Содержание к диссертации
Введение
2 Обзор литературы 10
2.1 Экспериментальные исследования пылевой плазмы 10
2.1.1 Экспериментальные исследования свойств пылевых кристаллов и фазовых переходов в плазменно-пылевых системах . 10
2.1.2 Экспериментальные исследования коллективных явлений в пылевой плазме 16
2.1.3 Экспериментальные исследования процессов роста пылевых частиц и методы диагностики пылевой плазмы 18
2.2 Теоретические модели взаимодействия в плазменно-пылевых системах 20
2.2.1 Основные параметры плазменно-пылевой системы 20
2.2.2 Механизмы зарядки пылевых частиц 22
2.2.3 Механизмы взаимодействия пылевых частиц, связанные с экранированием плазменными потоками 25
2.2.4 Механизмы взаимодействия пылевых частиц, связанные с коллективными эффектами 30
3 Моделирование воздействия пылевой подсистемы на свойства низкотемпературной плазмы 34
3.1 Введение 34
3.2 Численная модель и алгоритмы расчета 36
3.3 Результаты численного моделирования 44
3.4 Выводы 51
4 Поведение пылевой подсистемы во внешнем электрическом поле 54
4.1 Введение 54
4.2 Расчет сил, действующих на макрочастицы во внешнем электрическом поле 55
4.3 Возможные применения построенной модели в приложениях 62
4.4 Выводы 66
5 Механизмы коагуляции и роста пылевых частиц в низкотемпературной плазме 69
5.1 Введение 69
5.2 Этап начального роста пылевых частиц 72
5.3 Частота коагуляции пылевых частиц в приближении поляризационного взаимодействия 76
5.4 Динамика пылевой системы на стадии коагуляции 84
5.5 Выводы 91
6 Заключение 96
- Экспериментальные исследования свойств пылевых кристаллов и фазовых переходов в плазменно-пылевых системах
- Механизмы взаимодействия пылевых частиц, связанные с экранированием плазменными потоками
- Расчет сил, действующих на макрочастицы во внешнем электрическом поле
- Частота коагуляции пылевых частиц в приближении поляризационного взаимодействия
Введение к работе
Постановка задачи и основные результаты
В последние годы в связи с бурным развитием микроэлектроники и переходом производства на нанотехнологию исследования в области пылевой низкотемпературной плазмы вызывают широкий интерес и имеют большое практическое значение. Уже давно известно, что в большинстве промышленных установок, используемых в полупроводниковом производстве, в качестве побочного продукта происходит рождение и рост частиц микронных и субмикронных размеров. Пылевые образования были найдены в установках по плазменному травлению [1,2], химическому осаждению из газовой фазы [3,4], а также в установках по осаждению методом распыления [5,6]. Поскольку обычно макрочастицы в плазме приобретают значительные отрицательные заряды, то они оказываются запертыми электростатическим полем, и могут расти в течение продолжительного времени, пока разряд не будет выключен, или они не будут выведены из области горения разряда под действием собственной силы тяжести. Уже сейчас современный уровень развития полупроводниковой технологии позволяет оперировать с объектами, имеющими размеры 0.1 мкм, однако, дальнейшее усложнение и миниатюризация электронных устройств требует размещения все большего числа логических элементов на кристалле, что невозможно осуществить без освоения области размеров в десятки нанометров. Появление пыли во время технологического цикла в этой связи представляет собой серьезную проблему, так как макрочастицы с размерами 20 - 100 нм, попадая на подложку, могут привести к появлению фатального дефекта, резко снижая, таким образом, выход годных устройств.
Однако, наряду с процессами, в которых наличие наночастиц приводит к нежелательным эффектам, существует широкая область задач, связанная с созданием материалов, обладающих специальными свойствами. Исследование и использование процессов рождения и роста частиц в плазме в этой связи имеет важное значение, так как их свойства такие, как монодисперсность размеров, заданный химический состав, оказываются востребованными в технологии, и получение контроля над этими свойствами представляет собой самостоятельную и перспективную задачу. Уже сейчас наночастицы, синтезированные в плазме, применяются в производстве ке рамик [7], а в установках с магнетронным распылением получают порошки чистых металлов, сплавов и композитных материалов [8]. Поскольку использование пылевой плазмы рассматривается, как один из эффективных способов синтеза наночастиц с уникальными физическими свойствами, то понимание механизмов взаимодействия макрочастиц оказывается определяющим условием для создания необходимой технической базы.
Наряду с процессами роста пылевых частиц и образования кластеров не меньший интерес представляют процессы самоорганизации, протекающие в плазменно-пылевых системах. Установленным фактом является существование пылевых кристаллов, которые впервые были обнаружены в лабораторной плазме в 1994 году [9-13], хотя теоретически возможность их существования рассматривалась уже на протяжении долгого времени [14,15]. Строительным материалом для них служат макрочастицы, размер которых может варьироваться вплоть до десятков микрон в зависимости от условий конкретного эксперимента. Величина постоянной решетки в таких кристаллах обычно значительно превосходит дебаевский радиус экранирования и может достигать сотен микрон. Помимо образования в плазме кристаллических пылевых структур во многих случаях в установках, как в промышленных, так и в экспериментальных были обнаружены плазменно-пылевые капли, и наблюдались фазовые переходы газ-жидкость в таких системах [16-20]. Понимание динамики перечисленных выше процессов представляет большой фундаментальный интерес как для физики плазмы, так и для физики конденсированных систем. Рядом авторов также выдвигались предложения по практическому использованию упорядоченных пылевых структур в устройствах для преобразования энергии радиоактивных изотопов в электричество [21].
