Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Решение уравнений гидродинамики с учетом зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры 20
1.1. Постановка задачи 20
1.2. Преобразование уравнений газовой динамики 26
1.3. Общая теория решения линейных дифференциальных уравнений п-го порядка с помощью обобщенных степенных рядов 30
1.4. Применение обобщенных степенных рядов для получения решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса 35
1.5. Анализ полученных результатов 44
Глава II. Особенности гравитационного движения нагретой частицы сфе рической формы 49
2.1. Постановка задачи о движении нагретой твердой частицы сферической формы в поле силы тяжести. Уравнения движения и граничные условия 52
2.2. Скорость гравитационного движения твердой равномерно нагретой частицы сферической формы 55
2.3. Скорость гравитационного движения неравномерно нагретой твердой аэрозольной частицы сферической формы 62
2.4. Особенности движения равномерно нагретой капли в поле силы тяжести 65
2.5. О возможности термокапиллярного движения капли с однородным внутренним тепловыделением 72
2.6. Анализ полученных результатов 78
Глава III. Особенности фотофоретического движения нагретых твердых аэрозольных частиц сферической формы 80
3.1. Постановка задачи 80
3.2. Метод сращиваемых асимптотических разложений 90
3.3. Использование метода сращиваемых асимптотических разложений для нахождения распределения температур в окрестности неравномерно нагретой частицы 93
3.4. Вывод выражений для фотофоретической силы и скорости 101
3.5. Анализ полученных результатов 113
Заключение 115
Литература 117
Приложение I 131
- Преобразование уравнений газовой динамики
- Скорость гравитационного движения твердой равномерно нагретой частицы сферической формы
- О возможности термокапиллярного движения капли с однородным внутренним тепловыделением
- Метод сращиваемых асимптотических разложений
Введение к работе
В современной науке и технике, в областях химических технологий, гидрометеорологии, охраны окружающей среды и т.д. широко применяют многофазные смеси. Наибольший интерес представляют дисперсные смеси, состоящие из двух фаз, одна из которых есть частицы, а вторая - вязкая среда (газ или жидкость). Газ (жидкость), с взвешенными в ней частицами называют аэрозолями (гидрозолями), а сами частицы - аэрозольными (гидрозольными). Гидро-и аэрозольные частицы могут оказать значительное влияние на протекание физических и физико - химических процессов различного вида в дисперсных системах (например, процессов массо - и теплообмена). Размер частиц дисперсной фазы находится в очень широких пределах: от макроскопических ( 500мюч) до молекулярных ( 10/ш) значений; варьирует соответственно и концентрация частиц - от одной частицы до высококонцентрированных систем ( 1010слГ3). В настоящее время, с учетом развития нанотехнологий и наноматериалов, большую перспективу представляет применение ультрадисперсных (нано-) частиц, например, в наноэлектронике, наномеханике и т.д..
На входящие в состав дисперсных систем частицы могут действовать силы различной природы, вызывающие их упорядоченное движение относительно центра инерции вязкой среды. Так, например, седиментация происходит в поле гравитационной силы. В газообразных средах с неоднородным распределением температуры может возникнуть упорядоченное движение частиц, обусловленное действием сил молекулярного происхождения. Их появление вызвано передачей некомпенсированного импульса частицам молекулами газообразной среды. При этом движение частиц, обусловленное, например, внешним заданным градиентом температуры, называют термофорезом. Если движение обусловлено за счет внутренних источников тепла неоднородно распределенных в объеме частицы, то такое движение называется фотофоретическим. К настоящему времени в литературе достаточно полно разработана теория движения нагретых аэрозольных твердых частиц сферической формы как в случае малых, так и в случае больших относительных перепадов температуры в окрестности частицы. Под относительным перепадом температуры понимают отношение разности между средней температурой поверхности частицы TlS и температурой области вдали от нее (Геа0) к последней, то есть величину (TlS Теоо)/Теоо. Относительный перепад температуры считается малым при (TtS -Т,х)/ Тсг «1 и большим в противном случае.
Существенный вклад в изучение и применение аэрозольных систем внести ряд отечественных и зарубежных исследователей: Г.С. Эпштейн, Ж.Р. Брок, Н.А. Фукс, В.М. Волощук, Б.В. Дерягин, П.Е. Суетин, О.А. Волковиц-кий, Ю.И. Яламов и др.
