Содержание к диссертации
Введение
1. Метод решения волнового уравнения в среде с изменяющейся скоростью звука
1.1 Поле скорости звука в океане и параметры, ю влияющие на изменение скорости звука. краткий обзор.
1.2 Об одном решении неоднородного волнового уравнения.
1.3 Решение уравнения для комплексной фазы методом 1 главы
1.4 Анализ изменения фазы акустической волны в среде с измяняющейся по трассе распространения соростью звука
1.5 Решение задачи для амплитуды акустической волны в среде с изменяющейся скоростью звука /
1.6 Анализ решений уравнений для амплитуды акустической волны в неоднородной среде с изменяющейся по трассе
распространения скоростью звука
2. Решение задачи о распространении акустических волн в нелинейной среде .
2.1 Решение неоднородного волнового уравнения с нелинейно меняющейся скоростью распространения звука.
2.2 Решение неоднородного волнового уравнения для расчета фазы сигнала методом 1 главы.
2.3 Анализ поведения фазы акустической волны, распространяющейся в нелинейной среде
2.4 Анализ характера распространения двух монохроматических волн в среде с изменяющейся скоростью звука
2.5 Анализ поведения амплитуды волны давления врч всреде с изменяющейся скоростью распространения звука вдоль оси распространения сигнала
2.6 Анализ поведения амплитуды волны 78 давления врч в среде с изменяющейся скоростью распространения звука вдоль оси распространения сигнала и в присутствии потока жидкости
2.7 Анализ поведения амплитуды волны давления врч в среде с изменяющейся скоростью распространения звука вдоль оси распространения сигнала с учетом влияния вторичных источников
3. Решение задачи о распространении сфокусированных и дефокусированных волновых пучков в средах с неоднородностями и нелинейностями .
3.1 Решение однородного волнового уравнения для сфокусированнных волновых пучков.
3.2 Взаимодействие волн в нелинейной среде в 96 сфокусированных волновых пучках
3.3 Решение неоднородного волнового уравнеия для сфокусированного волнового пучка в присутствии потока жидкости и нелинейно меняющейся скорости распространения звука в среде
3.4 Анализ полученных результатов 105
4. Анализ результатов теоретических исследований и сравнение с экспериментальными данными .
4.1 Взаимодействие волн в среде с потоком жидкости
4.2 Анализ ширины пучка в среде с 117
изменяющейся скоростью звука и в присутствии параллельного или ортогонального к источнику акустических волн потоку жидкости
4.3 Описание установки для проведения экспериментальных исселедовании и ее характеристики
Заключение 136
Список литературы
- Решение уравнения для комплексной фазы методом 1 главы
- Анализ характера распространения двух монохроматических волн в среде с изменяющейся скоростью звука
- Анализ поведения амплитуды волны давления врч в среде с изменяющейся скоростью распространения звука вдоль оси распространения сигнала с учетом влияния вторичных источников
- Решение неоднородного волнового уравнеия для сфокусированного волнового пучка в присутствии потока жидкости и нелинейно меняющейся скорости распространения звука в среде
Решение уравнения для комплексной фазы методом 1 главы
Решение задач о распространении и взаимодействии акустических волн в океане связано с рядом трудностей, возникающих из-за наличия неоднородностей в толще воды, обусловленных как глобальными, так и локальными изменениями характеристик гидрофизических полей.
Многие гидрофизические неоднородности в океане (особенно в полях температуры, солености, давления и др.) приводят к изменениям плотности и сжимаемости среды, что в свою очередь ведет к изменениям поля скорости звука в океане.
При теоретическом изучении распространения звука в океане обычно пользуются двумя методами решения модельных задач. Один из них основан на использовании классического волнового уравнения, предполагающего в большинстве случаев неизменную скорость распространения звука в среде. Второй основан на использовании приближений лучевой акустики, которая позволяет строить лучи и волновые фронты в средах с изменяющейся скоростью звука /11/. Рассмотрим, как изменяется скорость распространения звука в океане, чтобы оценить влияние этих изменений на характеристики распространяющихся и взаимодействующих волн.
