Содержание к диссертации
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. 4
ГЛАВА 1 ОТЕЧЕСТВЕННЫЕ МАТЕМАТИКИ РАБОТАВШИЕ В ОБЛАСТИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ТЕОРИИЧИСЕЖ В ДОРЕВОЛЮЦИОННОЕ ВРЕМЯ... 39
Михаил Васильевич Остроградский (1801-1861). 42
Виктор Яковлевич Буняковский( 1804-1889). 47
Пафнутий Львович Чебышев (1821 - 1894) .52
Андрей Андреевич Марков. (1856-1922); 58
ГЛАВА СФОРМИРОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ ОСНОВНЫХ НАПРАВЛЕНИЙВЕРОЯТНОСТНОШТЕОРИИ ЧИСЕЛ В XX ВЕКЕ... 67
ГЛАВА 3 ОБИССЛЕДОВАНИЯХА.Я1ХИНЧИНАИ?Ю В ЛИННИКАВ1
ОБЛАСТИ ТЕОРИИіЧИСЕЛіИТЕОРИИШЕРОЯТНОЄТЕЙ. 1044
Александр Яковлевич Хинчин (1894-1959)... 105
Юрий Владимирович Линник (1915-1972) .112
ГЛАВА 4 НАУЧНАЯЇДЕЯТЕЛЬНОСТЬ Б. М. БРЕДИХИНА... 12ІЇ
ГЛАВА 5 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ АСПЕКТЫ В
НАУЧНОМ ТВОРЧЕСТВЕ А.Г. ПОСТНИКОВА... 129
§ 5.1 Дифференциально-разностная независимость рядов Дирихле 132
§5.2 р- адический анализ.. 133
§5.3 Равномерное распределение функций по модулю единица и диофантовы приближения : 134
§5.4 Нормальные по Бернулли и Маркову последовательности 139
§5.5 Теоремы абелева и тауберова типа и общая аддитивная теория чисел... 140
§5.6 Динамические системы и эргодическая теория 145
§5 Л Теория вероятностей и вопросы арифметического моделирования
случайных процессов 156
§5.8 Вероятностная теория чисел 166
§5.9 Элементарный метод в теории сравнений по простому модулю 169
§5.10 Задача о плотнейшей упаковке шаров 171
§5.11 Асимптотические свойства собственных функций оператора Лапласа... 171
§5.12 Концептуально-методические основы вероятностной теории чисел 172
ГЛАВА 6 ОЦЕНКА КОРОТКИХ СУММ ХАРАКТЕРОВ ДИРИХЛЕ ПО СДВИНУТЫМ ПРОСТЫМ ЧИСЛАМ 192
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 219
ЛИТЕРАТУРА
Введение к работе
История математики является неотъемлемой составляющей общей истории науки. Начало исследований по истории математики уходит в глубь веков, поскольку в древности они были, по существу, неотделимы от самих математических знаний.
Можно считать бесспорным, что постоянный интерес к истории математики сохраняется и в настоящее время. Одним из движущих его. моментов являются вопросы приоритета в математических открытиях. Однако более существенным представляется потребность исследователей в переосмыслении накопленных научных знаний и применяемых методах, расширения круга проблем с целью анализа и выработки более глубокого понимания исследуемого объекта, обнаружения его новых глубинных связей одних сторон математической науки с другими явлениями математической мысли, и в конечном итоге к продвижению к новым математическим открытиям.
Не менее важным аспектом в оценке роли исследований по истории науки вообще и истории математики в частности является ее общекультурное значение.
Цель настоящей диссертации состоит в исследовании развития вероятностной теории чисел в трудах отечественных математиков XIX-XX веков. Из их числа выделены наиболее крупные ученые, в чьих трудах рассматривались как задачи теории вероятностей, так и задачи теории чисел. Заметим, что для полноты изложения представляется целесообразным привести краткие биографические данные о них.
