Введение к работе
Актуальность работы. Изучение явления теплопереноса представляет несомненный интерес как с теоретической точки зрения, так и в плане практического приложения. Анализ распределения температуры и плотности необходим при исследовании теплофизических свойств вещества, описании тепловых эффектов взаимодействия лазерного излучения с веществом, разработке и моделировании различных технологических процессов, проектировании оборудования и т.п. Кроме того, данные, полученные по измерению потока тепла от нагретого тела, могут быть использованы для определения характера взаимодействия молекул газа с его поверхностью.
В настоящее время наиболее детально изучены процессы, допускающие рассмотрение в рамках динамики сплошной среды. В этом случае задача сводится к системе дифференциальных уравнений в частных производных, для решения которых разработан широкий арсенал аналитических и численных методов.
Описание изменения состояния газа на расстояниях, сравнимых с длиной свободного пробега его молекул, требует рассмотрения кинетического уравнения, конкретный подход к решению которого определяется характером поставленной задачи.
В случае пространственных задач, т.е. при изучении явлений, происходящих в объеме газа, используются различные варианты моментных методов, а так же методы непосредственного численного интегрирования и прямого моделирования.
Анализ процесса теплопередачи между газом и помещенным в него телом приводит к необходимости учета разрывного характера функции распределения молекул газа на поверхности этого тела. Аналогичная проблема возникает при рассмотрении процессов испарения (конденсации) и исследовании движения аэрозольных частиц в неоднородных газах, что также имеет непосредственное практическое приложение.
Алгоритм решения этого класса задач определяется значением числа Кнудсена Кп = X/L, где А - средняя длина свободного пробега молекул газа, L - характерный размер задачи.
В бесстолкновительном (свободномолекулярном) режиме, интегральной частью кинетического уравнения можно пренебречь и проблема сводится к рассмотрению соответствующего дифференциального уравнения. Причем, в задачах теплопереноса результат может быть получен
посредством элементарных рассужденийг~~: --
V * » '"f-імннокАлінляі
В континуальном пределе, т.е. в случае крупных (Кп Кп < 0.3) частиц, задача допускает разбиение на две части: гидродинамическую и кинетическую. Гидродинамическая задача состоит в решении уравнений гидродинамики с граничными условиями скольжения и скачков. Кинетическая - в определении этих условий. При этом для решения кинетического уравнения, как правило, используется метод полупространственных моментов или численные методы. Кроме того, в настоящее время построен мощный аппарат, допускающий аналитическое решение модельных уравнений переноса.
Способ решения кинетического уравнения в промежуточном диапазоне чисел Кнудсена определяется симметрией задачи. При описании состояния газа между параллельными пластинами с успехом применяются те же методы, что и для полупространственных задач.
Существенно менее изучен случай центральной и аксиальной симметрии.
Впервые математически корректный способ решения указанного класса задач был предложен Лизом в приложении к проблеме вычисления потока тепла между коаксиальными цилиндрами [1]. Основу этого метода составляет идея Максвелла о сведении кинетического уравнения к системе уравнений переноса, для замыкания которой используется двухсторонняя (четырехмоментная) функция распределения. Такой подход позволяет удовлетворить всем необходимым законам сохранения при использовании в функции распределения минимального числа моментов, что делает возможным решение задачи в аналитической форме. Однако, предельный (при Кп -> 0) переход к газодинамическому решению обусловлен исключительно спецификой принятой в [1] модели максвелловских молекул. Указанный переход выполняется и для БГК (Бхатнагара, Гросса, Крука) [2] модели интеграла столкновений. Тогда как для молекул, взаимодействующих как упругие твердые сферы, аналогичные рассуждения [3] приводят завышенному на 8% значению потока тепла в континуальном режиме.
Кроме того, необходимо обратить внимание на аномальный характер полученной в рамках стандартного метода Лиза функции распределения, сходимость которой обеспечивается схлопыванием конуса влияния, а не переходом к распределению Чепмена-Энскога.
