Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Измерение ширины ударного фронта сферической Лг-волны в воздухе с помощью акустического и оптического теневого методов 13
1.1. Введение 13
1.2. Экспериментальная установка для акустических и оптических измерений . 15
1.3. Теория распространения сферической АГ-волны в воздухе 16
1.4. Акустические измерения профиля А-волны 20
1.5. Измерение ширины ударного фронта теневым методом 24
1.6. Выводы к первой главе 34
Глава 2. Распространение сферической нелинейной А-волны в термической турбулентности 36
2.1. Введение 36
2.2. Особенности турбулентных полей скалярного и векторного типов 39
2.3. Экспериментальная установка 43
2.4. Характеризация термической турбулентности 45
2.5. Результаты акустических измерений 54
2.6. Сравнение статистических характеристик А-волны при распространении в термической и кинематической турбулентности 65
2.7. Выводы ко второй главе 70
Глава 3. Статистические свойства нелинейной А-волны при дифракции
3.1. Введение 72
3.2. Численная модель распространения Аг-волиы с учетом прохождения через каустики 74
3.3. Модель случайного фазового экрана с различным размером иеоднородностей 76
3.4. Характерные искажения профиля А-волны за фазовым экраном 79
3.5. Статистика и средние характеристики амплитуды А-волпы за экраном;
сравнение с приближением нелинейной геометрической акустики 84
3.6. Выводы к третьей главе 91
Глава 4. Фокусировка гармоник в ультразвуковом пучке конечной амплитуды за случайным фазовым слоем 92
4.1. Введение 92
4.2. Теоретическая модель и численный алгоритм на основе уравнения Вестер-вельта 94
4.3. Результаты моделирования: селективное разрушение фокусировки нечетных гармоник за 180 фазовым слоем 104
4.4. Результаты моделирования: искажение фокусировки второй гармоники за 90 фазовым слоем 106
4.5. Эксперимент по селективному разрушению поля гармоник за фазовым слоем 108 4.6. Выводы к четвертой главе 116
Глава 5. Моделирование трехмерных нелинейных полей многоэлементных ультразвуковых терапевтических решеток 117
5.1. Введение 117
5.2. Численный алгоритм на основе уравнения Вестервельта для описания разрывных решений 118
5.3. Тестирование алгоритма и сравнение результатов с известными решениями 126
5.4. Нелинейно-дифракционные эффекты в поле решетки 128
5.5. Метод эквивалентного аксиально симметричного излучателя 134
5.6. Выводы к пятой главе 140
Основные результаты и выводы 142
Приложение А. Формулы для поля давления фокусированного поршневого излучателя 143
А.1. Решение в параболическом приближении 143
А.2. Решение в виде интеграла Рэлея 143
Приложение Б. Преобразование уравнения Вестервельта 145
Приложение В. Теория и обработка экспериментальных спектров турбулентных флуктуаций 146
В.1. Формулы для одномерных и двумерных спектров случайных полей 146
В.2. Обработка экспериментальных спектров 149
Благодарности 152
Литература 153
- Экспериментальная установка для акустических и оптических измерений
- Особенности турбулентных полей скалярного и векторного типов
- Численная модель распространения Аг-волиы с учетом прохождения через каустики
- Теоретическая модель и численный алгоритм на основе уравнения Вестер-вельта
Введение к работе
Актуальность работы
Проблема распространения нелинейных волн в случайно-неоднородных средах является актуальной для многих направлений медицинской и атмосферной акустики. В современной аэроакустике важное место занимает проблема генерации и распространения шума от сверхзвуковых самолетов, которой уделяется большое внимание в связи с планами по развитию сверхзвуковой пассажирской авиации. Шумовая TV-волна распространяется от самолета через неоднородности приземного турбулентного слоя, что приводит к случайному распределению акустического поля на поверхности земли. Вариации амплитуды и ширины фронта могут быть весьма существенными. Субъективное шумовое воздействие зависит от амплитуды TV-волны и от ширины ударного фронта. Для обеспечения экологической безопасности необходимо уметь предсказывать статистические характеристики создаваемого таким образом случайного шума при различных атмосферных условиях.
Задача о распространении TV-волны в турбулентной атмосфере широко исследовалась теоретическими и экспериментальными методами. В теоретических исследованиях основные полученные результаты связаны с использованием приближения нелинейной геометрической акустики (НГА). Однако приближение НГА не учитывает эффекты дифракции и справедливо лишь до образования первых каустик. Недавно были разработаны численные модели, основанные на нелинейном параболическом уравнении типа Хохлова-Заболотской-Кузнецова (ХЗК), позволяющие учесть нелинейно-дифракционные изменения формы TV-волны, прохождение через случайные каустики, а также стратификацию атмосферы, релаксационное поглощение, неоднородности продольной и поперечной компонент ветра, влияние поверхности земли. Важным частным случаем, аппроксимирующим турбулентный слой конечной ширины, является модель случайного фазового экрана, в рамках которой в приближении НГА были получены аналитические решения для статистики амплитуды TV-волны после прохождения через экран. В данной работе удалось обобщить полученные результаты, используя численные решения нелинейно-дифракционной волновой задачи для случайных фазовых экранов с различными размерами неоднородностеи, статистически эквивалентных в приближении НГА.