Основным фактором, приводящим к возникновению сильного межчастичного взаимодействия в плазме, является накопление макрочастицами значительных электрических зарядов, которые в зависимости от условий могут достигать величины от 1 до 103 — 104 единиц заряда электрона. Обычно благодаря большей по сравнению с ионами подвижности электронов этот заряд отрицателен, однако ряд эффектов, таких как вторичная электронная эмиссия и фотоэмиссия, может приводить к накоплению частицами положительного заряда. Тем не менее, несмотря на то, что макрочастицы аккумулируют большие одноименные статические заряды, наличие плазмы приводит к появлению дополнительных сил притяжения, которые и создают возможность для процессов самоорганизации и роста пылевых образований.
В связи с тем, что газовые разряды находят широкое применение в технологии осаждения тонких пленок с заданными свойствами, наряду с процессами межпылевого взаимодействия особый интерес представляет влияние макрочастиц на микро-и макроскопические характеристики плазмы. Наличие частиц в плазме может существенно изменить ее свойства за счет появления дополнительного источника гибели, а иногда и рождения электронов и ионов. Наряду с этим пыль может оказывать заметное влияние на химический и зарядовый состав плазмы, а также на скорости протекающих там реакций.
Результатом проведенных за последнее десятилетие исследований явилось то, что к настоящему моменту по тематике пылевой плазмы уже накоплен обширный экспериментальный материал. Однако, объяснение многих явлений, наблюдаемых в пылевой плазме, все еще не найдено, а понимание процессов, протекающих в плазменно-пылевых системах, по-прежнему носит очень предварительный характер. В частности, во многом остаются непонятыми механизмы взаимодействия пылевых частиц, которые, несмотря на собираемые ими большие одноименные заряды, могут тем не менее приводить к их притяжению. Существуют серьезные трудности в имеющихся на сегодняшний день моделях роста частиц в низкотемпературной плазме, и разработка непротиворечивой модели, удовлетворительно описывающей динамику роста пылевых кластеров, и пригодной для проведения расчетов в реальных экспериментальных условиях, по-прежнему остается актуальной задачей. В связи с тем, что моделирование плазменно-пылевых систем требует одновременного учета множества факторов, связанных с геометрией установки, сложным распределением электрических полей, большого числа различного рода реакций и процессов, влияющих на состав и свойства плазмы, помимо упомянутых вопросов огромную важность имеет развитие численных методов и алгоритмов моделирования в применении к этим системам.
Обобщая все выше изложенное, сформулируем цели, которые ставятся перед настоящей работой:
1. Исследовать в динамике взаимное влияние основных процессов в плазменно-пылевой системе, включая ионизацию и гибель ионов и электронов в объеме плазмы, их рекомбинацию на поверхности макрочастиц, а также процесс накопления пылевыми частицами электрического заряда.
2. Исследовать влияние пылевой подсистемы на величину макроскопических параметров плазмы в состоянии динамического равновесия, в частности на среднеобъ-емные значения концентраций ионов и электронов.
3. Проанализировать воздействие плазмы на характер поведения пылевых частиц во внешнем электрическом поле и выявить ее роль в процессах межчастичного взаимодействия.
4. Провести теоретический анализ процессов формирования и роста пылевых структур в низкотемпературной плазме, и в частности найти причины, приводящие к наблюдаемой в экспериментах аномально высокой скорости процесса пылеобразо-вания.
5. Теоретически исследовать временную эволюцию функции распределения макрочастиц по размерам в процессе их роста, и выявить набор факторов, которые управляют характерными особенностями данного процесса.
Для решения поставленных задач:
1. Разработано программное обеспечение, реализующее расчеты параметров плазменно-пылевой системы методами молекулярной динамики в сочетании с самосогласованным решением уравнений баланса рождения и гибели заряженных частиц в объеме плазмы.
2. Построена аналитическая модель, которая рассматривает поведение макрочастиц в электрическом поле при наличии плазменных потоков на их поверхность. Электрическое ноле может создаваться как внешним источником, так и зарядами соседних частиц, что позволяет использовать полученные результаты при описании процессов межчастичного взаимодействия.
3. С использованием результатов предыдущего раздела построена аналитическая модель, позволяющая рассчитать константы скоростей коагуляции в пылевой плазме, а также вывести условия, необходимые для перехода от роста частиц за счет осаждения материала из газовой фазы к этапу, на котором рост кластеров происходит вследствие коагуляции уже сформировавшихся в объеме макрочастиц.
4. Реализована численная модель, которая позволяет проводить расчеты процессов образования и роста пылевых структур в плазме для реальных экспериментальных условий, и с помощью которой можно проводить исследование динамики упомянутых процессов.
Научная новизна
1. Впервые предложена численная модель, позволяющая самосогласованно проводить вычисление микро- и макроскопических параметров пылевой плазмы и основанная на сочетании моделирования процессов в непосредственной окрестности макрочастиц методом молекулярной динамики с решением макроскопических уравнений баланса, описывающих процессы рождения и гибели электронов и ионов в плазме.
