Вопросы многомерной интегрируемости и построения функции Грина для многомерных дифференциальных уравнений Назаров Файзуло

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Условия полной интегрируемости многомерных дифференциальных уравнений .

I. Постановка задачи. Вспомогательный материал 17

2. Условия независимости криволинейного интеграла от пути. 28

3. Основные теоремы полной интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений 43

4. Эффективные признаки полной интегрируемости 52.

ГЛАВА II. Спектральная теория семейства коммутирующих линейных дифференциальных операторов .

1. Спектр конечных наборов коммутирующих неограниченных операторов. 60

2. Почти периодические функции. 73

3. Коэффициентно-частотный критерий полной интегрируемости 88

4. Набор функции Грина для семейства коммутирующих дифференциальных операторов 99

5. Неполная функция Грина; приложение к теории функций 113

Выводы

Заключение

• Основные теоремы полной интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений
• Эффективные признаки полной интегрируемости
• Коэффициентно-частотный критерий полной интегрируемости
• Набор функции Грина для семейства коммутирующих дифференциальных операторов

Введение к работе

Пусть X и X - банаховы пространства и_ банахо- во пространство всех линейных ограниченных операторов, действующих иа X bY. В диссертации рассматривается дифференциальное уравнение у' = 4 (ос, у), (I) где ^ - операторная функция, заданная на открытом множестве & из банахова пространства X^х I и принимающая значения в L(XVY)t а производная понимается в смысле Гато (или Фреше). Векторная функция о>: UL —>"Y* , определенная на открытом связном множестве 11 из X , называется решением уравнения (I), если её график лежит в G , она дифференцируема и ^/(х) = «ІСЗДСЧІДЛя всех ocell . Уравнение (I) называется вполне интег -рируемым (вполне разрешимым), если для любой пары (ЯС_0?Уо)& существует единственное решение уравнения (I), удовлетворяющее начальному условию

Уравнения вида (I) - (2) играют важную роль в современном анализе. Необходимость их рассмотрения возникает в теории неявных функций, в вариационном исчислении (условия потенциальности операторов), а также в теории групп Ли при построениях локальных групп Ли по их структурным константам. Наконец, отметим,что линейные дифференциальные уравнения используются в дифференциальной геометрии при построении поверхностей по её первой и второй квадратичным формам, дифференциальные уравнения вида (I), называемыми также дифференциальными уравнениями в полных дифференциалах ( а также многомерными дифференциальными уравнениями в полных дифферен- , циалах; см. Перов и его ученики 1.32 - 3?] рассматривались в ХУШ столетии Л.Эйлером, В работах Ф.Пфаффа [ві] .Э.Вебера [бб] были заложены основы теории этих уравнений для конечных систем. Одной из первых работ, в которой систематически излагалась теория дифференциальных уравнений вида (I) - (2) в беско -нечномерном случае, была работа А.Мичела и В.Элконина [59] С некоторыми усилениями их результаты приведены в обстоятельной работе М.К.Гавурина 1.10] . Для случая конечномерных банаховых пространств теория линейных дифференциальных уравнений вида (I)-(2) построена в монографии Р.и Ф.Неванлинна [60] , а для нелинейных уравнений - в монографии Ф.Хартмана [4;?] . Отдельным вопросам этой теории посвящены также статьи В.В.Немыцкого [31] t Е.А.Барбашина [2] ( в связи с изучением общих динамических систем), Д.А.Боже и А.Д.Мышкиса [3] , И.Т.Карклинь и Л.Э.Рейзиня [12] , В.В.Амелькина и Л.Н.Гайшун [1] , Н.Е. Большакова и ШП.Потапенко [4] ,М.В.Кожеро [23] и Л.Н. Гай-щун І11] .В работах Э.И.Грудо [12], [13] изучаются уравнения с аналитической правой частью. Аналитические свойства и характеристики уравнений (I) - (2) при условии полной интегрируемости изучаются в работе Л.Ф.Янчука І51] . Значительно продвинута теория этих уравнений в цикле работ А.И.Перова и его учени -ков (см., например, [32-3?] , [18],[21] ).

Особо важную роль при изучении уравнения вида (I) играют условия их полной интегрируемости. Если f является гладкой (т.е. непрерывно дифференцируемой), то необходимое и достаточное условие полной интегрируемости имеет следующий вид где АВЬк"г(бЬк-ВкЬ)уЬ,кХ для билинейного оператора В . Цриведенное выше утверждение составляет содержание известной теоремы Фробениуса, хотя оригинальный результат был получен им для конечной системы дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями.

Важным направлением исследований в вопросах полной интегрируемости уравнения (I) является задача ослабления условий гладкости отображения $ . Этой проблеме посвящены работы А. Мичэла и В.Элконина [59] , М.К.1авурина [10] , Ф.и Р.Неван-линна [60] , И.С.Лоухиварры [58] ,Г.Бэхли [53] Д.Важевско-го [65] , А.Д.Мышкиса и И.Ю.Эгле [30] ,В.В.Стрыгина [42] , А.И.Перова [32] , [34] , [36] , В.Г.Задорожнего [18] , Т.К. Кацаран [21] , Х.Хайкилле [56] .

