Содержание к диссертации
Введение
1. Математические методы в микрофизике аэрозолей . 9
1.1. Основные положения динамики аэродисперсных систем 9
1.2. Модельные кинетические уравнения 14
1.3. Модельные граничные условия 18
1.4. Интегрально-моментный метод решения кинетического уравнения 22
2. Движение летучей частицы в собственном насыщенном паре 26
2.1. Обзор теоретических и экспериментальных работ . 26
2.2. Постановка задачи 32
2.3. Движение летучей частицы в вязком со скольжением режиме 36
2.4. Движение летучей частицы в свободномолекулярном режиме 40
2.5. Постановка задачи о движении летучей частицы при произвольных числах Кнудсена. Основные уравнения 47
2.6. Метод решения системы интегральных уравнений . 53
2.7. Обсуждение результатов 55
3. Термофорез сферической аэрозольной частицы 68
3.1. Обзор теоретических и экспериментальных работ 68
3.2. Термодиффузиофорез летучей сферической частицы в свободномолекулярном режиме 78
3.3. Постановка задачи о термофорезе сферической частицы при произвольных числах Кнудсена. Основные уравнения . 92
3.4. . Метод решения системы интегральных уравнений . 100
3.5. Обсуждение результатов 106
3.5.1. Термофоретическое движение в вязком со скольжением режиме 106
3.5.2. Термофоретическое движение в промежу -точном и свободномолекулярном режимах . 121
3.5.3. Сравнение с экспериментальными данными 125
Основные результаты и выводы 132
Литература
- Модельные кинетические уравнения
- Движение летучей частицы в вязком со скольжением режиме
- Термодиффузиофорез летучей сферической частицы в свободномолекулярном режиме
- Термофоретическое движение в вязком со скольжением режиме
Введение к работе
Зародившееся в начале 20-го века научное направление, связанное с изучением систем частиц, взвешенных в атмосфере -аэрозолей, в настоящее время превратилось в самостоятельную дис -циплину - физику аэрозолей, тесно связанную со многими естест -веннонаучными направлениями [I] .
Одни проблемы физики аэрозолей стали уже достаточно традиционными, другие были поставлены на повестку дня последними десятилетиями.
По степени значимости эти проблемы условно можно подразделить на следующие. Во-первых, это глобальная проблема борьбы с загрязнениями воздушной среды аэрозолями как искусственного,так и естественного происхождения [2] . Во-вторых, многочисленные технологические приложения требуют сведений о поведении дисперсных сред в различных условиях. Такие проблемы актуальны для хи -мической промышленности, для всевозможных технологий, использующих процессы воспламенения и горения жидкого и твердого топлива, при очистке больших объемов промышленных газов от дисперсной фракции и для других отраслей [3].
В-третьих, следует отметить многочисленные аспекты физики атмосферы ^оптика атмосферы [V], физика облаков [5] и др.;, для которых проблемы поведения аэродисперсных систем являются определяющими. Новые направления в этой области были инициированы лазерным мониторингом атмосферы [6]. В-четвертых, вопросы поведения частиц во внешних полях в условиях высокого вакуума ока -зались принципиальными и в такой области, как астрофизика [7].
В настоящее время принято выделять в физике аэрозолей два
основных взаимосвязанных направления - макрофизику и микрофизику аэрозолей [3].
Под макрофизикой аэрозолей, согласно [3], понимается изуче -ние кооперативных, коллективных свойств аэродисперсных систем. Основные направления исследований в этой области - это коллективное образование аэрозолей, оптическая прозрачность аэрозольных сред, процессы фильтрации, динамика аэрозольных полей (т.е. динамическое поведение аэродисперсных систем в турбулентных потоках, акустических, электрических и других полях).
Явления, включающие процессы образования, движения и взаимодействия одной или двух (или, в более общем случав, небольшого числа) аэрозольных частиц с газовой фазой, составляют предмет микрофизики аэрозолей.
В свою очередь, в микрофизике аэрозолей определяющим направлением является изучение процессов переноса массы, импульса и энергии от газовой фазы к взвешенной одиночной частице. Конкретно это процессы испарения и конденсации, движения .частицы в изотермическом потоке газа, движения в полях градиентов температуры и концентрации (термо- и*диффузиофорез), в поле электромагнитного излучения (фотофорез) и другие [8] .
