Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Задача о поршне в газовой динамике с учетом источника (стока) энергии и стока массы 21
1. Автомодельные задачи газовой динамики с источником (стоком) энергии 23
1.1 Постановка задачи о поршне 23
1.2 Анализ автомодельных решений в случае, когда интегрируется уравнение энергии 26
1.3 Анализ автомодельных решений в общем случае 27
1.4 Автомодельные решения в случае постоянной скорости поршня 29
2. Автомодельные задачи двухтемпературной газовой динамики с источником (стоком) энергии 34
2.1 Постановка задачи. Условия авто-модельности 34
2.2 Анализ автомодельных решений 38
2.3 Численные примеры автомодельных решений 42
3. Пример автомодельного решения задачи о поршне с учетом объемного стока массы 46
Глава II. Регулярные режимы в газовой динамике с источником (стоком) энергии и стоком массы 51
1. Регулярные режимы разлета и сжатия в газовой динамике с источником (стоком) энергии 52
1.1 Постановка задачи 52
1.2 Анализ временных и пространственных функций 56
1.3 Автомодельные регулярные режимы. 60
1.4 Пример численного расчета 62
2. Регулярные режимы в газовой динамике с учетом стока массы 64
2.1 Постановка задачи 64
2.2 Качественный анализ регулярных режимов со стоком массы 66
Глава III. Инвариантные решения уравнений газовой динамики с источником (стоком) энергии 69
1. Классификация инвариантных решений 72
2. Инвариантные решения типа бегущей и "логарифмической" бегущей волны 76
3. Автомодельное решение уравнений газовой динамики с учетом источника энергии, описывающее режимы с обострением 82
4. Гомотермическое сжатие и разлет газа с учетом источников (стоков) энергии 86
Глава ІV. Численное решение уравнений двухтемпературной магнитной гидродинаїшки с учетом объемных стоков энергии и массы 90
1. Семейство полностью консервативных разностных схем магнитной гидродинамики с учетом стока массы 91
2. Вычислительные эксперименты по тета-пинчу с учетом концевых потерь 98
Заключение ЮЗ
Литература
- Анализ автомодельных решений в случае, когда интегрируется уравнение энергии
- Анализ временных и пространственных функций
- Инвариантные решения типа бегущей и "логарифмической" бегущей волны
- Вычислительные эксперименты по тета-пинчу с учетом концевых потерь
Введение к работе
І. В настоящее время в связи с решением пвоблемы управляемого термоядерного синтеза весьма актуальными являются задачи, связанные с исследованием физики плотной высокотемпературной плазмы. Сложность указанной проблемы и разнообразие физических эффектов в плотной горячей плазме породили различные концепции управляемого термоядерного синтеза, основанные на магнитном или инерционном удержании L^»^J
Одна из концепций в УТС связана с удержанием высокотемпературной плазмы в системах типа тета-пинча f1,2 J . Детальное теоретическое исследование тета-пинча приводит к необходимости учета многих нелинейных процессов: газодинамического движения; диффузии магнитного поля; джоулева нагрева при проводимости, зависящей от температуры; электронной и ионной теплопроводности; объемных потерь энергии и других эффектов. Как показывают эксперименты [3-7J , на динамику процесса в тета-пинчах существенным образом могут влиять "концевые" потери: стоки массы, импульса и энергии через торцы плазменного шнура. Для исследования тета-пинча с концевыми потерями необходима постановка по крайней мере двумерной задачи. Однако для качественного анализа процессов целесообразно рассмотреть и одномерную задачу, моделируя концевые потери объемными стоками массы, импульса и энергии [8J .
Одним из наиболее эффективных способов теоретического анализа упомянутых выше задач является вычислительный эксперимент на ЭВМ [9J - численное моделирование физических экспериментов, прогнозируемых устройств и конструкций.
Вычислительный эксперимент состоит не только в разработке численных алгоритмов и их реализации на ЭВМ. Он включает в себя
также анализ применимости различных физико-математических моделей, усовершенствование этих моделей и численных методов их реализации на ЭВМ с помощью сравнения с физическими экспериментами и качественного анализа отдельных закономерностей исследуемых процессов. Предварительное знание основных качественных закономерностей изучаемых явлений позволяет выбрать наилучшую в каждой конкретной ситуации методику численного интегрирования, значительно сократить количество расчетов на ЭВМ, сделать вычислительный эксперимент более целенаправленным. В связи с этим важны традиционные методы математической физики - изучение асимптотик, анализ размерностей, построение инвариантных, в том числе автомодельных, решений и т.д.
В физике плазмы весьма ценными являются "автомодельные методы" исследования: построение автомодельных решений исходной системы уравнений в частных производных. Автомодельные решения обычно получают с помощью анализа размерностей [IOJ . С другой стороны они являются частным случаем т.н. инвариантных решений [11-12] .