Этому направлению исследований посвящена также первая глава настоящей диссертации.

Основным результатом этой главы является ниже приводимая теорема 3.I., в которой получен новый общий критерий полной разрешимости уравнения (I). Кроме того, указаны различные конкретизации этого критерия, приводящие к известным теоремам М.К. Гавурина, Ф.Хартмана, В.В.Сгрыгина и др.

Определение 1.1. Пусть функция ^: ІАоХ —> КХДнепрерыв-на в области U из X . Будем говорить, что ^ роторируема (по Фреше) в точке oceU , если существует такой билинейный оператор ^L₂^X;Y) ( Lp(X*,"Y)- банахово пространство р -линейных операторов), что для любого фиксированного подпространства Х^Х справедливо соотношение d"^z(S)||(f,aS)-tliK|hO при d(S)-*0, где S^SOx,^,к), К,к єХ₂ - треугольник со сторонами 'Х ,ОС+-Ь, ос+к, (,d$) =S $(ос") dx - криволинейный интеграл по границе Ъ$ треугольника > и d(S)- диаметр треугольника S . Оператор *С назовем ротором (Фреше) функции f в точке ее и обозначим totfCx).

Определение 1.2, Будем говорить,что непрерывная операторная функция | : Uc-X—*L(X*Y) роторируема по Гато в точке ХЄІХ ,если существует такой билинейный оператор teL₂(X;Y), что для любых K,kgX справедливо соотношение *-*0 с*² где 5_Ы= S(cc,<*h,cuO .

В 2 в терминах ротора Фреше и Гато приведены критерии независимости интеграла функции^от пути интегрирования. Здесь же доказано симметричность второй производной.

В 3 приведена следующая основная теорема о полной интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений.

Теорема 3.1. Пусть операторная функция ^:'U*l}*cX*Y-*^,L(X50 ограничена, непрерывна по ее и l|f(oc,y)-f (ос,Н)||^Ь ily-Zll.

Тогда уравнение (I) вполне интегрируемо, если и только если для любой фиксированной точки (oc,y)U^x V выполнено соотношение totgcoc) = 0, ^^е 9(1) = 9(^5^51) = ^1,^+1(00,^)(^-0:-)) и ротор пони -мается в смысле Фреше.

В 4 на основе полученных общих результатов (из 3) получены различные эффективные критерии полной интегрируемости.

Теорема 4.1. (М.К.Гавурин [Ю] ). Пусть операторная функция f: U«ІГс X^х Y-* L (Х'У) ограничена дифференцируема по совокупности переменных и операторная функция ; U*V-*LCY;L(X;Y)) ограничена. ^

Тогда уравнение (I) вполне интегрируемо, если и только если для любой точки (а,у) є U ^Х1Г выполнено соотношение (3).

Теперь мы ослабим наши требования к | по ос , усилив предположение по ч . Следующая георема усиливает теоремы А.И. Перова [36] и В.В. Сгрыгина [42] .

Теорема 4.2. Пусть операторная функция f :11^х V->LCXJf) ограничена, непрерывна по ос , дифференцируема по у , причем операторная функция —- ограничена и непрерывна.

Тогда уравнение (I) вполне интегрируемо, если и только если # роторируема в смысле Га то по ее и для любой точки (сс,ір tl* V выполнено соотношение

Приводимая ниже теорема представляет обобщение на бесконечномерный случай критерия Ф.Хартмана [4?] и является весьма удобной во многих приложениях.

Теорема 4.3. Пусть операторная функция ^ удовлетворяет условиям теоремы 4.2.

Тогда уравнение (I) вполне интегрируемо если и только если для любого треугольника ScU справедливо соотношение ^{as s}

В главе П диссертации рассматриваются линейные дифференциальные уравнения для случая, когда X^fR - конечномерное пространство. Их изучение основывается на подходе, использующем ^спектральную теорию коммутативных семейств линейных операторов и тем самым позволяющем использовать недавние достижения спектральной теории.

Одним из основных результатов I служит следующая теорема, позволяющая осуществить этот подход.

Теорема .1.2. Пусть задано семейство дифференциальных операторов A=(A^,..., A_n) , где

А. =-2-- В.(х) , Ъ. eC(IRⁿ,LCY)), 1 = 1,...,п действующих в банаховом пространстве непрерывных и ограниченных на 1R векторных функций со значениями в комплексном банаховом пространстве "Y

Тогда операторы семейства А коммутируют друг с другом,если уравнение ^^Ц_вВ(ос)Ц(а), hlRⁿ, 6(^=6^)^+,,, + 6^)^ (4) вполне интегрируемо.

