Введение к работе
Актуальность те»і. В настоящее время многие принципиальные положения математической теории оптимальных процессов управления -принцип максимума Л.С.Понтрягина, фундаментальные исследования по теории необходимых и достаточных условий оптимальности, проблемам управляемости приобрели широкую известность. Разработаны и интенсивно применяются, особенно в приложениях как теоретического, так и прикладного характера, общие методы исследования бесконечномерных экстремальных задач.
В то же время практическая реализация полученных условий, соотношений, схем решения часто связана с большими вычислительными сложностями. Характерными особенностями математических моделей реальных управляемых процессов являются их нелинейность, отсутствие или неполнота информации о начальных данных и входных возмущениях, негладкосгь как ограничений, целевых функций, так и правых частей дифференциальных уравнений, описывающих динамику процесса. Краевая задача принципа максимума также, как правило, оказывается нелинейной и не имеет общего эффективного метода решения. В таких ситуациях получение содержательных результатов качественного и численного характера возможно путем сведения исходной задачи к семейству (последовательности) задач более простой структуры, для которых известны и могут быть реализованы способы нахождения (вычисления} решения. Основная тяжесть здесь переносится на аналитическое исследование математической модели, выбор эффективных аппроксимаций, разработку вычислительного метода решения и обоснование его сходимости. В настоящее время в связи с быстрым развитием вычислительной техники и программного обеспечения (систем аналитических вы-
числений, компьютерной алгебры) возрастает актуальность разработки аналитических приближенных или асимптотических методов, позволяющих получить численное решение задач управления и на практике реализовать сложные алгоритмы управления нелинейными системами.
Одним из важнейших этапов рассмотрения оптимизационной задачи является создание принципиальной схемы алгоритма решения с последующей ее численной реализацией, что предъявляет определенные требования к выбору использумых методов и процедур, в основе которых лежат различные аналитические способы представления решений. Для динамических систем с малыми параметрами особенно эффективными являются методы построения последовательных приближений к оптимуму. В этом случае на каждом шаге алгоритма рассматривается некоторая вспомогательная задача, доставляющая с определенной точностью (относительно параметра) решение исходной задачи. Однако применение таких итерационных схем для сингулярно возмущенных систем (с малым параметром при части производных) связано с рядом существенных трудностей, возникающих при этом Снеприемлемость выбора в качестве начального приближения решения вырожденной задачи, полученной при ц= 0, ц, - малый параметр; выделение асимптотики элементов итерационной конструкции, причем на каждом шаге с соответствующей точностью по параметру ц; сходимость самой процедуры).
Особый интерес к сингулярно возмущенным системам обусловлен преаде всего их большой прикладной значимостью. Появление разномасштабных переменных при детальном описании динамики управляемого процесса довольно часто, и удобный способ формализации в этом случае - введение сингулярных возмущений. В теории дифференциальных уравнений хорошо известны фундаментальные результаты А.Н.Тихонова по проблемам асимптотики решений сингулярно возмущенных задач, основанные на принципе разделения быстрых и медленных "изоли-
рованных" движений и развитые в дальнейшем в многих статьях и монографиях. Для исследования проблем оптимального управления сингулярно возмущенными системами используются различные схемы асимптотического представления решений сингулярно возмущенных уравнений. Наиболее употребляемые из них - метод пограничных функций, метод усреднения. Эффективность этих схем существенно зависит от степени гладкости правых частей (реализации же управлений, возмущений, помех могут быть лишь измеримыми). Поэтому разработка аналитических методов асимптотического описания оптимального решения в задачах управления сингулярно возмущенными системами является весьма актуальной проблемой. Полученные на их основе вычислительные алгоритмы позволяют существенно уменьшить объем необходимых вычислений по сравнению с прямым решением.
Исследования по проблемам управления в условиях неопределенности и конфликта составляют одно из современных направлений математической теории управляемых процессов. Рассмотрение таких задач стимулировано практическими потребностями, поскольку очень часто априорная информация о состоянии управляемого объекта, неизвестных входных возмущениях является неполной (заданы лишь области изменения соответствующих величин, в рамках которых они могут реализоваться любым образом). Математические модели подобных задач для динамических систем исследуются в рамках теории управления в условиях неопределенности и теории дифференциальных игр, основы которых заложены в трудах Н.Н.Красовского и Л.С.Понтрягина. Принципиальные результаты по обсуждаемому направлению получены в работах отечественных и зарубежных математиков: Р.Айзекса, Р.Беллмана, В.Г.Болтянского, Р.Габасова, Р.В.Гамкрелидзе, В. Ф. Демьянова, А.Я.Дубовицкого, В.И.Зубова, Р.Калмана, Ф.М.Кирилловой, В.Ф.Кротова, А.В.Кряжимского, А.Б.Куржанского, Дж.Лейтмана, А.М.Летова, г
А.А.Меликяна, Е.Ф.Мищенко, М.С.Никольского, Ю.С.Осипова, Н.Н Петрова, Л.А.Петроояна, Б.Н.Пшеничного, А.И.Субботина, Ф.Л.Черноусько и других.