К настоящему времени достигнут значительный прогресс в изучении этих явлений, позволивший развить многие важные практиче -ские приложения (например, теорию термодиффузиофоретического осаждения аэрозолей [8]). Однако большинство теоретических рас -смотрений подобных явлений не свободно и от ряда ограничений. В частности, за исключением работ' [9-14] , анализировались лишь предельные по числу Кнудсєна (/Г/г = /#0 , где I - средняя длина свободного пробега молекул газа, RQ - радиус частицы) случаи процессов переноса массы, импульса и энергии к аэрозоль -
ной частице. При малых значениях числа Кк , когда поведение газа близко к континуальному, использовались методы гидрогазодииа -мики со скольжением, а при Кп»1 ^так называемый свободномолеку-лярный режим) непосредственно вычислялись все необходимые макро -параметры [8]. Промежуточный по числу Кнудсена режим, представляющий наибольший практический интерес, приближенно описывался лишь на основе эвристических или эмпирических соображений.
Строгий подход к граничным задачам кинетической теории газов основывается, как известно [I5J , на решении уравнения Больцмана (или модельных кинетических уравнений) с соответствующими начальными и граничными условиями для функции распределения. Однако существенная сложность такого подхода до сих пор не позволила создать законченной теории для описания процессов переноса к аэро -зольной частице.
В диссертационной работе представлены результаты теоретического исследования некоторых частных задач процессов переноса к одиночной аэрозольной частице (вычисление изотермической силы сопротивления летучей частицы, расчет термошоретической силы и скорости движения твердой аэрозольной -частицы). При решении указан -ных задач использовались модельные кинетические уравнения с над -лежащими граничными условиями для описания взаимодействия газ -поверхность частицы.
В первой главе обсуждается возможность кинетического подхода к проблемам микрофизики аэрозолей. Приводятся основные положения динамики аэродисперсных систем, рассматривается модель одиночной частицы, взвешенной в бесконечном объеме газа, записываются мо -дельные кинетические уравнения и граничные условия к ним, кратко описывается интегрально-моментный метод решения кинетического уравнения.
Во второй главе представлены результаты решения задачи о силе сопротивления летучей аэрозольной частицы, обтекаемой потоком ее собственного пара. Критически анализируются известные теоретические и экспериментальные результаты, обсуждаются физически важные аспекты постановки задачи. Отдельно изложены результаты решения задачи в случаях свободномолекулярного и вязкого со скольже -нием режимов движения. При этом обсуждается вопрос о тепловой поляризации поверхности частицы, обусловленной изотермическим потоком тепла в газе. Далее проводится постановка задачи для произ -вольных чисел Кнудсена, обсуждается вариационный метод решения системы интегрально-моментных уравнений. Приведены результаты чис-ленногорасчетасилы сопротивления летучей частицы как функции числа Кнудсена, коэффициентов испарения (конденсации; и аккомодации тангенциального импульса. Обсуждается влияние летучести и неполной аккомодации импульса на силу сопротивления, проведено сравнение с известными теоретическими и экспериментальными данными. Из сопоставления рассчитанных значений силы сопротивления с экспериментом извлекаются значения коэффициентов аккомодации тангенциального импульса для конкретных пар вещество частицы - газ.
В третьей главе представлены результаты решения задачи о тер-мофорезе твердой аэрозольной частицы. Проведен обзор теоретических и экспериментальных работ, обсуждены физически важные вопросы постановки задачи. Отдельно представлены результаты решения задачи о термодиффузиофорезе летучей частицы в условиях свободно-молекулярного режима, проведены оценки влияния внутренних степе -ней свободы многоатомных молекул на термофоретические силу и скорость в случае КП">->1 . Далее проводится постановка задачи о термофорезе для произвольных чисел Кнудсена, приведены основные уравнения, обсуждается метод решения. Путем асимптотического раз-
ложения полученного решения при Ки«{ отдельно рассчитаны значения термофоретическои силы в вязком со скольжением режиме. Приведены результаты расчетов термофоретическои силы и скорости при произвольных числах Кнудсена. Обсуждается эффект отрицательного термофореза, анализируется влияние коэффициентов аккомода -ции энергии и тангенциального импульса на характеристики движе -ния. Проведено сравнение с известными экспериментальными и теоретическими данными.