2. Впервые предложена аналитическая модель для расчета сил, действующих на пылевые частицы в плазме, которая учитывает их поляризацию в электрическом поле и вызванное ею перераспределение ионных потоков вдоль поверхности частиц. Величина силы в этом случае оказывается пропорциональной напряженности электрического поля, однако ее направление определяется не только знаком статического заряда, накопленного макрочастицами, но также свойствами самой плазмы и может быть произвольным в зависимости от реализуемых в системе условий. Показано, что наличие эффектов, связанных с поляризацией пылевых частиц, в ряде случаев может приводить к притяжению между ними, несмотря на аккумулируемые ими значительные одноименные заряды, которые в отсутствие плазмы привели бы сильному электростатическому отталкиванию между частицами.
Возможность притяжения между одноименно заряженными макрочастицами оказывается очень важным фактором при описании фазовых переходов в плазменно-пылевых системах, а также при объяснении процессов коагуляции и образования кластеров.
3. Впервые предложена аналитическая модель, которая позволяет рассчитать константы скорости коагуляции пылевых частиц в плазме. В рамках построенной модели становится возможным объяснение порогового характера процесса коагуляции, а именно того факта, что начало процесса коагуляции между пылевыми частицами наступает только после достижения ими некоторого критического размера. До этого момента рост частиц происходит за счет осаждения материала из газовой фазы. Построенная модель позволяет также понять и другие характерные черты процесса роста кластеров, в частности вид временной зависимости функции распределения частиц по размерам, а также особенности топологии и формы растущих структур.
Впервые для реальных экспериментальных условий было проведено числен ное моделирование процесса роста пылевых образований в смеси силана и аргона-Были получены зависимости средних значений концентрации и размеров пылевых частиц от времени, а также вид функции распределения кластеров по размерам. Сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными показало, что они находятся в хорошем согласии.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Алгоритмы и методы численной схемы самосогласованных вычислений микро-и макроскопических параметров пылевой плазмы, включающие молекулярнодина-мическое моделирование динамики ионной и электронной подсистем в окрестности пылевых частиц и решение согласованных с ним через величину констант скорости рекомбинации ионов и электронов на поверхности макрочастиц уравнений баланса рождения и гибели частиц в плазме.
2. Моделирование динамических процессов в плазменно-пылевой системе, вклю-чющее установление значений среднего заряда макрочастиц, а также равновесных значений концентраций электронов и ионов; определение зависимости среднего заряда макрочастиц от давления нейтрального газа; расчет зависимостей среднего заряда пылевых частиц, констант гибели электронов и ионов на поверхности макрочастиц, средних концентраций электронов и ионов от концентрации пыли в плазме; определение пространственного распределения концентраций электронов и ионов, а также их энергетического спектра в окрестности макрочастиц. В качестве объекта для проведения расчетов выбран несамостоятельный разряд в гелии с объемными источниками ионизации и рекомбинации.
3. Разработка аналитической модели для расчета сил, действующих на пылевые частицы в плазме, с учетом их поляризации в электрическом поле и вызванного ею перераспределения ионных потоков вдоль поверхности частиц. Проведение оценочных расчетов и анализ поведения пылевых частиц в электрическом поле для ряда предельных случаев и различных диапазонов параметров системы.
4. Моделирование процесса пылеобразования в аргон-силановой смеси на стадии начального роста кластеров, предшествующей началу процесса коагуляции; вывод выражения для скорости роста пылевых частиц посредством осаждения материала из газовой фазы в рамках элементарной модели плазмохимических процессов; вывод вида функции распределения пылевых частиц по размерам и ее зависимости от времени; оценка дисперсии размеров макрочастиц на стадии начального роста.
5. Вывод выражения для сечения столкновений пылевых частиц в плазме с учетом поляризационных эффектов; вывод формул для константы скорости коагуляции пылевых частиц разного размера с учетом влияния топологии их поверхности; вывод условий, необходимых для начала процесса коагуляции, и расчет критеческого размера пылевых частиц, после достижения которого процесс коагуляции становится определяющим при описании динамики роста кластеров.
6. Численное моделирование процесса коагуляции пылевых частиц в аргон- силановой плазме; расчет динамики изменения функции распределения кластеров по размерам с течением времени, а также зависимостей средних концентраций пылевых частиц и их среднего размера от времени; проведение анализа основных этапов развития процесса и сравнение результатов расчета с данными эксперимента.
Структура работы
Результаты работы представлены в виде 6 глав.
Первая глава является введением в работу. В ней обоснована актуальность диссертации, сформулированы основные ее цели и задачи, охарактеризована научная новизна и практическая ценность полученных результатов. Вторая глава содержит обзор литературы, в котором кратко изложены результаты экспериментальных и теоретических работ по изучению процессов и явлений, протекающих в пылевой плазме. Третья глава описывает результаты численного моделирования динамических процессов и влияния пылевой подсистемы на свойства низкотемпературной плазмы на примере модели несамостоятельного разряда в гелии. Четвертая глава посвящена изучению поведения пылевых частиц во внешнем электрическом поле и рассмотрению эффектов, связанных с поляризацией частиц. В пятой главе диссертации приводятся результаты моделирования процессов образования и роста пылевых кластеров, которое охватывает все основные этапы процесса, а именно стадию начального роста частиц, стадию коагуляции и фазу насыщения. Заключительная, шестая глава, подводит итог работы и формулирует ее основные выводы.
В конце работы помещены списки иллюстраций, приведенных в диссертации, а также список цитируемой в работе литературы.