Пространственные неоднородности атмосферы можно разделить на два типа. Так, неоднородностями скалярного типа являются вариации скорости звука, возникающие за счет флуктуации температуры в восходящем потоке подогреваемого на поверхности земли воздуха. Кинематические (векторные) неоднородности связаны с флуктуациями средней скорости движения воздуха вследствие образования вихрей или ветра. Пространственный спектр однородных изотропных термических и кинематических турбулентных полей различен и, согласно теоретическим расчетам, влияние турбулентности разного типа на статистику искажений акустической волны также различно. Сравнения экспериментальных статистических данных для нелинейного TV-импульса в среде с только одним типом неоднородности при прочих равных условиях до сих пор не проводилось. Задача о распространении TV-волны в турбулентном потоке (кинематической турбулентности) была исследована в недавнем модельном эксперименте М.В. Аверьяновым (2008). Для подтверждения существующих теоретических результатов актуальным является проведенный в данной работе модельный лабораторный эксперимент по распространению TV-волны в термической турбулентности с соблюдением характерного соотношения длины волны и размеров неоднородностей относительно реальной атмосферы.
Масштабирование натурных условий до лабораторных размеров заставляет использовать в модельных экспериментах достаточно короткие ударные импульсы (длительностью 30-50 мкс), генерируемые искровым источником. При измерении таких импульсов с помощью современных коммерческих конденсаторных микрофонов возникают проблемы, связанные с ограниченностью частотной характеристики микрофонов в верхнем диапазоне частот. Если пиковое давление и длительность импульса определяются достаточно точно, то ширина ударного фронта оказывается сильно завышенной. В связи с этим, исследование применимости иных методов, в частности, оптических, для улучшения временного разрешения ударных фронтов акустических волн представляет большой интерес для экспериментальной практики. В диссертации для определения ширины ударного фронта использовался теневой метод.
Проблема распространения нелинейных волн через случайно-неоднородную среду представляет интерес также в медицинской диагностике и задачах неразрушающего контроля. Неоднородности биотканей или структуры про-
мышленных материалов искажают фокусировку, реализуемую классическими методами, уменьшая пространственное разрешение диагностической аппаратуры. Экспериментальные и теоретические исследования, выполненные в этой области, позволяют предположить, что при определенных условиях фокусировка гармоники в неоднородной среде может иметь преимущества по сравнению с обычной фокусировкой пучка, излучаемого на частоте гармоники. Исследование условий, в которых нелинейная фокусировка будет предпочтительной, является важной теоретической проблемой. С другой стороны, большой интерес представляет задача об управлении взаимодействиями гармоник в недиспергирующей среде с помощью специально подобранных искусственных неоднородностей. В диссертации предложено использовать фазовый слой специальной конфигурации, приводящий к селективному разрушению фокусировки определенных гармоник слабонелинейного сфокусированного ультразвукового пучка.
В медицинской акустике в настоящее время интенсивно развивается направление, связанное с применением мощного сфокусированного ультразвука для неинвазивной хирургии (HIFU - от английского High Intensity Focused Ultrasound). В качестве излучателя для HIFU-систем активно разрабатывается новый класс устройств - ультразвуковые терапевтические решетки, составленные из большого числа элементов, расположенных случайным образом на сегменте сферической поверхности. При помощи решеток можно электронным образом перемещать фокус в пространстве, создавать сложную конфигурацию поля в виде нескольких фокусов, минимизировать нагрев акустических препятствий. Интенсивность в фокусе HIFU-систем достигает нескольких десятков тысяч Вт/см2, при этом за счет нелинейных эффектов в профиле волны образуются ударные фронты, что принципиальным образом меняет эффективность воздействия ультразвука на ткань. При описании HIFU-полей, разработке протоколов облучения и предсказании соответствующих биоэффектов в ткани важным инструментом исследования является численный эксперимент. Однако описать нелинейные эффекты в трехмерных полях, создаваемых многоэлементными решетками, при учете формирования разрывов до сих пор не удавалось. Разработка новых алгоритмов, позволяющих моделировать нелинейные поля таких решеток при разумном потреблении ресурсов представляется весьма актуальной задачей.
Целью диссертационной работы стало экспериментальное и теоретическое исследование особенностей распространения акустических нелинейных импульсов с ударным фронтом и ультразвуковых пучков в средах с объемными и сосредоточенными в узком слое случайными неоднородностями, в приложении к проблемам аэроакустики и задачам диагностического и терапевтического медицинского ультразвука.
В рамках указанной цели решались следующие конкретные задачи:
Определение точности оптического теневого метода для измерения времени нарастания ударного фронта TV-волн в модельном эксперименте в воздухе. Демонстрация ограничений современных конденсаторных микрофонов при измерении ударных фронтов акустических волн.
Исследование статистических характеристик акустического поля при распространении TV-волны через слой термической турбулентности в лабораторном эксперименте. Сравнение статистики амплитуды TV-волны в полях термической турбулентности и в турбулентном потоке.
Развитие численной модели на основе уравнения ХЗК для описания нелинейно-дифракционных эффектов при распространении TV-волн за случайным фазовым экраном с учетом прохождения через случайные каустики. Исследование влияния нелинейных эффектов и характерных размеров неоднород-ностей экрана на статистику параметров TV-волны в сравнении с аналитическими решениями, полученными в приближении нелинейной геометрической акустики.