Модельные кинетические уравнения
Основным уравнением динамики разреженного газа является кинетическое уравнение Больцмана. Его свойства подробно описаны в монографиях [21-23] . Уравнение Больцмана является нелинейным интегродифференци -альным уравнением для функции распределения fIt ,х ,V ;, которая определяет плотность числа молекул в шестимерном фазовом пространстве ( х , ). В отсутствие внешних сил уравнение Больцмана для одноатомного газа имеет вид:
где 3(э ) - квадратичный интегральный оператор, характеризующий скорость изменения числа молекул в единичном объеме фазового пространства за счет соударений.
Сложность и многомерность интеграла столкновений 3(f9-f) существенно затрудняет решение уравнения Больцмана. Прогресс в исследовании течений собственно разреженного газа, где число Кнуд-сена является определяющим параметром, связан с внедрением в практику исследований ЭВМ и соответствующих численных методов. Одна -ко, как указывается в [2 , граничные задачи динамики разрежен -ного газа на основе использования собственно уравнения Больцмана не относятся к разряду эффективно решаемых с помощью существующих ЭВМ.
Решение уравнения Больцмана дает функцию распределения молекул по скоростям, по которой интегрированием в пространстве ско -ростей с соответствующим весом определяются все необходимые мак -ропараметры. Таким путем задача решается в полном объеме, в ре -зультате определяется максимально возможная информация о поведении газовой системы. Однако, при исследовании большинства при -кладных проблем динамика разреженного газа основной интерес представляет не сама функция распределения, а лишь несколько ее пер -вых моментов.
Так возникает идея о построении приближенных кинетических уравнений, которые были бы много проще полного уравнения Больцмана, но сохраняли бы его основные средние свойства.
Первая модель уравнения Больцмана была предложена в работе [25] и, независимо, в [26] : б) = f0 - K{ ) Gxp(c-u)2 локально-максвелловская функция распределения, /г , 17 , Т - числовая плотность, макроскопическая скорость и температура газа соответственно, определяемые через функцию распределения согласно следующим соотношениям О - время релаксации возмущений в пространственно-однородном газе.
К недостаткам модельного ЕГК-уравнения относится невозможность одновременного описания на его основе процессов тепло- и массопереноса для одноатомного газа Pr = 2/3.
Частота столкновений т в модели БГК {1.в) выбирается таким образом, чтобы она соответствовала либо правильному (.по теории Чеимена-Энскога) значению коэффициента вязкости (в задачах, где определяющую. Число Прандтля для него равно единице, что отли -чается от точного значения роль играют вязкостные эффекты), либо - значению коэффициента теплопроводности в задачах теплоперено-са). И в том, и в другом случае частота столкновений в модели БГК не зависит от относительной скорости сталкивающихся молекул, что справедливо лишь для модели псевдомаксвелловских молекул.
К недостаткам модельного ЕГК-уравнения относится невозможность одновременного описания на его основе процессов тепло- и массопереноса. Число Прандтля для него равно единице, что отли -чается от точного значения для одноатомного газа Pr = 2/3.
Частота столкновений т~* в модели БГК {1.в) выбирается таким образом, чтобы она соответствовала либо правильному (.по теории Чеимена-Энскога) значению коэффициента вязкости (в задачах, где определяющую роль играют вязкостные эффекты), либо - значению коэффициента теплопроводности ^в задачах теплоперено-са). И в том, и в другом случае частота столкновений в модели БГК не зависит от относительной скорости сталкивающихся молекул, что справедливо лишь для модели псевдомаксвелловских молекул.
Позднее были разработаны регулярные процедуры построения последовательности приближенных кинетических уравнений J27-29].
Метод Гросса-Джексона [27] основывается на принципе совпадения спектра собственных чисел больцмановского и модельного операторов столкновений для максвелловских молекул. В работе [28] предложена схема построения кинетических модельных уравнений на основе метода максимизации энтропии. Подход, развитый в [29], базируется на требовании совпадения первых /I моментов аппроксимирующего и точного интегралов столкновений. Аппроксимирующее уравнение называется уравнением /г -го приближения, если совпадают /г указанных выше моментов.
К недостаткам данной модели относится ее квазилинейность, т.к. функция т" в методе равных моментов представляется раз -ложением в ряд по полиномам Эрмита вблизи локально-максвелловско-го распределения. Таким образом, проблематично использование этого уравнения для описания сильно неравновесных процессов.
