Введение к работе
. Актуальность темы. Глубокое изучение начальных и краевых задач для ОДУ второго порядка с малым параметром е при старшей производной стало возможным после появления и развития теории асимптотических методов, позволяющих строить асимптотические приближения к решениям таких задач и таким образом исследовать поведение решений при е - 0. Теоретические основы исследования поведения решений начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при производной при і помощи асимптотических методов были заложены в работах Е. Коддингто-на. Н. Левинсона. А.Н. Тихонова. В дальнейшем теория асимптотических методов получила широкое развитие в работах В.Ф. Буту-зова. А.Б. Васильевой. В.Базова, М. И. Вишика. Л.А. Люстерника,' Ф. Хауэса и др. В настоящее время асимптотические методы получили широкое распространение. Их применение позволяет не только определить характер поведения решения исследуемой задачи при е - 0 . но и получить априорные оценки области, где лежит искомое рг'пюние и его производные. Именно' эти оценки наиболее ччсто попользуются при построении численного решения сингулярно возмущенных задач. Исследования, начатые в работах Н.С. Бахва-лова. Э. Дулана, A.M. Ильина, Дж. Миллера, У. Шилдерса и продолженные многими другими авторами, позволяют во многих случаях построить равномерно сходящийся численный метод для решения задач с малым параметром. Если функция, являющаяся асимптотическим приближением для решения сингулярно возмущенной задачи, вычислена каким-либо численным методом, то в результате будет получено численное решение этой задачи, погрешность которого зависит от величины параметра е. Различные численные методы для
вычисления асимптотических приближений предложены во многих работах, но, как правило, вычисляются грубые асимптотические приближения: точность получаемого численного решения исходной задачи обычно имеет вид 5 + 0( е ). реже - 5 + 0( t2 ). где 5 - точность, с которой вычислена функция, являющаяся асимптотическим приближением; величина б также может зависеть от е. Цель работы состоит в следующем:
построить численный метод, позволяющий вычислять с заданной точностью асимптотические приближения к решениям краевых задач для ОДУ- второго порядка с малым параметром при старшей производной;
построить численный метод решения краевых задач для ОДУ второго порядка с малым параметром при старшей производной, основанный на использовании расчитанных с заданной точностью асимптотических приближений;
осуществить програмную реализацию этого численного метода и его практическое применение для численного решения ряда краевых задач для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Построен численный метод расчета асимптотических разложений решений широкого класса сингулярно возмущенных краевых задач. Предложен метод получения численных решений краевых задач для линейных и нелинейных ОДУ второго порядка с малым параметром при старшей производной. Условия применимости этого численного метода отличаются от условий применимости методов, традиционно используемых при численном решении рассмотренного класса задач. Кроме того, построен численный метод решения краевых задач для ОДУ второго порядка, поставленных на полубесконечной прямой.
Практическая ценность. В работе подучена оценка числа арифметических действий, которое необходимо затратить, чтобы получить численное решение рассмотренного класса краевых задач с заданной точностью. Анализ этой величины показывает, что численное решение может быть получено с высокой точностью без больших вычислительных затрат: эти затраты существенно меньше, , чем при использовании традиционных равномерно сходящихся численных методов.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством д. ф. м. н. Поспелова В. В., на семинаре физического факультета МГУ под руководством проф. Бутузова В.Ф. и проф. Васильевой А.Б., на семинарах кафедры математической физики под руководством проф. Денисова A.M. и кафедры вычислительных методов под руководством проф. Андреева В. Б. - факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. а также на Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно возмущённых уравнений и некорректно поставленных задач". г. Бишкек.. 19Э1.
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 170 страницах машинописного текста и состоит из' введения, трех глав, заключения и приложения. Приложение состоит из 20 таблиц, в которых приведены полученные с различной точностью численные решения ряда краевых задач для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, точные решения этих задач, а также результаты вычисления всех функций, необходимых при построении асимптотических приближений к решениям этих задач.