Во многих случаях автомодельные решения дают описание процесса и когда не выполняются условия автомодельности, позволяют выяснить характер его зависимости от параметров задачи. По существу в случае, когда требуется учитывать большое число нелинейных эффектов, построение и анализ автомодельных решений является практически единственным методом исследования изучаемых явлений. Существует также ряд примеров, когда какой-либо реальный физический процесс, неавтомодельный на начальной стадии по времени, при t —* схэ выходит на автомодельный режим. Примерами таких задач являются известная задача о сильном точечном взрыве [10,13-14J , анализ процессов кумуляции [15-19j , локализации тепла [20J и т.д.
Большую роль автомодельные решения играют также в качестве тестов для опробывания численных методов решения системы уравнений газовой динамики и магнитной гидродинамики.
Настоящая работа посвящена исследованию газодинамических процессов с учетом стока массы и энергии. Применение численных методов сочетается с построением автомодельных и ряда других инвариантных решений. Основное внимание уделяется анализу влияния на движение газа источника или стока энергии. Качественный анализ отдельных эффектов в большинстве случаев проводится с помощью часто рассматриваемой в газовой динамике задачи о движении газа перед поршнем. Полученные качественные результаты используются при решении ряда конкретных задач о тета-пинче. Численное моделирование процессов, происходящих в тета-пинчах, проводилось совместно с рядом сотрудников Сухумского физико-технического института. Задача о тета-пинче исследовалась с помощью численных методов в предположении осевой симметрии в од-ножидкостном двухтемпературном магнитогидродинамическом приближении. Учитывалась электронная и ионная теплопроводность, джоу-лев нагрев, потери энергии за счет продольной теплопроводности, а также потери массы, импульса и энергии через торцы плазменного шнура. Эти потери моделируются объемными стоками массы, импульса и энергии. Показано, что в динамике процессов, происходящих в тета-пинчах, проявляются эффекты, исследованные с помощью инвариантных решений. Часть результатов расчетов сравнивалась с результатами физических экспериментов, проведенных ранее в СМ [21 ]
Автомодельным задачам о движении газа перед поршнем посвящена обширная литература [22-2б], см. также [13,14] и библиографию в этих работах.
В работах [22-24] рассматривалась задача о движении поршня в случае адиабатического течения. Показано, что при степен-ной зависимости скорости поршня V от времени ~t вида V-l^-u решение задачи при п0<- не существует, т.к. в этом случае давление на поршне обращается в бесконечность и поршень при вдвигании должен совершать бесконечную работу. При no>~j существует решение задачи с ударной волной, движущейся впереди поршня. При этом в случае ^оФ0 температура и плотность газа вблизи поршня обращаются либо в нуль, либо в бесконечность соответственно в зависимости от знака показателя Ґ10 .
В работах [25-27 ~] исследовалось влияние концевых потерь на примере решения одномерных задач газовой динамики с учетом в среде объемных стоков массы. Проведенный в этих работах анализ показал, что в зависимости от характера первоначального распределения плотности среды и мощности стока имеют место различные режимы распространения ударной волны и распределения параметров за ее фронтом.
При этом показано, что значения газодинамических функций вблизи поршня зависят от значения энтропии системы в начальный момент времени. А именно, если энтропия в начальный момент времени вблизи поршня мала, то на поршне температура обращается в нуль, а плотность в бесконечность; если же энтропия в начальный момент времени вблизи поршня велика, то температура на поршне обращается в бесконечность, а плотность в нуль.
В работах [28-33] дан анализ автомодельных решений уравнений газовой динамики с учетом нелинейной теплопроводности. Показано, что в зависимости от изменения параметров существуют два класса решений, описывающих различные режимы распространения тепловых волн в движущейся среде.
Частным случаем инвариантных решений являются решения, описывающие бегущие волны. В большинстве работ (см. например [34-39І ) метод бегущих волн используется для анализа структуры фронта ударных волн, определяемой различными диссипативными процессами. В работах [28,40,4l] задача о бегущей волне связывается с задачей о поршне с тепловым режимом. Благодаря такому подходу рассматривается более общий вид бегущих волн, существенно связанный с нестационарным тепловым и гидродинамическим режимом на поршне.
Важным классом решений уравнений газовой динамики являются т.н. регулярные режимы, или режимы типа М- cwwt , где М -масса исследуемого слоя газа. (см.[42-47J ). Функции, описывающие регулярный режим, представляются в виде В работах [42-44] рассматривались регулярные режимы разлета конечной массы плазмы при наличии в среде источников тепла, нелинейным образом зависящих от температуры и плотности. Автомодельные регулярные режимы в случае, когда ^(t) являются степенными функциями времени, использовались для качественного изучения известного в магнитной гидродинамике явления Т-слоя [45,48,49] ; высокотемпературного самоподдерживающегося образования, связанного с фиксированными частицами среды, которое возникает и развивается в плазме при определенных условиях в процессе ее взаимодействия с магнитным полем. В работах [46,47j изучались автомодельные регулярные режимы сжатия конечной массы плазмы с учетом большого числа диссипативных процессов, объемных источников и стоков энергии. Отметим интересную работу [Ь0~\ » в которой изучались явление локализации и газодинамические структуры при адиабатическом сжатии конечной массы газа в режиме с обострением [20] .
