Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Современные представления о термо-диффузиофоретических явлениях и методы их описания 9
1.1. Основные понятия теории термо-диффузиофореза аэрозольных частиц 9
1.2. Методы решения термо-диффузиофоретической задачи...12
1.3. Обзор работ по термо-, диффузио- и термодиффузиофорезу аэрозольных частиц 21
Глава 2. Термо-диффузиофоретическое движение мелкой сферической аэрозольной частицы в плоском канале ...35
2.1. Кинетическое описание неоднородной бинарной газовой смеси, находящейся в плоском канале 35
2.2. Вычисление силы и скорости термо-диффузиофорезамелкой сферической аэрозольной частицы в плоском канале 50
Глава 3. Точное решение термо-диффузиофоретической задачи для двух крупных твердых взаимодействующих сферических аэрозольных частиц 58
3.1. Гидродинамическое описание движения двух сферических частиц в неоднородных газах 58
3.2. Взаимодействие двух сферических частиц при диффузиофорезе 69
3.3. Термодиффузиофорез двух крупных взаимодействующих сферических аэрозольных частиц 78
3.4. Влияние плоской стенки на термофоретическое движение крупной сферической частицы в бинарном газе..87
Глава 4. Движение двух крупных взаимодействующих сфероидальных частиц в неоднородных газах 95
4.1. Термофорез двух крупных твердых сфероидальных частиц 96
4.2. Диффузиофорез двух крупных твердых сфероидальных частиц 120
4.3. Движение гантелевидной аэрозольной частицы в неоднородном газе 123
Основные выводы 129
Литература 131
- Обзор работ по термо-, диффузио- и термодиффузиофорезу аэрозольных частиц
- Вычисление силы и скорости термо-диффузиофорезамелкой сферической аэрозольной частицы в плоском канале
- Термодиффузиофорез двух крупных взаимодействующих сферических аэрозольных частиц
- Диффузиофорез двух крупных твердых сфероидальных частиц
Обзор работ по термо-, диффузио- и термодиффузиофорезу аэрозольных частиц
Здесь в основном рассматриваются теоретические результаты и указываются лишь те экспериментальные работы (без подробностей эксперимента), в которых эти результаты проверялись.
Явление термофореза было открыто более ста лет назад Дж. Тиндаллом /37/. Объясняя возникновение термофоретического движения тем, что газовые молекулы с более нагретой стороны газа сильнее бомбардируют частицу, чем с менее нагретой стороны, а потому сообщают частице импульс в направлении убывания температуры, А. Эйнштейн /38/ впервые вывел оценочную формулу для скорости термофореза мелкой твердой частицы
Много позже Б.В. Дерягин и СП. Баканов /39/, изучая вопрос, существует ли явление "фореза", вызванное градиентом концентрации одного из компонентов бинарной газовой смеси, получили, что существует диффузиофорез, который объясняется тем, что градиент концентрации одного из компонентов смеси создает нескомпенсированный импульс с той стороны частицы, где концентрация этого компонента выше и тем самым заставляет частицу двигаться в направлении, обратном направлению градиента концентрации. 3 этой работе кинетическим методом, а именно, с использованием решения Чепмена-Энскога /б - 8/ в приближении двух первых членов разложения - формула (1.2.19) и (1.2.20) при vT =0, U = U - было получено следующее выражение для скорости диффузиофореза мелкой частицы:
Причем, в этой задаче при постановке граничных условий предполагалось, что отражение газовых молекул от поверхности частицы носит чисто зеркальный характер - в формуле (1.2.15) 6 = 0. Этими же авторами в первом приближении теории Чепмена-Энс-кога была также рассмотрена термофоретическая задача для мелкой твердой частицы /40/ - в (1.2.19) и (1.2.20) 7 = 0, lT = U . Используя для газовых молекул модель твердых сфер /6-8/, они нашли скорость термофореза: 1) в случае диффузного (с сохранением абсолютного значения ско рости) или зеркального отражений молекул газа от поверхности частицы 2) в случае диффузного испарения газовых молекул с поверхности частицы Ими же в /41/ с использованием (1.2.19) и (1.2.20) для твердых сфер были получены выражения для силы и скорости термо-диффузиофореза мелкой частицы в случае чисто зеркального отражения. Метод Б.В. Дерягина и СП. Баканова /39 - 41/ впоследствии был применен рядом других ученых для исследования термо-диффу-зиофоретических явлений. Так Л. Вальдман в /42/ таким же методом нашел общие выражения для силы и скорости термо- и диффу-зиофореза мелких твердых частиц с учетом всех членов разложения функции распределения Чепмена-Энскога по полиномам Сонина /7,8/. При этом он учел как зеркальное, так и диффузное отражение газовых молекул от поверхности частицы. Полученные им выражения для силы и скорости представляют собой ряды с бесконечным числом членов. Явный вид коэффициентов разложения в первом приближении совпадают с аналогичными выражениями из /39,40/.