Среднее расстояние между аэрозольными частицами у значительной части встречающихся на практике аэродисперсных систем намного больше характерного размера частиц. В таких системах учет влияния аэрозоля на развитие физического процесса можно проводить, основываясь на знание законов динамики движения и тепло - и массообмена с бесконечной окружающей средой отдельных аэрозольных частиц. Без знания закономерностей этого поведения невозможно математическое моделирование эволюции аэрозольных систем и решение такого важного вопроса как целенаправленное воздействие па аэрозоли. Поэтому изучение закономерностей движения отдельных частиц в газообразных (жидких) как однородных, так и неоднородных средах является важной актуальной задачей, представляющей значительный теоретический и практический интерес.
Цель работы - исследовать влияние нелинейных характеристик среды на движение нагретых частиц сферической формы в вязких неизотермических газообразных средах при малых числах Рейнольдса.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи: - разработать вариант математического метода решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса с учетом зависимости коэффициента вязкости и плотности газообразной среды от температуры в сферической системе координат; сравнить с уже полученными;
- решить конвективное уравнение теплопроводности методом сращиваемых асимптотических разложений с учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры;
- изучить влияние нагрева поверхности на силу и скорость гравитационного движения слабо испаряющейся равномерно нагретой капли. Получить аналог формулы Адамара-Рыбчинского, позволяющей оценивать силу и скорость гравитационного дрейфа капли при произвольных перепадах температуры в ее окрестности;
- исследовать влияния движения среды на фотофорез нагретых твердых аэрозольных частиц сферической формы.
Научная новизна работы. Разработан еще один вариант математического метода, позволявший найти аналитическое решение линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса, с учетом степенного вида зависимости вязкости и плотности газообразной среды от температуры в сферической системе координат (доказана теорема существования и единственности полученного решения). Исследовано влияние движения среды (учет конвективных членов в уравнении теплопроводности) на фотофорез твердых нагретых крупных и умеренно крупных аэрозольных частиц сферической формы. Проведен численный анализ влияния нагрева поверхности и движения среды на поведение аэрозольной частицы в вязкой неизотермической газообразной среде.
Разработанные математические методы могут быть использованы и при исследовании поведения нагретых частиц в вязких неизотермических средах (газ или жидкость) с более сложной формой (сфероид, цилиндр и т.д.).
Практическая значимость работы. Результаты научного исследования могут быть применимы при описании процесса осаждения аэрозольных частиц в разнотемпературных каналах; при проектировании экспериментальных установок, в которых необходимо обеспечить направленное движение аэрозольных частиц; при разработке методов тонкой очистки газов от аэрозольных примесей и т.п.
Математические методы, используемые при решении уравнений гидродинамики и теплопереноса, могут быть применены в дальнейшем при теоретическом описании поведения нагретых частиц в вязких неизотермических средах (газ или жидкость) с более сложной геометрией, например, сфероидальной, цилиндрической и т.д.
Кроме того, результаты данной работы могут быть использованы при разработке спецкурсов по гидродинамике, газовой динамике, а также при подготовке курсовых и дипломных работ студентов 3-5 курсов. Положения, выносимые на защиту:
1. Решение в виде обобщенных степенных рядов линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса с учетом степенного вида зависимости коэффициента вязкости от температуры в сферической системе координат.
2. Влияние нагрева поверхности на силу и скорость гравитационного дрейфа слабо испаряющихся равномерно нагретых капель сферической формы.
3. Решение конвективного уравнения теплопроводности методом сращиваемых асимптотических разложений с учетом степенного вида зависимости коэффициента теплопроводности от температуры в сферической системе координат.
4. Влияние движения среды на фотофорез нагретых твердых крупных и умеренно крупных аэрозольных частиц сферической формы.