Начиная с XX века в работах этих ученых происходило формирование вероятностной теории чисел как нового направления современной теории чисел. Важно подчеркнуть, что не всякий математик, проводивший исследования как в области теории чисел, так и в области теории вероятностей, должен рассматриваться как его разработчик. В настоящей диссертации ставится задача отдельного исследования творчества именно тех ученых, которые являются нашими соотечественниками и которые внесли заметный вклад в развитие вероятностной теории чисел.
Среди этих ученых почетное место занимают в первую очередь А.Я:Хинчин, Ю.В.Линник, И.П.Кубилюс, Б.М.Бредихин, А.Г.Постников. Отметим, что математическое творчество академика ЮіВ.Линника очень глубоко освещено в статьях, сопровождающих четырехтомник его «Избранных трудов» [1]. Весьма полно исследована научная1 деятельность члена-корреспондента АН СССР, академика педагогических наук А.Я.Хинчина. В частности, в 2004 году вышли в свет отдельным изданием материалы 2 й Российской научно-практической конференции в, Калуге «Математика в современном мире», посвященной 110-летию со дня его рождения [2]. Bf связи с этим исследование творчества А.Я:Хинчина и Ю.В.Линника в диссертации не рассматривается как ее основная цель.
То же самое можно сказать о литовском академике Й.П.Кубилюсе, который с 1991 года является гражданином другого государства.
Одна из основных целей диссертации состоит в исследовании- научной деятельности Б.М.Бредихина и А.Г.Постникова. При этом особое внимание уделяется работам А.Г.Постникова, давшего определение вероятностной теории чисел как самостоятельного научного направления.
В, диссертацию включены исследования автора по аналитической теории чисел, касающиеся оценок коротких сумм характеров Дирихле по модулю равному степени простого числа при условии, что переменная суммирования пробегает значение из начального отрезка сдвинутых простых чисел.
Получаемый здесь результат следует рассматривать как новое продолжение арифметических исследований А.Г. Постникова по одному из актуальных направлений математики.
Еще одна цель диссертационных исследований состоит в анализе общей картины формирования и развития вероятностной теории чисел во всем мире за период охватывающий начало и середину XX века.
Обращаясь к истории исследований о развитии вероятностной теории чисел, отметим, что наиболее цельные сведения по этим вопросам содержатся в обзорных статьях, посвященным конкретным ученым, и непосредственно в. трудах математиков; рассматривающих эти проблемы.. Особое место занимают здесь работа Ю-В: Линника «Пять лекций о некоторых вопросах теории чисел и теории веяротностей» [ 1, с. 239], книга А.Г.Постникова «Вероятностная теория чисел» [160]; и его обзорная статья- «О состоянии и основных направлениях развития исследований в области аналитической теории чисел» [154]; статык F.Деланжа «Probabilistic Number. Theory»,, [3] и М.Каца «Probability methods in some problems of analysis and; number theory», [4] юбилейная статья МІЖ Минеева, Л.П.Посниковош и- ВіН Чубарикова «Исследования А;Е.Иостникова по теории чисел (к 80-летию со! дня рождения)», [5] книга Й.П.Кубилюса «Вероятностные: методы в теории; чисел»,. [6];- книги МіКаца; «Статистическая?, независимость в теории; вероятностей; анализе и теории; чисел» [7] ш «Вероятность и;смежные;вопросы вфизике» [8].
Заметим, что задача изучения» истории формирования вероятностной! теории, чисел; как самостоятельного направления: до настоящего времени, по видимому, не ставилась ив данной1 диссертации она рассматривается впервые. Вопрос о становлении вероятностной- теории чисел относится к новейшему времени и поэтому исследования научного характера по существу отсутствуют. Достаточно разрозненные сведения; содержащие мнения математиков профессионалов содержатся; в основном; в юбилейных и мемориальных статьях, посвященных отдельным ученым, в научных обзорах и во введениях к-книгам и статьям; по теории чисел и теории вероятностей. К числу источников естественно относятся и сами научные работы по теме исследования. Все эти источники послужили материалом для исследований по теме диссертации; С другой? стороны, со времени окончательного формирования вероятностной теорий-чисел, прошло около полувека, и вопрос об исторгшее развития можно считать вполне назревшим:.