Этот же метод был применен в работах /36,43/ для обобщения результатов по термо-диффузиофорезу мелких нелетучих частиц на случай произвольного характера взаимодействия газовых молекул и в /44,45/ для исследования поведения мелких летучих частиц в тепловых и диффузионных полях. Оказалось, что наличие фазовых превращений на поверхности частицы существенно влияет на величину скорости термо-диффузиофореза.
Все выше приведенные результаты были получены для мелких сферических аэрозольных частиц, движущихся в неоднородном одноатомном газе. Решение термо-диффузиофоретической задачи для мелких несферических частиц и для многоатомного газа даны в работах /46,47/.
В /48/ Дж. Брок в элементарной кинетической постановке рассмотрел термофоретическое движение мелкой твердой сферической частицы между двумя плоскими параллельными бесконечными пластинами, имеющими различные температуры Т"х 7 « При условии R Ы«Х гДе R " Радиус частицы, d - расстояние между пластинами, он получил следующее выражение для термофоретичес-кой силы:
Вычисление силы и скорости термо-диффузиофорезамелкой сферической аэрозольной частицы в плоском канале
Для случая kud O в работах /40,42/, в частности Вальдманом /42/, были получены следующие формулы:
Сравнение этих формул с нашими (2.2.23) и (2.2.24) показывает, что наши результаты дают значения силы и скорости термофореза на 26 % меньше чем у Вальдмана. Это объясняется тем, что используемые здесь функции распределения (2.1.39) не совсем точно аппроксимируют распределение Чепмена-Энскога (в первом приближении) , которые были использованы Вальдманом при получении формул (2.2.25) и (2.2.26). Приведем также интерполяционную формулу Филлипса /49/, которую запишем в следующем виде: где М FU интерполяционный коэффициент. Легко видеть, что эта формула в гидродинамическом пределе ( kirtoi —9- 0 ) переходит в формулу Вальдмана (2.2.25). Однако, в свободно-молекулярном пределе ( .hj » ) такого соответ ствия нет, как показывают расчеты, в этом пределе формула Фил липса дает значительно завышенные (50 %) значения силы по сравнению с формулой Брока (1.3.5) или (2.2.21). Сравнение формул (2.2.19)-(2.2.27) с экспериментальными данными Н. Тонга /50/ дано на Графике I. (2.2.19) Кривая 2 - соответствует формуле (2.2.25) Кривая 3 - соответствует формуле .(2.2.27) Кривая 4 - экспериментальная кривая( = Sj Зависимость величины скорости термофореза от внешнего числа Кнудсена аналогична соответствующим кривьм данного графика.
Полагая в наших результатах (2.2.16)-(2.2.18) мы будем иметь случай диффузиофореза мелкой сферической аэрозольной частицы в неоднородном по концентрации бинарном газе, находящемся в плоском канале. Причем, как и в случае термофо-реза, значения силы и скорости диффузиофореза при Un — 0 получаются меньше чем у Вальдмана /42/. Причина такого расхождения нами уже отмечалась при анализе термофоретической задачи. А в свободно-молекулярном пределе (Кп — ), в частности, выражение для скорости диффузиофореза имеет вид
В этой главе будут рассмотрены решения термо-диффузиофорети-ческой задачи для двух крупных твердых взаимодействующих сферических аэрозольных частиц. Так как здесь частицы рассматриваются крупные (Mtin D» окружающий их газ можно считать сплошной средой. Поэтому данную задачу будем решать в рамках гидродинамического подхода (1.2.26) - (1.2.39).
Если рядом с движущейся одиночной аэрозольной частицей поместить достаточно близко вторую частицу, то присутствие последней вызовет возмущение поля локальных течений в окрестности первой частицы. Очевидно, аналогичное влияние будет оказывать и первая частица на вторую. Это влияние частиц друг на друга обуславливает их гидродинамическое взаимодействие. В общем случае степень этого взаимодействия зависит от формы и размеров частиц, расстояния между ними, собственных скоростей, их ориентации друг относительно друга, величины и направления сил, вызывающих движения аэрозольных частиц.
Использование бисферической системы координат при описании движения двух взаимодействующих сферических частиц позволяет одновременно удовлетворять граничным условиям на поверхности частиц и тем самым точно решить термо-диффузиофоретическую задачу. частиц в неоднородных газах
Пусть в бинарном газе взвешены две крупные твердые сферические частицы к и В с различными радиусами R R- и теплопро - 59 водностями ЗР. ЗСа . Если вдали от частиц задать постоянные градиенты температуры (v"L) и концентрации одного из компоне-нтов бинарной газовой смеси (для определенности - первого компонента) С У ) , то в поле этих градиентов частицы придут в термо-диффузиофоретическое движение с некоторыми постоянными скоростями Ц 4 U ft .