Достоверность и обоснованность полученных научных результатов обусловлена корректностью постановки задачи исследования; корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравнений; корректностью построения математических моделей физических систем; согласованностью полученных в диссертации результатов с известными результатами и экспериментальными данными. Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на II Международной научно-практической конференции «Экология: образование, наука, промышленность и здоровье» (г. Белгород, 2004); Международной научно-практической конференции «Аэрозоли и безопасность - 2005» (г. Обнинск, 2005); Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям (г. Рязань, 2006); Международной научной конференции: «Современные методы физико-математических наук» (г. Орел, 2006); 2 Международной научной конференции «X Белорусская математическая конференция» (г. Минск, 2008), на научных семинарах кафедры теоретической физики Белгородского государственного университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ, в том числе 2 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
Личный вклад соискателя заключается в том, что все изложенные в диссертационной работе результаты исследований получены либо соискателем, либо при его непосредственном участии. В части работ, выполненные в соавторстве и включенных в диссертацию, автор является инициатором проведенных работ (выдвигал идею, формулировал задачу, намечал пути ее решения) и внес определяющий вклад в обработку полученных результатов, участие в их обсуждении и подготовке материала для публикации в открытой печати и на конференциях.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, одного приложения и списка литературы. Работа изложена на 130 страницах, содержит 24 рисунка, 2 таблицы. Список используемой литературы включает 137 названий.
Преобразование уравнений газовой динамики
Удобно рассматривать движение частиц в системе координат, связанной с их центром масс В этом случае задача сводится к анализу обтекания частицы бесконечным плоскопараллельным потоком газа со скоростью U„ {U = —U, где U — скорость движения частицы) и в сферической системе координат г,в,ср (О в 7г,0 р 2ж). Задача симметрична, т.е. неизвестные функции (скорость, температура и т.д.) зависят только от координат г и в. Как отмечалось выше, общая система гидродинамических уравнений нелинейная, и для ее решения были сделаны следующие физические допущения [4-5,32,36,59,63,74-75,77,80,83,86,109]: 1. все процессы, происходящие в системе частица-газ, рассматриваются в квазистационарном приближении, что возможно в силу малости вре 27 мени тепловой релаксации умеренно крупной и крупной частицы при малых числах Рейнольдса и Пекле; определяющими параметрами задачи являются коэффициенты с , Реъ Н еъ Кл и сохраняющиеся в процессе движения частицы величины - R, Теао, Um . Из этих параметров можно составить две безразмерные комбинации: число Рейнольдса Rem = (pemUmR)//iea3«l и тепловое число Пекле -Рею=(среиа}Ярех)/Леоо«\, где R -радиус частицы, ооН оо)- характерная скорость (величина скорости набегающего потока); движение частицы рассматривается при значительных (больших) относительных перепадах температуры.
Под относительным перепадом температуры понимают разность температур между поверхностью частицы и областью вдали от нее. Относительный перепад температуры считается малым, если выполняется неравенство (TlS —Teao)/Tem «1, где TlS - средняя температура поверхности частицы. При выполнении этого неравенства коэффициенты молекулярного переноса (вязкости и теплопроводности) и плотность можно считать постоянными величинами. Если (TlSea3)/Teta 0(l), то относительный перепад температуры считается значительным. В этом случае уже нельзя считать эти величины постоянными. В работе при описании свойств газообразной среды и частицы рассматривается степенной вид зависимости динамической вязкости и теплопроводности от температуры: Ме = Me« te К = КЛ Л = ЛХ где Me =Me(TeJ, /L = 4fcJ ліл=л,(тел), tk =Тк/Тсж,к = е,і; 0.5 a,j3 l, -\ 0) l коэффициент теплопроводности частицы по величине много больше коэффициента теплопроводности газа. Это допущение приводит к тому, что в коэффициенте вязкости можно пренебречь зависимостью по углу 9 в системе «частица-газ» (предполагается слабая угловая асимметрия распределения температуры) и считается, что вязкость связана только с температурой te0 {г), т.е. Ме{Ф 0)) Ме{ ео{г))- При этом te{r,0) = teo{r)+ae(r 0) гДе &e{r.O)«te0{r), Ste(r,6), te0(r) определяются из решения тепловой задачи. Это допущение позволяет рассматривать гидродинамическую часть отдельно от тепловой части, а связь между ними осуществляется через граничные условия; 5. частица образована однородным и изотропным по своим свойствам веществом; 6. при описании движения нагретой частицы во внешних заданных полях используется гидродинамический подход, т.е. модель сплошной среды. Решаются обычные уравнения гидродинамики и теплопереноса, учитывающие, однако, поправки, связанные с отличием числа Кнудсена от нуля в граничных условиях (см. обзор литературы). Указанные допущения относятся ко всем главам диссертации.