В частности, если ?> ,\=1_г.,п- непрерывно дифференцируемые функции, то А - коммутативное семейство операторов тогда и только тогда, когда уравнение (4) вполне интегрируемо.

Возникновение дополнительного интереса к исследованию коммутативных свойств операторов тесно связано со следующими двумя направлениями исследований в современном анализе. Во-первых, это работы Ж.Тейлора [63,64] и связанные с ними исследования многих других математиков (см., например, [4<в ) по созданию спектральной теории коммутативных семейств линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве и функциональному исчислению этих семейств.

Вторая группа работ [44] , связана с исследованиями в вопросах интегрирования ряда нелинейных уравнений (типа уравнений Картевега де Фриза); при этом возникает задача о нахождении условий коммутативности линейных дифференциальных операторов''' и их последующего изучения. Исследования в этом направлении ведутся особенно интенсивно в последнее время рядом известных математиков

Отметим, что необходимость изучения коммутативных семейств дифференциальных операторов возникает также в теории функций и квантовой механике.

Сразу отметим, что спектральная теория коммутативных семейств неограниченных операторов, аналогичной теории Ж.Тейлора для ограниченных операторов, до сих пор еще не создана. В связи с этим интересно изучение частного, но очень важного в приложениях семейства коммутирующих дифференциальных операторов ( с переменными коэффициентами).

В I даются определения спектра конечных наборов коммутирующих неограниченных операторов и приводятся несколько важных для дальнейшего результатов о сравнении рассматриваемых спектров.

Одним из важных понятий является вводимое впервые понятие спектра Тейлора для семейств неограниченных операторов.

Пусть ССХ)-множество линейных замкнутых опера торов,действующих в комплексном банаховом пространстве X .Совместной областью определения конечного набора коммутирующих друг с другом операторов А=(А₁,...,А_п)из С(Х) называется линейное многообразие nV. А^А^єТХА^, где DCB) - совместная область определения набора B=(A_1s...,A_nM) и D(A_n)- область определения оператора А_л , т,е. определе -ние дается индуктивно по числу элементов, входящих в набор.

Совместную область определения D(A) набора А можно нормировать ( и тем самым становится банаховым пространством), положив »іхіі_д=ііхіі + ЕНА..ХІК..+ 2 НА: ...A_t«ll + + ИА_дА_г...А_пхИ VcceDCAV

Через Х_р , p=0,l,„.,n-i обозначим линейное многообразие П D(Ab—«t_py, где D(Al, , ;_ft) - совместная область определения операторов Ац^ір^САц ,... , А'_1р ) .

Многообразие Х_р становится банаховым пространством, если ввести в Хр норму формулой llxll_p = 11x11 + ,..+ ZU» И A_L... A_Lxll. ^{Ясно, что X}_n^{=D(A)(no определению Х}₀ ^{= Х ).}

Пусть (е_1>..,_>п'> - стандартный базис из С^п . Через Е(6") обозначим внешнюю алгебру (над С ) с образующими 6"= (е. .„ е_п) и через Е (6) - подпространство из ЕСв) форм р -ой степени. пусть E(6,Y) =Y ЕС6) и E^P(G,Y) =Y Е^РСЄ) , где Y - банахово пространство ( в дальнейшем будем писать хе~ л,.. ле„ вместо х_КіЛ.,. Ле_к ).

Рассмотрим коцепной комплекс

II. ECX,A): 0^E(6,X_n)^ Е¹(в,Х_п.,А.> Е^п(е,Х_о)-*0, где E(,X_nVD(A)H Eⁿ(6, Х_п) изоморфно X . Действие линейного оператора Ы_р: Е^р(Є,Х_п._р) -» Е^рИ (Є,Х_п__р_ Д 0*р* пИ определяется формулой Ai^ej)^A«P V^E^X^).

Отметим, что Ы.₊₁о1^ = 0 Vj=0,i,,_%1,n-4 (о(_А=0). Коммутативный набор A = (A_1v..,A_n)H3 С(Х) назовем несин - гулярным (или регулярным), если комплекс точен, т.е. группы і когомологии. H^PCX,A) = ket^_p/am^_p4 нулевые (т.е. Зт Ы ^ = Кего/_р).

Резольвентным множеством р(А) набора А назовем множество Z=(Z,j ,„,,2_П) из С , для которых набор A-.zl = = (A-2,,1,.,,,А-г_п1) несингулярен. Множество 6ХА)=С^п\р(А) назовем спектром (Тейлора) этого набора.

Если п= ( ,т.е. А = { A_t} ,то условие Н(Х,А) = {0} означает, что из равенства А/х=0 следует,что х=0 » а из ус ловия следует,что А₁ есть отображение на X . Следовательно, совместное выполнение обоих условий эквивалентно непрерывной обратимости оператора А^ .

Рассматривается ещё одно определение спектра коммутативного набора А = (А₁,...,А_п)из С(Х).

