = 0. Таким образом, не выполняется одно из утверждений альтернативы Фредгольма (см.[17]), а значит оператор Н не компактен.
Тем более свойством полной непрерывности не будет обладать PSV-оператор. Простым примером, подтверждающим этот факт может служить оператор t {Qx){t) = jdx(s) = x(t)-x(a), te[a,b],. a область значений которого совпадает с подпространством функций ограниченной вариации обращающихся в нуль при t = а. Несепарабельность этого подпространства влечет отсутствие полной непрерывности этого оператора. В связи с этим в дальнейшем никаких предположений о компактности операторов Перрона-Стилтьеса не делается, хотя такая возможность не исключается (например при рассмотрении вырожденных PSF-операторов, см. 4). 4. Интегральное уравнение типа Фредгольма.
Интегральным уравнением Перрона-Стилтьеса типа Фредгольма (коротко PSF-уравнением) будем называть уравнение вида x(t) = А Г K(t,s)dx(s) + /(t), te[a,b], А » где функция K(t,s): [а, Ъ}2 — М„, называемая ядром уравнения (1), удовлетворяет условию ограниченности вариации по каждой переменной равномерно относительно другой, которое можно записать так: sup t \J(K(t-)) +sup и S VW, )) 00.
Множество всех функций K(t,s), удовлетворяющий такому неравенству условимся обозначать через KBVnjl[a,, b] х [a,b]. Функцию /() BVn[a,b] будем называть свободным членом уравнения (1). Решением уравнения (1) будем называть Всякую функцию х(-) Є BVn[a,b], всюду на [а,Ь] удовлетворяющую ему. Равенство (1) фактически представляет собой систему п интегральных уравнений, однако для краткости термин «система» будет опускаться.
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (1), вопрос о разрешимости которых сводится к более или менее известным фактам функционального анализа. 1. Пусть ядро K(t,s) имеет производную K(t.s), которая ограничена в [а, б]2 и имеет ограниченную вариацию по каждой из переменных t и s при фиксированной второй. Тогда для любой п-вектор-функции х(-) Є h Є BVn[a. b] п-вектор-функния y(t)= J K(t. s)dx(s) абсолютно непрерывна на a [a,b]. В самом деле, обозначая Kt(t:s)= K(t,s), и применяя теорему о перемене порядка интегрирования, получим y(t) = Г К (a, s) + f КІ{Т, s)dr dx(s) = \ « I b b t = Г К (a, s)dx(s) + Г Г Kt{r, s)dTdx(s) = Vt a a b t h = I K{a,s)dx{s) + J ] Kt(r, s)dx(s)dr. Таким образом, почти всюду dt - — \ Kt(t, s)dx(s). Значит, если уравнение (1) имеет решение для некоторого /() Є BVn[a,b}, то функция х(-) — /() должна быть абсолютно непрерывной на [а, Ь]. Уравнение (1) можно записать тогда в виде jt(x(t) - f(t)) = A J Kt(t, s) (x(s) - f(s))ds + A J Kt{t, s)df(s), (2) причем первый из интегралов справа понимается в смысле Лебега. В итоге мы получили классическое интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно неизвестного z(t)=jjj(x(t) — /()) Пусть T(t, s. Л) — резольвента Фредгольма ядра Kt(t, s). Тогда для правильных значений Л имеют место резольвентные тождества (см. [35]) ь T(t, s, Л) = A J Kt(t, т)Г(т, s, X)dr + Kf{t, s), (3) b T(t, s, A) = Л J Г( , r, X)Kt{r, s)dr + A,(i, s). (4) /; b Предполагая дополнительно, что функции \/(Ki(-:s)) и \J(Kt(t:-)) сумми руемы на [а.Ь]. можно с помощью равенств (3),(4) показать, что функция Г(/ 5, Л) имеет ограниченную вариацию по каждой из переменных t и 5Рассмотрим теперь интегральное уравнение Перрона-Стилтьеса типа Вольтерра (PSV-уравнение) x(t) = JQ(t,s)dx(s) + f(t), te{a,b], (1) где ядро Q(t, s): [a, b]2 — М„, удовлетворяет условиям sup t V(Q(M) + sup V(Q(v-s)) oo, Q{s,s) Є BV,u,[a,,b].