Исследование возможности селективного разрушения поля гармоник в слабо сфокусированном пучке конечной амплитуды после прохождения случайного фазового слоя специальной конфигурации.
Разработка нового численного алгоритма на основе уравнения Вестервель-та, позволяющего моделировать трехмерные нелинейные поля фокусированных многоэлементных излучателей - терапевтических решеток в условиях образования ударных фронтов в области фокуса.
Развитие метода эквивалентного аксиально симметричного излучателя для возможности быстрого расчета нелинейных трехмерных полей многоэлементных терапевтических решеток с использованием двумерных моделей на основе уравнений типа ХЗК либо Вестревельта.
Научная новизна
Показано, что применение теневого метода позволяет с высокой точностью определять ширину фронта TV-волны только в случае учета дифракционных эффектов при моделировании распространения света через неоднородности оптического показателя преломления на фронте для количественной интерпретации теневых картин.
Впервые исследовано нелинейное распространение TV-волны в лабораторных условиях через слой термической турбулентности с контролируемыми параметрами. На основе полученных экспериментальных данных показано существенное количественное отличие искажений амплитуды и ширины фронта TV-волны при распространении в термической турбулентности и в воздушном турбулентном потоке.
Развита численная модель для описания статистических свойств параметров нелинейного импульса за случайным фазовым экраном. В отличие от предыдущих моделей, построенных на основе приближения нелинейной геометрической акустики, в разработанном подходе учитываются эффекты дифракции, диссипации и прохождения через каустики, что существенно расширяет область применимости модели.
Теоретически показано и подтверждено экспериментально, что при использовании физически реализуемого фазового слоя специальной конфигурации, возможно селективное воздействие на качество фокусировки различных гармоник в слабо сфокусированном пучке конечной амплитуды.
Разработан новый численный алгоритм, впервые позволивший получить решение для трехмерного сфокусированного ультразвукового поля в условиях образования ударных фронтов в области фокуса. С помощью разработанного алгоритма показано, что при уровнях интенсивности, достижимых в полях современных многоэлементных терапевтических решеток, в фокусе образуется развитый ударный фронт.
Продемонстрирована возможность применения модели эквивалентного аксиально симметричного излучателя для упрощенного расчета трехмерных нелинейных полей терапевтических решеток в области фокуса.
Достоверность представленных в диссертационной работе результатов подтверждается проверочными численными и физическими экспериментами, а также соответствием результатов экспериментов априорной информации, теоретическим расчетам и данным, полученным в работах других авторов.
Практическая значимость
Результаты экспериментальных исследований показывают, что при интерпретации данных измерений TV-волн с помощью конденсаторных микрофонов в модельных аэроакустических экспериментах необходимо учитывать эффект сглаживания ударного фронта.
Сравнение результатов эксперимента по распространению TV-волны в термической турбулентности с известными данными, полученными в воздушном турбулентном потоке, показывает существенные отличия в искажении статистики TV-волны в турбулентных полях с различной формой пространственного спектра.
Развитая модель и проведенный численный эксперимент по распространению нелинейного импульса за случайным фазовым экраном могут быть использованы для оценки статистических характеристик акустического поля за экраном в зависимости от трех параметров: нелинейной и рефракционной длин фазового экрана и характерного размера неоднородностей флуктуации фазы.
Специальный фазовый слой может использоваться для выделения отдельных гармоник нелинейного сфокусированного пучка в задачах ультразвуковой диагностики.
Разработанный на основе уравнения Вестервельта комплекс программ позволяет рассчитывать ультразвуковые поля, создаваемые преобразователями сложной геометрии, в том числе многоэлементными двумерными решетками современных устройств ультразвуковой хирургии.
Модель эквивалентного аксиально симметричного излучателя может быть использована для ускорения и упрощения расчетов нелинейного поля терапевтических решеток в области фокуса в широком диапазоне параметров и мощностей излучения. Выполненные расчеты могут использоваться для оптимизации конфигурации решеток на этапе разработки прибора и оценки влияния нелинейных эффектов при ее работе.
Положения, выносимые на защиту
Применение теневого метода с последующим решением дифракционной оптической задачи для интерпретации теневых картин позволяет измерять ударные фронты с шириной до 0.15 мкс, что более чем на порядок превышает точность измерений ширины фронта при использовании современных конденсаторных широкополосных микрофонов.
При одинаковых основных параметрах и интенсивности флуктуации скорости звука в турбулентности воздушного потока и термической турбулентности, последняя приводит к более слабым искажениям статистики распространяющихся в ней TV-волн. Одинаковый уровень искажений достигается при интенсивности флуктуации в турбулентности воздушного потока в 2-3 раза меньшей, чем в термической.
Развитая нелинейно-дифракционная численная модель позволяет описывать статистические характеристики TV-волны при распространении за случайным фазовым экраном с учетом прохождения через каустики. Искажение статистических распределений поля за экраном определяется амплитудой волны, характерной рефракционной длиной и масштабом модуляций фронта. Приближение нелинейной геометрической акустики в данной задаче справедливо до расстояний одной трети рефракционной длины экрана.
При помощи специального «резонансного» фазового слоя возможно разрушение фокусировки одних спектральных компонент сфокусированного пучка конечной амплитуды и сохранение фокусировки других.
