Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Обобщение метода возмущений, базирующегося на использовании дивергентного соотношения, применительно к задачам распространения, возбуждения и рассеяния акустических волн в пьезокристаллических волноводах и в неограниченных пьезокристаллах 23
I. Вывод дивергентного соотношения 23
2. Вывод уравнения медленно меняющихся амплитуд и формулы для возмущения волнового числа 25
3. Применение дивергентного соотношения в задачах рассеяния акустических волн 29
ГЛАВА 2. Исследование волновых процессов на поверхности пьезокристаллов в приближении слабой пьезосвязи 33
I. Анализ электрических полей, возникающих при отражении объемных акустических волн от поверхности пьезокристаллов 33
2. Упрощенный метод вычисления эффективного коэффициента электромеханической связи поверх ностных волн в слабых пьезоэлектриках 41
3 Аналитическая линейная теория взаимодействия поверхностных акустических волн с электронами проводимости в пьезополупроводниках, учитывающая диффузию электронов и анизотропию упругих и пьезоэлектрических свойств материалов 51
ГЛАВА 3. Влияние слабой кривизны границы на распространение поверхностных акустических волн в пьезокристаллах 61
1 Вывод общего выражения для изменения скорости поверхностных волн в пьезокристаллах из-за искривления границы» Рассмотрение частных случаев распространения волн Рэлея, волн Шолте, волн Лява и волн іуляева-Блюстейна 61
2 Связь влияния кривизны границы и средней глубины проникновения для поверхностных акустических волн в твердых телах 71
3.. О возможности фазовой коррекции трехволновых взаимодействий поверхностных акустических волн в пьезокристаллах за счет дисперсии на закруглениях 80
ГЛАВА 4 Анализ волновых процессов на поверхности уп ругого твердого клина 87
1. Модельный подход в теории клиновых акустических волн 87
2. О механизме осцилляции коэффициентов отражения и прохождения волн Рэлея в упругом твердом клине 101
3. Оценка отражения поверхностных акустических волн от закругления большого радиуса
ГЛАВА. 5 Нелинейные акустоэлектронные взаимодействия с удвоением частоты в полуограниченных пьезоэлектриках 115
I. Генерация второй гармоники объемных акустических волн в пьезополупроводниках 115
2. Генерация второй гармоники поверхностных акустических волн в слоистой структуре пьезодиэлектрик - полупроводник 128
3. Свертка при отражении объемных акустических волн от границы пьезодиэлектрик - полупроводник 141
Заключение. Основные результаты и выводы диссертационной работы 153
Литература
- Вывод уравнения медленно меняющихся амплитуд и формулы для возмущения волнового числа
- Упрощенный метод вычисления эффективного коэффициента электромеханической связи поверх ностных волн в слабых пьезоэлектриках
- Связь влияния кривизны границы и средней глубины проникновения для поверхностных акустических волн в твердых телах
- О механизме осцилляции коэффициентов отражения и прохождения волн Рэлея в упругом твердом клине
Вывод уравнения медленно меняющихся амплитуд и формулы для возмущения волнового числа
Основой метода теории возмущений, базирующегося на использовании дивергентного соотношения,, является то, что процедура разложения по малому параметру проводится не в исходной системе уравнений, а в дивергентном соотношении. Это позволяет в значительной степени сократить трудоемкость решения целого класса разнообразных задач. С помощью дивергентного соотношения можно решать задачи распространения, возбуждения и рассеяния акустических волн в ограниченных и неограниченных твердых телах . В этом параграфе будет рассмотрен вывод уравнения медленно меняющихся амплитуд и уравнения для возмущения волнового числа или,, что эквивалентно, скорости акустических волн. Для этого проинтегрируем уравнение /4/ по площади поперечного сечения пьезоэлектрического волновода и используем двумерную теорему Остроградскога-Гаусса M{ h - Саженне в фи ршх окобках в уравнении /4/, L - контур сечения S . В одномерном случае интегрирование не производится, в двумерном случае интегрируется лишь по одной координате» Используем также соотношение, справедливое, когда средний по времени поток энергии через границу невозмущенного волновода равен нулю
Подставляя в эту формулу решение в виде ряда по степеням малого параметра, характеризующего возмущение. В дальнейшем будем рассматривать только те ситуации, в которых относительное изменение структуры волны имеет такой же порядок величины, что и относительное изменение волнового числа, т.е. возмущение слабо изменяет структуру волны. Тогда получаем, что в (A/+J) порядке по малому параметру возмущение л к можно вычислить через волновые поля, определенные с точностью до /У-го порядка по этому параметру. Следовательно, формула /6/ позволяет вычислять волновое число возмущенной задачи итерациями. Наиболее простыми являются вычисления в первом порядке по малому параметру. Получаемая при этом точность достаточна для многих задач. В этом случае a F0 определяется через решение невозмущенной задачи. Изменением структуры волны при вычислении л к по формуле /7/ фактически пренебрегается. В этом приближении л к Pw для любых малых возмущений. Легко показать, что с этой же степенью точности лк (дЯ/дк)1к=к, Я = О- дисперсионное уравнение невозмущенной задачи, к0 - здесь невозмущенное волновое число. Отсюда следует, что в общем случае средний по времени суммарный поток энергии в пьезоэлектрическом волноводе Рщ (д$/дк) .. . Непосредственными вычислениями значения Р это соотношение было получено для волн Рэлея в работе [94]. Данное соотношение может быть