Введение к работе
-.-tiiMv/lthA
Детализируя название диссертации, можно сказать, что она посвящена разработке и обоснованию ряда экономичных проекцион-но-сеточных алгоритмов решения многомерных параболических начально-краевых задач в геометрически сложных областях, хорошо адаптирующихся (алгоритмов) для реализации на многопроцессорных ЭВМ, и на базе которых возможно создание высокотехнологичных функциональных средств для производства программного обеспечения решения сложных прикладных задач. Приведем некоторые соображения об актуальности данной тематики, конкретизируем цель исследования и решаемые для ее достижения задачи, кратко остановимся на научной новизне результатов и вкладе автора в их получение.
Актуальность данной тематики обусловленна следующими факторами. Во-первых, это возрастающая практическая потребность в моделировании процессов нестационарной диффузии и теплопроводности в сложных реальных объектах с учетом многовариантности проведения расчетов, что диктует весьма высокие требования к функциональному наполнению используемых пакетов программ. А именно, алгоритмическая база такого наполнения донна быть построена на основе достаточно универсальных, с одной стороны, и экономичных, с другой, методов. Далее, важным фактором развития современного поколения вычислительных алгоритмов является требование возможности их эффективной реализации на многопроцессорных ЭВМ. В полной мере это проявилось в интенсивном развитии методов декомпозиции области для решения стационарных задач. Естествена потребность в таком развитии аналогичных методик, специальна приспособленных для решения нестационарных уравнений. И наконец, эксплуатация алгоритмов в режиме многовариантности расчетов диктует высокие требования по их надежности. В свою очередь, необходимым условием для этого является теоретическая обоснованность используемых методов. Перечисленные факторы говорят об актуальности рассматриваемой проблематики.
Данное исследование проводилось в соответствии с планами научно-исследовательских работ Вычислительного центра СО РАН, а также в рамках пост. ГКНТ СССР Л555, НИП »431 ГКН'Г СССР и темы 5.3 двустороннего сотрудничества между АН СССР и БАН.
Цель данного исследования состоит в развитии алгоритмической баоы для создания высоко производительных вычислительных технологий решения многомерных параболических задач в областях со слоаной геометрией. При этом такая база должна основываться на методах, обладающих высокой степень» универсальности, экономичности и надежности. Одним из наиболее эффективных, на наш взгляд, средств для достикения универсальности, является про-екциошю-сеточная технология, а средством достижения экономичности - идеология методов расщепления. Поэтому одна из решаемых задач - это разработка средств для проекционно-сеточных формулировок ряда хорошо известных схем расщепления и теоретический анализ такого класса алгоритмов. Но главная задача со-, стоит в распространении идеи расщепления на методы декомпозиции области. Сама эта идея для проекционных формулировок весьма прозрачна, поскольку аддитивное представление энергетического скалярного произведения очевидным образом вытекает из аддитивного представления области (в виде объединения некоторой системы подобластей). Главные трудности связаны с созданием теоретических основ для использования достаточно широкого класса подобных алгоритмов. Именно решение этой задачи позволило получить ряд новых алгоритмов декомпозиции области для параболических уравнений, и положить декомпозиционную методику в основу программного обеспечения.
Научная новизна работы достаточно подробно обсуждается в обзоре публикаций (п.1.1). Материалы второй главы частично являются систематически изложенным обобщением отдельных фактов, встречавшихся в литературе ранее, а такое, например, понятие, как псевдоконцентрируияий оператор, введено впервые. Также впервые указан способ построения многомерных барицентрических множеств. Формулировки всех утверждений второй главы являются оригинальными. Далее, в основе исследования, проведенного в третьей главе, лежат известные схемы расщепления. Однако их проекционные формулировки в пространстве кусочно-линейных фун-
кций и теоремы об ou-jHica.x погрешности являются новыми. Для метода декомпозиции области с пересчетом основой явилась работа П.Н.Вабишевича, в которой на разностном уровне для двух подобластей был впервые сформулирован указанный алгоритм. В остальном все результаты четвертой главы принадлежат автору. Из алгоритмов пятой главы следует выделить метод типа покомпонентного расщепления, автором которого является М.Дрыя. Приведенная з диссертации Teopev?a о сходимости этого метода уточняет анонсированный (предложенный без доказательства) результат М.Дрыи. Остзлные алгоритмы .пятой глазн и их обоснования являются оригинальными. Все изложенные в главах со второй по пятую результаты (с учетом сделанных замечаний) принадлежат лично автору диссертации. Что касается программных разработок, реа-лизуших декомпозиционную методику, и, з частности, создания пакета для анализа тепловых полей в электродинамических громкоговорителях, а такяе проведения с его помощью расчетов, то здесь работа велась в соавторстве с С.А.Шишкиным.
Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в 19 работах, в том числе в одной монографии (см. список публикаций), и докладывались на Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" (Новосибирск, 1987), на Международной, конферэнции по численным методам и приложениям (София, 1988), на второй Всесоюзной конференции "Современные проблемы численного анализа" (Тбилиси, 1989), на YI Сибирской школе по впчислительной математике (Новосибирск, 1969), на VII Сибирской школе по вычислительной математике (Красноярск, 1991). на сеїлинарах Института математики и механики БАН (София, 1986,1987), а также на семинарах Казанского госуниверситета и ВЦ СО РАН .
Структура диссертации. Диссертация состоит из предисловия, в котором дается общая характеристика работы, определяющая ее актуальность и цели исследования, пяти глав, заключительных замечаний и списка литературы, содержащего 234 наименования. Каждая глава разделена на пункты, а некоторые из пунктов - на подпункты. Для удобства чтения каждая глава предворяется кратким введением-аннотацией. Заключительные замечания, кроме перечня полученных результатов, содержат краткий список вопро-
I
сов, оставшихся за пределами данного исследования, но непо-сре^твенно с ним связанных. При изложении содержания работы в с.-'л.''.иеферате используется двухиндексная нумерация формул (первый индекс - номер главы), а для определений и утверждений сохраняются соответствующие трехиндексные номера из текста диссертации.