Здесь ег, св - единичные орты сферической системы координат. Заметим, что постановка граничных условий на поверхности нагретой частицы радиуса R (г - R) определяется конкретной задачей (речь о которых пойдет в следующих главах), а на большом расстоянии от частицы (г — оо) справедливы граничные условия (1.2.4) и конечность физических величин, характеризующих ее при г — 0, учтено в (1.2.5). Обезразмерим уравнения и граничные условия следующим образом: V= Ue //„, tkkITx (к = е, /). При Rew =є«\ набегающий поток оказывает лишь возмущающее влияние, и поэтому в решении уравнений гидродинамики можно использовать метод теории возмущения, т.е. К = У}0)+е V + ..., рв=р + єр ;1)+... (1.2.6) При нахождении силы, действующей на нагретую частицу, и скорости ее упорядоченного движения в вязкой неизотермической среде мы ограничимся поправками первого порядка малости по є. Общая сила, действующая на частицу, определяется интегрированием тензора напряжений по ее поверхности и в сферической системе координат определяется по формуле (1.2.7) [63,109]: F = Г(- Ре cos в + Grr cos в - jrQ sin в) г2 sin в d6 dtp (1.2.7) i=R Здесь an , y,0, U"(r,9) и Uee{i\9)- компоненты тензора полных напряжений, радиальная и касательная компоненты массовой скорости Ue в сферической г діл 2 .. „} (зис: іди: ЛЛ 2—r- — divUe У дг 3 j + 7гв=М( системе координат [63], тп. - ре дг г дв г Компоненты массовой скорости и давления находились в виде разло жения по полиномам Лежапдра и Гегенбауэра [30,48,59,106,109]. Они нам нужны для определения общей силы, действующей на частицу (1.2.7). Ис пользуя свойства полиномов Лежандра и Гегенбауэра, легко показать, что эта сила определяется первыми членами этих разложений, т.е. выражения для компонент массовой скорости нулевого приближения следует искать в виде: U:(y,e) = Uxcos0G(y), Uee(y,e) = -U„sin0g(y) (1-2.8) зо Здесь G(y) и g{y)- произвольные функции, зависящие от обезразмеренной радиальной координаты у = г IR.
Скорость гравитационного движения твердой равномерно нагретой частицы сферической формы
Определяющими параметрами задачи являются коэффициенты реао, Ме« К и сохраняющиеся в процессе движения частицы величины— R,Um и Геда. Из этих параметров можно составить следующие безразмерные комбинации: число Рейнольдса Rem = ( p U R)/ рею, число Пекле Реа=(реааиа)Ясре)/Яеа) и число Прандтля Рга0=срецеоз/Лет. Обезразмерим наши уравнения и граничные условия: V= Ue/Um, у,„=хт/R, th=Tk/TeM (к = е,і).
Поскольку числа Рейнольдса малы, то набегающий поток оказывает лишь возмущающее влияние, поэтому решение системы уравнений гидродинамики и теплопереноса следует искать в виде разложения по малому параметру є = Rem = (PgJJ R)/fJ-eai При решении задачи мы ограничимся поправками первого порядка малости ПОЙ: : V,=Ve0 + sVel+... , te=te0+stei+..., (2.2.1)
При нахождении силы, действующей на равномерно нагретую твердую аэрозольную частицу, и скорости ее4 движения в гравитационном поле необходимо знать поле температуры вне частицы. Решая уравнение (2.1.5) методом разделения переменных (что возможно в силу граничного условия (2.1.6)), и учитывая степенной вид зависимости коэффициента теплопроводности от температуры, а так же граничные условия (2.1.6) - (2.1.7), получаем: где Г0 =# -!, tlS=TlS/Tte),y = r/R. Из формулы (2.2.2) видим, что температура окружающего частицу газа изменяется с расстоянием от поверхности частицы, следователыю, и динамическая вязкость также является функцией расстояния jue = ц (у).