полезным при поиске в конкретных случаях наиболее компактной формы записи для /L. Отличительной особенностью кристаллических сред является то, что при некоторых ориентациях направления распространения относительно кристаллографических осей имеются случаи, когда поверхностная волна трансформируется в вытекающую» К вытекающим же волнам формула /7/ непосредственно не применима из-за расходимости интегралов на бесконечности. Однако в тех случаях, когда на границе существует вытекающая волна, на этой же границе существует, как правило, и дополнительная поверхностная волна. Математически эти волны описываются одинаково, а отличаются только тем, что им соответствуют разные корни дисперсионного уравнения. Следовательно, выражение /7/ применимо и для вытекающих волн, если в нем исключить значение первообразной от интеграла на бесконечном удалении от границы /для поверхностных волн это значение равно нулю/, а также считать, что дк=к -к .
Формулы /5/,/7/ позволяют без проведения дополнительных вычислений или с их минимумом получать решения самых разнообразных задач, если известны системы уравнений, описывающие возмущенную и невозмущенщгю задачи. Уравнение /7/ позволяет исследовать влияние различных факторов на скорость и затухание акустических волн. В данной работе в главах 2 и 3 это уравнение используется для решения конкретных задач. Уравнение /5/ позволяет решать задачи возбуждения акустических волн распределенными источниками и задачи об их нелинейном взаимодействии.
Упрощенный метод вычисления эффективного коэффициента электромеханической связи поверх ностных волн в слабых пьезоэлектриках
В настоящее время в акустоэлектронике из всех типов акустических волн наиболее широко исследуются и применяются поверхностные акустические волны» При распространении в пьезо-материалах волны этого типа сопровождаются, электрическим полем, проникающим за пределы пьезоэлектриков, что позволяет им эффективно взаимодействовать с внешними электрическими зарядами [100,ЮГ]. В свою очередь электрическое поле, создаваемое внешними зарядами, может эффективно возбуждать поверхностные акустические волны в пьезоматериалах. Эти свойства обусловили широкое использование пьезоэлектриков в акустоэлектронных устройствах на поверхностных волнах. Практический интерес в связи с этим приобрела задача определения характеристик распространения поверхностных акустических волн в таких материалах. Точное решение данной задачи /без использования приближения слабой пьезосвязи/ получено в аналитической форме для чисто сдвиговых поверхностных волн [31]. В более сложных случаях подобное решение может быть получено реально лишь в численной форме с помощью ЭВМ. Однако применение опубликованных результатов расчетов на ЭВМ в определенной степени ограничивается неточностью исходных параметров материалов „ а также, их изменением от образца к образцу [Г02]. В работе [ЮЗ], например, сообщается, что в зависимости от выбора имеющегося в литературе набора значений пьезоконстант величина параметра (л V/v) варьируется для ZnO от 0,0022 до 0,.0071 / ( 2// - относительное изменение скорости поверхностных волн в пьезоэлектрике при металлизации его поверхности/. С точки зрения исследования общих закономерностейг а также экономии времени расчетов на ЭВМ целесообразно развитие приближенной теории рассматриваемого вопроса. Разработке такой теории для пьезодиэлектрических материалов в приближении слабой пьезосвязи посвящен ряд пубг-ликаций [20,33,36]. Наиболее эффективным и общим методом решения, используемым в этих работах„ является метод возмущений „ базирующийся на использовании дивергентного соотношения [4]. Этот метод применялся для расчета изменения скорости и затухания поверхностных волн, вызванного возмущением электрических граничных условии [20,104]. В качестве начального приближения при этом использовалось решение уравнений, описывающих распространение поверхностных волн по свободной поверхности пьезодиэлектрика /внешняя среда - вакуум/. В настоящей работе будет использоваться тот же метод, но в качестве начального приближения выбирается решение задачи в пренебрежении пьезоэффектом. Такой выбор позволяет более простым путем получить соответствующие результаты работ [33, 20], позволяет вывести для слабых пьезоэлектриков аналитическое выражение для параметра (A V/U)S , а также дает возможность определить влияние самого пьезоэффекта на скорость и затухание поверхностных волн в пьезоматериалах. Последнее представляет особый интерес в тех случаях,, когда влияние пьезоэффекта в сильной степени зависит от других факторов. К ним относятся, например, проводимость пьезоэлектрика или амплитуда электрических и механических полей в материалах, в которых пьезоэффект - несобственный,, а наводится с помощью этих полей. Следует отметить, что метод решения и выбор начального приближения, используемые в настоящей работе, применялись ранее для анализа управляемых волноводов поверхностных акустических волн в пьезополупроводниках l05]. Однако результат расчета для волн Рэлея в работе [105] "... ввиду громоздкости приводится не аналитически, а графическиV К тому же этот расчет относится к частному и нереалистичному случаю - считается,, что отличен от нуля лишь один из пьезо-модулей ЄЦ , а по упругим и диэлектрическим свойствам пье-зоэлектрик является изотропным. В настоящей работе в отличие от указаннойг во-первых, строго учитывается анизотропия свойств пьезоматериалов, а во-вторых, конечные результаты для поверхностных волн рэлеевского типа получены в аналитической форме и имеют компактный вид.