В настоящей работе рассмотрены автомодельные решения, решения типя. бегущих волн и решения, описывающие регулярные режимы уравнений газовой динамики с учетом объемного источника или стока энергии. Решена задача групповой классификации уравнений газовой динамики по виду зависимости нелинейного источника (стока) энергии от плотности и давления. Для степенной зависимости источника (стока) энергии от плотности и давления построены все существенно различные инвариантные решения. Дан детальный анализ и построены численные и аналитические примеры автомодельных решений, описывающих режимы с обострением. Проведен также анализ инвариантных решений типа бегущей волны и "логарифмической" бегущей волны, а также инвариантного решения, описывающего гомотермическое сжатие и разлет газа в регулярном режиме.
Для анализа рассмотренных в работе автомодельных и инвариантных решений, описывающих существенно нелинейные процессы, аналогично [28,29,32,33] используются как численные, так и чисто теоретические методы. При этом важным является построение автомодельных и инвариантных, решений путем установления соответствующих автомодельных режимов численным решением исходной системы в частных производных. Такие расчеты, с одной стороны, подтверждают существование (устойчивость) автомодельных решений и, с другой стороны, позволяют судить о точности используемых численных методов.
4. Как указано в работе [5і] в задачах с учетом стока массы лагранжевы массовые переменные не удобны, т.к. лагранжева массовая переменная ҐП зависит от времени. Поэтому по методике, предложенной в работе [51J , система уравнений магнитной гидродинамики записывается в т.н. квазилагранжевых координатах [5l]. Ниже приводится описание постановки яадачи о тета-пинче с учетом
- II -
стока массы через торцы системы.
Рассмотрим систему уравнений магнитной гидродинамики в двухтемпературном приближении с учетом электронной и ионной теплопроводности, конечной проводимости, обмена энергией между ионами и электронами и объемных потерь энергии (например, за счет тормозного излучения) в геометрии тета-пинча, т.е. в предположении, что напряженность магнитного поля имеет отличную от нуля компоненту //г , направленную вдоль оси цилиндра, напряженность электрического поля - отличную от нуля азимутальную компоненту Ехр Движение по углу У7 является симметричным.
Пусть Р - плотность, 1ГЬ , У^ - радиальная и осевая ком-поненты скорости; /% , /^ , 6е , ^ , \А/г , W , W^ , W^ , Т~е , Ті t ^e t ^1 - соответственно, электронные и ионные компоненты давления, внутренней энергии, радиальных и осевых потоков тепла, температуры, коэффициенты теплопроводности; J у, - плотность тока, Qit - "скорость" обмена энергией между ионами и электронами, G - мощность тормозного излучения.
Систему уравнений магнитной гидродинамики в переменных Эйлера , 2 и ~Ь можно записать в следующем безразмерном" виде [52J :
'it г?ъ * ?г J ?г + г + SjT = ,
— Ік№ні+Е*)],
J сіл)
&=/i(f>4 n=n(JM и=ШМ ^6с(ЛЩ
SCe-^etyT.), Хі-*і(Л711 V=V(f1Te).
Аналогично [8J , предположим, что плотность потока массы
вдоль оси цилиндра изменяется в зависимости от 2 по линейному
закону, т.е.
fV^Z-f-X^tl (1.2)
где X(t t) ~ мощность стока массы. Величина X может
быть, например, Функцией температуры и плотности [8,56J . Из
(1.2) получаем 1ГЪ~ Z-JC . Будем считать, что все осталь-
ные функции не зависят от переменной И. .
Предположим, что теплопроводность ионов по оси цилиндра
- ІЗ -
отсутствует, а электронная теплопроводность вдоль оси 2 есть Wz ~-K(fj7Z)~^/ Г 21 "I » где Z - длина тета-пинча. Производную i~ будем моделировать следующим образом 21 ^---- -^ , где с - длина плазменного шнура.
Тогда из (I.I) получим следующую систему уравнений:
Jf~ W "Ft* СІ.З)
При исследовании одномерных нестационарных задач магнитной гидродинамики часто вводятся лагранжевы массовые координаты WI и tA Г52] . Как отмечено в работе |j^J в задачах с учетом стока массы переменные (М , "tA) не удобны, т.к. величина ґуі зависит от времени. Поэтому аналогично [_5IJ в качестве пространственной координаты будем рассматривать параметр Я. , который
определяется начальным распределением массы:
ч Щ>,о)
1= м(о)= ]Жо)аы3. (1в4)
Введем в рассмотрение функцию Y (fyt) вида:
Y(^) = | (1.5)
?
Функция У выражает долю оставшейся массы в данном элементе течения.