Относительно численных методов решения рассматриваемого класса задач, следует отметить, что стандартные алгоритмы применимы лишь при малых числах Кнудсена. Указанное ограничение обусловлено необходимостью учета конуса (или клина для задач аксиальной симметрии) влияния, на границах которого функция распределения претерпевает
скачек. В континуальном режиме такой учет производится тривиально поскольку в области основного изменения функции распределения, т.е. на расстояниях порядка нескольких длин свободного пробега молекул газа, конус влияния вырождается в плоскость, разделяющую положительное и отрицательное полупространство скоростей. В случае, когда значение числа Кнудсена сравнимо с единицей, изменение угла раствора этого конуса происходит именно в области основного изменения функции распределения и отмеченная проблема приобретает принципиальный характер, что определяет необходимость разработки специальных методов решения кинетического уравнения.
В качестве одного из возможных подходов к решению указанного класса задач используется идея сведения кинетического уравнения к системе интегральных уравнений относительно моментов функции распределения, для решения которой применяется вариационный принцип. Однако, при практической его реализации [4] авторы ограничиваются рассмотрением простейшей пробной функции, не дающей реального описания распределения макроскопических параметров газа.
В [5] применялся метод Галеркина, но пробная функция выбиралась из аналогичных соображений.
В [6] использовалась квадратурная формула, что эквивалентно интерполяции искомых моментов полиномами соответствующей степени. Но, как видно из представленных в статье результатов, такой подход также не позволяет получить правильного соотношения между потоком тепла и градиентом температуры в газодинамической области, т.е. при г> А. При этом погрешность в вычислении потока тепла составляет более 10%.
Из последних публикаций следует отметить работу [7], авторы которой используют аналогичный изложенному в монографии [8] итерационный метод численного интегрирования кинетического уравнения, принимая в качестве функции распределения, входящей в интегральную часть оператора столкновений, значения, полученные на предыдущем шаге итерации. Однако, сходимость итерационного процесса не доказывается, а констатируется по результатам вычисления макроскопических параметров, что не гарантирует точности полученного решения. Так, в случае мелкой частицы изложенный подход дает распределение температуры и концентрации, пропорциональные 1 — y^l — В?/г2, что не соответствует реальному поведению указанных величин в газодинамической области, т.е. на достаточно большом расстоянии от частицы. При этом благополучно выполняются все законы сохранения, а сама итерационная процедура эквивалентна, с формальной точки зрения, ме-
тоду последовательных приближений.
Отмеченный парадокс, обусловлен тем, что число Кнудсена, по обратному значению которого реально производится разложение, зависит от расстояния. В непосредственной близости от частицы роль характерного линейного размера играет ее радиус, что в случае Я -С А определяет локальную сходимость метода последовательных приближений при малых значениях г. Тогда как в газодинамической области число Кнудсена определяется отношением г/А, что делает неправомерным применение изложенной итерационной процедуры для больших г.
Подводя итог сказанному можно утверждать, что при удовлетворительной (в пределах погрешности эксперимента) точности вычисления потока тепла, ни один из стандартных методов не дает реального распределения макроскопических параметров газа при решении этого класса задач.
Данное обстоятельство определяет актуальность разработки иных подходов к решению кинетического уравнения и выбора наиболее оптимального из них с точки зрения точности и вычислительных затрат.
Дополнительно следует отметить и тот факт, что подавляющее большинство авторов ограничивается рассмотрением поступательного движения молекул газа, тогда как изучение свойств молекулярных газов требует учета внутренних степеней свободы.
Особый интерес представляет анализ процесса выделения тепла в объеме газа. Изучение такого рода явлений необходимо, в частности, при рассмотрении тепловых эффектов взаимодействия лазерного излучения с веществом, что особенно важно для исследования само- и дефокусировки лазерного луча в поглощающей среде и наиболее актуально в нестационарном случае, когда характерное время процесса выделения тепла сравнимо с временем свободного пробега молекул.
При теоретическом описании указанных явлений авторы ограничиваются исключительно рамками динамики сплошной среды. Однако, в случае, когда тепловыделение сосредоточено в области, размеры которой много меньше средней длины свободного пробега молекул, состояние газа определяется кинетическим уравнением. При этом саму область тепловыделения можно рассматривать как точечный источник тепла. Соответственно, произвольную область можно представить как суперпозицию точечных источников.
