Введение к работе
Актуальность темы. Появление лазера около трети века назад открыло множество увлекательных областей, среди которых нелинейная оптика, безусловно, получила наибольшее развитие. Изучение этой области берет начало с экспериментальной работы П.А. Франкена с сотрудниками, выполненной в 1961 году, и теоретической работы Н. Бломберга с сотрудниками, выполненной в 1962 году. Тот факт, что плазма может выступать в роли сильно нелинейной среды, был известен еще на заре нелинейной оптики. Как проводящая жидкость плазма легко возмущается под действием внешних электромагнитных полей. Очень сильный и сложный отклик плазмы на мощное световое поле приводит к интереснейшим нелинейным эффектам, понимание физической сути которых имеет принципиальное значение.
Однако, полная система уравнений для электромагнитного поля в материальной среде очень сложна как для аналитического, так и для численного анализа, поэтому возникает необходимость во введении дополнительных упрощающих гипотез.
Это приводит к тому, что полученная модельная задача может применяться для исследования физического явления только в очень узкой области значений параметров задачи. Появление новой модели, описывающей известные ранее экспериментальные факты, но не обладающей нежелательными свойствами для критических значений параметров процесса, позволяет значительно продвинуться в изучении данного явления.
Однако, математическое исследование уравнений новой модели требует применения новых алгоритмов, получения оценок точности приближения. Это, в свою очередь, связано с вопросами существования и единственности решения дифференциальной задачи.
Особые трудности при решении такого рода задач могут возникать в случае, когда рассматриваемый физический процесс описывается системой существенно нелинейных уравнений в частных производных, имеющих различный тип. Классические результаты для подобных задач отсутствуют, и при доказательстве теорем существования и единственности решения возникает необходимость в использовании методов, учитывающих специфику данных уравнений.
Настоятельная потребность в исследовании новой модельной за-
дачи, предложенной в работе Л.М. Горбунова, Е.В. Чижонкова и описывающей процесс распространения электромагнитного излучения в плазме с учетом стрикционной и тепловой нелинейностей, привела к необходимости тщательного изучения вопросов, связанных со всеми сторонами проблемы: с существованием и единственностью решения дифференциальной задачи, с построением разностных схем, с обоснованием разрешимости разностных задач, со сходимостью решения разностной задачи к решению дифференциальной, с исследованием итерационных методов решения разностных 'задач.
Цель работы состоит в наиболее полном, по возможности, исследовании задачи о распространении электромагнитного излучения в плазме с учетом нагрева среды: начиная от теорем существования, единственности и гладкости обобщенного решения и кончая разностными методами решения задачи.
Научная новизна работы. В диссертации рассматривается система трех уравнений в частных производных, описывающих процесс распространения электромагнитного излучения в плазме с учетом тепловой и стрикционной нелинейностей. При этом уравнение для вектора напряженности имеет вид уравнения Шредингера, уравнение для температуры имеет эллиптический вид, а уравнение для плотности - градиентный вид. Классические результаты для подобного рода задач отсутствуют, и это приводит к необходимости, учитывая специфику задачи, одновременно применять технику, разработанную для каждого из трех типов уравнений.
В диссертации доказываются теоремы существования и единственности обобщенного решения данной задачи. Метод доказательства определяет алгоритмы численного решения задачи.
Отметим, что с практической точки зрения представляет интерес модель, в которой предполагается слабый нагрев среды. Тогда уравнение на температуру отсутствует, а уравнение на плотность можно проинтегрировать в явном виде. Для полученной таким образом модели с постоянной температурой в диссертации доказаны теоремы существования, единственности и гладкости решения в более общей формулировке.
В работе исследована неявная разностная схема второго порядка, полученная при аппроксимации уравнения модели с постоянной температурой в декартовых координатах, и неявная разностная схема второго порядка, полученная при аппроксимации уравнений модели, учитывающей температуру, в цилиндрических координатах. Изучены вопросы разрешимости разностных схем, приведены оценки скорости сходимости решения разностных задач к решению дифференциальных.
В диссертации описаны итерационные методы решения поставленных разностных задач.- Приведены оценки скорости их сходимости.
В работе изложены результаты численных экспериментов. Расчеты проводились при различных значениях параметров для одно-температурной модели в декартовых и циллиндрических координатах и для модели с температурой в циллиндрических координатах. Численные эксперименты хорошо согласуются с теоретическими исследованиями.
Практическая значимость. Результаты, полученные в работе, позволяют осуществить детальный анализ процесса распространения электромагнитного излучения в плазме при наличии стрик-ционной и тепловой нелинейностей в широком диапазоне физических параметров и могут служить базой для дальнейшего изучения свойств плазмы.
Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались и докладывались на:
-научно-исследовательском семинаре мех.-мат. ф-та МГУ под . руководством академика РАН Н.С. Бахвалова;
-научно-исследовательском семинаре НИВЦ МГУ под руководством проф. Я.М. Жилейкина;
-конференции молодых ученых МГУ (кафедра дифференциальных уравнений, 1995);
-четвертой Международной конференции по прикладной и вычислительной математике (Москва,1995).
Публикации. По материалам диссертации опубликована одна
работа.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 41 названия, приложения. Общий объем работы 95 стр.