Разработанный новый численный алгоритм позволяет моделировать трехмерные нелинейные ультразвуковые поля с локализованным образованием ударных профилей. В фокусе современных терапевтических решеток при используемых на практике уровнях интенсивности возможно образование ударных фронтов с амплитудой до 80 МПа.
Модель эквивалентного аксиально симметричного излучателя позволяет с высокой точностью (2 — 3 %) описывать нелинейные эффекты в фокальной области излучателей сложной геометрии, в том числе многоэлементных фазированных решеток со случайным расположением элементов.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на сессиях Акуст. обществ Америки (Гонолулу, 2006; Сиэтл, 2011), Школе-семинаре «Волны-2006» (Звенигород), XVIII, XIX и XXII сессиях Росс. Акуст. общества (Таганрог, 2006; Н.Новгород, 2007; Москва, 2010), 19-ом Межд. конгр. по акустике (ICA2007, Мадрид, 2007), Конгрессе Европейской ассоциации акустиков «Акустика-08» (Париж, 2008), 10-й сесии Французского Акуст. общества (Лион, 2010), 2-ом Межд. симп. по терапевтическому ультразвуку с ЯМР-управлением (Вашингтон, 2010), конференциях «Фундаментальные и прикладные аспекты инновационных проектов физич. ф-та МГУ», «Вычислительный эксперимент в аэроакустике» (Светлогорск, 2010), «Современная метрология для медицинского ультразвука» (Теддингтон, 2010), 11-ом Межд. симп. по терапевтическому ультразвуку (Нью-Йорк, 2011), Межд. конгрессе по ультразвуку (Гданьск, 2011), а также обсуждались на научных семинарах кафедры акустики физ. ф-та МГУ, Акуст. ин-та им. Н.Н. Андреева и ИОФ РАН им. A.M. Прохорова.
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 10-02-91062-НЦНИ и 09-02-01530, МНТЦ 3691, ИНТАС 7841, Президента РФ НШ4449.2006.2, именной стипендии Правительства Москвы, стипендии Американского Акуст. Общества и стипендии французского правительства для подготовки диссертации при совместном руководстве в рамках договора о сотрудничестве между Высшей Инженерной Школой г. Лиона и физ. ф-том МГУ им. М.В. Ломоносова. Вычислительные ресурсы были предоставлены СКЦ МГУ и Лабораторией механики жидкостей и газов Высшей Инженерной Школы Лиона.
Публикации Материалы диссертации опубликованы в 21 печатной работе, список которых приводится в конце автореферата, из них 5 статей в рецензируемых журналах.
Личный вклад автора
Все представленные в диссертации результаты получены автором лично, либо при его непосредственном участии.
Структура и объем диссертации
Экспериментальная установка для акустических и оптических измерений
Схема-макет экспериментальной установки для измерения TV-волн от искрового источника в воздухе при помощи оптических и акустических методов представлена на рис. 1.1. Импульсы большой амплитуды генерировались искровым источником (1) с напряжением 15 кВ и расстоянием 16 мм между вольфрамовыми электродами. Частота повторения импульсов составляла около 1 Гц. Сферически расходящаяся волна измерялась на разли- ных расстояниях вдоль оси х при помощи коммерческого широкополосного микрофона (Brel & Kjaer, диаметр 3 мм, модель 4138), соединенного с предусилителем (В&К 2670) и усилителем (В&К Nexus, диапазон частот до 200 кГц по уровню —3 дБ). Микрофон монтировался в специальный экран (2) для избежания проявления дифракционных эффектов на его краях. Сигнал оцифровывался при помощи системы National Instruments PCI 6610 с разрядностью 12 бит на частоте 5 МГц. Чувствительность микрофона была определена по методике, представленной в работах [24, 37, 68], и составила 1.46 мВ/Па на низких частотах. Расстояние микрофон-источник в серии акустических измерений варьировалось от 16 до 105 см.
Оптическая часть установки включала лампу-вспышку (3) (модель Nanolite KL-L, рабочее напряжение 3.5 кВ), светофильтр, собирающую линзу (4) диаметром 4 см и фокусным расстоянием 16 см, цифровую CCD камеру (5) (производство Dantec dynamics, модель FlowSense 2М) с соответствующей системой оцифровки, объектив Nikon (6) и специальное калибровочное изображение в виде точек в узлах квадратной сетки для определения масштаба кадра. Оптические приборы были смонтированы на отдельный рельс и расположены коаксиалыто. Короткие импульсы света от лампы-вспышки с длительностью 20 не позволяли получать теневые картины с хорошим разрешением. Согласно теоретическим оценкам, минимальная ожидаемая ширина фронта при данных экспериментальных условиях составляла около 0.1 мке, что в 5 раз больше длительности светового импульса. Большая длительность вспышки приводила бы к большему времени накапливания света на матрице камеры и в итоге - к расплыванию теневого изображения. Фокусирующая линза создавала параллельный пучка света из сферически расходящейся волны от точечного искрового источника лампы-вспышки. Разрешение матрицы CCD камеры составляло 1600 пикселей по горизонтали и 1186 по вертикали. Камера
фокусировалась на нужную объектную плоскость, перпендикулярную оптической оси, с помощью объектива. Перед каждым измерением масштаб кадра определялся путем помещения калибровочного изображения с сеткой в выбранную объектную плоскость. Лампа вспышка и камера синхронизировались по электромагнитному импульсу искрового источника.