Используя первое уравнение в (1.3) и учитывая (1.5), получим следующее уравнение:
9T = _y/J- (1.6)
Полагая V-О для случая плоской симметрии, V=-/ для случая осевой симметрии, ІГ^'Щ. , Е=Ер , J =^ и опуская в дальнейшем индекс "І" у параметра tA , систему (1.3) в переменных Q, , с запишем в следующем виде:
(1.7)
' — p^ — _ ^ <)//
Из системы (1.7) можно получить следующие уравнения:
2_-/у,ІІ_\ і/. Ре _ //2 p^Vj
Щ\Чїї) ft гл^ + f * г/.
Здесь использованы обозначения = е+; ,/^=/^-^-/5 ,
Интегральные аналоги уравнений (1.8) описывают балансы, соответственно, кинетической магнитной и полной энергии для элемента течения газа.
Систему уравнений (1.7) можно записать также в следующей эквивалентной форме:
UD-vkW+t*.
V У f " ' (1.9)
SIT =-. її. Ж +1-2
D± У ?f У іj
rt\S)~ у ?f л f }
Tt-~r***\f'Y П 7 f f T **'
Dti ь . (L\ j дЧ п. ^T^'^dtlfJ'y Щ " Wie-
Из (1.9) получим уравнения, определяющие изменение со временем, соответственно, кинетической, магнитной и полной энергии единицы массы газа:
Dt\ z І у ^г уг,
2-(МІ )=- JL IE _ Нг 7>ftvir) г//г
VtkWfJ- fry If jyip vf +ІЩ>'
/ iL /Ш) _ y- + у-й—
- +vMz
Система уравнений (1.7) решается в области 0<с$< М0 ( (?<. Z < Z0 )t где 0 - радиус разрядной камеры, а через
М0 обозначена начальная масса плазмы в одном радиане и в единице длины плазменного шнура.
При р~ О ( Z - О ) задаются условия симметрии:
v(o,t) = 0, Wei(c,t)^Oj Er(o,-t)=o; (іЛі)
при <(,- о ( Z-Z0) задаются условия:
где J(t) - разрядный ток - определяется из уравнений электротехнической цепи [52] :
Л c0 ? CI.I4)
при начальных условиях J (о)-о , U(o)- (Jo .
Здесь L , о. , C0 - соответственно индуктивность, сопротивление и емкость во внешней цепи, (У0 - начальное напряжение.
5. Диссертация состоит из Введения, четырех глав и заключения.
Первая глава посвящена изучению автомодельных решений уравнений газовой динамики с учетом источника (стока) энергии и стока массы на примере задачи о поршне. Анализ автомодельных решений показывает, что учет нелинейного источника или стока энергии приводит к качественно новым особенностям в поведении функций вблизи поршня по сравнению со случаем адиабатического сжатия и к несуществованию автомодельных решений в задаче о поршне при некоторых значениях параметров. При таких значениях параметров, как показывают численные расчеты системы уравнений в частных производных, за конечное время после начала сжатия плотность или температура газа вблизи поршня вместе с мощностью источника или стока соответсвенно, обращаются в бесконечность.
При изучении автомодельных задач в двухтемпературном приближении показано, что качественные особенности автомодельных решений уравнений газовой динамики с источником (стоком) энергии имеют место и в двухтемпературном случае.
Построено аналитическое решение автомодельной задачи о поршне, вдвигающемся в газ с постоянной скоростью с учетом стока массы, зависящем от времени. Анализ этого решения показывает, что учет стока массы приводит к большей величине плотности газа вблизи поршня (вследствие замедления скорости ударной волны) по сравнению со случаем отсутствия стока массы.
Вторая глава посвящена изучению регулярных режимов разлета
и сжатия конечной массы газа с учетом нелинейного источника или
стока энергии и стока массы. Проведен полный анализ временных и
пространственных функций регулярных режимов с учетом источника
(стока) энергии вида . Получены асимптотики вре-
менных функций регулярных режимов для всех значений параметров
а и v как для источника {Яо>0 ), так и для стока ( Qo<0 ) энергии. Показано, что для некоторых значений & , ё , Q0 регулярные режимы могут существовать лишь конечное время, что связано с обращением температуры в бесконечность или в нуль за конечное время. Рассмотрены автомодельные регулярные режимы. Показано, что автомодельные регулярные режимы могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. В первом случае степенные зависимости временных функций автомодельных регулярных режимов являются асимптотиками для функций f^(t) . Во втором случае (неустойчивость) функции % (t) имеют не степенные асимптотики, которые даются автомодельными регулярными режимами, а другие.
Построен пример сжатия конечной массы газа пошчем в регулярном режиме с учетом объемного стока массы, обладающий следующей особенностью. При уменьшении радиуса рассматриваемого элемента течения до нуля плотность (концентрация) газа обращается в бесконечность, несмотря на то, что к моменту охлопывания из элемента течения "утекает" вся начальная масса.