Таким образом, формулы (2.2.8) и (2.2.10) позволяют оценивать силу, действующую на равномерно нагретую сферу, и скорость ее гравитационного падения с учетом зависимости плотности газообразной среды и коэффициентов молекулярного переноса (вязкости и теплопроводности) от температуры при произвольных относительных перепадах температуры между поверхностью частицы и областью вдали от нее.
В случае, когда величина нагрева поверхности частицы достаточно мала, т.е. средняя температура поверхности частицы незначительно отличается от температуры окружающей среды вдали от нее (Г0— 0), зависимостью плотности и коэффициентов молекулярного переноса от температуры можно пренебречь, и тогда (у = l) G, = 1, G\ = -3, G2 = 1, G2]=—l, G3 = 1, G\=Q, N} -2, N2=3.B этом случае формулы (2.2.8) и (2.2.10) переходят в известные выражения для сферы, полученные Стоксом [11].
Здесь следует отметить, что коэффициенты молекулярного переноса и плотность берутся при температуре поверхности частицы равной температуре окружающей среды (в нашем случае Г,да), т.е. эти формулы справедливы при малых относительных перепадах температуры.
Как видно из приведённых кривых (рис.2.4), формула Стокса дает завышенное значение, относительная погрешность около 23 %. Представляет также численный интерес сравнения полученных формул для силы сопротивления твердой нагретой частицы сферической формы с экспериментом [8]. В экспериментальной работе [8] исследовалось влияние температуры газовой среды и температуры горящих угольных частиц (разогретых антрацитовых частиц) на коэффициент аэродинамического сопротивления с погрешностью ±10-20%. Температура частиц изменялась от 20 С до 800 С взвешенных в нейтральной (азотной) и в окислительной (воздушной и кислородной) газовой среде. Размеры угольных частиц в опыте менялись в пределах от 0.1 - 1.0 мм.
Рассмотрим гравитационное движение неравномерно нагретой твердой аэрозольной частицы, внутри которой действуют неоднородно распределенные источники тепла плотностью qt, природа которых может носить произвольный характер. Считается, что газ заполняет все пространство и покоится на бесконечности.
Этот случай гравитационного движения интересен тем, что мы можем регулировать неравномерный нагрев (например, с помощью лазера) и, в конечном итоге, и скорость седиментации самой частицы.
Неоднородное распределение температуры в окрестности частиц может возникнуть при их нагреве (охлаждении) источниками (стоками) тепла произвольной физической или химической природы, так называемыми внутренними источниками тепла. Внутренние источники (стоки) тепла - это модельное представление, удобное для описания реальных процессов, сопровождающихся выделением тепла в объеме аэрозольной частицы. Так можно моделировать нагрев частицы под действием химической реакции, радиоактивного распада вещества частицы, внешнего электромагнитного излучения и т.п. При нахождении силы, действующей на нагретую твердую аэрозольную частицу, и скорости ее движения в гравитационном поле необходимо знать распределение температуры, как вне частицы, так и внутри нее.
О возможности термокапиллярного движения капли с однородным внутренним тепловыделением
Известно, что наличие градиента температуры на поверхности капли обуславливает возникновение градиента силы поверхностного натяжения и может вызвать движение капли [74-75,88]. Это движение связано с касательными напряжениями на поверхности капли за счет изменения коэффициента поверхностного натяжения а с температурой Т (эффект Марангони) и направлено в сторону более нагретых участков внешней среды при da I dT 0 или в противоположную сторону при dal dT О (термокапиллярный дрейф).
Здесь мы исследуем важный пример термокапиллярного дрейфа капли, в котором несимметрия температурного поля возникает благодаря движению капли и усиливается за счет действия равномерно распределенных внутренних источников тепла плотностью q = const, т.е. рассматривается ситуация, когда неоднородное распределение температуры на поверхности капли есть следствие ее собственного движения [88]. Также предполагается, что капля, слабо испаряющаяся, и сохраняет свою сферическую форму.