Практически все сведения о гидрофизических полях в океане, их структуре и пространственно-временной изменчивости получены в результате измерений, т. е. экспериментальным путем. Следовательно, прогресс в этой области науки определяется развитием средств измерения, методик наблюдения и обработки результатов измерений, их интерпретацией в рамках тех или иных математических моделей.
Исследования поля скорости звука в Мировом океане ведутся двумя путями. Первый путь — косвенные измерения. Он использует эмпирические зависимости скорости звука от первичных параметров состояния морской воды — температуры, солености и давления. К настоящему времени в Мировых центрах сбора данных накоплен огромный массив результатов стандартных гидрологических измерений температуры, солености и глубины в различных районах океана и для различных времен года. Расчет скорости звука на основе этих данных, анализ и обобщение результатов позволили исследовать крупномасштабную структуру поля скорости звука, провести районирование акватории Мирового океана, изучить сезонную изменчивость. Результаты таких исследований представляются в виде различных схем, карт, атласов.
Другой путь исследований — прямые измерения скорости звука. Этот путь наиболее прогрессивен. Однако он стал возможен лишь в последнее время благодаря успехам в области техники акустических измерений и морской радиоэлектроники. Морская вода представляет собой многокомпонентную термодинамическую систему, параметры которой зависят сложным образом от ее солевого состава. Изучение такой системы представляет чрезвычайно трудную задачу. Однако проблема существенно упрощается, если принять гипотезу о постоянстве солевого состава морской воды /12/. В таком приближении морскую воду можно рассматривать как двухкомпонентную (бинарную) термодинамическую систему, обозначая концентрацию солей S и концентрацию растворителя (чистой воды) Т - S. Тогда уравнение состояния морской воды запишется в виде f(p, Т, S, Р)=0 или р=р( Т, S, Р\ где плотность воды р есть функция термодинамических параметров: температуры Т, давления Р и обобщенного физико-химического параметра—солености S.
В настоящее время, несмотря на значительные успехи статистической теории жидкого состояния вещества, теоретический вывод уравнения р = р(Т, S, Р) отсутствует, и основные зависимости получены эмпирическим путем. Эти зависимости представлены в виде громоздких формул и различных океанографических таблиц. Ввиду сложности строения морской воды уравнение состояния, выражающее количественную связь между Т, S, Р nf(p, Т, S, Р) — существенно нелинейно.
В океанологии Т, S и Р являются первичными характеристиками морской воды, по которым на основе соответствующих уравнений состояния рассчитывают так называемые вторичные характеристики,
В гидроакустике, напротив, важнейшей первичной акустической характеристикой водной среды является скорость звука. Распространение акустических колебаний в жидкости происходит с конечной скоростью, которая в общем случае является комплексной величиной С =С+іС\ где С—скорость звука в идеальной (невязкой) жидкости; С"— «скорость» потерь /12/.
Физический смысл комплексной скорости звука состоит в том, что ее вещественная часть соответствует скорости распространения плоской монохроматической волны, а мнимая определяет затухание энергии акустических колебаний. Поглощение звука и дисперсия скорости распространения есть результат взаимодействия акустического излучения со средой. Комплексность выражения свидетельствует о существовании необратимых процессов.
Анализ характера распространения двух монохроматических волн в среде с изменяющейся скоростью звука
Рассмотрим решение неоднородного волнового уравнения, используя метод, полученный в первом разделе. В предположении отсутствия дисперсии в среде неоднородное волновое уравнение записывается в следующем виде /15/: где Р - давление в акустической волне. Правая часть этого уравнения описывает либо вторичные источники, образующиеся в результате распространения волн в нелинейной среде, либо неоднородности среды, такие как акустически твердые и мягкие включения и, в частности, поток в жидкости.
Для выяснения влияния конкретного вида Q на приближенные решения уравнения используем метод, описанный в первой главе. Построим на основании метода, предложенного в первой главе настоящей работы, следующий набор уравнений: при этом считаем, что т.к., выполняются условия принципа корректности решения гиперболического уравнения, как это и было сказано в первой главе, то сумма решений полученного набора уравнений будет мало отличаться от решения исходного уравнения, при kz- co.