Пусть В - замкнутая подалгебра банаховой алгебры LCX) ограниченных операторов, действующих в комплексном банаховом пространстве X . К множеству р(А,В) отнесем совокупность (Z,,..,,„") С , для которых существуют операторы В_1э... _а В_п из

В , такие, что они коммутируют с операторами набора А , B_LocDCA_L) VxeX, A_LB_LLCX), 4*Lsn, BftsXjn VoceXp Vj=i,..,,n Vp = 0,1,...^-1 и (zj - A, )&,⁺.„ Чг_пІ - A_n)B_n = 1.

Множество б"СА,В^ = С NpCAjB)назовем спектром набора А относительно алгебры В .

Теорема I.I. 6"(А")с 6СА, В) для произвольного коммутативного семейства операторов A=(Ai,..., А„) из С(Х) и произвольной фиксированной подалгебры В из ЦХ).

Приводятся примеры спектров семейств операторов, поясняющие используемые понятия спектра.

Учитывая результат теоремы 1.2, в 2, 3 главы П мы ещё раз возвращаемся к вопросу полной интегрируемости линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами.

В 2 приведены основные часто используемые в дальнейшем результаты из теории векторных почти периодических функций. Отметим следующий результат.

Теорема 2.2. Пусть векторная почти периодическая функция L(X;Y) п оч ти периодична Тогда где vp и ф/ - коэффициенты Фурье функций ^ и ф' соответственно, отвечающие частоте ЛХ*.

Наоборот, если существует операторная почти периодическая функция ? :Х—»L(X;Y), для которой то ф дифференцируема и ч?'-^ (здесь ІЛ x -оператор из * L(X;Y) , определяемый равенством С1Лср_лХ^с)=¹^>Т_Л» VcceX ).

Теорема 1.2. играет важную роль при доказательстве коэффи-циентно-Частотного критеря, устанавливаемого в следующей теореме.

Теорема 3.2. Пусть операторная функция является нормальной (это означает её почти периодичность по х при любом фиксированном Ц^У t аналитична по и при любом фиксированном xeU и она ограничена на шарах из 1J равномерно по ос

Тогда дифференциальное уравнение (I) вполне интегрируемо в том и только в том случае, если выполнено условие

А(іЛЬ?_лК +д_хКк) =0, (5) где _дс^)кк = 5%^ (#С*,*5Юк Vh,KX и <_л , д_л - коэффициенты Фурье функций ^ и

Если пространство Y конечномерного по геореме умножения рядов Фурье условие (5) может быть записано в виде л{иИ_хС^к + Д_Х^У>[ V»)] к] = О, (6) її Ї Jl ^уч если (01,^)^ 2 ?^(у.)е -ряд Фурье почти периодической функции ?(рс,^) . В формуле (6) участвуют лишь коэффициенты Фурье и частоты функции $ ;поэтому критерий полной интегрируемости получил название коэффициенгно-частотного.

В частности, для уравнения (4) в случае почти периодической функции словие (б) перепишется в виде

Л(іЛкВЛ+ 2 ft a U) =0, если 6(aWSB_xe^Xx.

В . 4, 5 рассматривается коммутативное семейство А^в(А^_э..., А^) дифференциальных операторов вида

А, = ^— В-C^ , MCORMtY)). * ах, J >

Пусть D - наименьшая замкнутая подалгебра алгебры LQC), X ⁼ C(IR I ) содержащая все интегральные операторы указанные в 4 второй главы. Эти интегральные операторы полностью определяются "ядрами".

Если O^pCAjB), то совокупность ядер интегральных операторов (&а")с6 ₉ для которых А, &,+ ... + An.6^ ~I , называется совокупностью функций Грина для семейства А .

Основные результаты параграфа содержатся в следующих двух теоремах.

Теорема 4.3. Если А = (г В^ , ... , -г В^,) - семейство коммутирующих дифференциальных операторов с постоянными коэффи- циентами В: , j ^а 1,..,, ^л > dim. і < оо , то e^CA^SUb в(А,В)={1Х-о(}, в (А) - точечный спектр набора А

Теорема 4.4. Если множество 6Ч6₀) не пересекается с множеством iR* из С^ , ToOefr(A,L(X» , X = C(IRVY) и существует семейство функций Грина для семейства А Б заключительном параграфе главы рассматривается вопрос

15. о несингулярности набора А дифференциальных операторов на подпространство ВСв*) почти периодических функций со спектром из заданного замкнутого множества б'с ІК

Теорема 5.1. Если операторы В- ^= 1_г..,п -операторы с постоянными коэффициентами и выполнено условие LO на ВСв) несингулярно на

Естественное приложение вышеизложенных результатов к теории функций связано с вопросом несингулярности набора дифференциаль- ных операторов А = (т— > » з"~)^на подпространстве ВСб') . "^хч г\ ^п f Ъ Ъ \

Теорема 5.2. Если 016" ,то набор А=(с~ >> ——) несингулярен на подпространстве В(60 из CORj'Y) и дифференциальные уравнения І^ = С*), f_LBC6-), U4,...,n разрешимы в 6(6") ,если и только если криволинейный интеграл от функции ^ =-(^-,.-3^) ^не зависит от пути интегрирования.