Пусть в момент времени ударный фронт достигает оптической оси системы, так что оптическая ось проходит к фронту по касательной. Введем в этот момент времени локальную декартову систему координат как показано на рис. 1.1: ось у проходит вдоль оптической оси и указывает направление распространения света от лампы-вспышки к камере; ось х - это направление распространения акустического импульса от источника к микрофону; г - вертикаль к плоскости ху. Таким образом, начало координат О соответствует точке, в которой пучок света касается фронта А -волны. В указанной локальной системе координат координаты источника равны (хз,Уя = 0.25 — 0), где хз 0. Радиальная координата г, показывающая расстояние от источника до точки наблюдения, равна г = у/(х — х$)2 + у2 + г2. Кривизну фронта в момент времени обозначим как II, тогда Я = ж5. Оптические измерения были проведены на нескольких расстояниях между источником и оптической осью, лежащих в интервале от 16 до 66 см.
В данном параграфе будут представлены необходимые теоретические сведения о распространении ЛГ-волны в воздухе при характерных для описанной экспериментальной ситуации параметрах. Сначала будет кратко приведена модель [37], а затем будут рассмотрены различные физические эффекты (нелинейность, поглощение, релаксация), влияющие на параметры волны.
Здесь р - акустическое давление, г - радиальная координата вдоль распространения волны, г = Ь — (г — го)/со - время в бегущей системе координат, Со - скорость звука на низких частотах, Го - расстояние, на котором задаются начальные условия, р0 - плотность, е - коэффициент нелинейности и Ь — коэффициент вязкости воздуха. Каждый релаксационный процесс V характеризуется двумя параметрами: временем релаксации т„ и коэффициентом йи = (с — со)/с — с /сц , где - так называемая «замороженная» скорость звука, т.е. скорость звука на высоких частотах, когда время релаксации много больше периода волны Т3 « т„. Второе слагаемое в левой части уравнения (1.1) учитывает сферическую расходимость фронта. В правой части находятся слагаемые, описывающие нелинейные эффекты, термовязкое поглощение и релаксацию при возбуждении колебательных степеней свободы молекул кислорода 02 и азота N2 [5, 82, 83]. Уравнение (1.1) применимо при условии, что Л/г 1, где Л длина волны. В данных экспериментальных условиях указанное соотношение соблюдается с большой точностью, т.к. Л 1.5 см, а г 15 см.
Уравнение (1.1) решалось численно методами конечных разностей, используя ранее разработанный алгоритм [37]. Начальное условие задавалось на расстоянии г о от источника в виде идеальной Л -волны с шириной ударных фронтов (переднего и заднего), выбранной в соответствии с квазистационарным решением уравнения Бюргерса. В решении уравнения (1.1) использовался метод расщепления по физическим факторам [84]. На каждом шаге расчет нелинейного оператора проводился на основе центральной консервативной схемы типа Годунова [85], а термовязкое поглощение и релаксация рассчитывались в спектральном представлении с использованием точного решения. Сферический фронт волны учитывался переходом в уравнении (1.1) к безразмерным координатам и соответствующей модификацией коэффициентов, стоящих перед вязким и релаксационным слагаемыми. Оба релаксационных процесса - с участием молекул кислорода и азота, были включены в дальнейших расчетах.
Особенности турбулентных полей скалярного и векторного типов
С точки зрения задачи о распространении импульса через турбулентную среду, последняя может быть представлена в виде статического случайного пространственного поля. Данное приближение действительно в силу того, что за время пробега импульса распределение турбулентных неоднородностей не успевает значительно измениться. В теории и в численных экспериментах часто используется модель однородной изотропной турбулентности [12, 13]. В модельных экспериментах также стараются осуществлять распространение волны через зону хорошо развитой однородной изотропной турбулентности [24]. В таком случае спектр турбулентного поля может быть описан модифицированным спектром Кармана, который в инерциальной области удовлетворяет закону Колмогорова к 5/3 [13].
Для наглядности, на рис. 2.2 представлены реализации турбулентных полей в плоскости (у, г) с векторным (а) и со скалярным (б) спектрами, построенные с использованием метода случайных Фурье-мод [24, 26, 27, 95]. На угловых вкладках приведена в 10 раз меньшая область, в поле которой отфильтрованы крупномасштабные флуктуации с к 277/0.1 м-1. Можно заметить, что в реализации скалярного поля (б) наблюдаются большие по размерам, но редкие флуктуации показателя преломления, по сравнению с реализацией компоненты их векторной турбулентности (а). Если сравнивать флуктуации меньших масштабов, расположенных в инерционном интервале, то отчетливо видно, что у векторной турбулентности они гораздо более интенсивны, чем у скалярного поля (б) (см. увеличенные участки на вкладках).
Отличие интенсивности флуктуаций в поперечной плоскости в инерциальной области масштабов приводит к различной степени накопления искажений волнового фронта с пройденным расстоянием. Следовательно, искажения акустического поля, обусловленные эффектом случайных фокусировок, проявляются быстрее и первые каустики появляются ближе к источнику. Так, например, в приближении геометрической акустики в работе [35] были рассчитаны функции плотности вероятности появления первой каустики и выведены формулы для расстояния наиболее вероятного образования каустики для случаев векторного и скалярного случайных полей - и Полученные выражения показывают, что векторное случайное поле приводит к более быстрому образованию каустик.