В третьей главе исследуются групповые свойства ГіІІ системы уравнений газовой динамики с источником (стоком) энергии. Решена задача групповой классификации уравнений газовой динамики по виду зависимости источника (стока) энергии от плотности и давления Q-QC^p) . Перечислены все специализации QCjif) , при которых происходит расширение допускаемой группы преобразований. Построены все существенно различные инвариантные решения. Исследованы упомянутые выше инвариантные решения типа бегущей и логарифмической бегущей волны, автомодельное решение в режиме с обострением и инвариантное решение, описывающее гомотермическое сжатие и разлет конечной массы газа.
Показано, что отмеченными выше особенностями процесса сжатия газа с учетом источника (стока) энергии обладают инвариант-
ные решения типа обычной и "логарифмической" бегущей волны (плотность вблизи поршня обращается в бесконечность за конечное время), а также автомодельное решение, описывающее режим с обострением (температура обращается в бесконечность вблизи поршня за конечное время). В режимах с обострением [20,50J одна или несколько газодинамических величин обращаются в бесконечность в конечный момент времени.
Все возможные качественные особенности процесса разлета или сжатия газа в регулярном режиме проявляются в построенном аналитически инвариантном решении типа гомотермического разлета или сжатия конечной массы газа.
Четвертая глава посвящена описанию метода численного решения уравнений двухтемпературной магнитной гидродинамики с учетом стоков энергии и массы. Получено девятипараметрическое семейство полностью консервативных разностных схем [52] уравнений магнитной гидродинамики с учетом стока массы в квазилагран-жевых координатах. Показано, что для построенного семейства разностных схем автоматически выполняются как балансы внутренней, кинетической и магнитной энетэгии, так и закон сохранения полной энергии для элемента течения газа.
Проверка точности разностной схемы проводилась путем сравнения численных расчетов с решением ряда автомодельных задач газовой динамики и магнитной гидродинамики с учетом стока массы.
Дано описание результатов упомянутых выше вычислительных экспериментов по тета-пинчу с учетом торцевых потерь. ,В работе 21 с помощью численных экспериментов исследовалась динамика сжатия плазмы в тета-пинче с учетом концевых потерь за счет продольной теплопт)оводности. Процессы, происходящие в плазме, рассматривались в одножидкостном двухтемпературной гидродинами-
ческом приближении в предположении осевой симметрии. Концевые потери моделировались объемными стоками энергии [8] . Было показано, что потери энергии, обусловленные продольной электронной теплопроводностью, существенным образом влияют на паршлетры плазмы.
В настоящей работе в аналогичном [21] приближении учитываются как потери энергии за счет продольной теплопроводности, так и стоки массы, а вместе с ней импульса и энергии через торцы плазменного шнура. Задача рассматривается в т.н. квазилаг-ранжевых координатах [5lJ . Численные расчеты сравниваются с экспериментами, проведенными в СФТИ [5J . Анализ расчетов показывает, что учет стока массы приводит к уменьшению температуры, а не к росту, как предполагалось в [21J . Дополнительное адиабатическое дожатие при учете стока массы идет на увеличение магнитного поля внутри плазменного столба.
Основные результаты диссертации, приведенные в Заключении, опубликованы в работах [53-60] и доложены на ХХУІ Научной конференции МФТИ (г.Москва, 1980 г.), на конференции "Математические модели, аналитические и численные методы в теории переноса" (г.Минск, 1982 г.), на Всесоюзной школе молодых ученых "Численные методы решения задач математической физики" (г.Львов, 1983 г.), на XXIX Научной конференции МФТИ (г.Москва, 1983 г.), на Московской городской конференции "Информатика, вычислительная техника, автоматизация в науке и технике, в народном хозяйстве" (г.Москва, 1983 г.), на Всесоюзной конференции по физике горячей плазмы, посвященной 75-летию со дня рождения академика Л.А.Арцимовича (г.Звенигород, март 1984 г.).
Автор благодарен своим научным руководителям А.А.Самарскому, П.П.Волосевичу, а также Е.И.Леванову за постоянное внтлание и помощь в работе;
Анализ автомодельных решений в случае, когда интегрируется уравнение энергии
Как будет показано в п.1.4 данного параграфа, в случае постоянной скорости поршня решение существует только в виде ударной волны, движущейся впереди поршня. Поэтому будем искать решение задачи (1.6),(1.7) в виде ударной волны, $ Si - координата, характеризующая положение фронта ударной волны. На фронте разрыва должны выполняться условия Гюгонио, которые в переменных (1.5) имеют вид:
Здесь индексом "2" отмечены величины за фронтом ударной волны. Отметим ограничения на паБаметры, вытекающие из физического смысла задачи. 1. Будем считать, что в области холодного фона мощность источника энергии равна нулю. Это приводит к условию а 0 , 2. Подсчитаем полную энергию газа на момент времени t 0. Для этого запишем уравнение изменения полной энергии газа в виде, который следует из (I.I): dt (f )- H4rV «« - 26 _ ит где = tfiZf - удельная внутренняя энергия газа. Проинте грировав (1.9) по массовой переменной от гп-о до т.- о и по времени от t = 0 до t 0 , получим величину полной энер гии газа: t р. f \mt)V(o}t)dt JffCLTy с/т) oft о 0 0 Используя замену переменных (1.5) и условие автомодельности (1.4), получим .L. E=C Іо (їло) где С - константа, зависящая от вида автомодельного решения.