Рассмотрим распространение поверхностных волн рэлеевского типа по плоской, свободной от механических напряжений поверхности однородного пьезодиэлектрика /под волнами рэлеевского типа подразумеваются поверхностные волны, локализованные в отсутствии пьезоэффекта в приповерхностном слое толщиной порядка длины волны/. Считаем, что известным, например, из расчетов на ЭВМ, является решение, описывающее распространение поверхностных волн в анизотропном, твердом теле без учета пьезоэффекта, а пьезоэффект вносит лишь малые изменения в это решение. В отдельных случаях такое решение получено и в аналитической форме.
Связь влияния кривизны границы и средней глубины проникновения для поверхностных акустических волн в твердых телах
Таким образом,, полученные в данной главе общие формулы /I/,,/2/, с одной стороны объединяют и включают в себя как частный случай результаты разных авторов г а с другой стороны,, имеет новую область применения для ранее не исследованного случая распространения поверхностных волн рэлеевского типа по искривленным поверхностям анизотропных твердых тел и пьезокристаллов. Большинство сделанных в этом параграфе выводовг относящихся к изотропным твердым телам, справедливы и для анизотропных сред. Отличием же анизотропных сред является то,, что при некоторых ориентациях среза и волнового вектора поверхностная волна может стать вытекающей. К вытекающим волнам формулы /1/,/2/ также косвенно применимы. Анализ этих формул показывает, что продольная кривизна границы изменяет у вытекающих волн затухание. Особенностью для ани-эотропных оред является также то; что согласно форда /7/ в таких средах даже изотропная кривизна границы /случай сферы/ может изменять угол отклонения групповой скорости от фазовой.
Согласно количественной теории поверхностные акустические волны на одной и той же искривленной поверхности могут из-за ее искривления как замедляться так и ускоряться по сравнению со случаем распространения по плоской поверхности г и это существенным образом зависит от того,, в каком направлении по отношению к волновому вектору искривлена поверхность. Например, при распространении вдоль цилиндра кривизна поверхности уменьшает скорость волны Рэлея а при распространении вокруг цилиндра - увеличивает. В чем причина такого существенно различного влияния продольной и поперечной кривизны границы на поверхностные волны, насколько известно автору настоящей работы, в литературе до сих пор не обсуждалось. В этом параграфе на основе анализа результатов, полученных в I этой главы, предлагается качественная интерпретация этих особенностей.