В результате получаем систему трех неоднородных волновых уравнений с различными коэффициентами перед величиной скорости звука с0, причем эти коэффициенты зависят от координаты так, как изменения температуры предполагаются зависящими от координаты.
На основании метода последовательных приближений, набор уравнений (2.3) может быть сведен к следующему набору уравнений:
Вследствие крупномасштабности полей сигнала основной, характеристикой среды, модулирующей звуковую волну, являются изменение скорости звука.
Описание параметрических явлений, основанное на введении комплексной фазы высокочастотной звуковой волны, позволяет использовать хорошо развитый метод плавных возмущений СМ. Рытова /21/. И получить более точное, и строгое решение задачи в приближении примыкающем к геометрическому, и притом очень удобном для анализа с учетом особенностей обработки фазово-модулированных сигналов в параметрических приемниках звука.
Известно, что в неоднородных средах с произвольной, но достаточно медленной зависимостью свойств среды от координаты, рассеянные волны концентрируются в узком телесном угле, т.е. волны распространяются практически в том же направлении, что и первичная волна. В силу этого будем искать решение уравнения (2.5) в виде распространяющейся в направлении оси Oz плоской звуковой волны давления с комплексной амплитудой A{z,t) и: P(z,t)=A(z,t)exJi o(t-l) , (2.6) где с = c(z,t) - скорость распространения звука в среде. Подставим (2.6) в (2.5), тогда с учетом метода, изложенного в первой главе настоящей работы, получаем следующее параболическое уравнение:
По методу плавных возмущений: A(z,t)= ev(z,,), y/(z,t) = S + iz, X собственно фаза, a S - логарифм амплитуды. Тогда (2.7) принимает вид: V oz с dt J В результате получим нелинейное уравнение в отличие от параметрического (2.7). Его решение удобно получать, в так называемом, приближении первого порядка Рытова /21/, в отличие от приближения Борна для (2.7) /48/.
Для этого подставим в (2.7) выражение следующего вида: у/= ту/т, как показано в предыдущем разделе. Приравнивая члены w=0 одинакового порядка малости по є, можно получить следующую систему уравнений последовательных приближений: (2.8) Рассмотрим в дальнейшем только первое и второе уравнения системы (2.8), как соответствующее однородному и неоднородному уравнению для фазы. Решение будем искать в виде таком же, как в первой главе. В результате получим набор нелинейных уравнений для фазы:
Так как выполнены условия крупномасштабности и малости углов распространения волны, рассмотрим неоднородное уравнение следующего вида (из вида уравнений видно, что они будут отличаться только видом выражения a(z)).
Решения будем искать в том же виде, что и пункте 1.3 первой главы, тогда, учитывая малость изменения характеристик давления и амплитуды волн накачки, получим нелинейное уравнение для фазы:
Френеля: ( ..Я, где L - характерный размер неоднородностей, А, длина высокочастотной волны, Л - длина низкочастотной волны, то пренебрегая дифракционными членами исходного уравнения, которые проявляются в первом приближении по величине —, а также учитывая, что выполнены условия крупномасштабности и малости углов волновых векторов распространения волны, а так же выполняются основные требования применимости метода построения уравнения ХЗК, то решение нелинейного уравнения для фазы, можно записать в виде /22/ (метода стационарных фаз).
Анализ поведения амплитуды волны давления врч в среде с изменяющейся скоростью распространения звука вдоль оси распространения сигнала с учетом влияния вторичных источников
Применение параметрических антенн для исследования гидрофизических характеристик океана связано с размещением их на движущемся носителе. Поэтому взаимодействие волн в среде происходит в присутствие потока жидкости. Рассмотрим уравнение (2.5) в виде: где Q z,t) - правая часть описывающая неоднородности и нелинейности среды, например, учитывающая наличие таких неоднородностей, как
После применения метода последовательных приближений из уравнения (2.40) получится набор из двух уравнений вида /20/ (без учета однородного уравнения, решение которого хорошо известно и поэтому здесь не рассматривается):
ЗсоРо Решение первого из двух уравнений подробно рассмотрено в предыдущем пункте. Поэтому здесь мы его рассматривать не будем. Проведем решение и последующий анализ только для второго уравнения. С учетом предыдущего пункта, запишем их в виде:
Считаем, что волна распространяется осесимметричным пучком. Воспользуемся преобразованием Ханкеля. Тогда (2.41) принимает вид:
Рассмотрим изменение амплитуды точно так же как и в предыдущем пункте. Тогда предполагая, что диссипация отсутствует во всей рассматриваемой области, т.е. —«1, последним членом под знаком экспоненты, на этой стадии решения, можно пренебречь. Если понадобится учесть диссипативные процессы, то конечный результат необходимо домножить на ехр соответствующий коэффициент разложения.
