Введение к работе
Актуальность темы. Настоящий момент в науке характеризуется широким распространением методов математического моделирования. Мы будем понимать под математическим моделированием следующую цепочку отображения: физическая модель явления -математическая модель явления - вычислительная модель явления - программа - ЭВМ. Настоящая работа посвящена вопросу о соотношении между математической и вычислительной моделями явления. Заметим, что в теории дифференциальных уравнений уже давно существует подход одновременного изучения исходной математической задачи и ее конечно-разностного аналога. Здесь уместно вспомнить основополагающую работу Куранта Р.. Фри-дрихса К., Леви Г. "О разностных уравнениях математической физики", а также монографии Годунова С.К. "Уравнения математической физики", Ладыженской О.А. "Краевые задачи математической физики", Б лохина A.M. "Интегралы энергии и их приложения,к задачам газовой динамики" ,а также [13] и [14], в которых этот подход находит свое воплощение.
Существует такая точка зрения, что после того как сформулирована вычислительная модель, она может изучаться отдельно от исходной математической модели.
Однако, на наш взгляд, чрезвычайно важно придерживаться двух главных принципов математического моделирования: принципа одновременного рассмотрения математической и вычислительной моделей явления и принципа адекватности вычислительной модели исходной математической задачи.
Вообще говоря, из первого принципа следует второй, но мы выделяем его в силу исключительной важности этого принципа для конкретной вычислительной практики.
В основу конструирования и исследования вычислительных мо: делей мы положим требование адекватности вычислительной модели исходной дифференциальной задаче. Под адекватностью мы будем понимать следующее: вычислительная модель строится так. чтобы с ее помощью можно было доказать теорему существования решения исходной дифференциальной задачи. Последнее обстоятельство представляется чрезвычайно важным фактом, поскольку
при численных расчетах мы должны быть уверены в том, что приближенное решение действительно стремится в пределе к решению исходной дифференциальной задачи.
Цель работы. Целью данной работы является конструирование и исследование адекватных вычислительных моделей в случае смешанной задачи для симметрических t - гиперболических систем ( в частности, для квазилинейной системы уравнений газовой динамики) со строго диссипативными и диссипативными граничными условиями методом диссипативных интегралов энергии.
Общая методика исследования. В диссертационной работе приме-неняется техника диссипативного интеграла энергии при конструировании и исследовании вычислительных моделей.
Научная новизна. 1. В случае смешанной задачи для симметрических t - гиперболических систем с диссипативными граничными условиями разработан способ конструирования и исследования разностных моделей (как явных, так и неявных) с учетом граничных условий, основанный на применении техники диссипативных интегралов энергии.
2.Разработан способ задания устойчивых дополнительных граничных условий для разностных моделей симметрических t - гиперболических систем.
-
Доказана необоснованность автоматического переноса результатов исследования разностной задачи Коши на случай краевой разностной задачи на примерах: 1) смешанной задачи для системы акустического типа; 2) для системы уравнений акустики с граничными условиями на ударной волне.
-
На основе способа, указанного в пункте 1, построены несколько устойчивых разностных и дифференциально-разностных моделей на примерах 1) смешанной задачи для системы акустического типа; 2) для системы уравнений акустики с граничными условиями на ударной волне.
-
На примере многомерной квазилинейной системы уравнений в частных производных продемонстрирован способ переноса полученных результатов для нелинейных задач. В частности, на этой основе построены несколько новых адекватных разностных моделей для: 1) системы уравнений газовой динамики; 2) уравнений
системы мелкой воды, уравнения Бюргерса. а также адекватные схемы конечных элементов.
Теоретическая и практическая ценность. В диссертации разработана новая методология построения адекватных вычислительных моделей
Результаты работы могут быть использованы при разработке пакетов прикладных программ для расчета задач многомерных уравнений газовой динамики с ударными волнами.
Апробация работы. Весь материал, по мере его получения, обсуждался на семинарах A.M. Блохина в Новосибирском госуниверситете.
Результаты диссертации докладывались на семинаре ''Численные методы механики сплошной среды" под руководством чл.-корр. РАН Шокина Ю.И. и профессора Ковени В.М. (Институт вычислительных технологий СО РАН, кафедра ЧММСС НГУ). на объединенном семинаре кафедры вычислительной математики НГУ и Вычислительного центра СО РАН под руководством профессора Ильина В.П., на семинаре "Вычислительные проблемы математической физики" под руководством профессора Блохина A.M. (кафедра дифференциальных уравнений НГУ), на семинаре " Математика в приложениях" под руководством чл.-корр. РАН Годунова С.К. ( ИМ СО РАН) .на семинаре " Краевые задачи для уравнения гидродинамики" под руководством профессора Кажи-хова А.В. ( Новосибирский госуниверситет) . на объединенном семинаре ИТПМ СО РАН, на семинаре им. К.И. Бабенко (ИПМ им. М.В. Келдыша), на Всесоюзном семинаре-совещании "Теория кубатурных формул и смежные вопросы анализа" (Бухара - 1983). на Ш Всесоюзной школе "Методы вычислительной математики" (Новосибирск -1983), на Пятой Всесоюзной школе "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов в решении задач математической физики и теория приближений" (Казань - 1984). на Международной конференции по дифференциальным уравнениям с частными производными" (Новосибирск - 1986), на школе молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды" (Шушенское - 1987, Абакан - 1989), на конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск - 1989).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-14].
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 342 страницах и состоит из введения, шести глав, приложения и списка литературы, содержащего 58 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
