Введение к работе
з І.
Актуальность темы. Метод конечных разностей решения задач математической физики является одним из самых распространенных и развитых в области вычислительной математики. В основе этого метода лежит переход от непрерывной среды к некоторой ее дискретной модели — множеству точек, которое обычно называют сеткой. Решение задачи ищется только в точках этого множества, называемых узлами сетки. При таком переходе естественно требовать, чтобы разностные схемы (совокупность уравнений, аппроксимирующих исходную задачу) выражали в узлах сетки соответствующие интегральные законы сохранения, которыми характеризуются различные физические процессы. Разностные схемы с таким свойством называются консервативными [1,2].
Существуют много способов получения сеточных уравнений разностной схемы. Последняя, полученная с помощью самого популярного способа, в котором все производные от неизвестной функции в дифференциальном уравнении и в граничных условиях непосредственно заменяются эквивалентными разностными выражениями, может оказаться неконсервативной [2].
В результате применения балансных методов (интегро-интерполяционный метод (2), метод контрольных объемов [3], метод конечных объемов [4], "Ьох"-метод [5] и др.) почти всегда получаются консервативные схемы. Но эти методы, к сожалению, мало изучены в многомерном случае. Развитие таких методов и их применение к решению различных трехмерных задач математической физики является одной из немаловажных целей вычислительной математики.
Целью диссертационной работы ставились разработка алгоритмов разбиения трехмерных замкнутых областей на конечные объемы (элементарные ячейки), решение трехмерных краевых задач с помощью балансных разностных методов и создание программных модулей, предназначенных
для машинной реализации некоторых предложенных алгоритмов.
Научная новизна. Разработан новый экономичный алгоритм разбиения многомерных областей на ячейки Дирихле, связанные с некотором набором внутренних точек. Предложен и исследован алгоритм построения приближенного решения различных трехмерных краевых задач для уравнения Пуассона с кусочно-постоянными коэффициентами с помощью балансных разностных методов. Разработаны программные модули, предназначенные для машинной реализации некоторых предложенных алгоритмов.
Теоритеческая и практическая ценность работы. Полученные результаты носят теоретический и практический характер и могут быть использованы в исследованиях по проектированию электро-оптических систем. Разработанные программные модули могут быть включены в состав пакетов, проводящих расчеты различных электронных приборов. Кроме того, полученные ячейки Дирихле (разбиение Вороного) позволяют экономично построить триангуляцию Делоне многомерных областей, которая может быть использована при решении широкого класса задач методом конечных элементов.
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались в объединенных семинарах кафедры вычислительной математики НГУ и ВЦ СО РАН.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7] - [10].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих семь параграфов, заключения и списка литературы из 44 наименований. Обьем работы -98 машинописных страниц, включая две таблицы и 27 рисунков.