Из (1.10) следует, что при 2.п0 + П- СО передаваемая энергия бесконечна, что противоречит физическому смыслу. Поэтому будем считать Zno+n s0 . При = О условие несуществования ре-шений примет вид ґі0 т, что совпадает с результатами работы [23] . 3. Всегда должно выполнятся условие tv 0 (ударная волна может двигатся только от поршня, а не к нему). Кроме того, т.к. 1 t , где t - переменная Эйлера, то должно выполнятся условие /?„ -/. При Ґ10У І и п 0 получим, что должно выполняться условие Анализ автомодельных решений в случае, когда интегрируется уравнение энергии. Используя, что Т= (tf-1)J , уравнение энергии, запи санное в (І.б) в энтропийной форме, в переменных (1.5) можно за писать в следующем виде: „ П$} +П = %(Ї 1) S ф (І.ІІ) При - Сі(Х-і) (в этом случае n-i-jz fc ) уравнение (I.II) интегрируется. Соответствующее решение имеет вид: - 27 - a m ЇМ = /W &&D-. і"] " a« {ІЛ2) вид: г ПІ і ї а. Ход интегральных кривых (І.І2) для разных значений параметров % и Пі изображен на фиг.1-4. Постоянная на фиг.1,2 имеет Из (I.I2) и фиг. 1-4 следует, что в случаях % & п уо ( a i ) и % 0 уп 0 ( a i ) "энтропийная" функция на поршне (при $-0 ) конечна и отлична от нуля. Поэтому, в отличие от случая fy-О ЯоФ0 , при котором плотность и температура на поршне равны либо нулю (при п УО )э либо бесконечности (при ft, 0) [22-24] , в случае % 0 9 о или % ?, hi 0 плотность и температура на поршне конечны и отличны от нуля.
В случаях % 0 , ЛІ 0 и % 0 » 0 интегральные кривые - (&) не доходят до границы газа с поршнем &= & и, следовательно, несмотря на формальное выполнение условия автомо-дельности (1.4) задача (1.2)-(1.3) не имеет решения.
Таким образом, наличие нелинейного источника в уравнениях газовой динамики приводит к качественно новым свойствам решения задачи о поршне по сравнению со случаем 0/ = О . Во-первых, в отличие от ранее известных решений, когда температура и плотность газа вблизи поршня обращались либо в нуль, либо в бесконечность соответственно, построены решения, когда при ґіо^0 температура и плотность газа вблизи поршня конечны и отличны от нуля. Во-вторых, при некоторых значениях мощности источника или стока энергии решение автомодельной задачи отсутствует, несмотря на формальное выполнение условия автомодельности (1.4).
Анализ временных и пространственных функций
Регулярными режимами принято называть решения уравнений газовой динамики, допускающие разделение переменных вида [43J
Такого рода решения негюдко используются для качественного описания различных газодинамических и тепловых эффектов (см. [42-47J и библиографию в [so] ).
Регулярные режимы являются частным случаем рассмотренных в монографии [ю решений, когда скорость газа пропорциональна радиусу. При этом для адиабатических течений в режимах разлета временная функция скорости стремится к постоянному значению, температура к нулю, а радиус к бесконечности с ростом времени
В режимах сжатия конечной массы газа в точку (радиус стремится к нулю в конечный момент времени) температура и скорость стремятся к бесконечности [i0J
В работах [42-44] изучались регулярные режимы разлета с учетом выделения энергии в пюедположении, что мощность источника степенным образом зависит от температуры и плотности:
Показано [43] , что, например, в случае Q-=0 , Ь - У решение асимптотически стремится к автомодельному регулярному режиму, в котором все функции ті (t) являются степенными функциями времени. В работе [44J высказывалось предположение, что указанное выше автомодельное решение является асимптотическим при произвольных начальных распределениях параметров.
В работах Ї45,48,67_ исследовались автомодельные регулярные режимы в магнитной гидродинамике. В работах [46,47] с помощью анализа автомодельных регулярных режимов изучалось влияние различных нелинейных эффектов на процесс сжатия конечной массы газа.
В 1 настоящей главы исследуются регулярные режимы как сжатия, так и разрежения конечной массы газа с учетом источника и стока энергии. При этом система обыкновенных дифференциальных уравнений для определения временных функций Г; (t) с помощью некоторой замены переменных сводится к одному уравнению на плоскости. Автомодельным регулярным режимам на этой плоскости соответствуют особые точки уравнения. Проведенный анализ таких особых точек показывает, что автомодельные регулярные режимы могут быть как устойчивыми (асимптотическими), так и неустойчивыми. В первом случае степенные зависимости автомодельных регулярных режимов являются асимптотиками для функций ( (t). Во втором случае (неустойчивость) функции ft (t) имеют не степенные асимптотики, которые даются автомодельными регулярными режимами, а другие.