Математическая формализация задач теории управления в условиях неопределенности и конфликта именно в минимаксной форме, обеспечивающей некоторый гарантируемый результат, разработка методов их решения предложены Н.Н.Красовским и развиты А.Б.Кур&анским, Ю.С.Осиповым, А.И.Субботиным и их сотрудниками и учениками для различных классов динамических систем. Ряд принципиальных результатов теории наблюдения, оценивания и управления в условиях неполной информации получен в работах Д.Бертсекаса, В.И.Гурмана, М.И.Гусева, И.Я.Каца, А.В.Кряжимского, М.С.Никольского, В.Г.Покотило, Б.Н.Пшеничного, А.Г.Ченцова, Ф.Л.Черноусько, Ф.Швеппе, В.Шми ттендорфа и других.
Существенные трудности, возникающие при исследовании задач оптимального управления, привели к необходимости разработки приближенных аналитических методов построения решения. Ряд этих методов связан о наличием в математической модели динамической системы малых параметров, обусловленных, например, малостью нелинейных членов, малой помехой в управляющем устройстве, малыми коэффициентами при управлении или неопределенном возмущении, временной раз-номасштабностыо переменных и др. Для построения приближенных решений в таких ситуациях используют методы теории возмущений, причем выбор того или иного подхода существенно определяется типом зависимости от малого параметра правых частей дифференциальных уравнений Сописывающих динамику управляемого процесса) - регулярный или сингулярный. Теория приближенных аналитических методов с приложением к задачам управления для регулярно возмущенных систем развита в работах Л.Д.Акуленко, Э.Г.Альбрехта, В.Б.Колмановского,
Н.Н.Моисеева, В.А.Плотникова, Ф.Л.Черноусько и других.
Проблемам оптимального управления сингулярно возмущенными системами в последние годы посвящено много работ, в которых предлагаются различные приближенные аналитические методы построения субоптимальных режимов управления. В основном рассматривались задачи с функционалами качества, либо зависящими лишь от медленных переменных, либо квадратичными по своей структуре. Исследования в них проводились по следующим схемам:
- сведение с помощью принципа максимума исходной задачи к краевой
и последующая ее декомпозиция на основе метода пограничных функций;
- усреднение либо непосредственно правых частей уравнений движения
и переход к более простой задаче управления Снапример, стационар
ной) , в общем случае на основе дифференциальных включений, либо
уравнений краевой задачи принципа максимума Сили иных соотношений,
задающих условия оптимальности).
Указанные подходы были развиты в работах В.Г.Гайцгори, В.Я.Глизера, М.Г.Дмитриева, А.И.Калинина, П.В.Кокотовича, Г.А.Куриной, Р.Е.О'Малли, Н.Н.Моисеева, А.А.Первозванского, В.А.Плотникова и других. Применение этих схем исследования позволили получить некоторые приближения оптимальных решений, выделить ряд специфических свойств сингулярно возмущенных задач управления С асимптотика траекторий, явление скачка в функционале качества, если последний зависит как от медленных, так и от быстрых переменных). В то же время эффективность используемых методов Св частности, точность получаемых приближений) существенно зависит от степени гладкости правых частей уравнений движения, функционала качества, в том числе от вида и типа последнего Слибо зависимость только от медленных переменных, либо квадратичная структура, либо наличие определенных условий периодичности), а также от ограничений на уп-
равления и состояния динамической системы.
Б отличие от указанных схем исследования задач оптимального управления метод решения, предложенный А.Дончевым, основан на описании асимптотики множества достижимости сингулярно возмущенной системы С а не аппроксимации экстремалей из принципа максимума). Данный подход достаточно конструктивен и позволяет построить приближенное решение при сравнительно стандартных Св теории оптимального управления) условиях и ограничениях. Однако А.Дончевым получены лишь начальные оценки Сс точностью о(1) по малому параметру).