После нахождения постоянных интегрирования сила, действующая на неравномерно нагретую частицу, определяется интегрированием тензора напряжений по поверхности частицы [63], и она имеет вид (1.5.7). Полученные выше формулы можно использовать и при малых относительных перепадах температуры в окрестности слабо испаряющейся капли с однородным внутренним тепловыделением. В случае, когда величина нагрева поверхности частицы мала, т.е. средняя температура поверхности по величине незначительно отличается от температуры окружающей среды вдали от частицы (Г0 — О). Таким образом, результаты данного раздела могут быть использованы при проектировании экспериментальных установок, в которых необходимо обеспечить направленное движение нагретых капель; при оценке скорости осаждения нагретых капель в каналах и т.д. Количественное исследование обсуждаемого явления для нагретых слабо испаряющихся капель представляет собой вполне реальную экспериментальную задачу. 2.6. Анализ полученных результатов В данной главе получены аналитические формулы для силы, действующей на нагретую частицу (твердую и каплю) сферической формы и скорости ее движения в поле силы тяжести при произвольных относительных перепадах температуры - аналог формул Стокса и Адамара - Рыбчинского. Проведенный численный анализ по полученным формулам показал, что сила и скорость гравитационного движения существенно зависит от средней температуры поверхности частицы и показателей а и /3. Проведено сравнение полученных результатов с экспериментом; показано хорошее их согласие, относительная погрешность не более 15 %.
Рассмотрен пример термокапиллярного дрейфа капли, в котором несимметрия температурного поля возникает благодаря движению капли и усиливается за счет действия равномерно распределенных внутренних источников тепла плотностью q, т.е. рассматривается ситуация, когда неоднородное распределение температуры на поверхности капли есть следствие ее собственного движения. Количественное исследование обсуждаемого явления для на- гретых слабо испаряющихся капель представляет собой вполне реальную экспериментальную задачу.
В случае, когда средняя температура поверхности частицы (твердой или капли) незначительно отличается от температуры окружающей газообразной среды, зависимостью коэффициентов молекулярного переноса (вязкости и теплопроводности) от температуры можно пренебречь и полученные формулы для силы и скорости гравитационного движения переходят в формулы Стокса и Адамара-Рыбчинского, т.е. имеет место предельный переход.
В данной главе диссертации исследуется влияние нагрева поверхности и движения среды (учет конвективных членов в уравнении теплопроводности) на фотофорез. Механизм фотофореза в общем случае можно кратко описать следующим образом. При взаимодействии электромагнитного излучения с аэрозольной частицей внутри частицы происходит выделение тепловой энергии, которая неоднородно нагревает частицу. Молекулы газа, окружающие частицу, взаимодействуя с более нагретой частью поверхности частицы, сообщают этой части больший импульс, чем противоположной. В результате частица приобретает некомпенсированный импульс, направленный от горячей стороны поверхности к более холодной. В зависимости от оптических свойств частицы, ее формы и длины волны излучения область «перегретой» поверхности может находиться на освещенной или «теневой» стороне частицы для однородного по сечению потока излучения. Это обстоятельство является существенным для определения направления движения частицы.
Метод сращиваемых асимптотических разложений
Исследование обыкновенных дифференциальных уравнений показали, что получить равномерно пригодные разложения в случаях, когда в некоторых областях изменения независимых переменных, где зависимые переменные испытывают резкие изменения обычными методами (например, метод растягивания координат и т.п.) невозможно.
Один из методов, связанных с этой проблемой, заключается в построении прямых разложений (называемых внешними разложениями) с использованием исходных переменных и в построении разложений (называемых внутренними разложениями), описывающих эти резкие изменения и использующих увеличенные масштабы. Внешние разложения становятся непригодными в областях резких изменений, в то время как пригодность внутренних разложений нарушается при выходе из этих областей. Чтобы связать эти разложения, используют так называемую процедуру сращивания.
Остановимся кратко на этом методе, следуя [30]. Решающим шагом в методе сращиваемых асимптотических разложений является выбор внутренних переменных. Здесь возникают следующие вопросы: 1. Какие независимые переменные должны быть растянуты? 2. Как они должны быть растянуты? Ответ на первый вопрос зависит от выяснения особой природы задачи, включая сюда положение неоднородностей и их «форму», а именно появляются ли они в окрестности точки, линии или поверхности. Нужная степень растяжения обычно очевидна или можно искать растяжение путем проб. Руководящей идеей здесь является то, что внутренняя задача должна обладать наименьшей возможной вырожденностью, что она должна включать в первом приближении какие — либо существенные элементы, упущенные в первом внешнем решении, и что внутреннее и внешнее решения должны сращиваться.