Эта теорема является обобщением известной теоремы Фавара об условии почти периодичности интеграла от почти периодической функции. Утверждение теоремы 5.2. содержит также георему Я.Ф.Ви-зеля [9] , обобщающую теорему Фавара на многомерный случай.

Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзном симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям (Душанбе, 1972), на республиканских научно-теоретических конференциях молодых ученых и специалистов Таджикской ССР в 1974, 1977,1979 годах. Отдельные части диссертации неоднократно докладывались на семинаре Математического института с ВЦ АН Таджикской ССР,на семинаре кафедры обыкновенных дифференциальных уравнений (нелинейных колебаний) Воронежского госуниверсигета имени Ленинского ком- сомола в 1969, 1970,1974, 1976, 1981 годах, на семинаре кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений Таджикского государственного университета имени Б.И.Ленина в 1971, 1972,1981 годах и ежегодно на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Душанбинского педагогического института имени Т.Г.Шевченко.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А.И.Перову и доценту А.Г.Баскакову за помощь в работе.

Основные теоремы полной интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений

Эта теорема является обобщением известной теоремы Фавара об условии почти периодичности интеграла от почти периодической функции. Утверждение теоремы 5.2. содержит также георему Я.Ф.Ви-зеля [9] , обобщающую теорему Фавара на многомерный случай.

Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзном симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям (Душанбе, 1972), на республиканских научно-теоретических конференциях молодых ученых и специалистов Таджикской ССР в 1974, 1977,1979 годах. Отдельные части диссертации неоднократно докладывались на семинаре Математического института с ВЦ АН Таджикской ССР,на семинаре кафедры обыкновенных дифференциальных уравнений (нелинейных колебаний) Воронежского госуниверсигета имени Ленинского комсомола в 1969, 1970,1974, 1976, 1981 годах, на семинаре кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений Таджикского государственного университета имени Б.И.Ленина в 1971, 1972,1981 годах и ежегодно на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Душанбинского педагогического института имени Т.Г.Шевченко.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А.И.Перову и доценту А.Г.Баскакову за помощь в работе.

В этом параграфе дается определение вполне интегрируемого дифференциального уравнения =( ,#) и ставится задача о нахождении условий полной интегрируемости. Напоминаются определения дифференцируемоети по Гато и по Фреше и показывается,что липши-цева дифференцируемая по Гато векторная функция дифференцируема и по Фреше (если она задана на открытом множестве конечномерного пространства). Приводятся различные определения непрерывности и дифференцируемое ти операторных функций, а также производных произвольного порядка.Определяются частные производные функций нескольких переменных. Даются определения криволинейного и аффинного интегралов и указывается связывающая их формула Стокса.

Вполне интегрируемые дифференциальные уравнения. Пусть X иУ -вещественные банаховы пространства и L(X;Y) -банахово пространство всех линейных ограниченных операторовдействующих из X BY . Рассмотрим дифференциальное уравнение где $ - операторная функция, заданная на открытом множестве G" из X Y и принимающая значения в L(X;"Y). Решением уравнения (I.I) называется векторная функция ср : U — Y, определенная на открытом связном множестве U. из X ,если ее график лежит в От ,она дифференцируема и = f(pc,f №) для всех ocetl .Уравнение (І.І) называется вполне интегрируемым,(вполне разрешимым),если для любой пары {9Co,y0}G существует единственное решение (I.I), удовлетворяющее начальному условию

В случае dlnoX=l уравнение (I.I) превращается в хорошо изученное обыкновенное дифференциальное уравнение в банаховом пространстве V" »в случае dlmX 1 .рассматривая уравнение (I.I) вдоль гладких или кусочно гладких путей в X ,мы также приходим к обыкновенным дифференциальным уравнениям,интегрируя которые с начальным условием (1.2) находим значения решения вдоль указанных путей. Однако может случиться так ( и в этом состоит коренное отличие от теории обыкновенных дифференциальных уравнений!), что интегрируя вдоль различных путей мы придем в заданной точке к различным значениям. Поэтому условия полной интегрируемости должны гарантировать, во-первых,существование и единственность решения задачи Коши для возникающих вдоль путей обыкновенных дифференциальных уравнений,и,во-вторых, независимость результата интегрирования этих уравнений от пути.Последнее требование и является специфическим в изучаемой нами проблеме.