При этом будем считать, что изменения из-за наличия скорости потока будут существенны только на участке равном ширине потока (без учета размытости границ потока из-за влияния скорости самого потока). Поэтому каждый из указанных интегралов, учитывающих влияние на взаимодействия скорости потока жидкости, может быть переписан в виде:
На рисунке 2.6.1 видно, что при различных значениях п, дифракционная расходимость исходных пучков будет различной, что повлияет на поведение амплитуды ВРЧ. Из рисунка следует, что при п = О, амплитуда уже не растет монотонно, а достигнув некоторого максимума, начинает убывать. Причем это максимальное значение достигается на расстояниях порядка длины зоны дифракции исходных волн. При этом если скорость потока постоянна, то это оказывает влияние на рост амплитуды волны только на ширине потока. На рисунке 2.6.2 видно, как и в предыдущем случае, что п = О, амплитуда монотонно убывает, за счет изменения скорости потока. Причем этом график амплитуды убывает более интенсивно.
На рисунке 2.6.3 видно, как и в предыдущем случае, что при различных значениях п, дифракционная расходимости исходных пучков будет различной, что повлияет на поведение амплитуды ВРЧ
Так как решения обоих уравнений были подробно рассмотрены в предыдущих пунктах, то отметим только те части выводов, которые необходимы для данного рассмотрения и последующего анализа.
Итак, считаем, что волна распространяется осесимметричным пучком с гауссовым распределением амплитуды. , где /9 /3 (/з со и /3 ш2 - для достаточно высоких частот накачки) После применения метода перехода к уравнения Хохлова -Заболотской - Кузнецова (ХЗК) и последующим использованием интегрального преобразований Ханкеля, решение каждого из этих уравнения может быть представлено в виде /38/:
После ряда преобразований, в том числе замены переменной, как и в пункте 2.6, опуская малые величины (порядка 10 2), мы получаем два набора решений, учитывающих неоднородности и нелинейности среды, выраженными правыми частями уравнений (2.45), (2.46):
Проведем анализ полученных решений с учетом сделанных выводов положив так же г = Ои zd є [0;200] метров. Рассмотрим графики поведения функций Р_()я, Р.(2)н, _(3)я: р( - Р Зс0р0 „„ . , , - - с» п пт гДе =1»2,3, ф0Хр0211Ьд а также Р_н =Р_(,)Я +Р±2)Н +Р-3)Н іяттвтттнт Изменение амплитуды волны давления ВРЧ для нормированной волны в зависимости от расстояния и в присутствии потока. ЗО 40 «О 00 100 130 140 160 ISO 300 d рис.2.7. ч. , чГ тттщшттттт Изменение амплитуды волны давления ВРЧ для нормированной волны в зависимости от расстояния и в присутствии потока, с учетом сильной дифракции. в0 100 130 140 160 180 300 d М рис.2.7.2
Из всего выше сказанного в пункте 2.6. и в целом по главе можно сделать вывод о том, что предложенный в первой главе метод приводит нас к результатам, не противоречащим уже имеющимся и полученных другими авторами / 32,33, 35, 39, 58/. Также можно сделать вывод о том, что наличие потока жидкости в среде ведет к усилению амплитуды волны как на самом потоке.
Решение неоднородного волнового уравнеия для сфокусированного волнового пучка в присутствии потока жидкости и нелинейно меняющейся скорости распространения звука в среде
Проведем анализ полученных результатов. Из рисунка 3.1.1 видно, что максимумы осевого распределения амплитуды ВРЧ при различных значениях величины дифракции различны, причем имеют тенденцию к сдвигу вправо по оси z, при ее увеличении.