Экспериментальные исследования свойств пылевых кристаллов и фазовых переходов в плазменно-пылевых системах
Начало активных экспериментальных исследований в области пылевой плазмы можно отнести к первой половине 1990 годов, и основным толчком к бурному развитию данного направления физики послужили растущие запросы микроэлектронной индустрии и открытие новой отрасли промышленности нанотехнологий. Как уже говорилось выше, плазменные установки находят самое широкое применение как в производстве микросхем, так и при получении сверхчистых материалов и пленок с заданными физическими и химическими свойствами.
Исследования пылевой плазмы помимо своей практической значимости имели также глубокий фундаментальный аспект. Еще в 1986 году Икези [15] была предсказана возможность образования в пылевой плазме кулоновских кристаллов, где в качестве образующих элементов выступали заряженные макрочастицы. Экспериментальное открытие этих кристаллов в лабораторной плазме произошло в 1994 году и было осуществлено целым рядом исследовательских групп [9-11].
Схема эксперимента в перечисленных работах была во многом похожа. В частности в [9] эксперимент проводился в ВЧ разряде на частоте 13.5 МГц в аргоновой низкотемпературной слабо ионизированной плазме при давлении газа Р = 2 мБар. Вкладываемая в плазму мощность составляла порядка 0.4 Вт. Разряд осуществлялся между двумя плоскими электродами с отверстием в верхнем электроде для инжек-ции пылевых частиц. Основные параметры системы были типичными для данного типа разряда: температура электронов Те 1 — 3 эВ, концентрация ионов щ 109 см-3, а их температура была близка к комнатной. Размер пылевых частиц варьировался в пределах а = 7 ± 0.2 мкм. Наблюдаемая концентрация пыли после инжек-ции составила п 4.3 - 104 см-3. Полученная авторами [9] оценка заряда составила — 9700 Qd/e —27300. Кристалл поддерживался в плазме над нижнем электродом за счет баланса силы тяжести и силы электростатического отталкивания, действующей на пылевые частицы со стороны нижнего электрода. Всего наблюдалось 6 упорядоченных двумерных слоев со средним расстоянием между макрочастицами 5 250 мкм, что составляло примерно 6-7 дебаевских радиусов.
В работах [10,11], которые появилась примерно в то же время, что и [9] пылевой кристалл также наблюдался в разряде в аргоне, но в отличие от экспериментов [9J, в которых инжектируемые частицы имели строго определенный размер, в [10,11] они являлись результатом химических реакций, в которых образовывались частицы SiCb путем рекомбинации молекулярных комплексов с последующим слипанием пылинок. Частицы росли непрерывно, однако на определенном среднем размере порядка микрона химические процессы останавливались, и рост частиц прекращался, при этом имело место достаточно широкое распределение пылевых частиц по размерам. Также, как и в предыдущем случае, частицы собирались у нижнего электрода, и конфигурация электростатического поля соответствовала удержанию отрицательно заряженных пылевых частиц, т. е. наблюдаемое плазменно-пылевое облако не было облаком со свободной границей. Несмотря на то, что частицы довольно сильно могли различаться по размерам, наблюдалась четкая кристаллическая структура, сформированная частицами почти одинакового размера 10 мкм. Постоянные решетки, которые соответствовали центрированному кубу, были равны 180 и 130 мкм (последняя цифра относится к расстоянию между плоскостями кубической структуры и центрированных частиц: если в одном из слоев частицы расположены по углам квадрата, то в следующем слое - по центру этого квадрата. Радиус экранирования в плазме, как и в случае [9], оказывается намного меньше постоянной решетки кристалла. В работах [10,11] впервые наблюдалось плавление кристалла и отмечено большое усиление не только теплового движения пылевых частиц, но и флуктуации коллективных полей. Авторами было продемонстрировано, что при плавлении пылевого кристалла в парной корреляционной функции исчезает дальний порядок, но ближний порядок тем не менее остается, что говорит о наличии фазового перехода из кристаллического состояния в жидкое. Начало плавления кристалла наблюдалось при уменьшении давления газа в разрядной камере.
Влияние пылевой подсистемы на процессы в плазме обычно характеризуют величиной Р = Zdn&lne, которая называется параметром Хоунса (Havnes) [22], и отражает отношение заряда, накопленного макрочастицами, к суммарному заряду электронов. Оценки показывают, что в условиях, типичных для экспериментов с плазменно-пылевыми кристаллами, как правило выполняется соотношение Р 1. Это говорит о том, что наличие пыли в объеме не является слабым возмущением системы, и что заряд пылевых частиц оказывается одним из ключевых факторов при описании процессов в пылевой плазме и особенностей взаимодействия макрочастиц. Непосредственному прямому определению заряда макрочастиц в плазменно-пылевом кристалле посвящена работа [13]. Схема эксперимента была аналогична [9]. Частота ВЧ поля, концентрация ионов щ 2 108 см-3 были примерно теми же, но количество пыли в экспериментах было на порядок меньшим: nd 1.4 103 см-3. Пылевые частицы инжектировались в плазму и имели размеры a 30 мкм. Заряд измерялся по резонансной частоте, определяемой концентрацией ионов в двойном слое. Непосредственно измеренный заряд пылевых частиц оказался — 105е, что примерно в 5 раз превышает значение, полученное в [9]. Этот результат можно связать с большим размером частиц, использованных в [13]. Постоянная решетки в кристалле оказалась равна 880 мкм и примерно в 30 раз превосходила радиус экранирования в плазме.
