Введение к работе
Актуальность темы. Интерес к обыкновенным дифференциальным уравнениям с обобщенными функциями возник на рубеже 50-60-х годов двадцатого века, и был обусловлен необходимостью исследования ряда задач теории оптимального управления, а также задач моделирования технических, биологических, экономических систем, для которых характерно наличие импульсного воздействия, вызывающего изменения состояния системы, протекающие значительно быстрее, чем собственные динамические процессы.
В разное время (и в разной степени) свое внимание к проблеме уделили Я. Курцвейль, Н.Н. Красовский, А.Д. Мышкис и A.M. Самой-ленко, А. Халанай, Д. Векслер, Р.В. Ришел, Ф. Аткинсон, А.Ю. Левин, А.Ф. Филиппов, СТ. Завалищин, А.Н. Сесекин, В.Я. Дерр, Ю.В. Орлов, Б.М. Миллер, Ж.-Ф. Коломбо, В.А. Дыхта, Я.В. Радыно, А.Б. Анто-невич, Ю.В. Егоров и многие и многие другие (см. например х, 2, 3, 4, Интерес к этой тематике не иссякает до настоящего времени (см. 5, 6, 7).
Во многих из упомянутых работ в классическом пространстве V обобщенных функций с непрерывными основными функциями8 рассматривается дифференциальное уравнение вида
x = f(t,x)+g(t,x)v, (1)
правая часть которого афинна относительно обобщенной функции v; к уравнению вида (1) сводится линейное дифференциальное уравнение
х = Vx, (2)
1R.W. Rishel, An extended Pontryagin principle for control systems whose control laws contain measures // SIAM J. Optim. and Contr., 3, 1965, p. 191-205
2А.Д. Мышкис, A.M. Самойленко, Системы с толчками в заданные моменты времени // Матем. сб., 74, 1967, с. 202-208
3А.Ф. Филиппов, Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, Наука, 1985, 224 с.
4 СТ. Завалищин, Специальные нелинейные уравнения в обобщенных функциях // Дифференц. уравнения, 26, 1990, с. 1316-1323
5G.N. Silva, R.B. Vinter, Necessary optimality conditions for optimal impulsive control problem II SIAM J. Optim. and Contr., 35, 1997, p. 1829-1846
6A.H. Сесекин, О нелинейных дифференциальных уравнениях в классах функций ограниченной вариации // Дифференц. уравнения, 25, 1989, с. 1925-1932
7Б.М. Миллер, Метод разрывной замены времени в задачах управления импульсными и дискретно-непрерывными системами // Автом. и телемех., 54, 1993, с.3-32
8Г.Е. Шилов,: Математический анализ. Второй специальный курс, Изд-во МГУ, 1984, 208 с.
где V — обобщенная функция.
В 3 отмечается, что решение начальных задач для уравнений (1) и (2) естественно предполагать разрывным. Как следствие, в общем случае в правой части уравнений (1) и (2) возникает произведение разрывной функции и обобщенной функции, которое не определено в пространстве >'. Это приводит к тому, что уравнения (1) и (2), рассматриваемые в Х>', не имеют решения в смысле теории обобщенных функций.
Существует несколько подходов к формализации дифференциальных уравнений (1) и (2) : подход 9, основанный на переходе к интегральному уравнению с интегралом Лебега-Стилтьеса или Перрона-Стилтьеса, подход 10, предполагающий замену дельта-функций на члены дельтаобразных последовательностей, и другие п, 12, 13.
Многие определения понятия решения уравнений (1) и (2) порождают определение произведения функции Хэвисайда вт и дельта-функции 8Т Є V вида
вт8т = а5т, (3)
где а Є Ш. фиксировано 9, 12, 13. Легко видеть, что определение (3) не согласовано со свойствами пространства Т>'. В частности, операция (3) не является непрерывной: заменой дельта-функций на члены дельтаобразных последовательностей в (3), можно получить любое значение а; если а ф- 0, а ф 1, то операция (3) оказывается неассоциативной.
В результате запись уравнений (1) и (2) остается некорректной с точки зрения теории пространства Т>', а существование разных решений одной и той же начальной задачи для уравнения (1) ((2)), если решение понимается в смысле работ разных авторов, не позволяет говорить о единой теории дифференциального уравнения (1) (соответственно, (2)).
В связи со сказанным представляется актуальным построение таких пространств обобщенных функций, в которых постановка начальных и
9S.G. Pandit, S.G. Deo, Differential Equations Involving Impulses. Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 1982, 102 p.
10J. Kurzweil , Generalized ordinary differential equations // Chezhosl. Math. Journal, 8, 1958, p. 360-388
11 A.N. Sesekin, S.T. Zavalishin, Dynamic Impulse Systems: Theory and Applications, Kluwer Acad. Publ., 1997, 256 p.
12C.O.R. Sarrico, Distributional products and global solutions for nonconservative inviscid Burgers equation // J. Math. Anal. Appl., 281, 2003, p. 641-656
13J.F. Colombeau, Multiplication of distributions. A tool in mathematics, numerical engineering and physics. Lecture Notes in Mathematics 1532, Springer, 1992, 183 p.
краевых задач для уравнений (1) и (2) была бы корректной.
Цель работы. Основной целью работы является построение вышеупомянутых пространств обобщенных функций и исследование начальных задач для дифференциальных уравнений с обобщенными функциями. Кроме того, в работе изучаются условия, при которых замкнутое множество является положительно инвариантным относительно уравнения (1), исследуется вопрос о равномерной и асимптотической устойчивости положений равновесия дифференциального уравнения (1).
Научная новизна. Построены пространства обобщенных функций, в которых, в отличие от классического пространства >', определена непрерывная операция умножения обобщенных функций на разрывные функции. Показано, что рассмотрение обыкновенного дифференциального уравнения с обобщенными функциями вида (1) в построенных пространствах обобщенных функций позволяет сделать запись уравнения корректной с точки зрения теории обобщенных функций, а также объеденить в рамках одного подхода некоторые известные определения понятия решения. Получены достаточные условия положительной инвариантности замкнутого множества относительно системы вида (1). Найдены достаточные условия равномерной и асимптотической устойчивости положений равновесия системы (1).
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит в основном теоретический характер. Результаты работы могут быть в дальнейшем применены к изучению инвариантных множеств дифференциальных уравнений с обобщенными функциями, а также при исследовании задач импульсного оптимального управления.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (Ижевск, 2004 — 2006 годы), на семинаре Topology and Non-Commutative Geometry Seminar, University of Calgary (Calgary, 2005), на XXVI-й конференции молодых ученых Механико-математического факультета МГУ (Москва, 2004), на всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения-2005" (Казань, 2005), на международной научной конференции 'Тармонический анализ на однородных пространствах, представления групп Ли и квантование" (Тамбов, 2005), на конференции "Математическая теория управления и математическое моделирование"(Ижевск, 2006), на конференции "Third
Annual Young Researchers Conference in Mathematical and Statistical Sciences "(Edmonton, 2006), на конференции "Теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, 2006).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двеннадцати работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, вспомогательных определений, десяти параграфов и библиографического списка. Применяется двойная нумерация формул и утверждений. Объем диссертации 129 страниц. Библиографический список содержит 116 наименований.
Похожие диссертации на Обыкновенные дифференциальные уравнения с обобщенными функциями