В следующих параграфах будет представлен эксперимент по распространению нелинейной ЛГ-волны в термической турбулентности. Будут подробно проанализированы характеристики турбулентного поля, такие как интенсивность флуктуаций, спектры и корреляционные функции. Затем будут изложены статистические результаты для наиболее важных параметров измеренных акустических импульсов. Полученные данные будут сравниваться с результатами другого эксперимента по распространению ТУ-волны в кинематической турбулентности [24].
Схема эксперимента представлена на рис. 2.3. Сферическая //-волна от искрового источника распространяется над полем термической турбулентности, создаваемым специальной нагревательной решеткой. Сигнал регистрируется микрофонами, помещенными в специальный экран и расположенными на одной высоте с источником на расстоянии г от него. В результате прохождения слоя случайно-неоднородной среды профиль //-волны случайным образом искажается. В частности, в областях фокусировок образуется /-волна, а в областях дефокусировок - низкоамплитудные волны большой длительности.
Созданная экспериментальная установка была размещена в заглушённой камере Акустического центра лаборатории механики жидкостей и газов (ЬМЕА) Высшей Инженерной Школы Лиона (ЕСЬ). Установка была оборудована трехмерной системой позиционирования с возможностью кругового поворота вертикальной оси (рис. 2.4 а). Система позиционирования позволяла перемещать датчики в пределах 2 м и 0.8 м в горизонтальной плоскости и 1.0 м по вертикали. Датчики - термозонды (рис. 2.4 в) или микрофоны (рис. 2.4 г) закреплялись на нижнем конце вертикальной оси. Стационарная нагревательная решетка (рис. 2.4 б), расположенная на высоте 1.2 м над полом заглушённой камеры, имеет размеры 4.4 м на 1.1 м в горизонтальной плоскости и состоит из четырех секций (1.1 м на 1.1 м). Нагревательные элементы размещены в двух слоях, отстоящих друг от друга на 3 см по высоте. Квадратная сетка из нагревательных элементов с размером ячейки 9 см на 9 см получается за счет перпендикулярного расположения элементов одного слоя по отношению к другому.
Для измерения температуры использовались термопара типа К (хромель-алюмель) и 2 термозонда сопротивления Ба ес типа 55Р31 (рис. 2.4 в), сделанные на основе платиновой нити диаметром 1 мкм, длиной 0.5 мм и с электрическим сопротивлением 52 Ом при температуре 20 С. Термозонды эксплуатировались при токе 0.5 мА, задаваемом блоком управления и питания Ба ес 56С20. Датчики были предварительно откалиброваны на специальном стенде с использованием сигнала термопары в качестве опорного; для перво- достаточно низкой, что благоприятным образом сказывалось на интенсивности температурных флуктуаций. Вследствие работы нагревательной решетки температура воздуха в камере с течением времени повышалась, поэтому измерения проводились циклами по 45 мин. с последующем охлаждением воздуха путем открытия внешней двери камеры в течение 10-15 мин. В результате соблюдения данного режима, температура воздуха вне объема, где действует нагревательная решетка, не опускалась ниже 20 "С и не поднималась выше 25 С. Обработка данных относительной влажности показала, что абсолютное парциальное давление паров воды практически не менялось в ходе эксперимента и составляло ру, = 710 ± 50 Па. Используя это значение, оценивалась относительная влажность в зоне турбулентности. Атмосферное давление в ходе эксперимента составляло 97900 Па.
Численная модель распространения Аг-волиы с учетом прохождения через каустики
В качестве граничного условия задается /У-волна со случайной временной задержкой 27ГФ для каждого значения поперечной координаты, т.е. = 0, в, X) = Ро(0 — 27гФ), где функция Ро(0) определяет профиль А -волны с безразмерной длительностью 2тт. В каждом расчете фазовый сдвиг Ф(Х) является конкретной реализацией фазового экрана.
Для численного решения уравнения (3.1) использовался алгоритм, ранее применявшийся в работе [25]. Этот алгоритм, работающий во временном представлении, основывается на методе расщепления по физическим факторам первого порядка точности, согласно которому нелинейные, дифракционные эффекты и поглощение рассчитываются отдельно на каждом шаге вдоль направления распространения волны. Дифракционный оператор и оператор поглощения рассчитывались, используя конечно-разностную схему Кранка-Николсона; интегрирование нелинейного оператора проводилось при помощи консервативной схемы типа Годунова [24, 85]. Граничные условия при X = 0 и X = Ь, где Ь - длина экрана, были выбраны в виде дР/дХ = 0 (жесткая стенка). Чтобы уменьшить отражения от границ, вблизи них функция фазового экрана была плавно сглажена до нуля, так что волновой фронт ЛГ-волны остается плоским в областях [0, Ь0] и [Ь — Ь(), Ь], где размер краевой области Ьо « Ь. Размер расчетной области по поперечной координате был выбран достаточно большим, чтобы, во-первых, избежать нежелательных отражений от границы на рассматриваемых расстояниях распространения; и, во-вторых, чтобы получить достаточно большую рабочую область для расчетов статистических распределений с приемлемой погрешностью.
