Введение к работе
Актуальность теші. Настоящая работа посвящена методу срэднения Н.Н. Боголюбова-Н.М. Крылова в приложениях к специ-льным классам систем дифференциальных уравнешй! с бесконечна! числом степеней свободы: бесконечны;.! системам днфференцп-лышх уравнений и штегро-дифференциальных уравнений Бэрбаши-а.
Основные результаты теории усреднегаїя Н.Н. Боголюбова-.М. Крылова, в первую очередь, классические теоремы Н.Н. "о-элзобова уке в пятидесятое годы были распространены на диффе-знциалыше уравнешія в банаховых прсстргнстпзх; rfr:i этом ос-эвнши иллюстрирующими примерами били как раз бесконечные ютемы дифференциальных уравнешій и ицтегро-диффзренциальные равнешш Барбашина. Однако эти-иллюстрации носили случайный зрактер, и соответствуюпше результаты для этих систем были злучены при значительных упрощающих предположениях, основной шел которых сводился к игнорированию специфических особен--зстей рассматриваемых классов уравнений. В силу этих обстоя-?льств до настоящего времени не существовало достаточно ползи теорій как для бесконечных систем дифференциальных урав-зний, так и для штегро-дифференциальных уравнений Барбашк-
5.
Сказанное приводят к необходимости проведения детального шлиза тех результатов, которые могут быть получены для беспечных систем дифференциальных уравнений и интегро-диффзрек-
циальных уравнений Барбашина классическими методами. При этом, как правило, оказывается, что прямое пршенешіе классических теорем приводит к жестгам и неестественным ограничениям на определяющие правые части рассматриваемых, систем функции.
В литературе почти не предпринимались попытки систематического исследования бесконечных'систем дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальных уравнений Барбашша. Здесь могно указать лишь монографию Е.Л. Барбашина "Введение 'в теорию устойчивости" и особенно монографию К.Г. Валеева, О.А. Жа-утыкова "Бесконечные система дифференциальных уравнений",в которой собраны практически все известные к настоящему времени результаты о бесконечных системах дифференциальных уравнений. Однако, как в этих монографиях, так и в журнальной литературе, методу усреднения Н.Н. Боголюбова - Н.Ы. Крылова практически не уделено внимания.
Цель роботи.
-
Изложить теорию усреднения Н.Н. Боголюбова - Н.М. Крылова для бесконечных систем дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальных уравнений Барбашина.
-
Обобщить тебреш П. Боля об ограниченных решениях на всей оси для вышеуказанных бесконечномерных дифференциальных уравнений.
Ызтоджа исследования. В работе используются общие методы функционального анализа, теория обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах (теоремы о разрешимости, о непрерывной зависимости от параметров и об экспоненциальной устойчивости).
' .- 4 -
Научная новизна. В работе получены аналога первой и вте-й основных теорем Н.Н. Боголюбова для бесконечномерных диф-ренциальных уравнений; эти теоремы позволяют в частности ешіть (по крайней мере качественно) близость мезду решенпл-точного и усреднешюго уравнений; получено также обобщение вестной теоремы П. Боля об ограниченных решениях для рассма-иваемых классов уравнений.
На защиту выносятся следующие результаты
- Новый вариант первой основной теоремы Н.Н. Боголюбова
і усреднении на конечном но сколь угодно большом промежутке
юмени и его частные случаи для бесконечных систем дифферен-
гальных уравнений и ингегро-дифференциальных уравнений Вар-
шина.
(- Обобщение известной теоремы Ю.А. Митропольского о меже усреднения на полуоси об экспоненциально устойчивых ре-гннях для общих дифференциальных уравнений в банаховых прост-шствах и его частные случаи для бесконечных систем дифферен-іальннх уравнений и штегро-дифференщшьных уравнений Барба-ша.
Новый вариант второй основной теоремы Н.Н. Боголюбова 3 усреднении на всей оси для бесконечных систем диффёренциа-ьных уравнений и интегро-дифференциалышх уравнений Барбашп-а.
Новое обобщение классической теоремы П. Боля дли диф-еренциальных уравнений в банаховых пространствах и его частые случай для бесконечных систем дифференциальных уравнении
гатегро-даФференциальных уравнений Барбаппша.
Теоретическая и практическая ценность результатов. Полученные результаты могут быть использованы в научно-иследова-тельскмх работах по дифференциальному уравнению, а также при чтении спецкурсов для студентов математических факультетов.
АппроОация раб&ы. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедр математических методов теорій управления Белорусского государственного университета и высшей математики Таджикского Государственного университета, На республиканской научней конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Куляб 3-5 октября 1991 г., на 4 -конференция математиков Белоруса, Гродно, 29 сентября - 2 октября 1992 г., на" конференция "Понтряпшские чтения - 4", Бороне» 3-8 мя 1993 г.
Публикации. Основные результаты выполненных исследований представлены в работах [1-7].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и Списка цитированной литературы, включающего 140 наименований. Объем работы составляет 146 страниц машинописного текста.