В формулах /1/,/2/ содержится слагаемое N;, физический смысл которого остался пока неясным. Поэтому остановимся первоначально на этом вопросе. Рассмотрим, как записывается закон сохранения энергии в цилиндрической системе координат, которая использовалась в предыдущем параграфе для локальной аппроксимации искривленной поверхности, В прямоугольной декартовой системе координат Л/, соответствующей задаче с плоской поверхностью,, этот закон имеет следующий вид
Перейдем к качественной интерпретации влияния кривизны границы на распространение поверхностных волн. В монографии 4,с.120] отмечалось,, что уменьшение скорости поверхностных волн вблизи вершины топографического волновода связано с тем,, что частицы среды вблизи этой вершины слабее связаны между собой по сравнению со связью частиц на плоской поверх ности, В результате этого эффективная динамическая жесткость среды вблизи вершины волновода уменьшается и волна замедля ется. Такое объяснение качественно согласуется с количест венной теорией только в случае, когда поверхность искривлена в перпендикулярном по отношению к волновому вектору направ лении,4 В случае же, когда поверхность изогнута вдоль направ ления распространения, для выпуклых поверхностей количест венная теория дает увеличение скорости распространения, в то время как приведенное выше качественное объяснение по-преж нему указывает на замедление волны. Более детальное сравнение этих двух случаев показывает, что при продольном искривлении поверхности имеется дополнительная особенность - фазовая скорость волны зависит в этом случае от расстояния до повер хности. В силу этого на достаточно большом удалении h от границы, h hn где HQ - некоторая характерная глубина, волновое движение происходит с несвойственной для поверх ностных волн в этом материале малой скоростью распростране— ния. Можно ожидать, что это замедление будет скомпенсировано увеличением скорости волнового движения непосредственно вблизи поверхности,- при h h0 . Будем далее подразумевать под Н0 расстояние от искривленной поверхности, на котором фазовая скорость поверхностной волны такая же, что и на плоской поверхности» Отметим, что наличие такой характерной глубины следует из количественной теории. Рассмотрим, как изменится скорость поверхностной волны, распространяющейся вокруг цилиндра радиуса Rr по сравнению с волной на плоской поверхности, если считать,, что h0 равняется средней глубине локализации потока энергии поверхностной волны на плоской поверхности П0І
О механизме осцилляции коэффициентов отражения и прохождения волн Рэлея в упругом твердом клине
Клиновые акустические волны, т.е. волны, распространяющиеся вдоль и локализованные вблизи ребра упругого твердого клина /см. рис.П/г обладают рядом свойств, делающих перспективными их применения в области акустоэлектронной обработки сигнальной информации [156]. К этим свойствам относятся малая скорость распространения, отсутствие дифракционной расходимости,, отсутствие дисперсии /для клина с неусеченной вершинойД а также высокая концентрация энергии волны вблизи ребра клина, а, следовательно, и более сильная нелинейность при заданной интенсивности по сравнению с другими типами акустических волн» Построение теории распространения клиновых волн, основанной на решении трехмерных уравнений динамической теории упругости, вызывает значительные трудности. Поэтому даже в изотропном случае реальные результаты в этом направлении получены лишь в численной форме [60-66]. Для клиньев с малыми углами раствора в , представляющих наибольший интерес с точки зрения достижения минимальной скорости распространения,, могут быть введены дополнительные приближения, позволяющие получить решение в аналитической форме. В работе [157] была предпринята попытка поиска решения в виде ряда по степеням в г однако приведенные в ней результаты не коррелируют с результатами исследований предшествующих авторов. Оригинальное приближенное решение было получено в работе- [67]. В этой статье для описания распространения волн в остром клине использовалось дифференциальное уравнение четвертого порядка, следующее из классической теории изгибных волн в тонких пластинках.
В настоящей работе предлагается более простой и физически наглядный модельный подход к обсуждаемой задаче, основанный на локальной аппроксимации волновых процессов в клине соответствующими процессами в плоскопараллельной пластине. Суть подхода состоит в том, что клиновым волнам, распространяющимся в острых клиньях, ставится в соответствие модельное двумерное волновое уравнение с переменной скоростью распространения. Эта скорость считается равной фазовой скорости 11(b) волн Лэмба в плоскопараллельной пластине с толщиной h , соответствующей локальной толщине клина, /? = 2-к )(9/2)1 , ъ -расстояние от вершины клина. Таким образом для гармонических волн с частотой со задача сводится к решению уравнения A±U+k2(h)U=0 д/г где k(h)-(A)/Vi(h)% U - одна из отличных от нуля компонент смещений поверхности колеблющегося клина, Aj_ - двумерный оператор Лапласа, в котором исключены производные, соответ-« _ „ h аппроксимируй _ - за_ь решения от этой координаты и выполнение граничных условий отсутствия напряжений на гранях клина учитывается с помощью функции U(h). Временной множитель exp(-Lcoi) здесь и далее опускается. Типичные для изотропных твердых тел зависимости фазовых скоростей волн Лэмба от толщины пластины приведены на рис.12 [70]. Сопоставление этих кривых с уравнением /I/ показываетг что в рамках предлагаемого подхода, во-первых, распространение симметричных волн в остром клине невозможно, поскольку острый клин для этих волн представляет собой антиволновод, при приближении к его вершине скорость волн возрастает. И„ во-вторых,, становится ясной причина существования изгибных /антисимметричных/ клиновых волн и их малая скорость распространения. Причина состоит в томг что острый клин по отношению к антисимметричной волне Лэмба нулевого номера представляет собой аналог слоисто-неоднородного волновода с локальной скоростью, спадающей до нуля при приближении к ребру клина.
Для решения уравнения /I/ необходимо в явном виде задать функциональную зависимость k(h) . Однако получить ее точное выражение для антисимметричной волны Лэмба нулевого номера нельзя так как эта зависимость определяется трансцендентным дисперсионным уравнением.