В 2 настоящей главы изучаются регулярные режимы разлета и сжатия в газовой динамике с учетом стока массы. Показано, что при степенной зависимости мощности стока массы от температуры и плотности поведение газодинамических функций в режимах разлета аналогично адиабатическому случаю, изученному в [іо] . Регулярный режим сжатия с учетом стока массы указанного выше вида обладает интересной особенностью: при охлопывании элемента течения в точку из него утекает вся масса, но при этом плотность газа стремится к бесконечности вместе с температурой.
Регулярные режимы разлета и сжатия в газовой динамике с источником (стоком) энергии. І.І. Постановка задачи. Рассмотрим движение плоского ( У -О )t цилиндрического (У=і ) или сферического ( У - 2, ) слоя газа, имеющего постоян ную массу М0 , с учетом влияния нелинейного источника (стока) энергии. Систему уравнений газовой динамики в массовых переменных Лагранжа запишем в виде: а і СІЛ) Будем предполагать, что движение и тепловые и гидродинамические процессы протекают в т.н. регулярном режиме [20,43] , т.е. искомые функции представим в виде
Инвариантные решения типа бегущей и "логарифмической" бегущей волны
В Главе I были изучены автомодельные решения уравнений га сх зовой динамики с источником (стоком) энергии вида O-Q T J на примере задачи о поршне. В частности показано, что в случае (при выполнении условия 0 = СХ-С " ) ) и в случае Qo O , GC 1 автомодельных решений степенного вида не существует. Анализ результатов численных расчетов системы уравнений газовой динамики в частных производных показал (см. п.1.5 I Главы I), что при Qo 0 , Л / температура а при Qo 0 , Оі і плотность газа вблизи поршня обращаются в бесконечность за конечное время после начала сжатия. Появление определяющего парамера с размерностью времени означает неавтомодельность рассматриваемой задачи при данных значениях параметров ( Qo 0 , OL і и й ?, GL i)t хотя условия автомодельности формально выполняются (см. (1.4) Главы I).
Среди рассмотренных в Главе II регулярных режимов разлета и сжатия конечной массы газа существуют решения, в которых за конечное время после начала процесса температура или плотность обращаются в бесконечность (см. п.1.2 I Главы II). Но в регулярных режимах обращение, например, температуры в бесконечность происходит сразу во всех точках рассматриваемой конечной массы газа.
Поэтому представляет интерес задача о нахождении таких частных решений уравнений газовой динамики с источником (стоком) энергии, которые описывали бы процесс обращения температуры или плотности газа в бесконечность вблизи поршня за конечное время после начала сжатия первоначально покоящегося холодного газа.
В настоящей главе, посвященной анализу групповых свойств уравнений газовой динамики с источником (стоком) энергии, показано, что указанным выше свойством обладают некоторые инвариантные решения, отличные от автомодельных.
В работах [lI,I2J изучены групповые свойства и получены инвариантные решения уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных в адиабатическом случае. В работе [б9 проведен групповой анализ и изучены инвариантные решения уравнений одномерной нестационарной магнитной гидродинамики с конечной проводимостью в массовых лагранжевых переменных.
В I данной главы проведен групповой анализ системы уравнений газовой динамики с учетом источника (стока) энергии: решена задача групповой классификации [її] по виду зависимос ти мощности источника (стока) энергии @(J )P) от плотно сти и давления; в случае степенной зависимости мощности источ ника от плотности и давления (температуры) получены все сущест венно различные инвариантные решения ранга І [її] .
В 2 исследуются инвариантные решения типа бегущей волны и т.н. "логарифмической" бегущей волны . При этом, аналогично [28,40,4і]рассматриваются бегущие волны, создаваемые поршнем: соответсвующий закон изменения скорости поршня со временим определяется непосредственно из решения. Показано, что указанные решения, получаемые в аналитическом виде, описывают процесс- обращения плотности газа вблизи поршня в бесконечность за конечное время после начала сжатия в случае Qo 0 , CL і (см. Главу I, 1,2). данной главы посвящен изучению автомодельного решения в режиме с обострением для уравнений газовой динамики с источ ником энергии. При изучении тепловых процессов (см. [20] ) были описаны различные режимы горения среды в режиме с обострением: т.н. L$ -, А?-, / -режимы. В работе [70] указанная выше терминология переносится на газодинамические процессы. В /У-ре-жиме газодинамические параметры в каждой точке ограничены некоторым предельным значением и обращаются в бесконечность лишь на поршне, эффективные размеры волны сжатия сокращаются с течением времени. В $ -режиме происходит сжатие конечной массы газа до бесконечной плотности, эффективные размеры волн сжатия постоянны [7I,72j . В HS -режиме газодинамические параметры обращаются в бесконечность во всей области газа перед поршнем в момент фокусировки. В данном параграфе показано, что в рассматриваемом решении при t — tp (момент фокусировки) температура газа вблизи поршня обращается в бесконечность при 6 О f GL z . Это пример /. -режима [20,70] . При 0о О , 1 а 1 при приближении к моменту фокусировки температура газа стремится к бесконечности во всей области перед поршнем. Это пример /W-режима [20,70] .