Множество ядер, т.е. множество функций, удовлетворяющих этим условиям будем обозначать QBVUJl[a.b] х [а.Ь]. Как и ранее свободный член /() Є BVn[a,b], а решение х(-) Є BVn[a,b], должно удовлетворять (1) при всех t Є [а.Ь]. Уравнение (1) легко записывается в виде уравнения первого рода t j(E Q(t,s))dx(s) = f(t)-x(a). а
Таким образом, уравнение (1) эквивалентно задаче j(E - Q{L sj)dx(s) = /( ) - /(а), х(а) = Да). 1. Рассмотрим случай, когда ядро уравнения (1) абсолютно непрерывно по t. Теорема 1. Пусть ядро Q{t,s) уравнения (1) такое, что матричные функции Q(s.s) и (Е — Q(s.s)) l принадлежат BVnj,[a.b] и существует производная Qt(t,s) = Q(t,s), суммируемая в треугольнике D = {а С t Ь, а. s t}. Пусть, кроме того, функция /() абсолютно непрерывна на [а.Ь]. Тогда уравнение (1) имеет в классе абсолютно непрерывных функций единственное решение. Доказательство. Рассмотрим классическое интегральное уравнение Вольтерра второго рода і y(t) = fG(t,s)y{s)ds + g(t), t[a,b], (3) а где G(t,s)={E- Q{t, fy Qtit, s), g{t) = (E- Q{t, t)) lf {t). В силу условий теоремы функция G(t,s) суммируема вДа д(-) суммируема на [а,Ъ]. Поэтому уравнение (3) имеет единственное суммируемое на [а,Ь] решение у(-) (см. [35]).
Построение резольвенты уравнения Фредгольма
Для построения резольвенты уравнения типа Фредгольма может оказаться полезной следующая теорема. Теорема 1. Пусть последовательность матричных функций такова, что ос 1) ряд Y Ck(-)Xk сходится к функции (-, А) (Е BVnM[a, b] при всех t Є [a, b] /,-=0 и, \Х\ Li; ос 2) ряд Y, Bk-(t, s)A/,:, где коэффициенты Bt(t,s) определяются из рекку fe=0 рентного соотношения В, .(t, s) - K(t, s)Ck{s) + J K{t, T)dBk {r. s), fe = 1,2,... (1), B0(t,s) = K{t,s), сходится к функции @(, s. А) при і, s Є [а, 6] и \Х\ L-i; \Xk сходится кО,(Х) при А L$; 3) ряд (sup ЩВк(., s)) +sup \J(Bk(t, )) Тогда выражение $)(t. s. X) 3) l(s, X) — резольвента ядра K(t,s), определенная на множестве правильных значений А = {X Є М: А min{Li, L2, L3}, inf det {s, A) 0}. Доказательство. Обозначим @v(t, s,X)=Y. Bk(t s)Xk, N(s, A) = Ck(s)Xk. A-0 A-=0 Покажем, что при Л min{Li, L9, 3} функция @(,.s. А) имеет по каждой из переменных t и 5 ограниченную вариацию, причем равномерно относительно другой переменной. Для любого натурального N имеем Ь ЗД-,5,А))к E\/№(- )AA:)UESUP А-=01 " I к=0 V(Bk(;s)) :\\к п(А). Аналогично приходим к неравенству V(v(t,-,A)) fi(A), Лг = 1,2,... Так как @(, s, A) = lim 9)\-{t, s, А), то sup s, А)) С П(А) и sup V(@( , , А)) П(А) Далее, исходя из соотношения (1), имеем / Л" N(t, 5, A) = K(t, s) + tf (і, 5)С,(5) + Г K(t, r)dBk (r, s) =1 V a X A =l = K(t,s) + K(t,s) C (s)A 4- A JK(t,T)d [ B T A "1 и = K(t, s)9N(s, A) + A [ K{t, r)d@Y_i(r, s, A). (Здесь мы положили C()(s) = E — единичная матрица). Пользуясь теоремой 2.1 о предельном переходе под знаком интеграла Перрона-Стилтьеса , получаем ь 9)(t, s. A) = lim %x(L s. A) = K(t, s)9){s, A) + A f K(t, r)d9)(r, s, A). . (2.) X— c J о Если inf j det@(s, A) 0, то @_1(-,A) Є BFTU,[a, 6] и тогда, умножая (2) на @_1(s, А), получим, что выражение (t, 5, А)@_1(А) удовлетворяет первому резольвентному тождеству. Поэтому оно совпадает с резольвентой ядра K(t:s), определенной при А Є Л. Теорема доказана. о» С л е д с т в и е. Если clet Q)(s, А) = 0 при некотором (некоторых) s Є [a, b], то найдется ненулевая функция ЛГ(-,Л) Є BVajl{a,b] такая, что 9{s,X)N(s,X) = 0, s Є [«,6] и тогда любая функция вида 6 x(t) = g (L.s,\)N{s,\)dy{s), te[a,b], а где у(-) — произвольная функция из BVn[a,b}. является решением соответствующего однородного уравнения x(t) = \f K(Ls)dx(s). Это утверждение легко получается из равенства (2), если умножить его справа на N(s, А) и проинтегрировать по функции y(s).
В этом параграфе предлагаются некоторые эффективные способы для построения резольвенты ядер уравнений типа Вольтерра. При этом главную роль играют доказанные в 6 резольвентные тождества для таких уравнений.
Теорема 1. Пусть (Е — Q(s,s)) l Є BVn:n[a,b] и некоторая функция Ф(і,5 ) Є QBV[a,b] удовлетворяет равенству t J Q{t, т) /Ф(т. 5) + Q(t, s) = Ф(і: s), a s t b. (1) Тогда резольвента R(t.s) ядра Q(t.s) имеет представление R{tiS) = ${t,s)(E-Q{s,s))-1.
Доказательство. Учитывая, что Ф(з,з) = Q(s,s) на [а,Ь], будем иметь Q(t, s)(E - Q(s. s))-1 = Q(t, s) + Q(t, s)((? - Q(s, s))"1 - E = Q(t, s) + Q(t, s)Q(s, s)(E - Q{s,s))-1 = = Q(t, s) + Q(t, з)Ф(з, s)(E - Q(s, s))-1. (3) Тогда умножая. (1) справа на (Е — Q(s,s)) l, учитывая (3) и принимая во внимание первое резольвентное тождество (6.10) получим доказываемое утверждение. Замечай и е. Доказанная теорема дает возможность строить резольвенту следующим образом. Пусть последовательность функций ipk(t,s)7 к = 1, 2,... определяется равенствами t y i(i: s) = Q{t. s), y?fc(t, s) = J Q(t. T)#A-I(T; s), fc = 2, 3, .4 Предположим, что сходится ряд t fsupV((p,(-. S))l + sup!V( .(f. ))! и его сумма равна Q. Тогда в силу оценки ,b , Ь fc = 2, 3, \ fk(t} 5) pA.(s, s)\ + V( (-, «))! sup V(W(", )) ж ряд .(,.s) сходится равномерно в треугольнике D = {а t b, а s t} к некоторой функции Ф(, s) Є Q5Vr[a, Ь]. По теореме 2.1 в следующем равенстве возможен предельный переход под знаком интеграла .Y Л" Ф(і, з) = lim Е Ы s) = Q(t, s) + lim Г Q( , т) (т s) = t = JlQ{t,T)d3 {T,s) + Q{t,s). s Таким образом, функция Ф(і. s) удовлетворяет условиям теоремы 1. 