Детальные исследования структуры плазменных кристаллов, а также воздействие различных параметров и условий эксперимента на их свойства, были проведены в работах [23,24]. Макрочастицы в [23,24] имели правильную сферическую форму и почти одинаковые размеры a = 9.4 ± 0.3 мкм. В экспериментах варьировались вкладываемая в разряд мощность, газовый состав (использовались Не, Ne, Аг, Хе и Кг) и давление газа в камере. Поскольку, как и в предыдущих работах, кристалл формировался в электростатической ловушке, авторами был специально изучен вопрос о влиянии формы границ ловушки на структуру удерживаемого кристалла. Для этого были использованы электроды круглой и шестиугольной формы, однако в ходе экспериментов выяснилось, что воздействие границы на упаковку частиц в кристалле очень незначительно. Лишь области, близкие к границе, подверглись изменениям, в целом же кристаллическая структура формировалась независимо от направления граней ловушки.
Устойчивость кристалла и упорядоченность его структуры оказались очень чувствительными к параметрам разряда. В целом при увеличении вкладываемой мощности дальний порядок в расположении частиц возрастал. При уменьшении давления ниже некоторого критического значения наблюдалось плавление кристалла и коллапс всей структуры (резкое выпадание частиц на электроды и стенки камеры). Для неона критическое давление составило 3 Тор, но для более тяжелых газов оно было гораздо меньше: 1.0, 0.9, 0.8 Тор соответственно для аргона, ксенона и криптона. Однако, в случае гелия поведение системы оказалось обратным. При давлении 0.5 Тор кристалл был стабилен при всех использованных уровнях вкладываемой мощности, но уже при давлении 0.8 Тор облако принимало форму кольца, и расширялось в сторону границы электродов.
Механизмы взаимодействия пылевых частиц, связанные с экранированием плазменными потоками
Еще один механизм притяжения между пылевыми частицами возникает при учете бомбардировки их поверхности потоками нейтрального газа. Как и в рассмотренных выше случаях природа появляющейся силы связана с асимметрией этих потоков. Между тем, в [90, 91] было показано, что для возникновения взаимодействия между пылевыми частицами необходимо, чтобы распределение по скоростям атомов нейтрального газа, покидающих поверхность макрочастиц после столкновения, отличалось бы от их теплового распределения по скоростям в объеме. Таким образом, наличие потоков нейтрального газа может приводить к притяжению между пылевыми частицами только при условии, что температура поверхности макрочастиц отличается от температуры окружающего их газа. Потенциал взаимодействия в этом случае дается выражением [84]:
В выражении (2.22) пп и Тп - концентрация и температура нейтрального газа; Т 4. - температура поверхности пылевых частиц. Притяжение между макрочастицами возникает при условии Тд3 Тп. Коэффициент взаимодействия г)п пылевых частиц содержит при Tn w ТІ температурный фактор (Tj/Te)2, который в лабораторных экспериментах обычно имеет порядок 10 4. Помимо этого коэффициент l/8z2 оказывается обычно С! 1. С этими факторами конкурирует большая величина отношения ПП/ПІ в выражении (2.22), поскольку степень ионизации в лабораторной плазме составляет величину не менее 10 7 — Ю-5. Таким образом, сравнение сил бомбардировки ионами и атомами нейтрального газа показывает, что воздействием последней можно пренебречь вне зависимости от ее знака, хотя запас здесь составляет всего 1 — 2 порядка, и в условиях, когда ионизация неоднородна, локально могут существовать области, в которых притяжение пылинок из-за бомбардировки нейтралами преобладает над их притяжением за счет бомбардировки и кулоновского рассеяния заряженных компонент плазмы.
Приведенное выше обсуждение моделей взаимодействия пылевых частиц однозначно свидетельствует о том, что в плазменно-пылевой системе одновременно могут действовать как силы отталкивания, так и силы притяжения. В результате в пылевой плазме становится возможным образование молекул, состоящих из пылевых частиц, и проведенное в [93] численное моделирование при Те = Tj показало, что такая ситуация вполне реальна. Далее следуя [84] оценим равновесное расстояние между образующими молекулу частицами и энергию связи, полагая Г,/Те Ю-2 и пренебрегая взаимодействием пылевых частиц с нейтральным газом. В этом случае
Так же, как и в (2.23) приближенное равенство записано для случая Те ; Т Для условий типичного плазменного эксперимента Те 2 эВ, a/Xd 1/10, Zd 104, энергия связи в пылевой молекуле может достигать значений 100 эВ и более. Авторы [84] полагают, что полученная оценка примерно должна соответствовать энергии связи в пылевом кристалле, если считать, что в основном существенными являются парные взаимодействия между частицами.
В связи с последним утверждением интересен анализ характера взаимодействия пылевых частиц, проведенный в [90,91]. Однако, прежде чем изложить результаты этого анализа мы сделаем один любопытный исторический экскурс. В 1784 году швейцарский математик Жорж Луи Лесаж предложил простое и изящное механистическое обоснование закона всемирного тяготения Ньютона. Согласно распространенным в те времена представлениям, эфир состоял из крошечных элементарных атомов, движущихся в произвольных направлениях. Основная гипотеза Лесажа состояла в том, что атомы эфира при столкновении с атомами массивных тел теряют небольшую часть своей живой силы. В случае отдельного тела на него со всех сторон падает одинаковое количество атомов эфира, и полная результирующая сила равна нулю. Если же по соседству находится другое тело, то оно уменьшает поток живой силы эфира на первое тело, что приводит к их эффективному притяжению. На больших расстояниях уменьшение потока и, соответственно, сила притяжения пропорциональны телесному углу, под которым второе тело видно со стороны первого, то есть обратно пропорциональны квадрату расстояния. Разумеется, эта наивная модель была неспособна объяснить настоящую гравитацию. Ее недостатки были столь очевидны, что даже в 18 веке она почти никем не была воспринята всерьез. Тем не менее модель Лесажа почти буквально воспроизводит пылевую плазму, и после замены в его рассуждениях эфира на плазму, а живой силы на импульс мы придем к рассмотренной выше современной модели.