Достаточно полные обзоры с анализом существующих модельных уравнений приведены в [23, 24, 29].
Основным достоинством модельных уравнений является то, что по сравнению с полным уравнением Больцмана они существенно упрощают решение граничных задач динамики разреженного газа (особенно при промежуточных числах Кнудсена; и при этом сохраняют высо- кую точность [23, 29].
Движение летучей частицы в вязком со скольжением режиме
Указанные эксперименты охватывают широкий диапазон изменения чисел Кнудсена. Б частности, эксперименты Милликена с капельками часового масла в воздухе охватывают режимы от вязкого со скольже -нием {/(п ОД; до свободномолекулярного (А/г ЮО;.
Эксперименты, как правило, проводились при комнатных температурах. Целью данной главы является: I; вычисление силы сопротивления летучей сферической частицы при движении ее в собственном насыщенном паре для произвольных чисел Кнудсена, произвольных значений коэффициентов испарения (конденсации; и аккомодации тангенциального импульса; 2;.анализ влияния фазовых превращений на поверхности частицы на силу сопротивления. Б заключение будет проведено сопоставление полученных результатов с известными теоретическими и экспериментальными данными.
Рассмотрим стационарное обтекание сферической частицы радиуса R0 потоком ее собственного насыщенного пара. Пусть невозмущенные частицей значения числовой плотности и скорости движения пара равны Н и «, соответственно, ос - радиус-вектор с началом в центре частицы, t? - вектор молекулярной скорости, 0 - полярный угол, отсчитываемый от направления 1Ло против часовой стрелки (рис.2.1;. что соответствует предположению о малости числа Маха М- 1 . Кроме того, полагается малым и число Рейнольдса,
В работах [60, 61] было показано, что при изотермическом в смысле отсутствия в газе внешнего градиента температуры; обтекании частицы ее фронтальная к потоку честь нагревается, а тыльная - охлаждается при равенстве средней температуры частицы температуре газа;. Этот эффект получил название "тепловой поляризации" частицы по аналогии с электрическим диполем. Было показано, что тепловая поляризация обусловлена изотермическим переносом тепла в движущемся газе и не связана с диссипацией энергии в тормозя -щемся потоке газа за счет сил вязкости. В вязком со скольжением режиме этот эффект был теоретически предсказан в рэботах [бО-бі] и получил экспериментальное подтверждение [62]; для свободномо -лекулярного режима он будет обсуждаться в разделе 2.4. Величина этого эффекта существенно зависит от соотношения коэффициентов теплопроводности частицы и газа Л р/ о. . В случае, когда Л »1 эффектом тепловой поляризации можно полностью пренебречь, а температуру частицы считать постоянной и равной температуре газа Too
Когда А 1 , то максимально возможный перепад температур на концах диаметра частицы за счет данного эффекта не превысит долей градуса, а максимально возможный вклад от него в силу со -противления - 1...2% (см.раздел 2.4).
Наличие фазовых превращений на поверхности частицы обуславливает ряд физических явлений, которые также требуют тщательного анализа. Процессы конденсации пара на фронтальной к потоку и испарения на тыльной стороне частицы приводят к установлению гра -диента температуры внутри частицы вдоль направления движения. Этот эффект усиливается за счет тепловой поляризации частицы. В свою очередь, на неоднородно нагретую частицу действует радиометрическая сила [їв] , а в случае жидкой частицы - и термокапилляр -ная сила [63] , вызываемая изменением поверхностного натяжения частицы в зависимости от изменения температуры ее поверхности.
В диссертационной работе рассматривается отражающий большинство реальных ситуаций случай. Считалось (за исключением результатов раздела 2.4), что теплопроводность вещества частицы значительно превосходит теплопроводность паровой фазы, т.е.Л» . В этом случае возникающим градиентом температуры внутри частицы можно пренебречь, а температуру частицы и пара считать постоян -ной и равной
Термодиффузиофорез летучей сферической частицы в свободномолекулярном режиме
Таким образом, можно констатировать, что на сегодняшний день нет единой точки зрения на особенности термофореза при ма -лых числах Кнудсена. Прежде всего это касается сильнотеплопро -водных частиц. Гидродинамический подход [93-95 не предсказывает для них возможности отрицательного термофореза, а в работах [36, 96-97, 42, 100, 102], где обращение знака силы или скорости термофореза зафиксировано, даются различные физические объясне -ния и количественные критерии такого обращения.