Будем считать, что частицы находятся достаточно близко друг от друга, так что имеет место их взаимодействие, но они достаточно удалены от ограничивающих газовый объем стенок, так что окружающий частицы газ можно считать безграничным. Случай влияния плоской твердой стенки на движение одиночной частицы в неоднородном газе будет рассмотрен отдельно.
Полагая справедливыми условия линеаризации (1.2.26), в дальнейшем ограничимся рассмотрением медленного осесимметричного движения частиц вдоль выбранной оси 0. , параллельной линии их центров, под действием слабых градиентов температуры и концентрации, направленных вдоль этой же оси. В этом случае распределения скорости if » давления р , температуры То » концентрации у, в газовом объеме и температур внутри частиц Ті ( L = oL , В ) будут удовлетворять квазистатическим уравнениям Стокса и Лапласа (1.2.27) - (1.2.29), для которых условия на
Термодиффузиофорез двух крупных взаимодействующих сферических аэрозольных частиц
Использование бисферических координат позволяет довольно легко перейти от рассмотрения двухчастичных задач, решенных в предыдущих параграфах, к рассмотрению задачи о влиянии плоской твердой стенки на движущуюся перпендикулярно к ней одиночную сферическую частицу под действием термо-диффузиофоретических сил. Дело в том, что плоскую стенку можно представить как поверхность сферической частицы, имеющей бесконечный радиус, поэтому достаточно в общих решениях, рассмотренных выше задач, устремить радиус одной из частиц к бесконечности (для определенности .—ое) и внести соответствующие коррективы в граничные условия, чтобы получить постановку интересующей нас здесь задачи и ее общие решения.
Пусть частица движется с неко-торой постоянной скоростью U перпендикулярно к стенке под действием постоянного градиента температуры (VToX » заданного в бинарном газовом объеме вдали от частицы и стенки и направленного по нормали к последней (Рис.3). Известно, что неоднородность по температуре в газовой смеси вызывает относительное движение компонентов смеси, т.е. диффузию. Эта, так называемая , термодиффузия приводит к возникновению градиента концентрации. Предположим, что в рассматриваемом здесь бинарном газе градиент концентрации QfOoo вызван посредством термодиффузии заданным градиентом температуры ( Tj) ,. При этом, будем считать, что стенка покоится, имеет постоянную температуру Т0 и является "непроницаемой" для газовых молекул. Тогда граничные условия на поверхностях частицы и стенки к уравнениям состояния (1.2.27) - (1.2.29) и условиям на бесконечности (1.2.30) -(1.2.32) с учетом (3.4.1) могут быть заданы так:
В поставленной задаче распределение скорости f будем искать в виде - гдерешения уравнений Стокса (1.2.27), удовлетворяющие условию невозмущенности газа вдали от частицы и стенки (3.I.I), а также следующим граничным условиям на частице и стенке:
Очевидно, что условия (3.4.7) определяют силу сопротивления, а (3.4.8) - термодиффузиофоретическую силу. Вычислив эти силы и приравняв их друг другу, мы найдем скорость термодиффузиофореза частицы у стенки.
Решим сначала гидродинамическую задачу, т.е. задачу определения силы сопротивления. Для этого с учетом преобразований (3.1.7) - (3.1.9) подставим общее решение (3.1.16) и (3.1.17) в граничные условия (3.4.7). Тогда мы получим систему уравнений для &п, 8п , Сп и dn, из решения которой легко найдем /115,116/
Подставляя эти выражения в формулы для силы (3.1.30), определим силы сопротивления, действующие на частицу г , и стенку г 0 : Здесь Л по виду совпадает с формулой (1.3.13) /115,116/ и определяет поправку к силе Стокса, обусловленную влиянием стенки на движение одиночной сферической аэрозольной частицы. Численные значения этого коэффициента при различных расстояниях от частицы до стенки,вычисленные по формуле (3.4.10), даны в
Как видно из этой таблицы, влияние стенки таково, что частица, движущаяся к ней, испытывает силу сопротивления большую, чем сила сопротивления, действующая на частицу в безграничной вязкой среде. С удалением частицы от стенки(—»оо , п-- ) сила сопротивления стремится к силе Стокса(Д — і).