Типичный расчет проводился для фазового экрана с размером в 1000 длин волн до расстояний в несколько нелинейных длин с границами временного окна по 9 от —16 до 38, что составляет приблизительно 8.5 длительностей начальной ТУ-волны. Шаги сетки выбирались в соответствии с безразмерными параметрами уравнения (3.1). При величине диссипативного параметра А — 1.5 х Ю-4 и нелинейного параметра N = 0.05 шаг сетки вдоль поперечной координаты был равен Кх — 0.0125, шаг по времени Не = 0.007 и шаг вдоль направления распространения кг — 0.025. Значение диссипативного параметра А было подобрано из условия возможности разрешения ударного фронта при данной временной сетке и значениях нелинейного параметра N и соответствовало физической ситуации распространения импульсов с длительностью 50 мкс, создаваемых искровым источником в модельных экспериментах.
Статистические свойства непрерывной случайно-неоднородной среды определяются ее пространственным спектром флуктуаций. Пространственный спектр флуктуаций фазового экрана обычно получается из спектра непрерывной случайной среды и, таким образом, сохраняет его характерные особенности. Для моделирования атмосферной турбулентности наиболее часто используются спектры Кармана, Колмогорова, а также гауссовского типа [12, 97]. Спектр Колмогорова описывает распределение энергии турбулентных пульсаций внутри инерционного интервала пространственных частот, ограниченного внешним и внутренним масштабами, однако не дает информации о поведении спектра вне этого интервала. Спектр Кармана является более реалистичным. Он содержит два характерных пространственных масштаба, однако, помимо инерционного интервала, описывает еще и поведение турбулентных пульсаций при малых пространственных частотах и их затухание - при больших. Для атмосферной турбулентности соотношение между характерными внутренним и внешним масштабами очень мало (порядка Ю-4) [56, 104], что накладывает некоторые ограничения на моделирование распространения волн в такой среде. В полях, описываемых спектрами Колмогорова или Кармана, существуют турбулентные структуры, размеры которых меньше длины акустической волны. Это приводит к эффектам обратного рассеяния, которые не учитываются в уравнении ХЗК. Поэтому при моделировании с использованием параболического уравнения желательно выбрать такой вид спектра, в котором флуктуации с меньшими, чем длина волны, размерами, были бы эффективно подавлены.
В гауссовском спектре флуктуаций имеется только один характерный масштаб. Полагая его равным внешнему масштабу реальной турбулентности, можно подавить влияние мелкомасштабных неоднородностей и тем самым обеспечить применимость параболического приближения. Хотя гауссовский спектр сильно отличается от реального спектра турбулентных пульсаций атмосферы, он очень удобен для расчетов и является широко используемой моделью [26, 99, 100]. В данной работе рассмотрение также ограничено флук- туациями с гауссовским спектром. Тем не менее, этот подход позволяет исследовать влияние размеров крупных неоднородностей на распространение У-волны в пренебрежении эффектами многомасштабности.
Конкретные реализации случайного фазового экрана Ф(Х) с заданной статистикой второй производной были получены с использованием хорошо известного метода фильтрации белого гауссовского шума [99, 100, 104]. В этом методе амплитуды гармоник дискретного пространственного спектра Фурье функции Ф(Х) представляют собой -коррелированные псевдослучайные нормально распределенные комплексные числа, умно- (3.3) - гауссовская спектральная плотность мощности фазового экрана Ф(АГ), (30 - амплитуда спектра, I - корреляционная длина, определяющая характерный масштаб флуктуаций фазы, п - номер дискретной пространственной Фурье гармоники, Ак - шаг дискретизации между гармониками. Действительная и мнимая части результата обратного дискретного преобразования Фурье дают две статистически независимые реализации фазового экрана. Флуктуации фазы Ф(Х) имеют гауссовскую функцию распределения с нулевым средним значением и дисперсией До: (3.4)
Теоретическая модель и численный алгоритм на основе уравнения Вестер-вельта
Для разделения физических эффектов нелинейности, дифракции и поглощения на каждом шаге вдоль координаты г использовался метод расщепления по физическим факторам, уже упоминавшийся в первой и третьей главах диссертации. Согласно этому методу, уравнение (4.2) разбивалось на более простые уравнения для дифракции д2Р Со л (л ал = -7Г&Р, (4.6) дтдг 2 нелинейности др в др2 (47) дг 2ро% дт и поглощения др дг 2сц дт2 К Далее на каждом шаге Аг вдоль координаты распространения пучка .г эти уравнения рассчитывались последовательно. Моделирование проводилось в спектральном представлении и решение уравнения (4.2) было представлено в виде конечного ряда Фурье следующим образом [52]: n=Nmax р(т,х,у,г)= рп(х,у,г)ехр(-гтшт). (4.9) п=—ЛГтах Вследствие того, что в данной части работы исследовались пучки с небольшими амплитудами, то в расчетах использовалось Nmax = 8 гармонических компонент, из которых анализировались первые шесть. Операторы нелинейности и поглощения Нелинейный оператор рассчитывался методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности для каждого из узлов сетки по поперечным пространственным координатам. Решалась система уравнений для амплитуд гармоник в разложении решения в конечный ряд Фурье (4.9) [132]: о /лгтах-п .. п-1 \ дрп теш , \ = I Е + з ) (4Л) \ —1 к—1 / где р обозначает комплексно сопряженную амплитуду гармоники. Оператор поглощения рассчитывался в спектральном представлении, используя точное решение для каждой из гармоник: рп(х, у,г + Аг) = рп(х, у, г) ехр (-Агш2п5/2с1), (4.11) где шп — круговая частота га-ой гармоники. В алгоритме также предусмотрена реализация других законов поглощения и дисперсии, характерных, например, для биологических тканей [1]. Стоит отметить, что учет слабого поглощения в воде при рассмотренных условиях практически не сказывается на результатах моделирования.