Методу сращиваемых асимптотических разложений свойственна потеря граничных условий. Нельзя ожидать, что внешнее разложение будет удовлетворять условиям, которые наложены во внутренней области, и обратно, внутреннее разложение в общем случае не будет удовлетворять условиям в удаленной области. Таким образом, неудовлетворенные граничные условия вообще присущи как внутреннему, так и внешнему разложениям. Потеря условий восполняется сращиванием двух разложений.
Следует отметить, что для дифференциальных уравнений в частных производных сращиванию предпочитают часто принцип минимальной особенности [73]. Опыт показывает, что только одно из возможных решений, а именно то, которое имеет наименьшую особенность в своей области неоднородности, может быть сращено с дополнительным разложением. Хотя принцип минимальной особенности часто уменьшает число возможностей, он не всегда позволяет выбрать единственную картину течения.
Сращивание представляет собой основную черту метода. Возможность сращивания основана на существовании области перекрытия, в которой пригодны как внутреннее, так и внешнее разложения. Используя это перекрытие, можно получить точное соотношение между конечными частными суммами. Реализация этой замечательной возможности осуществима только для возмущения параметра, которое неоднородно в координатах, или для возмущения координаты, которое неоднородно по другим координатам. Нельзя срастить два различных параметрических разложения, таких, как разложение для больших и малых значений числа Рейнольдса, числа Маха и т.д. Такие ряды могут перекрываться в том смысле, что они имеют общую область сходимости, но процесс аналитического продолжения дает только приближенное соотношение для некоторого конечного числа членов. Теперь остановимся на самом принципе сращивания. Существование области перекрытия означает, что внутреннее разложение внешнего разложения должно с точностью до соответствующего порядка согласовываться с внешним разложением внутреннего разложения. Это общий принцип сращивания. Он может быть дан в различных специальных формулировках (в диссертации в качестве примера мы приводим два): - формулировка Прандтля (принцип предельного сращивания): Внутренний предел внешнего предела равен внешнему пределу внутреннего предела; - формулировка Ван-Дайка (принцип асимптотического сращивания): т-членное внутреннее разложение п-членного внешнего разложения равно п-членному внешнему разложению т -членного внутреннего разложения.
И последнее, это порядок сращивания. Все наши предшествующие рассуждения основывались на предположении о полной симметрии между внутренним и внешним пределами, так что эти два члена можно было бы поменять местами. Однако слова «внешнее разложение» или «внутреннее разложение» имеют конкретный смысл. В общем случае сращивание должно производиться шаг за шагом, как это показано на рис. 3.3 сплошными стрелками.
При нахождении фотофоретической силы и скорости неравномерно нагретой капли мы ограничимся поправками первого порядка малости по є. Чтобы их найти, нужно знать поля температур вне и внутри частицы. Для этого необходимо решить уравнения (3.1.2) - (3.1.3) с соответствующими граничными условиями.
Основная трудность в описании фотофореза (кроме нахождения решения линеаризованного по скорости уравнения Навье-Стокса) заключается в необходимости учесть влияние на него движения среды. При больших перепадах температуры между поверхностью частицы и областью вдали от нее конвективный член в уравнении теплопроводности ргс}e(Ue-V) Те по порядку величины, может быть, сравним с основным членом - div{Xe VTe). Корректно решить эту задачу, учитывая, что конвективное уравнение теплопроводности нелинейное, можно используя метод сращиваемых асимптотических разложений. Это связано с тем, что нам известно граничное условие для нулевого приближения и неизвестно граничное условие для первого приближения поля температуры вдали от частицы. До настоящего времени авторы, рассматривая это явление, либо предполагали, что граничное для первого приближения вдали от частицы пропорционально cos в, либо фо-тофорез рассматривали совместно с термофорезом, диффузиофорезом и т.д., т.е. с аналогичными по своей физической природе явлениями, где известно граничное условие для первого приближения вдали от частицы. Этот недостаток устранен в разделе 3.3., где, используя метод сращиваемых асимптотических разложений, получено выражение для поля температуры до первого порядка малости включительно.