Возвращаясь к результатам работы [90,91], следует отметить, что существенное отличие притяжения Лесажа, а также моделей взаимодействия пылевых частиц в плазме, обсуждаемых в настоящей работе, от обычных взаимодействий типа гравитационного или электростатического состоит в его непарности. Выше нами рассматривалось взаимодействие пары частиц, для которых были записаны соответствующие потенциалы. Теперь введем в систему третью пылинку, и запишем выражение для полной силы, действующей на первую частицу. Когда с первой пылинки полностью видны две оставшиеся, то полная сила запишется в виде Fi = F12 + ЇЧз гАе попарные силы определяются дифференцированием выражений (2.13), (2.15), (2.18), (2.21). Если же вторая пылинка заслоняет третью, то Fi = Fi2. Все это означает, что, несмотря на формальную схожесть с кулоновским взаимодействием, концепция поля к силам, действующим на макрочастицы со стороны плазменных потоков, неприменима.
Другой характерной особенностью межпылевого взаимодействия является возможность нарушения третьего закона Ньютона даже в случае, когда рассматривается только пара частиц. Например, из формулы (2.22) следует, что если температура поверхности двух частиц различается, то силы, действующие между ними, не будут равны не только по модулю, но, возможно, и по характеру воздействия (имеется в виду притяжение или отталкивание).
Идеи, развитые в [90], были позднее использованы в [94] для расчета взаимодействий и баланса сил в пылевых облаках. В работе было продемонстрировано, что поглощение плазмы пылью приводит к формированию потока плазмы, сходящегося к облаку, причем сила увлечения, действующая на пыль, уравновешивает силу электростатического расталкивания. Также были произведены расчеты распределения концентрации пыли внутри облака и его размер оценен как Xd /а1/2.
Справедливости ради следует отметить, что предсказываемое экранировоч-ными моделями поведение частиц и, в частности, образование пылевых молекул экспериментально обнаружено не было [95]. Между тем в лабораторной плазме помимо собственно межчастичного взаимодействия большую роль играет взаимодействие пылевых частиц с частями экспериментальной установки и ловушками, в которых обычно находятся пылевые образования. Этому вопросу было посвящено много как экспериментальных, так и теоретических работ. В частности, в [96] экспериментально было исследовано взаимодействие двумерной кристаллической структуры с заряженной до отрицательного потенциала струной, расположенной в плоскости кристалла. В результате было обнаружено, что пылевые частицы на коротких расстояниях отталкиваются от струны, в то время как на больших расстояниях на них действует сила притяжения. В то же время, как показали проведенные за последние годы исследования, формирование самих пылевых кристаллов также тесно связано с особенностями геометрии экспериментальных установок. Теоретические исследования баланса сил, действующих на частицы вблизи катодного слоя, и контролирующих равновесную конфигурацию пылевых образований, которые обычно левитируют в приэлектродной области разряда, были проведены в [97,98]. В этих работах было продемонстрировано, что основной вклад в создание равновесия пылевой структуры вносят силы электростатического отталкивания от отрицательно заряженного электрода и силы со стороны потоков разгоняемых в катодном слое ионов. Данному кругу вопросов посвящен следующий параграф.
Расчет сил, действующих на макрочастицы во внешнем электрическом поле
Здесь мы проводим численное исследование влияния задаваемых извне факторов, таких как концентрация пыли в объеме, давление нейтрального газа, скорость ионизации внешним источником на макроскопические и микроскопические характеристики плазмы, а именно на концентрации ионов и электронов в плазме, на заряды пылевых частиц, на скорость рекомбинации и на функцию распределения частиц плазмы по энергиям. Важным фактором, который нужно учитывать при построении адекватной модели плазмы с пылевыми частицами, является то, что компоненты системы нельзя рассматривать независимо друг от друга, так как все параметры отдельных подсистем - ионной, электронной и пылевой, а также процессы которые в них протекают оказывают сильное взаимное влияние друг на друга. Таким образом, при заданном наборе значений внешних факторов система в конечном итоге оказывается в состоянии некоторого динамического равновесия, которое может смещаться в ту или иную сторону при изменении внешних условий.
Большое количество взаимовлияющих факторов и процессов приводит к тому, что в описанной выше постановке задача является очень комплексной и сложно поддающейся аналитическому исследованию. Ситуация осложняется еще и нелинейностью системы уравнений, описывающих динамику системы. В этой связи развитие численных методов для моделирования подобных систем имеет большое практическое значение.