Вычислительные эксперименты по тета-пинчу с учетом концевых потерь
Численные расчеты системы (2.22) показывают также, что аналогично предыдущему в случае Q0 G ,« / ив случае б?0 О , Q i решение, описывающее "логарифмическую" бегущую волну, существует только на конечном интервале ( 2, ), где $z $f При этом точка $=$z соответствует звуковой особой точке системы (2.22).
Рассмотрим численный пример для случая Qo 0 , 0 % i , На Фиг.74 представлены профили функций J (S) , V($) и / ($) , полученные численным расчетом системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.22) при следующих значениях параметров:tf= , & ъ Qo lz » , /=/ (сплошные линии). Видно, что за конечное время после начала сжатия плотность газа вблизи поршня обращается в бесконечность, что находится в качественном согласии с результатами численных расчетов исходной системы уравнений в частных производных в случае #о ? , 0 а 1 (см. I Главы I). Для проверки устойчивости построенного инвариантного решения проводился численный расчет краевой задачи (2.1)-(2.3). Результаты этого расчета представлены на фиг.74 крестиками. Видно удовлетворительное совпадение результатов, что показывает устойчивость построенного инвариантного решения типа "логарифмической" бегущей волны.
Легко проверить, что инвариантное //3"Реп1ение (м (1-7)) совпадает с автомодельными решениями степенного вида, изученными в Главе І. В настоящем параграфе рассматривается обощение автомодельного решения степенного вида на т.н. режимы с обострением [20] .
Отметим, что в работе [70] аналогичные автомодельные решения использовались для изучения явления локализации газодинамических процессов в изоэнтропических режимах сжатия с обострением (без учета источника энергии). При выполнении условия автомодельности вида (1.4) Главы I систему (2.1) с помощью (3.3) можно свести к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений: где штрихом обозначена пт)оизводная по переменной $ , а р0 -безразмерная постоянная, выражающаяся через размерные параметры & , fc , Si , " (см. I Главы I).
Отметил, что система (3.3) отличается от системы (1.6) Главы I для автомодельных функций в обычном режиме лишь знаками некоторых членов.
Граничное условие (3.1) в переменных (3.3) примет вид: При /t # (-/ & ) начальные условия (3.2) в переменных (3.3) примут вид: При W- ? ( & ( начальные условия (3.2) также перейдут в условия (3.7), но при $- -О . В этом случае, очевидно,d(0) .. Заметим также, что при УК О можно искать решение в виде ударной волны, движущейся впереди поршня. При п 0 физический смысл имеют только непрерывные решения. Аналогично I Главы I рассмотрим случай ё=}Г-а.(#-1) , при котором уравнение для энтропийной функции в системе (3.4) интегрируется: где Cg - постоянная интегрирования. Качественное поведение интегральных кривых (3.8) изображено на фиг.75,76.
Анализ показывает, что при / OL , Qo 0 существует только автомодельное решение с ударной волной, движущейся впереди поршня. Это пример т.н. Н$ -режима Г70J . В случае Н$ -режима температура при с tf. обращается в бесконечность во всей области 0 & m
В случае (Х , Qo О (П КО ) возможно непрерывное решение при О rvt о = , удовлетворяющее условиям (3.6), (3.7). Отметим, что в рассматриваемом случае (построение непрерывного решения при О ) численный расчет системы уравнений в направлении от $=0 к $ = о неустойчив, что связано с тем, что непрерывное решение содержит звуковую особую точку системы (3.4). Поэтому численный расчет велся методом Руиге-Кутта от звуковой особой точки в два этапа: в направлении до
На фиг.77 показан пример численного решения в случае #=2 , %= Видно, что все функции (S) , ( ) и ($) при S-O принимают конечные значения. Из формулы (3.8) можно получить следующее асимптотическое представление для энтропийной функции ZCW.t) при где константы О , г О выражаются через постоянные О » ft и о Таким образом, энтропийная функция ОГраНИ-чена сверху предельной кривой уАг , т.е. обращается в бесконечность только при ҐП = 0 (на поршне) в момент времени Таким образом построенное решение - пример LS -режима [70J .
Итак, если в некоторой начальный момент времени (например, t-0 ) перед поршнем задано непрерывное распределение параметров в соответствии с автомодельными прфилями (см. (3.3)), то при скорости поршня вида (3.1) температура газа вблизи поршня обращается в бесконечность в момент времени