Если X - конечномерно, и е ,.., базис в X , a сх эс ч-4-...+ xmem - разложение элемента ос X по базису,то уравнение (I.I) можно записать в виде системы EcraiV - конечномерно и ,,..,9,, базис BY, a = а +...4-+У 9п -разложение элемента "Y по базису,то уравнение (I.I) можно записать в виде системы

Итак,если - дифференцируемая функция, то условие (1.3) необходимо для полной интегрируемости. Оказывается,что условие (1.3) и достаточно для полной интегрируемости,если дополнительно потребовать,чтобы t была непрерывно дифференцируема.Это утверждение составляет содержание известной теоремы Фробениуса,доказательство которой можно найти в различных книгах учебного и монографического характера (см., на пример, [47] , [20] , [46] , [60] ). Оригинальная работа Фробениуса относится к 1877 году и в ней предполагалось, что правые части системы дифференциальных уравнений являются аналитическими функциями.

Эффективные признаки полной интегрируемости

Наоборот,если выполнено условие (4.14), то согласно теореме 4.2 полная интегрируемость имеет место в том и только в том случае, когда выполнено условие (4.13).Но,если выполнено условие .(4.13), то по теореме 2.1 или 2.4 функция сх #} потенциальна по ос Сформулированное нами следствие теоремы 4.2,связанное с условиями (4.13) и (4.14),принадлежит В.В.Сгрыгину и составляет основной результат его статьи [42] ,причем в этой статье пространства X и Y предполагались конечномерными,а рассуждения, связанные с потенциальностью,основывались по нашей терминологии) лишь на роторируемости по Фреше.

Отметим,что частный случай теоремы 4.2 опубликован в[36]; : там также пространства X и і предполагались конечномерными и требовалась равномерная непрерывность д /Эу. Приводимая ниже теорема представляет собой обобщение на бесконечномерный случай критерия Ф.Хартмана [4?] и является весьма удобной во многих приложениях. Пусть операторная функция $ удовлетворяет всем условиям теоремы 4.2. Тогда уравнение (4.1) вполне интегрируемо,еели и только если для любого треугольника &С Ц справедливо соотношение Доказательство необходимости условия (4.15) фактически нами уже проведено,так как в случае полной интегрируемости согласно теореме 4.2 выполнено условие (4.8), а вместе с ним и (4.II). Для доказательства достаточности положим О = SCxj h., к J t разделим обе части соотношения (4.15) на Ы и устремив оС к нулю. Мы получим, что роторируема в сглысле Гато по ОС и выполнено условие (4.8). По теореме 4.2 в этом случае имеет место полная интегрируемость. Теорема доказана. Внешне условия (3.2) главы 6 монографии С 73 отличаются от условия (4.15), однако по содержанию они весьма близки. Поэтому теорему 4.3 мы будем называть критерием Харгмана (признаком Хартмана) полной интегрируемости. В теореме 1.2 будет установлено,что из полной интегрируемости линейного дифференциального уравнения следует,что тесно связанные с этим уравнением дифференциальные операторы, коммутируют мевду собой. Это позволяет исследовать линейные дифференциальные уравнения методами современного анализа, в частности, исполь-зовать спектральную теорию коммутативных сеглеИствлинейных операторов. Определение спектра Тейлора [63] , [64] , [46] коммутирующих наборов ограниченных операторов является развитием обычного понятия ", спектра оператора как инъективного и сюрьективного отображения. В этом параграфе дается соответствующее определение для неограниченных операторовприводятся и другие полезные в приложениях определения спектра. При этом мы встречаемся с обычными трудностями, возникающими в спекральной теории неограниченных операторов и,в частности, связанных с возможной пустотой спектра наборов неограниченных операторов. Рассматриваемые здесь банаховы пространства считаются комплексными, а линейные операторы- замкнутыми. Принятые здесь обозначения таковы: символ С обозначает поле комплексных ч-иселл С =С .., х С , IR - поле вещественных чисел, IR =tRx.,.x IR, Через СQ0 обозначается множество всех замкнутих операторов с областью определения из банахова пространства X со значениями в том же пространстве X) D(A) обозначает область определения оператора А. Определение спектра Тейлора и его простейшие свойства. Два оператора А,ВС(Х) назовем коммутирующими между собой,если для любого вектора 0С из включения /НОС 0(6) (о 00 т ветственно из условия Вэс 6 D(A) ) следует,что (соответственно AoceD(B)) и АВос=ВАэс. Операторы А и В назовем усиленно коммутирующими,если р(Л)Ф j/ , рСВ) и для некоторых Z pCA), Z2.P B) оператор А коммутируете Cz«I ВТ (I- тождественный оператор), а опера тор (Z I A") коммутирует с оператором Б. Совместной областью определения набора коммутирующих друг с другом операторов А=(А1,,.., Ап) из ССХ) называется линейное многобразие DC А) из X .определяемое равенством

Коэффициентно-частотный критерий полной интегрируемости

Учитывая результат теоремы 1.2, мы еще раз возвращаемся к вопросу полной интегрируемости дифференциальных уравнений. В этом параграфе приводятся различные определения почти периодичности векторных и операторных функций. Показывается, что операторная функция является производной почти периодической векторной функции Ф в том и только в том случае, когда их коэффициенты Фурье связаны формулой =1ЛФЛ( VAeX ) В заключении приводятся доказательство теоремы о роторе, которая будет использована в следующем параграфе.