2. Далее мы рассмотрим важный для приложений случай мультипликативного ядра PSV-уравнения: Q(t, s) = V{t)W(s), У, W Є BVn„[a, b]. (4) бі Теорема 2. Пусть матрица V(-) абсолютно непрерывна на [a,b], а матрица И (-) имеет ограниченную вариацию и. кроме того, выполняется условие (Е — V(-)W(-)) l Є BVn:n[a,b]. Тогда резольвента ядра (4) может быть представлена в виде R(t s) = V{t)U(t)ir1(s)W{s){E - V(s)W(s))-\ (5) где U(-) — фундаментальная матрица системы и = W(t){E - V{t)W(t))-lV {t)u. (6) Доказательство. Из (6) и очевидного матричного равенства (Е - VW) 1 = Е + VW(E - VW)-1 (7) следует V(t)u = {{Е - V{t)W(t))-1 - E)V\t)u, откуда получаем {V(t)u) =(E-V(t)W(t))-lV (t)u. В силу (6) получаем, что матрица /() удовлетворяет равенству U {t) = W{t){V{t)U(t)) . (8) Интегрированием обеих частей равенства (8), получим t U{t) = U(s) + jW(r)d{\ar)U{r)). (9) Умножая обе части равенства (9) слева на V(t) и справа на матрицу 11 -(3)] (s)(E — V(s)W(s)) 1 и учитывая (7), придем к равенству V{t)Um-1(s)W(s)(E V(s)W(s)r1 = = V(t)W(s)(E + V(s)W(s)(E - V(s)W(s))-1) + t + jvm (r)d(V(r)U(T)U-\s)W(s)(E-V(s)W(s))-1). s Сравнивая это равенство с первым резольвентным тождеством (6.10), заключаем, что функция (5) действительно является резольвентой ядра (4). Пример 2. Q(t,s) = ts. 0 s t 1.
Решение задачи Коши для регулярных и сингулярных систем линейных дифференциальных уравнений
В этом параграфе предлагаются представления задач (0.14), (0.17) и (0.24) в случае особенности в начальной точке. При этом детально изучается каждый вариант сведения к PSV-уравнению. Предварительно показывается, что в регулярном случае решение единственно и показывается возможность представления решения в форме Коши.
Рассмотрим теперь сингулярный случай, когда матрица А(-) вырождается в одной точке а. В этом случае резольвента Ro(t, s) в классическом смысле не существует, но возможно ее определение в смысле 2.9. При этом ее представление (4) сохраняется, хотя Y l(a) и А"1 (о) не определены и матрицы 1_1( ) и -1( ) имеют на (а.Ь] лишь локально ограниченную вариацию. Согласно теореме 2.9.1 справедливо представление решения при t а t x(t) = X(t)a + JX(t)X 1(s)f(s)ds + X{t){E - A(a))u(+0) + a + Hmn J RQ{t. s)d (x{s)a + j X(S)X 1(T)/(r)dr + X{s)(E - A{a))u{6) (Г где и: (0.6 — a) — Ж" и существует предел -u(-fO).— lim u(S) такой, чтс Л(о)г/.(+0) = 0. Выражение в (7) можно записать под одним знаком пре дела и провести преобразования аналогичные тем, которые проводились регулярном случае. Тогда придем к представлению x(t) = Jim Zs(t)[a +(Е- А(а))и(6)] + f Y{t)Y (s) l(s)f(s)ds . (8) I a+6 ) Здесь Zs(-) — фундаментальная матрица системы (6), нормированная в точке а + 6.