Из рисунка 3.1.2 видно, что из-за того, что максимумы решений для добавок располагаются правее максимума основной волны, то возникает эффект второго пика, который, вообще говоря, располагается выше пика максимума основной волны (без добавок).
Изменение амплитуды ВРЧ в зависимости от величины дифракции в сходящемся волновом пучке. Изменение амплитуды ВРЧ в сходящемся волновом пучке в присутствии неоднородностеи среды при переменной скорости распространения звука в среде. нелинейность среды, например У\? )-—і я - , причем скорость распространения звука по-прежнему считаем функцией от координаты: c = c(z). Решение подобного уравнения будем искать в
Очевидно, что если взять сумму решений La - в точке z = R0, то мы получим решение для сфокусированного волнового пучка в фокусе. Следует отметить, что предполагается, что расстояние от источника сигнала до точки фокуса много больше длины зоны дифракции волн в пучке. Изменение амплитуды ВРЧ в сходящемся волновом пучке в присутствии неоднородного потока при нелинейном характере изменения скорости распространения звука в среде.
Изменение амплитуды ВРЧ в сходящемся волновом пучке, в присутствии неоднородного потока и нелинейного изменения скорости распространения звука в Из рисунка 3.2.1. видно, что, как и в предыдущем случае, наличие добавок за счет нелинейностей приводит к появлению второго максимума, расположенного правее исходного (без добавок). Следует указать, что распределение скорости потока считается косинусоидальным: U(z) = U0cos{—) /20/, где под Az понимается ширина Az потока жидкости. Из рисунка 3.2.2. следует, амплитуда ВРЧ, как суммы решений всех уравнений из пунктов 3.1 и 3.2, претерпевает значительные изменения.
Нелинейность естественно искажает форму возмущения. В сфокусированном пучке эти искажения не симметричны, причем асимметрия волнового профиля проявляется сильнее, чем в квазиплоской волне. Кроме того, нелинейность изменяет и сдвигает максимум пикового значения возмущения на оси. Характер этих изменений определяется амплитудным распределением. В случае рассмотренного нами гауссового распределения нелинейность увеличивает максимальное значение pH(z,t) и сдвигает его вправо по оси Oz.
Возможное исключение составляет сильно сходящийся волновой пучок, в котором максимум амплитуды гармонической волны больше максимального значения pH(z,t). Следует отметить, что в предложенной работе сильно сходящийся волновой пучок не рассматривался.
Кроме того, как следует из работ /19/, /20/ гауссовый пучок очень хорошо фокусируется, и в нем сильнее проявляются нелинейные свойства среды.
Все сказанное выше дает возможность объяснить поведение функции амплитуды ВРЧ для добавок. Видно, что в случае неоднородного уравнения, описывающего распространение ВРЧ в среде с меняющейся скоростью распространения звука, максимум p{„-2)(z,t) находится выше, чем p{„{z,t) и правее, что и обуславливает размытие внешних границ фокального пятна сходящегося волнового пучка. Так же это можно объяснить и тем, что в каждом из анализируемых уравнений мы как бы рассматриваем отдельную, сходящуюся волну со своим фокусом, причем этот фокус может и не совпадать с фокусом сходящейся волны в однородном случае или в любом другом уравнении из набора. Поэтому в точке фокуса происходит как бы многократное наложение фокусов волн описываемых уравнениями из указанной системы.
Последнее также следует и из /15/, по причине сильной дифракции генерируемых волн. А следующее за максимумом убывание амплитуды происходит значительно быстрее для фокусированных волн, чем для ВРЧ, что объясняется тем, что после прохождения фокальной области ВРЧ начинает генерироваться в противофазе. При этом ширина пучка в начале убывает, достигает минимального значения в области максимального значением амплитуды ВРЧ, а затем резко расширяется, стремясь к постоянному значению.
Также следует сказать, что после прохождения фокуса сферически расходящаяся волна станет квазиплоской. Данный фрагмент хорошо описана в работе /26/ и не требует дополнительного анализа.