Существующие экспериментальные данные не подтвердили пока наличия отрицательного термофореза (о возможных причинах этого будет сказано в разделе 3.5). Это породило как категоричные высказывания о "некорректности теоретических предсказаний отрицательного термофореза" [83] , так и более осторожные - о том, что до сих пор "отрицательный термофорез никогда не наблюдался в эксперименте" [84] .
Промежуточный режим термофоретического движения (0,1 /Сл ІО; до недавнего времени описывался либо эвристически, либо на основе полуэмпирических результатов. К первой категории следует отнести работу [85] , где на основе метода Шермана [51] получено выраже -ние для термофоретической силы, качественно согласующееся с экспериментальными данными в широкой области чисел Кп. : FT/F M a- FTCM/rrBj l, (з.іі; где Ггсм - свободномолекулярное значение термофоретической си т аналогичное значение для вязкого со скольжением режима (например, выражение (3.7;). По аналогии с эмпирической формулой Милликена для изотермической силы сопротивления [58], в [91] предложено выражение для термофоретической силы в промежуточном по числу Кнудсена режиме: где характеристическая константа тг , зависящая от параметра Л и коэффициентов аккомодации, определялась либо теоретически, либо из соответствующих экспериментальных данных.
В [103] методом "гигантских молекул" были получены выраже -ния для силы и скорости термофореза, пригодные для широкой области чисел Кп . Результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными, однако (как и в случае вычисления силы сопротивле-ния [52]) использованный метод не свободен от ряда физических противоречий и включает большое число подгоночных параметров (что и обеспечивает хорошее согласие с экспериментом). В работе [87] предложен метод расчета термофоретической силы, не имею -щий убедительных физических обоснований и также включающий большое количество подгоночных параметров.
Наиболее общий и строгий подход к решению задачи о термо -форезе аэрозольной частицы при произвольных числах Кнудсена должен основываться на решении кинетического уравнения (Больцмана или модельного; с соответствующими граничными условиями. Такой подход позволит выйти за рамки ограничений, присущих ранее цитированным работам.
Первая попытка такого рода сделана в 04) , где тринадцати-моментным методом Трэда получено аналитическое выражение для силы термофореза в широком диапазоне чисел Кп . Полученное решение, однако, не дает правильного свободномолекулярного предела [88-89] в силу известных особенностей метода Трэда. Для частиц с достаточно высокой теплопроводностью (А ЮО; и при значениях коэффициента аккомодации энергии, близких к единице, для различных пар частица-газ в [104] предсказывается отрицательный термофорез в облаем О.бхЮ"2 Кп 0,5.
В работе [II] на основе решения линеаризованного уравнения Больцмана методом итераций от свободномолекулярного режима были получены численные результаты для термофоретической силы в слу -чае сильно- (Л = 500) и умеренно (,Л = 5) теплопроводных частиц. Предполагалось, что молекулы рассеиваются поверхностью диффузно с полной тепловой аккомодацией. Для случая частицы с Л = 500 было зафиксировано обращение знака силы в области Кп 0,1. Однако известно, что использованная в pi] итерационная процедура может привести к значительной погрешности в области Кп і .
В Гіз] рассчитаны значения термофоретической силы для абсолютно теплопроводной частицы (Л- » ) в диапазоне О /Оы 9. Использовалась линеаризованная БГК-модель кинетического уравне -ния [25]. Закон рассеяния молекул поверхностью полагался диффузным при полной тепловой аккомодации. Решение задачи было прове -дено вариационным методом. В области малых чисел Кнудсена ( Кп ;б 0,2) авторы [13] подтвердили существование отрицательного термофореза, который был предсказан одним из авторов ранее [96] на основании асимптотической теории при Kn l . При Кп» полученное в [13] значение для термофоретической силы стремится к правильному свободномолекулярному пределу [88-89].
Термофоретическое движение в вязком со скольжением режиме
Отметим, что подобная классификация следует как из полученного решения, так и из ранее опубликованных работ [36, 94, 104].