Таким образом, нами доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть det-4(f) 0 при t а и Z$(-) — фундаментальная матрица системы z — А гВг, нормированная в точке а + 8, а У(-) — произвольная невырожденная на {а.Ь} матрица, удовлетворяющая равенству У — A 1 BY. Предположим, что существует п-вектор и(-), определенный на (0, 6 — а), такой, что при t а lim Zs(t)A(a)u(S) = О, и существует предел t lmi{Zs(t)[a + u(S)] + Г Y(t)Y-1(s)A-1(s)f(s)ds} = y(t), причем sup V(y) +OC. 7Ъг(?а функция f a, = a, (t) = і VW, « является решением задачи (О.Ц) в классе функций BVn[a.b]. 2. Рассмотрим теперь задачу Коши (0.17), записанную в виде интегрального уравнения (0.13) способом 2). Запишем его решение в предполо жении, что резольвента Ri(t,s) ядра Qi(t,s) существует x(t)=9i(t) + JRi{t,T)dgi(T) = = B-l{i)p-lB lii)df{s) + J Ді( ,т) [В-І(т)р- \ B-\T)&1(S = \B-\t) + $Ri(t,T)dB а і -1, а т р t \ - J (B lw + JRi{t r)djrlw + Й1( )в-1м #М Если это решение единственно, то выполняется второе резольвентное тождество t R t, s) = J Rt(t., r)dB (r)(A(s) + B(s)) + +Rl(i, s) + В- і Щз) + B(s)) + B-l{t)(A(s) + B(s)). (9)
Если дополнительно предположить, что det(.4(s) + B(s)) Ф 0 при s Є [а, 6] и (А(-) 4- -S(-))-1 Є BVJ,.„[a, Ь], то из равенства (9) получаем t B \t) + J Riit r)dB l(T) + Rtf, s)B l(s) = i?!(t s){A(s) + Bis))-1. S Тогда решение уравнения (1.2.11) выражается равенством ft. \ t x(t)= \B-\t) Л-] R.i(tT)dB \r) р- \ Rl(t,s)(A(s) + B{s))-ldf{s). (10) Предположим, что выполнены условия 21 (см. введение к главе I) и существует -4 (-) Є BVaM[a,b). В этом случае согласно 2.8 резольвента Ri(t.s) имеет представление Ді(М) = -В- Щ и- Щз)+ 8(8) (3)8(8), где U(-) — фундаментальная матрица системы и = (.4(0 + В А- В В-Ці Уи. (11) Из равенства (11) нетрудно показать, что матрица Y(t) = B l(t)U(t) удовлетворяет системе Г( ) = .4- (0 (0 В этих обозначениях резольвента Ri(i.s) принимает вид R, s) = -Y Y- is E + A 1(s)B(s)) (12 и равенство (10) запишется в виде / r(i) = B \t) - JY(t)Y-l(s)(E + A-l(s)B(s))dB-l(s) р + JY(t)Y-1(s)A-1(s)df(s) Продифференцируем матрицу Z(t) = B l(t) - j Y(t)Y"l(s)(E + A-l(s)B(s))dB-l(s) : zf(t) = (B- nt) -(A-\t)B\t) J Y{t)Y \s){E + A-\s)B{s)){B l) {s)ds + a + {E + A-\t)B(t))(B-l)\t)) = = (B l)\t) + A-\t)B\t)(Z{t) - В"1 W) - (Д + A-\t)B{t))(B-l)\t) = = A-\t)B (t)Z(t) - A-\t)(B (t)B-\t) + B(t)(B-l) (t)) = = ( ( (0. Таким образом, матрица Z(-) представляет собой фундаментальную матрицу системы z = A-1(t)B {t)z, (13) причем Z\a) = В"1 (а). Запишем окончательное выражение решения задачи (0.17) в регулярном случае t x(t) = Z(t)p+ Y(t)Y-1(s)A l(s)df(s). а
Обратимся теперь к сингулярному случаю, в предположении, что матрица А(-) вырождается только в точке а. В этой ситуации возможно определение лишь «слабой» резольвенты в смысле 2.9. Ее вид также дается равенством (12). но при этом функция R(t, ) имеет на (а, 6], лишь локально ограниченную вариацию.