Следует отметить, что задачи об источниках представляют собой новый тип задач кинетической теории газов, допускающих аналитической решение, чем определяется их самостоятельная теоретическая значимость.
Целью данной работы является:
построение теории теплопереноса от равномерно нагретой сферы в одно-, двух- и многоатомных газах;
построение теории теплопереноса в плоском, сферическом и цилиндрическом слоях атомарного газа;
построение теории теплопереноса от точечного источника в стационарном и нестационарном режимах.
Научная новизна работы,
Разработан способ решения кинетического уравнения, дающий тот же порядок точности вычисления потока тепла, как и непосредственное численное интегрирование при существенно меньших затратах ресурсов вычислительной техники, что позволило провести детальный анализ особенностей теплопереноса во всем диапазоне значений числа Кнудсена, в том числе и для молекулярных газов. Получено распределение энергии и температуры по поступательным и вращательным степеням свободы молекул.
Решена проблема вьгаисления потока тепла в основных реализуемых в экспериментах случаях теплопереноса в ограниченном пространстве: в плоском, сферическом и цилиндрическом слоях газа. Впервые все расчеты проведены для больцмановского интеграла столкновений.
Впервые получены общие, не зависящие ни от формы кинетического уравнения, ни от способа его решения, соотношения, определяющие в линейном приближении зависимость макроскопических параметров газа от характера аккомодации энергии.
Впервые поставлены задачи о точечных источниках и получено их аналитическое решение как для атомарных, так и молекулярных газов. В качестве приложения рассмотрен вопрос о тепловой самодефокусировке луча лазера. Показано, что в случае, когда радиус эффективного сечения луча сравним со средней длиной свободного пробега, угол отклонения периферийного луча может в два и более раз превышать значение, рассчитанное в рамках механики сплошных сред.
5. Впервые получено аналитическое решение нестационарного кинетического уравнения в приложении к задачам теплопереноса. Определены характеристики звуковых и температурных волн.
Достоверность подтверждается согласием результатов, полученных при использовании различных методов решения кинетического уравнения, а также с экспериментальными и теоретическими данными других авторов. Все аналитические выкладки проведены в пакете Maple с использованием тщательно выверенных и протестированных процедур. При числовых расчетах использовались стандартные вычислительные алгоритмы с обязательным контролем точности.
Практическая значимость. Результаты диссертации могут найти непосредственное применение при определении коэффициентов аккомодации энергии в экспериментах по измерению потока тепла от нагретого тела и анализе процесса распространения лазерного излучения в верхних слоях атмосферы.
Кроме того, построенные методы представляют самостоятельный интерес и могут быть использованы для решения аналогичных задач физической кинетики и математической физики.
Аналитические решения поставленных в диссертации задач могут быть использованы при анализе общих особенностей тепло- и массопе-реноса, а также для определения точности приближенных и численных методов решения кинетического уравнения.
На защиту выносятся следующие результаты:
метод решения кинетического уравнения;
соотношения, определяющие зависимость макроскопических параметров газа от характера аккомодации энергии;
решение задачи о вычислении потока тепла в ограниченном пространстве при всех числах Кнудсена;
аналитическое решение кинетического уравнения в задачах о точечных источниках;
решение нестационарного кинетического уравнения.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 3 Международной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" (Тверь, 1998 г.); 2 Международной конференции
"Дифференциальные уравнения и их применение" (Санкт-Питербург, 1998 г.); 9 международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Орел, 2000 г.); 14 конференции конференция стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса, 2000 г.); 10 Международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Херсон, 2001 г.); Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, 2002 г.); Всероссийском семинаре "Кинетическая теория и динамика разреженных газов" (Новосибирск, 2002); а также на кафедре молекулярной физики Московского государственного университета, научных семинарах кафедры теоретической физики Орловского государственного университета и Московского государственного областного университета.
Структурами объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 238 наименований и приложения. Содержит 46 рисунков и 18 таблиц. Полный объем работы составляет 271 страницу.