В современной теории управляемых систем хорошо известна задача оценки неизвестных координат фазового вектора по данным измерений. Основополагающие результаты в теории наблюдения получены Р.Калманом и Н.Н.Красовским. Развитию теории наблюдения и разработке методов апостериорного оценивания состояния динамической системы посвящены работы А.Б.Куржанского. Центральное место в этих исследованиях занимает изучение свойств информационных областей системы - множеств допустимых состояний, совместимых с результатами измерений. Описание указанных областей позволяет получить минимаксные оценки неизвестного истинного состояния системы. Исследование эволюции информационных множеств во времени по ходу реализации наблюдаемого сигнала, составляющее предмет минимаксной теории наблюдения и фильтрации, представляется важным именно в перспективе улучшения результата управления динамическим объектом, для определения законов игрового позиционного наблюдения в условиях неполной информации. Таким образом, возникает проблема о совокупной оптимизации процессов управления и наблюдения. Процесс сочетания управления и наблюдения допускает большое разнообразие постановок: оптимальный синтез стратегий управления по данным наблюдения; выбор последовательности чередования интервалов управления и наблю-
дения; задача коррекции движения Сработы Б.И.Ананьева, А.С.Братуся, Н.Н.Красовского, А.Б.Куржанского, А.А.Меликяна, Д.Е.Охоцимско-го, В.А.Рясина, Ф.Л.Черноусько, Г.С.Шелементьева и других).
Диссертация посвящена разработке и обоснованию аналитических итерационных методов решения некоторых сингулярно возмущенных и квазилинейных задач теории оптимального управления, использующих идеи малого параметра. Для процессов, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, в работе рассматриваются задачи программного управления ансамблем траекторий в присутствии неопределенных входных возмущений, задачи апостериорного оценивания состояния системы по данным наблюдения при наличии помех, а также проблема о совокупной оптимизации процессов управления и наблюдения - задача коррекции.
Цель работы - разработка и теоретическое обоснование аналитических приближенных или асимптотических методов решения некоторых сингулярно возмущенных и квазилинейных задач управления и наблюдения в условиях неопределенности, а также задачи коррекции по данным измерений; разработка на основе этих методов вычислительных процедур; вывод достаточных условий оптимальности в некоторых сингулярно возмущенных и квазилинейных задачах управления; асимптотическое оценивание ансамблей траекторий, множеств достижимости, информационных множеств сингулярно возмущенных систем, функционирующих в условиях неопределенности.
Метода исследования, диссертация выполнена в рамках исследований, ведущихся Свердловской школой Сныне в Екатеринбурге) по проблемам оптимальных управляемых процессов- Используются постановки задач, понятия, методы и результаты теории управления и наблюдения в условиях неопределенности. Работа опирается на методы теории экстремальных задач, нелинейного и выпуклого анализа, приб- ,
лиженные и численные методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, метод малого параметра Ляпунова-Пуанкаре и асимптотические методы нелинейной механики.
Научная новизна. В диссертации разработаны аналитические приближенные методы решения сингулярно возмущенных и квазилинейных задач управления и наблюдения в условиях неопределенности; установлены достаточные условия оптимальности для систем указанного вида. Получены аналитические описания информационных множеств, множеств возможных начальных состояний наблюдаемых квазилинейных систем, функционирующих в условиях неопределенности, по данным измерений. Найдены асимптотические представления этих множеств в сингулярно возмущенных задачах апостериорного оценивания. Для построения оптимальной стратегии корректирования для квазилинейных систем разработаны итерационные схемы вычисления гарантируемых оценок управления Сиз текущей позиции и на основе множества допустимых продолжений наблюдаемого сигнала}. Исследованы асимптотические свойства ансамблей траекторий, множеств достижимости управляемых сингулярно возмущенных систем.
Полученные результаты являются новыми для квазилинейных и сингулярно возмущенных систем.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют теоретическое и практическое значение для математической теории оптимальных управляемых процессов, общей теории дифференциальных уравнений с малым параметром. Работа носит конструктивный характер. Разработанные в ней аналитические приближенные методы решения задач оптимального управления и наблюдения состояний динамических систем в условиях неопределенности могут эффективно применяться для исследования конкретных прикладных задач, поскольку допускают численную реализацию на ЭВМ.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:
Всесоюзном семинаре "Проблемы оптимизации и управления динамическими системами в машино- и приборостроении" СВладивосток, 1987 г.);
VI Всесоюзной конференции по управлению в механических системах СЛьвов, 1988 г.);
VII Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" ССвердловск, 1990);
Республиканских конференциях "Моделирование и исследование устойчивости систем" СКиев, Украина, 1991 г., 1992 г., 1994 г.);
II Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" СЧелябинск, 1993 г.);
Межгосударственной конференции "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация" (Минск, Беларусь, 1993 г.);
III Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" С Санкт-Петербург, 1995 г.).
Результаты работы обсуждались на научных семинарах Уральского государственного университета им. А.М.Горького, Института математики и механики Уральского отделения РАН.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 23 работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух частей, содержащих 7 глав, которые включают 31 параграф, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 330 страниц машинописного текста. Библиография состоит из 184 наименований .