Дифракционный оператор и метод углового спектра Дифракционный оператор (4.6) для каждой из гармоник рассчитывался методом углового спектра с помощью двумерного быстрого преобразования Фурье (БПФ) по пространственным координатам [119, 131, 133]. Согласно этому методу, комплексная амплитуда давления п-ой гармоники в плоскости (х, у) с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ) разлагается в двумерный спектр р(кх, ку, г) по пространственным частотам (кх,ку). Компоненты углового спектра на следующем шаге р{кх, ку, г + Аг) получаются умножением спектра на предыдущем шаге на соответствующий фазовый множитель (см. прил. Б) р(кх, ку, г + Аг) = р{кх, ку, г) ехр \iAzyJikl -Щ- Щ) - гАгкп], (4.12) . где кп = то/со - волновое число п-ой гармоники. Фазовый множитель также называют передаточной функцией или пропагатором для данной компоненты углового спектра [81]. Отметим также, что методом углового спектра можно также рассчитывать дифракционные эффекты и в параболическом приближении, заменив соответствующим образом пропагатор: р{кх, ку, г + Аг)= р{кх, ку, г) ехр [-Дг( + к2у)/{2кп)). (4.13) Обратное БПФ дает искомое поле давления на шаге 2 + Аг. Использование метода углового спектра для расчета дифракционного оператора является гораздо более эффективной альтернативой непосредственному суммированию интеграла Рэлея за счет использования БПФ [41, 131]. Наряду с этим достоинством методу углового спектра присущи определенные ограничения. Во-первых, предполагается, что компоненты углового спектра распространяются в сторону одного полупространства (в данном случае в положительном направлении оси г) и, тем самым, рассеяние поля назад не может быть учтено. Однако, если рассеяние назад слабое, можно считать, что волновое поле описывается достаточно точно [120].
Другое ограничение метода углового спектра связано с использованием конечной пространственной области для поля рп{х, у, г) и периодическими граничными условиями по координатам ж и у. В случае квадратной области, ее размер Ь = = Ьу определяет максимальный конечный шаг дискретизации Дк = 2\/27г/Ь вдоль радиального направления к = + ку в пространстве волновых частот. Заметим, что пропагатор в формуле (4.12) осциллирующим образом зависит от пространственных частот. В переделе у/Щ + к2 — ко, частота указанных осцилляций стремится к бесконечности. Таким образом, при дискретизации пространственного спектра с конечным шагом Ак неизбежно возникает ошибка наложения спектров, которая появляется в виде волн, приходящих от периодических границ области. Для подавления данных паразитных волн, на каждом шаге вдоль оси г использовался метод обнуления компонент спектра на пространственных частотах вне круга определенного радиуса ктах, т.е. в области к% + к2 к пах [131]. Радиус круга для каждой из гармоник определялся соотношением ктах = кп/у/г2 Ак2/тг2 + 1, который соответствует отбрасыванию компонент передаточной функции начиная с частот, которые не могут быть адекватно представлены на сетке с данным шагом Ак. Как следствие, несколько понижается точность расчета дифракционного оператора, т.к. часть компонент углового спектра, распространяющихся в интервале углов от агсэт ктах/ко до 90 между волновым вектором к компоненты и осью г оказываются исключенными из расчета. Тем не менее, во многих практически важных случаях, при правильном выборе параметров алгоритма, урезание спектра практически не сказывается на точности решения [134].
При достижении фазового слоя поле каждой гармоники умножалось на фазовый множитель, задаваемый функцией фазы слоя ф(х,у): РТ (х У г)=Рп(х,У,г)ехр[тф(х,у)}, п= 1...8, (4.14) где рсг(ж, у, г) и рп(х, у, г) - поля гармоник после и до фазового слоя соответственно. Размеры пространственных областей по координатам х и у были равны Ьх = Ьу — 143.4 мм, а шаги - йх = &у = 0.14 мм (1024 на 1024 точек). Величина продольного шага составляла 1г = 0.5 мм, а поле рассчитывалось до геометрического фокуса преобразователя. Обнуление передаточной функции при таких параметрах дает максимальный угол дифракции 36 при х = 12 мм (фокусное расстояние), в то время как половинная угловая апертура излучателя составляет 15. Таким образом, параметры алгоритма были выбраны с достаточным запасом, чтобы обеспечить точность решения. Проверка точности алгоритма проводилась сравнением результатов численного моделирования с аналитическим решением для линейного поля круглого сфокусированного поршневого излучателя. Относительная ошибка не превысила 1%. пучка. В настоящей работе основное внимание уделено такой характеристике пучка как степень сохранения (или разрушения) фокусировки после прохождения фазового слоя. Для определения степени сохранения фокусировки используется энергетический критерий, сходный с введенным в работах [43, 113]. В его основе лежит вычисление доли мощности пучка, сконцентрированной в пределах главного фокального максимума на частоте каждой из гармоник (рис. 4.4). Однако, есть некоторые отличия в деталях определения.