Векторные почти периодические функции. Пусть X иУ-банаховы пространства, первое из которых вещественное, а второе-комплексное. Для векторной функции Ф : X— "Y и вектора h. X определим П-сдвиг функции Ф формулой Ф (х) = Ф(ос+К) ("- VoceX ) Непрерывная векторная функция Ф называется почти периодической, если семейство её сдвигов (Ф ] относительно яошактяо в смысле равномерной сходимости на X Почти периодическая функция ограничена равномерно непрерывна и множество ее : значений относительно компактно. Совокупность всех почти периодических функций с естественными алгебраическими операциями и нормой 11Ф =2 ир1ІФ(Х) образует комплексное банахово пространство. Простым и важным примером почти периодической функции является тригонометрический полином Здесь конечное множество вещественных линейных непрерывных функционалов (элементов сопряженного пространства X ), а РЛ Є Y при Л ОС . Теория почти периодических функций изложена,например, в монографии Г.Бора І5] и Б.М.Левитана [26J , где изучаются скалярные функции, и в статьях С.Бохнера С5«3 и Л.Америо [52] ,где изучаются векторные функции, но, в основном, скалярного аргумента. Приводимые ниже факты можно получить либо сведением к скалярным функциям (стандартным применением линейных функционалов), либо модификацией известных утверждений теории скалярных почти периодических функций, либо используя то очевидное обстоятельство, что каждая векторная почти периодическая функция с любой степенью точности может быть аппроксимируема конечномерными почти периодическими функциями (т.е.такими, множество значений которых конечномерно). Отметим,что для случая конечномерных X и "Y подробное изложение теории векторных функций векторного аргумента содержится в кандидатской диссертации Т.К.Кацаран І21] . К сожалению, мы оставляем в стороне слабо почти периодические функции (см.,напр., [27] и 152] ). Выяснению условий, при которых оператор суперпозиции ограничен и непрерывен в банаховом пространстве почти периодических функций, посвящена работа [73]

Среднее значение почти периодической функции Ф : X— Y обозначается Dlf} =:t){ f(x) J и лежит в "V Оно обладает обычными свойствами аддитивности, однородности, инвариантности относительно сдвига и принадлежит замкнутой выпуклой оболочке множества значений функции Ф , Отметим важное неравенство \\Щ}\\ Hfll .

Для почти периодической функции f : X— "Y и линейного функционала ЛеХ определим вектор называемый коэффициентом Фурье функции ср .отвечающим частоте Л . Нетрудно видеть,что совокупность всех коэффициентов Фурье { Ф Х образует относительно к. компактное множество в "Y Множество в(ф) = {АХ : Ф 0} называется спектром почти периодической функции Ф . Спектр является не более чем счетным множеством

Обозначим через L(X-"Y) комплексное банахово пространство всех линейных (аддитивных и вещественно однородных) ограниченных операторов, действующих из X BY . Операторная функция f : называется почти периодической (или сильно почти периодической),если для любого к X векторная функция f(oc)n почти периодична; она называется почти периодической в операторной топологии, если она почти периодична, рассматриваемая как векторная. Из почти периодичности в операторной топологии вытекает сильная почти периодичность; обратное, как показывают простые примеры, неверно.

Пусть Н - комплексное гильбертово пространство и 19г,... - его ортонормированный базис. Обозначим через Рп оператор ортогонального проектирования на одномерное подпространство, натянутое на вектор ( и. =1, 2,....). Положим X = HR , где { Мп} - произвольная последовательность различных элементов из И . Операторная функция -f : Н0—5 L( HD І Н) почти периодична и t — R ( ті =1, 2,.,.). Так как 11F - Pm 11 = і при п т ,го $ не почти периодична в операторной топологии (определение и свойства коэффициентов Фурье операторных функций см. ниже)). Аналогичным образом формулируются определения почти периодичности (в сильном смысле) и почти периодичности в операторной топологии функций со значениями в пространстве Р -линейных операторов.

Набор функции Грина для семейства коммутирующих дифференциальных операторов

Легко видеть,что операторы TL , 1 = 1,..., а (в силу их определения и простейших свойств преобразования Фурье) комму-тируют с операторами А5-яГТ-В; , 4 1 П. и удовлетворяют всем другим необходимым требованиям. Если Ф функция вида vp(x) = «4 ЄХрЦА,х):ІК- I , , -"Y ,то непосредственная постановка в левую часть доказываемого равенства показывает,

Следовательно, доказываемое равенство выполняется на всех тригонометрических полиномах. В силу непрерывности операторов ("5Г .""&; ;Tj, 1=1,.,.,0. и теоремы аппроксимации почти периодических функций тригонометрическими полиномами оно будет выполнено и на всех почти периодических функциях. Чтобы доказать выполнение этого равенства на всех функциях из CCR , X) используем следующий известный прием. Для любой функции Ф eC(JR7 ) рассмотрим ограниченную последовательность ( fh)-периодических функций (вообще говоря разного периода), сходящуюся к х на каждом компакте из R . Поскольку операторы А , 1 = 1,...,0 принадлежа г алгебре 6 и A I+T, , где Т,! G В »то AjT\vpn сходится к А-Т;_ на компактах из (ї и,следовательно, S ALTL n = fn сходится к СР и 2 A-LT f одновременно.Теорема доказана.