Для последней группы при Л = 10...100 в зависимости от значения Л/г ; зафиксировано обращение знака гг (область так называемого "отрицательного" термофореза, где термофоретичес-кая сила действует в направлении градиента температуры в газе;. Отрицательный термофорез зафиксирован для БГК-модели и для варианта S -модели с выбором пробных функций согласно ур.(3.37;. Для варианта S -модели согласно ур. (3.36; величина /у положительна при любых значениях Ух . Таким образом, выбор порядка приближения пробных функций в случае & -модели существенно влияет на величину и знак термофоретической силы для сильнотеплопроводных частиц в области малых чисел Кнудсена.
В частности, вариант S -модели в приближении 3.37; предсказывает значительно меньшие значения отрицательной термофоретической силы по сравнению с результатами для модели БГК (для частицы с Л = I03 . при ЖЕ = с?/г = I при /Сп ее 1,Ю8хЮ"2 отношение значений гт для S- и БГК-модели составляет 0,01, а при Кп . 2,954х10"2 - приблизительно 0,05). При A z I различие в результатах для S -модели и моде ли БТК значительно меньше (так, при А/гс 2,954-х10" 2 для частиц с Л = I указанное выше отношение составляет 0,69, а для частиц с Л = Ю - 0,67;. Отметим также, что при Л I результаты решения для обоих вариантов & -модели практически совпадают (При КҐІ ос 2,954x10 расхождение для частиц с Л = I равно 0,3$, а для частиц с Л = 10" - 0,2%).
Отрицательный термофорез, как было отмечено в разделе 3.1, предсказывался ранее в работах [Ї04-, 36, 96-97, 102, II, із] . В этих работах, однако, даются различные физические объяснения данного явления и предлагаются различные критерии возможного обра -щения знака термофоретической силы или скорости. Так, в [її] ав -тор ограничился лишь констатацией факта отрицательной термофоретической силы для частицы с А = 500 при А/г 0,1. Попытки объяснения отрицательного термофореза в Йо4] , где он трактуется как результат конкуренции нормальных и касательных напряжений в слу -чае сильнотеплопроводности частицы, кажутся малоубедительными и слишком упрощенными. В работах [36, 96-97] отрицательный термо -форез для сильнотеплопроводных частиц объясняется следующим. При малых числах А/г в неоднородно нагретом газе вблизи поверхности частицы возникают как обычные вязкие напряжения, так и темпера -турные напряжения, которые следуют из уравнений Барнетта, уточняющих уравнения Навье-Стокса в области малых чисел АЯ [2lJ. Течение газа первого порядка по числу А/г вдоль неоднородно нагретой поверхности частицы - термокрип - направлено по градиенту температуры в газе. Термокрип порождает обычные вязкие напряже -ния на поверхности частицы. Течение газа второго порядка по числу Кп , связанное с температурными напряжениями, направлено против градиента температуры в газе (это показано в \k6\ и [9б] J. В том случае, когда теплопроводность частицы мала (АбІ), преоблада ет обычное термокриповое течение первого порядка по числу Кп . Его силовое воздействие на частицу проявляется в появлении "обычной" термофоретической силы, действующей в направлении, противо -положном VTQOC . В случае сильнотеплопроводной ( Л & 10 ; частицы возникает суперпозиция указанных выше течений, и знак термофоретической силы будет зависеть от их интенсивности. Для сильнотеплопроводных частиц обычный термокрип подавляется (т.к. темпе -ратура поверхности частицы становится однородной;, а основную роль играет течение газа, порожденное температурными напряжениями. Оно приводит к появлению "отрицательной" термофоретической силы, направленной по градиенту температуры в газе v 7ооо , т.е. в сторону горячей его области.
В работе ГІ02] для скорости термофореза сильнотеплопровод -ных частиц получено выражение первого порядка по числу Кп . При определенных соотношениях коэффициентов скольжений и скачков оно обращается в ноль (см.раздел 3.1;. Как считают авторы p02j , ва -рьирование значений коэффициентов аккомодации импульса и энергии (от значений которых сильно зависят коэффициенты скольжений и скачков; позволяет добиться обращения знака 1/т уже в первом приближении по числу Кп.. На важную роль граничных условий в явлении термофореза также указано в (І04, 37-38].
Трактовка отрицательного термофореза согласно [36, 96-97] наилучшим образом согласуется с полученными в диссертационной работе результатами.
Похожие диссертации на К теории вязкостного сопротивления и термофореза сферической аэрозольной частицы в разреженном газе при произвольных числах Кнудсена