Из сравнения данных этой таблицы с данными Таблицы I следует, что влияние стенки на движущуюся к ней со скоростью U частицу сказывается на величине силы сопротивления сильнее, чем влияние такой же частицы, движущейся с такой же скоростью впереди рассматриваемой частицы или навстречу к ней (Л ЯрД )
Прежде чем приступить к определению у ь), удовлетворяющей условиям (3.4.8), найдем решения тепловой и диффузионной задач, т.е. распределения температур Т ,Tk и концентрации у1 . Для этого подставим выражения (3.1.19) - (3.1.24) в граничные условия (3.4.4) - (3.4.6) и после простых преобразований получим.
Диффузиофорез двух крупных твердых сфероидальных частиц
Численные расчеты, приведенные в Таблице б, показывают, что при термодиффузиофоретическом движении крупной одиночной сферической аэрозольной частицы перпендикулярно к безграничной твердой плоской стенке их взаимодействие сказывается на величинах и силы, и скорости как в термофоретической, так и в диффузиофо-ретической частях в выражениях (3.4.20) и (3.4.23). Причем, если силы, действующие на частицу у стенки, по величине больше чем силы, действующие на частицу в безграничном объеме, то значения скорости движения частицы к стенке меньше, чем у частицы, движущейся в безграничном объеме, при этом, в первом случае с приближением частицы к стенке скорость частицы уменьшается. Можно также отметить, что с ростом теплопроводности частицы растет величина термофоретической силы, но падает значение скорости термо-фореза частицы у стенки. С удалением частицы от стенки значения для силы и скорости термодиффузиофореза стремятся к соответствую щим выражениям для случая термодиффузиофореза крупной одиночной сферической частицы в безграничной вязкой среде.
В данной главе будут рассмотрены решения термо-диффузиофо-ретической задачи для двух крупных твердых нелетучих сфероидальных аэрозольных частиц в неоднородных однокомпонентних и бинарных газах.
В предыдущей главе были указаны свойства бисферической системы координат, которые позволяют одновременно удовлетворять граничным условиям на поверхностях двух сферических частиц и тем самым точно решить поставленные там задачи. Для числа сферических частиц больше двух или для пары несферических частиц, в частности, как в данном случае, для двух частиц сфероидальной формы, такой удобной системы координат нет, поэтому рассматриваемые здесь задачи будут решаться приближенным методом. Предлагаемый в этой главе приближенный метод решения термо-диффузиофоретической задачи обобщает модификацию Вакии /117/ метода "отражений" /14,113/ для расчета совместного термо-ди-ффузиофоретического движения двух взаимодействующих сфероидальных аэрозольных частиц. Отметим, что хотя метод "отражений" в разных модификациях получил широкое распространение в различных теоретических исследованиях дисперсных систем /14,113, 117/, (в указанных здесь работах можно найти подробное изложение данного метода), однако этот метод не имеет строгого обоснования, так что критерием применимости этого метода является согласие с результатами решения соответствующих задач, полученных точным методом Стимсона-Джеффри /114/, а также существующими экспериментальными данными. В частности, решение задачи вычисления силы сопротивления для двух одинаковых сфер в потоке жидкости показал хорошее согласие между точным методом, экспериментом и методом "отражений" /14/.
В начале, для общности, рассмотрим движение двух крупных твердых эллипсоидальных аэрозольных частиц, имеющих неодинаковые размеры h f hz ,(где п- - характерный размер частицы), коэ-ффициенты теплопроводности %if%t, и скорости движения Uj 4 &г, в простом газе, в котором вдали от частиц задан постоянный градиент температуры (vТе ) . Свяжем с центрами эллипсоидов по декартовой прямоугольной системе координат 0/? / , OiXiytZ и, полагая выполнеными условия линеаризации (1.2.26), будем считать, что распределения скорости Ъ , давления р , температуры в газе Ъ и температуры внутри частиц Трт описываются квазистатическими уравнениями Стокса (1.2.27) и Лапласа (1.2.28). Также будем считать справедливыми условия на бесконечности (1.2.30), (1.2.31) и граничные условия (1.2.33) (с учетом, что (Wy) ) и (1.2.34) на поверхности каждой частицы $m , задаваемой уравнением где CLr ),m и Cnt - полуоси Уц -го эллипсоида в направлениях Представим общие решения исходных уравнений (1.2.27) и (1.2.28) с учетом условий на бесконечности (1.2.30) и (1.2.31) в таком виде:
Здесь члены с индексами (I) и (II) определяют возмущения полей скорости, давления и температуры в газе, вызванные первой и второй частицами соответственно. В методе "отражений" эти возмущения представляют как "отражение" поля локальных течений, создаваемого одной частицей, от другой.
С использованием разложений по эллипсоидальным гармоникам /13,117/ эти члены запишем следующим образом:
