Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ Одним из качественных свойств дифференциальных уравнений математической физики является теорема о среднем значении. В разных разделах и прикладных задачах под этим понятием часто подразумевают несколько разнородные факты. Так или иначе, многообразные результаты для различных типов уравнений обьединяет то, что в них участвует среднее Q(tt,X, 2) достаточно гладкой функции tt(X),XR"no сфере S(x,2) с центром в точке X. и радиусом 2. :
UCu.x.^tj-^ I іир<Ц, (і)
где uUX - элемент поверхности сферы 5<х,г)я{_|еп н-х1=2}
U>^-ZJ /r(n/z) - площадь поверхности единичной сферы в
«Л
Наиболее широко известны георемы о среднем значении для эллиптических уравнений. Базовым результатом для использования в приложениях является следующий классический результат. Для того чтобы непрерывная в области SLc R. функция liloz) была гармонической, необходимо и достаточно, чтобы для всякой точки XeSL и всякого 2>0 , такого, что шар|^-Х|^ вложен в иЛ-»,её значение в точке X равнялось среднему от неё по сфере S(x,a). Это утверждение называется теоремой о среднем для уравнения Лапласа. Данная теорема обобщается на эллиптические уравнения второго порядка. В работах В.А.Ильина и Е.И.Моисеева устанавливались формулы среднего для эллиптических операторов более общего вида. Эти формулы использовались авторами при изучении вопросов, связанных со спектральными разложениями. Теорема о среднем переносится также на обыкновенные дифференциальные уравнения. Кроме того, данная теорема справедлива также на ри-мановых многообразиях.
Второй большой круг вопросов, связанных со средними,основан на том, что среднее (I) удовлетворяет уравнению Дарбу. Отправляясь от этого факта, получаются формулы Кирхгофа для решений волновых уравнений и уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу. Эти
формулы, выражающие решение задачи Коши через средние от начс.чь-ных функций, позволяют непосредственно усмотреть характер зависимости решения'13т начальньк функций, в частности, установить условия гладкости классического решения и наличие принципа Гюйгенса. Мы придерживаемся определения принципа Гюйгенса в точном смысле по Ж.Адамару в терминологии И.Г.Петровского. Проблемы, связанные с принципом Гюйгенса, изучались в ряде работ.Библиография до 1986 года дана в работах А.М.Габриэлова и В.П.Паламо-дова, Р.Шимминга, в монографии Н.Х.Ибрагимова.
Вопросы, связанные с принципом Гюйгенса для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, как правило, основаны на классическом методе А.Вайнштейна. Как известно, уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу имеет в евклидовом пространстве вид
' ^ + к Ш-л*.
. - '!!' г
где и* гі(х,і), хе Г1,. д= ^V?*?+.;.+^/эя* -
оператор Лапласа в , k -ton/jt . Это уравнение содержит в левой части оператор Бесселя по переменной * .
Изучение дифференциальных уравнений с оператором Весселя и теории соответствующих весовых пространств берег начало от ре- , зультатов И.А.Киприянова, которым разработаны методы применения преобразования Фурье-Бесселя к таким уравнениям. Следует отметить ' качественную особенность, возникающую при рассмотрении уравнения (2): появление принципа Гюйгенса в четномерных пространствах. Это подмечено в работах Х.Хорниха, И.А.Киприянова, Л.А.Иванова. Дальнейшее рассмотрение уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и его обобщений связано с именами К.Штельмахера, Д.Фокса, П.Гунтера, Х.Хорниха, Ж.Соломона. Для римановых пространств с постоянной кривизной И.Н.Олевским доказано, что среднее по геодезической сфере удовлетворяет уравнению Дарбу. Это в свою очередь позволило рассмотреть задачу Коши в указанных пространствах для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и, в частности, для так называемого "обобщенного" волнового уравнения. Известно, что теорема о среднем такого типа имеет место и в произвольном однородном симметрическом римановом пространстве. Дальнейшее развитие проблемы принципа Гюйгенса в неевклидовых пространствах
«У
связано с теорией рассеяния и именами Б.С.Павлова, Л.Д.Фадеева, П.Лакса и Р.Филлипса. Проблеме принципа Гюйгенса посвящен ряд работ И.АДиприянова и Л.А.Иванова. Ими уточнено понятие волнового уравнения и уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в рима-новых пространствах, построены аналоги формул Кирхгофа для волновых уравнений в пространствах с постоянной кривизной.
Наконец, третье направление исследований с использованием средних значений связано с известной георемой Асгейрсона. Известен следующий результат.(теорема о среднем для уравнения колебаний струны): если функция двух переменных tl(x,t)является регулярным решением уравнения
u±t = гсхх. -, о;
то она удовлетворяет равенству
где «С;, ti), 1=1,1,Ъ,У, суть последовательно пронумерованные вершины прямоугольника, образованного хараперистическими для уравнения (3) линиями
X±t -Х{±и , t=i,*,3,V. (57
Справедливо и обратное утверждение: если функция Ztfe С (Я) удовлетворяет равенству (4) для всякого прямоугольника, образованного линиями (5), то она является регулярным решением уравнения (3)(обратная теорема о среднем). Это по-видимому впервые отмечено А'.М.Нахушевым. Теорема о среднем для уравнения колебаний струны была обобщена. В.Барановым и Ж.Кюнецом, а затем 'Е.И. Моисеевым, В.В.Тихомировым и Е.А.Козловым на случай двумерного гиперболического уравньния с переменными кусочно-непрерывными коэффициентами. Многомерное обобщение формулы (4) для класса уравнений переменного типа в области гиперболичности принадлежит А.В.Бицадзе и А.М.Нахушеву. В тех случаях, когда справедлив принцип Гюйгенса, эта теорема связывает сумму значений решения в двух точках с его интегралом по пересечению характеристических коноидов с вершинами в этих "точках, размерность которого t на два меньше общего числа переменных. Если принцип Гюйгенса не выполняется, то вместо интеграла по пересечению коноидов появляется интеграл по поверхности, размерность которой на ег.и-
ницу меньше общего числа переменных.
В проблеме, связанной с теоремой о среднем для гиперболичес ких уравнений имеются некоторые пробелы. Так, например, в отличие от теоремы о среднем для уравнения Лапласа оставался невыясненным вопрос об обратимости теоремы о среднем для многомерного волнового уравнения, принадлежащей А.В.Бицацзе и А.М.Наху-шеву. Кроме того, не были известны теоремы о среднем для уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу и волновых уравнений в симметрических пространствах.
ЦЕЛИ РАБОТЫ. Изучение свойств средних от решений волновых уравнений (обратная теорема о среднем для волнового уравнения в евклидовом пространстве, прямые и обратные теоремы о среднем для волновых уравнений в пространствах с постоянной кривизной и уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу. Изучение влияния полученных свойств на- постановку и корректность краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типа.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе использованы методы, основанные на конформной инвариантности волновых уравнений и принципа Гюйгенса, применявшиеся в работах Л.Лакса и Р.Ф'иллипса.Б.Орсте--Щ, немецкими математиками П.Гюнтером, Р.Шиммингом и другими. ^Применение отих методов в отечественной школе связано с именами Н.Х.Ибрагимова, Е.В.Мамонтова и других. Также разработаны методы применения теорем о среднем для изучения качественных свойств решений волновых уравнений и' уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу в римановых пространствах. Эти исследования представляют собой развитие подхода А.В.Бицадзё и А.М.Нахушева.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации решены следующие вопросы:
обращение теоремы о среднем для многомерного волнового уравнения в евклидовом пространстве;
получение теорем о среднем для волновых уравнений с инволютив-ным сдвигом;
получение теорем о среднем для различных классов уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу;
доказательствотеоремы о среднем для волнового уравнения на сере пространстве Лобачевского;
'- приложение теорем о среднем для исследования различных неклассических краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типа.
АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Основные результаты диссертации док-
ладывались на ХП школе по теории операторов в функциональных пространствах (Тамбов, 1987г.), на УІ Украинской Республиканской конференции 'Нелинейные задачи математической физики"(Донецк, 1987г.), на второй и третьей Северокавказских конференциях по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Махачкала,1988,1991гг.), на Всесоюзной.конференции "Интегральные уравнения и краевые задачи Математической физики" (Владивосток, 1990г.), на конференции по дифференциальным уравнениям в Самаре (1990г.), на ХХІУ Воронежской зимней математической школе (IS9I), на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений ВГУ, научных сессиях ВГУ (І986-І99ІГР.).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано семь работ , СіЗ-[7]- В работах ] Л.А.Иванову принадлежит постановка задач.
СТРУКТУРА И ОБЬЕМ РАБОТ. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 95 наименований. Полный обьем работы - 123 страниц машинописного текста.