Численные расчеты уже давно и широко используется в качестве инструмента для исследования протекающих в пылевой плазме процессов [88,89,111-116]. Одним из наиболее часто используемых подходов является диффузионно-дрейфовое приближение, где пространственные распределения и потоки заряженных частиц находятся из решения системы уравнений, состоящей из уравнения Пуассона для электрического поля, уравнений непрерывности для заряженных частиц и уравнения Больцмана для определения энергетического спектра электронов. Данный подход был применен в [ill] для расчета заряда пылевых частиц, плазменных потоков на поверхность отдельной пылинки, распределения концентраций ионов и электронов в окрестностях макрочастицы, а также других параметров в плазме несамостоятельного разряда, протекающего в гелии при атмосферном давлении. Тот же самый подход был использован в [88] для аналогичных расчетов в плазме азота при атмосферном давлении. Основным критерием применимости этого подхода является условие малости длины свободного пробега ионов и электронов по сравнению с характерными размерами макрочастиц и областью заметного нарушения квазинейтральности, размер которой можно оценить радиусом Дебая: 1е С А . К недостаткам упомянутого подхода следует отнести необходимость привлечения дополнительных соображений для выбора граничных условий на поверхности пылевой частицы и на границе расчетной ячейки.
Другим часто используемым подходом является метод молекулярной динамики, основная идея которого состоит в непосредственном решении уравнений движения для ионов и электронов в самосогласованном поле, создаваемом плазмой и зарядом, накопленным на пылевых частицах. Преимуществом данного метода является то, что решение поставленной задачи ведется "из первых принципов", не требуя привлечения каких-либо дополнительных априорных допущений. Однако, при реализации этого подхода появляются сложности другого рода, связанные с огромными вычислительными затратами, возникающими из-за необходимости проведения расчетов для большого числа частиц. Эти сложности приводят к тому, что для проведения реальных расчетов приходится вводить различные упрощенные модели взаимодействия, ограничивающие количество участвующих в них частиц. Описанный метод применялся в [112] для определения характера экранирования пылевых частиц; в [89] для проверки границ применимости приближения ограниченных орбит с учетом взаимодействия ионов и атомов нейтрального газа; в [113,114] для расчета динамики плазмы в окрестности пылевой частицы при наличии потока ионов. Наряду с упомянутыми выше основными методами расчетов в некоторых работах был использован метод Монте-Карло [115], а также комбинированные методы, объединяющие гидродинамическое описание для одной из подсистем с методом Монте-Карло для описания другой подсистемы [116].
Ниже приведены результаты численного моделирования процессов в плазменно-пылевой системе, где в качестве инструмента был выбран метод молекулярной динамики. Объектом исследования стала плазма несамостоятельного разряда в гелии, в присутствии некоторого количества пыли. Принятая модель была ориентирована на то, чтобы изучить особенности эволюции системы к состоянию динамического равновесия в зависимости от внешних условий, поэтому основной принцип, который использовался при ее построении, состоит в том, что все величины, характеризующие состояние системы, должны достигать своих равновесных значений естественным путем. В частности, в модели отсутствует принудительное управление числом частиц в расчетной ячейке и контроль ее электронейтральности.
Исходным состоянием системы была однородная плазма несамостоятельного разряда в гелии. В качестве механизмов, контролирующих процессы рождения и гибели заряженных частиц, были взяты ионизация внешним источником и электрон-ионная рекомбинация в объеме плазмы. Следует отметить, что под несамостоятельным разрядом здесь имеется в виду не только классический несамостоятельный разряд высокого давления, контролируемый внешним пучком электронов с энергией в сотни кЭв, но и квазинесамостоятельные разряды пониженного давления, типа разрядов с убегающими электронами.
Выбранный источник ионизации обеспечивал постоянную скорость рождения заряженных частиц в единице объема Q = 1015 см 3/с. Равновесные значения концентраций ионов и электронов определялись балансом между скоростью рождения и гибели. В нашей модели константа гибели частиц была подобрана так, чтобы в невозмущенном присутствием пыли случае концентрации ионов и электронов были равны no = 109 см-3. Ионы имеют массу 4 и предполагаются однозарядными.
Равновесная температура ионов определяется взаимодействием с нейтральным газом и примерно равна комнатной температуре Т = 0.025 эВ. Температура электронов значительно выше и задается внешним электрическим полем. Вообще говоря, электрическое поле является одним из внешних факторов, определяющих динамику системы, и само по себе исследование его влияния на процесс зарядки пылевых частиц, а также на прочие процессы, протекающие в пылевой плазме, может представлять отдельный интерес. Однако, поскольку температура электронов является одним из основных параметром, характеризующих процессы в плазменно-пылевой системе, то основная роль электрического поля как раз состоит в определении величины именно этого внутреннего параметра. Все остальное влияние может рассматриваться лишь как дополнительная поправка к температурному фактору. В нашей модели поле все время остается постоянным, и ему соответствует температура электронов Те = 2.5 эВ. В качестве равновесной функции распределения заряженных частиц по скоростям принято распределение Максвелла.
Частота коагуляции пылевых частиц в приближении поляризационного взаимодействия
Таким образом, уравнения (3.1), описывающие баланс рождения и гибели частиц в системе в усредненном по объему виде, должны уступить место полностью статистическому описанию этих процессов. В нашей модели второй режим реализован путем генерации соответствующих событий с учетом их вероятности. В последнем случае соотношение квазинейтральности соблюдается для самой расчетной области, однако при этом возможны заметные флуктуации заряда, что реально и наблюдалось.
Вернемся к анализу изменения концентраций носителей с ростом количества пыли в объеме. Из Рис. 3.5 видно, что, начиная с n 105 см-3, содержание положительных ионов начинает расти. Это происходит потому, что в данных условиях пыль является основным механизмом рекомбинации для частиц плазмы, но в связи с уменьшением абсолютной величины отрицательного заряда, накопленного макрочастицами, сечение рекомбинации ионов на макрочастицах заметно падает. В целом же концентрация электронов уменьшается настолько, что система переходит в состояние чисто ионной двухкомпонентной плазмы. Роль легкой компоненты играют положительно заряженные ионы газа, а тяжелую представляют отрицательно заряженные макрочастицы. Данное соображение может оказаться полезным при построении кинетического описания системы в случае высокого содержания пыли в объеме.