Из способа доказательства теоремы следует, что мы одновременно построили набор функций Грина для набора А дифференциаль-них операторов. Условие конечномерности пространства играло только для того, чтобы имело место равенство 6 Х&0} --о(6о Ци} Поэтому из этого замечания следует, что имеет место Т- е о р е м а 4.4. Если множество &(6Л L(x)) не пересекается с множеством- lIR а10Л " )О, KRJ т0 набор А несингулярен (т.е. 0ё6ХА,В) ) и существует набор функции Грина для набора А. Таким набором могут служить функции (& ... &п.) из доказательства теоремы 4.3, где Если &(Ъ )fi- v "=-ф , то, по всей вероятности, Оёб СА). Однако набора функций Грина в этом случае видамо может не существовать. Эта интересная задача, имеющая смысл только для II 2 » егЧе не решена. набор дифференциальных операторов с постоянными операторами В и выполнено обычное условие В.В. = 8 В 5 1 =1,...,п. Естественна следующая постановка задачи: для каких подпространств функций из пространства почти периодических функций В(1R Y") набор А несингулярен в том или ином смысле. Этот вопрос рассматривается в этом заключительном и небольшом параграфе. Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 4.3. А именно, строится семейство функций G. & L(Y), такие, что Такое построение возможно в силу несингулярности набора операторов Сі.А1-В1,,..,іАп- Вп), Функция G- отвечают интегральные операторы Т Д і- а такие, 4 ( ,-6,) + ... + ( -6 =1 на B(ff). Набор ядер(бгг1.,&п)этих интегральных операторов назовем неполной функцией Грина набора А. При выполнении условий теоремы неполная функция Грина всегда существует. 5.2. Приложение к теории функций. Рассмотрим банахово пространство почти периодических функций B(iR\Y). в нем действует сильно непрерывная изометрическая группа Т С О , ос G сдвигов функций, определяемая формулой О: этой группой операторов связаны и однопараметричесіше группы операторов T- Ct} =Т Ci , 1=1,...,п. , і R , где C ij.-s еО стандартный базис из IR- . Ихпнфпннтезп-. операторами являются операторы -— , L = 1,..., п. . НасЗор Аа Т" " ) является набором коммутирующих дифференциальных операторов. Непосредственно из теоремы 5.1. следует Теорема 5.2. Если замкнутое множество 6 из IR "не содержит нуля, то набор-A =( " ) несингулярен на подпространстве и система уравнении разрешима в В(6") тогда и только тогда, когда криволинейный интеграл от функции - f - (ft , ...,fa)- не зависит от пути интегрирования, т.е. если коэффициенты Фурье функции удовлетворяют равенствам Доказательству подлешіт только разрешимость уравнения (5.1) при условии несингулярности набора Л па ВСб") . Если бы функции f были гладкими, то это утверждение следует из теоремы 4.1. Если же функция f - произвольная -функидя, коэффициенты Фурье которой удовлетворяют условиям (5.2), то рассмотрим последовательность полиномов Бохнера-Фейера(1 /) составленных для функции . Следовательно, их коэффициенты удовлетворяют условиям (5.2).

Похожие диссертации на Вопросы многомерной интегрируемости и построения функции Грина для многомерных дифференциальных уравнений

Некоорые вопросы теории интегральных уравнений восстановленияНазарян, Оваким Роландович

Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений в исследовании передаточных линий Сборец Юлия Николаевна

Вопросы качественной теории уравнений одномерного движения вязкого газа при наличии свободных границНгуен Жа Бао

Задачи для параболо-гиперболических уравнений и соответствующие спектральные вопросы с параметром в граничных точкахКапустин, Николай Юрьевич

Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений с мягким лапласианом на стратифицированном множествеКашкаров, Юрий Михайлович

Операторная функция Лежандра и вопросы разрешимости линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространствеГончарова Марина Алексеевна

Оперативная функция Лежандра и вопросы разрешимости линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Гончарова Марина Алексеевна

О некоторых вопросах качественной теории дифференциальных уравнений с производными СтилтьесаЗверева Маргарита Борисовна

Спектральные вопросы задачи Франкеля для уравнения смешанного типаАббаси Насер

Каноническая система двух дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами : вопросы существования периодических решений и их устойчивостиЖукова Анна Александровна