На Рис. 3.6 изображены зависимости констант скорости рекомбинации ионов и электронов на макрочастицах в условиях динамического равновесия от концентрации пыли. Для расчета ped и / использовались уравнения (3.1) с нулевой левой частью и значениями пе и щ полученными в результате моделирования.
В целом зависимость оказывается довольно немонотонной. Это говорит о том, что существуют различные режимы эволюции системы к состоянию равновесия, устанавливающиеся в зависимости от относительной роли различных факторов. При малом содержании пыли в объеме равновесие между рождением и гибелью ионов и
электронов поддерживается за счет электрон-ионной рекомбинации. Это приводит к тому, что концентрации носителей практически одинаковы, а значит константы скорости рекомбинации на пылевых частицах также равны друг другу. Данный вывод следует из условия равенства потоков ионов и электронов на поверхность макрочастиц. Увеличение роли рекомбинации на пылевых частицах становится заметным, начиная с концентраций п 104 см"3. Это выражается в том, что графики на Рис. 3.5 расходятся.
С точки зрения динамики зарядки макрочастиц возможна конкуренция двух процессов, задающих путь системы к состоянию равновесия и имеющих разные характерные времена релаксации. Первый соответствует установлению равенства потоков ионов и электронов на поверхность макрочастицы; второй приводит к достижению баланса рождения и гибели частиц плазмы. Ситуация, когда равновесие потоков на поверхность макрочастицы устанавливается заметно позже, чем баланс между скоростями рождения и гибели, реализуется при концентрациях пыли п 105 см 3. В данных условиях абсолютная величина заряда пылевых частиц падает, приводя тем самым к быстрому увеличению константы скорости гибели электронов на макрочастицах и к уменьшению аналогичной константы для ионов. При дальнейшем увеличении количества пыли константа скорости гибели электронов проходит через максимум и также начинает спадать. Это связано с тем, что существующий источник ионизации не в состоянии дольше поддерживать растущую скорость ухода электронов из объема. Таким образом, поток электронов на поверхность отдельных макрочастиц уменьшается.
Анализируя приведенные графики, можно заметить, что константы скорости рекомбинации на макрочастицах не являются постоянными величинами, зависящими только от особенностей взаимодействия макрочастиц и частиц плазмы, а определяются состоянием системы в целом, которое задается набором внешних факторов, таких как скорость ионизации или концентрация макрочастиц в объеме плазмы. Этот результат является следствием открытости системы. Следует также отметить, что по своей величине константы скорости рекомбинации на пылевых частицах на много порядков превосходят константу скорости электрон-ионной рекомбинации. В наших модельных расчетах значение этой константы было принято равным (3 = 10 3 см3-с-1, что, вообще говоря, продиктовано вычислительными соображениями, так как число частиц, участвующих в моделировании, не может быть сделано чрезмерно большим. Для реальных условий в гелии константа скорости электрон-ионной рекомбинации имеет порядок /3 = Ю-8 — 10 9 см3-с-1. Рассмотрим, как это должно отразится на параметрах системы в состоянии динамического равновесия. Для этой цели разрешим систему уравнений (3.1) в стационарном случае относительно пе и пг и запишем асимптотическое поведение концентраций при малых значениях п . 1010 см3. Равновесные концентрации заряженных частиц при тех же условиях будут равны щ — 1011 см-3. Полученные нами оценки говорят о том, что уже минимальное содержание пыли в объеме 102 см-3 должно приводить к резкому падению концентраций заряженных частиц, а роль объемной рекомбинации в процессе установления динамического равновесия должна стать малой на фоне процессов гибели на поверхности макрочастиц.
Однако, полученный нами вывод, находится в противоречии с результатами ряда экспериментов. Зависимость величины тока несамостоятельного разряда в гелии от концентрации пыли, приведенная в [111], показывает, что заметное уменьшение количества носителей наступает лишь при концентрациях пыли порядка 104 см-3. Это говорит о том, что электрон-ионная рекомбинация, принятая в нашей модели в качестве фактора, ответственного за баланс рождения и гибели заряженных частиц, является далеко не единственным вариантом, и на практике могут быть реализованы и другие возможности. В общем случае в уравнения баланса следует добавить диффузионные и дрейфовые потоки заряженных частиц. Задача при этом перестанет быть пространственно однородной, и для проведения расчетов потребуется учитывать особенности геометрии конкретного эксперимента.
Подводя итог обсуждению характеристик системы в состоянии равновесия, сравним полученные нами результаты с результатами аналогичных расчетов, проведенных в рамках приближения Ограниченных Орбит. Это может представлять интерес, поскольку последнее приближение активно используется в различных приложениях. На Рис. 3.4 зависимость заряда макрочастиц, полученная в приближении Ограниченных Орбит изображена пунктирной линией. Из графиков видно, что при давлении нейтрального газа в 1 Тор рассчитанные значения зарядов отличаются почти в два раза. Это лишний раз доказывает, что взаимодействие частиц плазмы с атомами нейтрального газа является существенным фактором, влияющим на динамику системы, и при построении моделей его нельзя исключать из рассмотрения.
